В разделе "Математика" я пытаюсь развить идеи, изложенные здесь.

Примечание:
Цветовые обозначения введены для удобства чтения. Ниже следует оглавление книги Чефранова. Оно же служит оглавлением и для данной статьи, так как почти каждый параграф послужил материалом к моим размышлениям. Поэтому желательно читать мои комментарии вместе с книгой. Но это не обязательно: думаю, что философские работы, в отличии от детективов, можно раскрывать на любой странице. Книгу можно скачать (не исключено, что с некоторыми затруднениями) здесь: "Бесконечность и интеллект"

цветовые обозначения:

красный — названия разделов

тёмно-красный — особо важные темы

зелёный — цитируемый материал

чёрный — полемика

тёмно-синий — комментарии

 

ОГЛАВЛЕНИЕ:

 

Глава1: введение.

§1. Язык как средство моделирования.

§2. Движение и протяжённость.

§3. Бесконечное и проблемы индивидуации (в связи с количеством и качеством).

§4. Бесконечное и проблема индивидуации в связи с формой-содержанием.

§5. Бесконечное и конечное.

 

Глава 2: Моделирование бесконечного в математике.

§1. Бесконечное.

§2. Проблема континуума и единицы.

§3. Проблема точки.

 

Глава 3: Моделирование бесконечного в современной науке

§1. Соотношение научного и обыденного языков.

§2. Релятивистское пространство-время и движение.

§3. Мир не есть конечная или бесконечная сумма объектов на фоне общемировой пространственно-временной протяжённости.

§4. Что может заменить идею бесконечной пространственно-временной протяжённости мира в целом?

 

Заключение

 

 

 Глава 1. ВВЕДЕНИЕ.

 

Ф.ФРАНК: "Цель науки — установление таких систем отношений между символами и операциональными определениями символов, при которых логические заключения, выводимые из этих отношений, становятся утверждениями о фактах, подтверждённых нашими определениями".

Р.КАРНАП: "Вопрос о мире в целом не может быть сформулирован ни на каком теоретическом языке".

Итак, цель науки — отражение мира. Но здесь оно неоправдано сужено до формально-эмпирического уровня. Это и есть математический конструктивизм. Такая наука не знает бесконечного и не знает содержания этических понятий.

Что касается современных формально-логических языков, то они не в состоянии себя обосновать; в них могут быть сформулированы неразрешимые вопросы; возникают парадоксы, т.е.— понятия, непротиворечивые сами по себе, становятся противоречивыми в данном формализме. От парадоксов "избавляются" накоплением всё новых и новых, довольно искусственных аксиом. Всё это говорит о том, что формальная логика,— не последнее слово в средствах познания.

Алгоритмика же, (конструктивизм) — сама несвободна от этих проблем.

Ведь проблема конструктивной разрешимости неразрешима. Значит, всегда будут существовать алгоритмические вопросы, о разрешимости которых теория алгоритмов ничего не сможет сказать (это ведь не просто невозможность установить истинность или ложность, это уже метанеразрешимость). А если подобный вопрос по каким-либо скрытым причинам именно не-разрешим, то алгоритмика этого не узнает никогда.

Да и не мог конструктивизм избавиться от этих проблем. Эмпирически урезая формальную логику, он ничего не созидает взамен. Именно поэтому эти два направления в математике начали с яростных споров, а сейчас пытаются "помириться" и друг друга дополнить.

И всё равно Карнап не прав. "Мир в целом" — абсолютное понятие. Его существование очевидно именно из-за существования всевозможных его ограничений, т.е. того, что мы называем конкретными объектами. Ведь любая система знаний имеет ценность только тогда, когда она (явно или неявно) замыкается в едином обобщении. В противном случае, это знания ни о чём. Но любое абсолютное понятие (Бог, множество всех множеств, и.т.д.) логически противоречиво. Однако это ограниченность самой логики!

Вначале вопрос о множестве всех множеств ясно формулируется на языке логики, потом он приводит к противоречию, и только после этого логика отказывается его задавать. Но от таких вопросов нельзя просто отмахнуться. Поэтому теория множеств признаёт существование класса всех множеств, обходя противоречие тем, что имеются собственные классы (не являющиеся множествами): совокупности элементов, чудовищные по мощности. При этом сама теория изучает только классы, являющиеся множествами. Но даже среди таких "исправленных" множеств необходимо возникают универсальные множества (замкнутые относительно всех операций и отношений теории множеств), вместе с аксиомой о том, что всякое множество является элементом некого универсального. А ведь в универсальном множестве можно построить модель и всей теории множеств! И сама такая возможность возникает из-за теоремы Гёделя и парадокса Рассела.

Итак, выявляя противоречивость абсолютных понятий, формальная логика строит некие непротитречивые ограничения таких понятий. Эти ограничения и являются моделями для их изучения. Так, современной математической моделью для мира в целом,— является универсальное множество.

То, что такие модели не совсем удачны, вызвано слабостью самой логики, искусственным устранением противоречий, при непонимании причин этих противоречий.

Далее, не могу согласиться с тем, что расширение диапазона познаваемого нами пространства-времени ничего не даёт для познания бесконечного. Отчасти это, конечно, верно. И здесь глубина знаний гораздо важнее их широты. И всё же, бесконечность,— понятие индуктивное. А расширение диапазона наблюдений индукцию облегчает. Хотя, качественный провал между конечным и бесконечным невосполним.

И ещё. Не надо путать бесконечность и мир в целом. Ибо сама по себе бесконечность ещё не "настолько" абсолютна, как мир в целом,— "бесконечность бесконечностей" (для примера: бесконечный натуральный ряд и вышеупомянутые собственные классы).

По поводу дурной бесконечности. Не надо её путать с актуальной. Последняя для нас существует, если мы не конструктивисты (а мы не конструктивисты, если задаём себе вопрос о мире в целом). Дурнота в смысле однообразия абсурдна ("на спинах блох блошата есть"), что доказывается практикой (например: элементарные частицы по отношению к макромиру вряд ли покажутся "матрёшкой в матрёшке").

В связи с этим хотелось бы уточнить закон перехода количества в качество. Именно: всегда существует конечное количественное изменение, приводящее к новому качеству. В этом смысле Вселенная должна быть геометрически конечной, ибо в микро- и макро- масштабах пространство-время так изменит свои свойства, что уже перестанет быть геометрической структурой. Это и есть актуальная, но не дурная бесконечность.

Такое уточнение закона понятно: этот закон мы узнали из практики, а наша практика оперирует лишь конечными количествами. И, чтобы закон работал, просто необходимо обнаруживать нечто новое именно при конечных количественных изменениях.

При этом всё же, нельзя думать, что любое конкретное качество занимает лишь конечную часть количественной шкалы. Пространство-время, например,— всё же может иметь какие-то общие свойства, простирающиеся на всю бесконечность. Хотя уже сейчас становится сомнительным, чтобы эти свойства имели геометрический характер.

Следует заметить, что закон перехода количества в качество в природе действует гораздо сильнее, чем в логике.

Однако мне самому мои собственные мысли о количестве и качестве кажутся несколько странными... Возможно потому, что здесь кроется нечто ещё? Видимо, это тот случай, когда конечное и бесконечное эмпирически могут проявить свою относительность. Не думаю, что эмпирически вообще можно опровергать философские выводы полностью, как, впрочем, и полностью доказывать. Опыт,— неотъемлемая часть философии, но только часть! Это хорошо показал Кант. Именно поэтому практические выводы философов так часто опровергались эмпирически. Именно поэтому эти опровержения плохо убеждали их приверженцев. Это же наблюдаем и в религии, и будем наблюдать во всех дисциплинах, имеющих метаопытную составляющую. На самом деле сие означает вышеупомянутую относительность, выявление которой уточняет как опыт, так и оспариваемый вывод. Наука как бы замыкает свою опытную область топологически. Эмпирически верифицированная наука осуществляет минимально возможное замыкание; имманентно верифицированная,— максимально возможное. Под эмпирическим я здесь подразумеваю любую практику, в том числе и спекулятивную. Глобальные истины обретаются, отвергаются и теряются только длительностью и разнообразием всей своей практики,— и всё равно никогда не получают окончательного приговора, оставаясь тайнами. Кажется, здесь есть нечто важное...

И ещё один важный момент. Я опять возвращаюсь к конструктивизму, утверждающему конечность всех явлений природы. Думаю, что объективно в природе вообще нет ничего конечного. Т.е.— всё финитное есть какая-то суперпозиция, взаимодействие и взаимо-ограничение инфинитного. В частности, при восприятии события в некой системе отсчёта и происходит такое ограничение. Следовало бы вообще понять и определить конечное именно как такое наблюдаемое, и есть оно не что иное, как свёрнутое бесконечное ненаблюдаемое. Последнее, в свою очередь, есть развёрнутое наблюдаемое, ненаблюдаемым и обоснованное. Это релятивистская (диалектическая) пара.

Если природа конечна, то наступит момент, когда мы чётко изучим всё, что нам доступно, и чётко будем знать, что такая-то и такая-то информация нам недоступна (ибо являемся мы определённой частью конечного мира). Но это тупик познания, до сих пор опровергаемый практикой. Завершение познания равносильно его опровержению. Ибо всякое знание требует обоснования извне (даже обоснованное изнутри самого же себя!). Принципиально конечное знание имеет пустое обоснование. Можно, разумеется, смотреть на мир как на потенциально бесконечную градацию финитных объектов. Но понятие потенциальной бесконечности неявно подразумевает и актуальную (точно так же, как введение универсальных множеств и собственных классов с целью решения парадокса Рассела,— всё-таки не избавляет нас от содержания понятия множества всех множеств, видоизменяя его форму).

Но самое главное здесь вот в чём. Самым точным физическим взглядом на мир сейчас является квантовая механика (которая, если не огрублять ситуацию, верна и для макрообъектов). Но в чём же состоит её философская основа? Как известно, волновая функция каждого объекта не равна нулю ни в каком непрерывном пространственно-временном интервале (случаи типа потенциальной ямы с бесконечными стенками в природе не встречаются). И, как известно, эта функция определяется как самим объектом, так и всем его окружением, т.е.— всё тем же миром в целом. Из первого вытекает фактическая невозможность жёсткой локализации объекта (кстати, не только пространственной, но и по любой другой физической величине), т.е. невозможность экспериментальной индивидуации. Из второго же следует, что мы вообще не можем говорить о внутренней структуре данного объекта (кстати, не только пространственной, не говоря о структуре мира в целом, и наоборот. Если смотреть на материю с позиций теории множеств, то это означает, что любая часть мира в целом отражает, моделирует весь мир в целом. Математически это выразится в существовании взаимно-однозначного соответствия между частью и целым, что и означает бесконечность того и другого. (Под "взглядом на мир с позиций теории множеств" подразумевается любое деление объектов на составляющие элементы, возможно даже конструктивистское).

С другой стороны, любые наши формальные знания всегда конечны (ибо всегда выражаются конечным числом логических и металогических символов). Вот и получается, что мы всегда финитными средствами познаём инфинитное, как-то сворачивая, ограничивая бесконечность в своём представлении. В этом-то и заключается диалектика относительной и абсолютной истины. Ведь относительная и абсолютная истины,— это то, что математики называют соответственно формальным и содержательным объектами. Любой формальный, даже бесконечный объект, выразим финитными средствами (конечным числом символов). Содержательный же объект (типа содержательной арифметики) нельзя исчерпать никаким финитным методом. Вот и получается, что природа всегда и везде содержательна, т.е. бесконечна, в то время как наши теоретические средства познания формальны, что равносильно их конечности. Итак, бесконечны мы сами и всё вокруг нас, но конечен язык научного познания. Значит, если говорить объективно, в природе конечны только числовые характеристики бесконечных, содержательных объектов. Эти конечные характеристики мы и изучаем, воспринимая финитно наши содержательные эксперименты.

Поэтому место конструктивизма в будущей науке,— это конструктивное изучение неконструктивного мира.

Что касается проблемы индивидуации, это важнейший вопрос современной науки. Все современные математические теории молчаливо предполагают мозаику чётко различимых элементов. И попытки отойти от этого стиля мышления очень слабые. Так, конструктивизм считает неустановимым высказывание: "X = Y". Однако, "X = X" "X ≠ Y" уже считаются установимыми. Кроме того, неустановимость "X = Y" ограничивается случаем плотно упорядоченных множеств. Считается, что в конечных множествах установимы все равенства и неравенства. В частности, это провозглашается и для самого алфавита алгоритмического языка, из которого строится всё. Каждая буква алфавита представлена потенциально бесконечным запасом инскрипций,— эквиморфных ей образов. А ведь в сущности, они декларативно различны, но не различимы эффективно. Вот и вся проблема индивидуации в конструктивизме. Между тем физика идёт к признанию относительности индивидного деления объектов. Вся трудность тут в том, что всё наше мироощущение зиждется на индивидном разбиении универсума. Иной образ мысли требует эволюции не меньшей, чем та, которая понадобилась животному, чтобы стать человеком.

По поводу основного вопроса философии. Логически ни солипсизм, ни вульгарный материализм не опровергнуть. Они отвергаются лишь практикой. Трудность выяснения статуса нашего самосознания связана с теоремой Гёделя о неполноте. Структура её доказательства показывает, что она верна для всех формальных систем, достаточно богатых для само- моделирования. Но при познании всего мира приходится познавать и своё место в этом мире, а формализм лишь точно и абстрактно выражает содержательную ситуацию. Гегель доказал невозможность материи вне понятия, которое необходимо в неё развивается. Маркс доказал обратное. От диалектического материализма не останется ничего, если лишить материю её способности к отражению. О какой же первичности материи тогда идёт речь? Получается, что марксизм верно описывает мир явлений в самом первом, грубом приближении. На более тонком плане космологии, микромира или психологии эта концепция уже плохо работает. С другой стороны, у идеального действительно нет иной сущности, кроме отражения, моделирования, гомоморфизма. С точки зрения современной науки, идеальное, это информация (в широком значении слова). Если мы не хотим прийти к бессодержательности дихотомии понятия и материи, нам следует признать нематериальность информации.

Попытаюсь проиллюстрировать это на примере квантовых явлений. Волновая Ψ-функция представляет собой комплексно-значную функцию в гильбертовом пространстве, моделирующем возможные состояния объекта (если точнее, то объектом служит не что иное, как мир в целом, в своей физической ипостаси). Квадрат её амплитуды описывает вероятность наблюдения системы в состоянии, описываемом соответствующей Ψ-фазой. Таким образом, Ψ-функция,— это схема утверждений типа: "система имеет значения набора всех своих физических параметров с такими-то распределениями вероятностей". Это чисто информационная сущность. Именно поэтому приборы не регистрируют непосредственно Ψ-функцию (что тоже не совсем верно: интенсивность светового пятна на экране, стоящем напротив электронной пушки,— это и есть квадрат Ψ-амплитуды произвольного электрона, а ускоряющее напряжение задаёт её фазу).

И эта Ψ-функция, эта информация,— подчиняется полевому уравнению Шредингера, т.е. уравнению, описывающему некую среду, субстрат, материю. Это надо показать наглядно. Я утверждаю, что материальное и идеальное составляют равноправную диалектическую пару, взаимопревращаемы, взаимоопределяемы, и даже взаимно относительны. Уже классическая теория вероятностей отмечает некоторые парадоксы взаимных превращений между распределением среды и распределением вероятности для точки этой среды. Именно: для единичного опыта вероятность есть высказывание о его исходе и является информацией, свойством, идеальным; и она же может стать законом распределения среды, когда сделано много опытов. Учредитель лотереи из виртуального дохода на единичном клиенте делает реальные деньги. А квантовая вероятность эти парадоксы предельно обостряет. Вообще, квантовая теория ничего не говорит о новой физике. Речь идёт о новой логике и вероятности, но не на математическом, а на эмпирическом уровне. Значит, это проблема математическая, а не физическая. Но вернёмся к нашим баранам.

Пусть на плоскую поверхность высыпана горка песка, так что плотность массы над поверхностью распределена нормально. И пусть в этой горке есть единственная чёрная песчинка. Тогда относительный вес песка (т.е. нормированный вес), давящего на квадратный сантиметр, будет и плотностью некой среды, и плотностью вероятности найти отмеченную песчинку именно в этом квадратном сантиметре. Несмотря на это совпадение, здесь среда это одно (песчаная горка), а информация,— совсем другое (возможность найти данную песчинку). Но в квантовой теории тайное становится явным. Основной закон тут таков: "Если имеется множество альтернативных состояний объекта, но прибор неспособен их различить, состояния теряют альтернативность, объект ведёт себя так, будто он может быть или в одном из этих состояний, или сразу в нескольких". Иными словами, электрон размазан как среда сразу во всём пространстве до тех пор, пока прибор не измерит его координату, которая всё же окажется локализованной в стандартных размерах электрона. Применительно к песчаной горке это будет выглядеть так. Если чёрная песчинка лежит где-то в глубине жёлтой горки, то она уже не песчинка. Она размазана как среда, и вся горка немного затемнена (более всего её вершина). Но если начать перемешивать песок, то вся чернота сконцентрируется в одной точке,— когда песчинка выйдет наружу. Получается что квантовая теория снимает привычное различие между физической средой и информацией. Если классическая термодинамика говорит о вероятности нахождения молекулы в данном объёме, то эта молекула всё же не размазана по всему объёму, стенки сосуда испытывают удары, а не равномерное давление.

Резюмируем. Способность к отражению лежит в самой сути материи. Идеальное и материальное составляют диалектическую пару, они взаимно релятивны. Истина оказалась в дуалистическом направлении философии. Но дуалисты прошлого работали интуинтивно, не имея современной конкретизации этих понятий, и пренебрегая диалектикой. Да и сама диалектика нуждается в очищении от схоластики. Знание зайдёт в тупик, если не сможет познавать противоречивое. Многозначность истины, неделимость мира на жёсткие элементы, релятивность и полное равноправие внутри диалектической пары, формализация философии,— вот что необходимо исследовать. Гёдель, Брауэр и Бор не остановили познание, но указали ему новый путь. Задача нашего времени,— разработать всё это детально.

 

 §1. Язык как средство моделирования.

 

Не стоит пренебрегать материальными моделями универсума. Польза этих моделей имеет чисто медитативный характер, что в конечном итоге, важно и для науки. Такими моделями являются, например, некоторые настольные логические игры, и т.д.

Чефранов: "Удачнее всего моделировать универсум моделями вероятностными, максимально сложными".

Но почему именно вероятностными? Думаю, что Бор был прав, когда стремился обобщить принцип дополнительности на всю науку: Чем больше информации мы о чём-то получаем, тем больше мы её теряем о чём-то другом. Действительно, чем мощнее наши средства познания, тем они более специфичны, ограничены. Сама суть познания заключается в том, чтобы идти от частного к общему и обратно. Но когда мы говорим о свойствах, общих для целой совокупности объектов, мы уже заранее изгнали из поля зрения все частные, специфичные свойства, и наоборот. В этом корень неустранимой неопределённости. А там, где есть такая неопределённость, появляется вероятность. Всякая информация относительна по определению, ибо получена теми или иными средствами. Относительность же означает неполноту. Мы считаем физически реальными и лес, и любое дерево в нём растущее. Но уже сам наш взгляд на мир как на жёсткую систему чётко индивидуализированных объектов, приводит к тому, что мы не считаем физически реальным такой объект как множество всех листьев данного леса, имеющих определённый рисунок прожилок. К принципу дополнительности уже подошла физика, немного,— математика. Но в будущем с ним столкнётся каждая наука.

Далее, не думаю, чтобы информация была немыслима без источника, канала и приёмника. Её надо понимать шире. Это в первую очередь какая-то структура, нечто отражающая, чему-то гомоморфная. Точнее, на информацию всегда можно смотреть и как на сообщение, и как на такую структуру. Дальше, очень важная тема,— теорема Гёделя. Должен заметить, что её так называемое "расширительное толкование" абсолютно неверно, даже если смотреть на мир с позиций теории множеств. В самом общем виде эта теорема звучит так:

1) В любой достаточно богатой формальной теории имеются неразрешимые высказывания. 2) Это верно и для её метатеории. Одно из неразрешимых метавысказываний: высказывание о непротиворечивости теории.

Слова: "достаточно богатая" надо понимать в том смысле, что теория может внутри себя построить свою собственную модель. Понятно, что это свойство должно быть у любой действительно полезной и важной теории.

Так вот, теорема Гёделя вовсе не запрещает моделирование целого его частью,— она на этом стоит! И всё, что она утверждает, это неисчерпаемость истины формальными средствами, неопределённость математического знания, ограниченность алгоритмических возможностей.

Если толковать всё это расширительно (а это надо делать, ибо пока что мы все смотрим на мир с позиций теории множеств), то получится неопределённость модели универсума, неограниченная возможность её совершенствования, отсутствие её незыблемости (нет уверенности в её непротиворечивости). Думаю, что именно в этом причина принципа неопределённости в квантовой теории (ибо там часть и целое вообще друг без друга немыслимы). Это же относится и к нашему самопознанию, да и к любому познанию вообще. Так что Гёдель математически обосновал диалектику абсолютной и относительной истины, принцип дополнительности Бора.

Поэтому теорема Гёделя ни в коем случае не изгоняет вопрос о мире в целом и основной вопрос философии из познания (кстати, эти вопросы неразрывны и даже эквивалентны).

Приводя математические примеры, можно заметить, что теорема Гёделя не делает псевдотеориями ни формальную арифметику, ни теорию множеств, не делает псевдопроблемами метатеоретические вопросы,— она только помогает их решать. Точно так же, как парадоксы Рассела или Кантора не снимают вопроса о множестве всех множеств, они снимают только упрощённую его формулировку. И ещё предстоит огромная работа в области того, как даст себя знать теорема Гёделя в естественных науках.

На этом примере видно, что философия сейчас значительно отстала от других наук. Во многом тут виновата специализация знаний.

Ещё замечание. Выше уже говорилось о том, что элементарная частица постоянно отражает универсум. Иными словами, она постоянно "занимается" теоремой Гёделя. Далее, всё вышесказанное, не снимает, а только подчёркивает трудности теории множеств, алгоритмики, индивидуации, и т.д. Так, теорема Гёделя ограничивает формальное познание, говоря о том, что некоторые вопросы должны решаться только содержательно (формально неразрешимое арифметическое суждение всегда истинно или ложно в содержательной арифметике), т.е.— практически. Например, проблема непротиворечивости теории множеств решается только практикой и никогда не будет уверенности в однозначности ответа: всегда есть вероятность того, что необходимо коренное изменение теории. Итак, философский смысл этой теоремы ещё предстоит прочувствовать.

 

 §2. Движение и протяжённость.

 

Ленин: "Движение есть сущность времени и пространства".

Но Толанд, говоря, что движение и материя неразрывны,— тоже прав. Чего здесь нет, так это конкретизации этих представлений в таких науках, как физика и математика. Эйнштейн только начал.

Далее, апория "Стрела" всё же имеет логическое решение. В каждый отдельный момент времени стрела покоится, поскольку движение вмещается лишь во временных интервалах. Это как с понятием производной. В каждой точке аргумента функция не меняется, она просто имеет фиксированное значение. Функция меняется лишь на интервале. И её производная в точке на самом деле определяется рассмотрением всех интервалов, эту точку содержащих. Матанализ делает это логически непротиворечиво. Итак, движение присуще лишь множеству временных моментов, составляющему открытый непрерывный интервал. То же самое по поводу парадокса "Ахиллеса" (здесь мы с самого начала рассматриваем только те временные интервалы, в течении которых он ещё не догнал черепаху, и просто убеждаемся, что эти интервалы имеют бесконечную мощность, и что их бесконечно много; мы забываем только, что их суммарная длительность конечна. А длительность это мера, а не мощность. В сущности, этот парадокс доказывает лишь то, что временная ось всюду плотна). Другое дело то, что физически здесь всё гораздо сложнее. Ведь математическая идеализация континуума здесь произвольно экстраполируется в бесконечно малое. Т.е.— наверняка найдутся математические идеализации, более близкие к физической реальности. В этой связи вовсе не удивителен принцип неопределённости: Движение относится к пространственно- временным интервалам, а не к точкам. Точно фиксируя координату частицы, мы теряем всю информацию о движении, т.е. об импульсе, ибо исключаем из поля зрения интервалы. Рассмотрев ту же ситуацию через преобразование Фурье, увидим, что понятие координаты относится к интервалам в пространстве импульсов.

Вот здесь и намечается путь плодотворного поиска. Вот почему имеется аналогия в размышлениях Зенона и Ландау. Нельзя, чтобы диалектика и логика мешали друг другу. Диалектика не исключает, а требует логической ясности.

Дальше, "элементарная частица также велика, как и весь космос" (Зенон). И, тем не менее, имеет конечные размеры. И здесь тоже нет логического противоречия. Протяженность это мера. И мера разных интервалов различна, несмотря на то, что любой интервал имеет мощность континуума. Да, интервал может вместить целый мир. Да, пространство-время нетождественно протяженности, ибо последняя,— мера на первом. И опять: остаётся открытым вопрос о физических корнях меры, т.е. расстояния.

Должен уточнить: на самом деле это содержательные парадоксы бесконечного, и любое формальное их решение не исчерпывает проблему полностью. Например, в той же теории множеств они опять возникают при достаточно больших мощностях (типа проблемы существования измеримого кардинала). Поэтому я ни в коем случае не считаю такие парадоксы бесполезной игрой ума.

 

 §3. Бесконечное и проблема индивидуации (в связи с количеством и качеством).

 

Думаю, что неправомерно сводить проблему бесконечности мира к проблеме бесконечности пространства-времени. Всё-таки вряд ли материя существует только в пространстве и времени. При попытке уточнить, что же мы понимаем под этими формами существования, приходим к следующему: это геометрический способ проявления индивидуальности объектов, их связей, движений и взаимодействий.

Причём, в мире обыденного опыта этот способ обладает абсолютной полнотой. Если объекты различны, то мы точно знаем, что они расположены в разных точках пространства (в данный момент времени). Если же передо мной имеется один объект, но всё же он себе не тождественен, я точно знаю, что рассматриваю его в разные моменты времени. Поэтому пространство реализует различия объектов друг от друга, время реализует отличие объекта от самого себя.

Но математика, помимо геометрического, знает и другие способы проявления индивидуальности объектов, а также другие способы проявления движений. Да и физическая реальность за пределами обыденного опыта показывает и неполноту геометрического способа, и наличие иных способов. Имеются даже попытки построения негеометрических теорий элементарных частиц. И нельзя априорно утверждать их неправомерность.

С другой стороны, общая теория относительности позволила интерпретировать пространство-время, как одну из форм материи (искривлённое пространство-время обладает своими собственными энергией и импульсом). Между тем, данное нами выше определение пространства и времени носит чисто информационный характер. И опять мы имеем неразрывность материального и идеального в природе.

Резюмируя, можно заметить, что философам ещё предстоит осмыслить современные научные данные о пространстве и времени.

Далее, в связи с проблемой бесконечности мира необходимо рассматривать категории количества и качества, так как бесконечность,— характеристика количественная.

Гегель: "Качество есть в первую очередь тождественная с бытиём определённость; так что нечто перестаёт быть тем, что оно есть, теряя своё качество; а количество — это внешняя к бытию, безразличная для него определённость".

Но это слишком широкое определение, ближе к понятиям сущности и явления, содержания и формы, и т.д. По этому определению можно объявить кольцо или поле качеством, а линейное пространство,— количеством. Или: человек,— качество, а его интеллект, пол и т.д.,— количество.

Я не говорю, что определение неверно. Но в философии очень много нечётких, нестрогих, путаных понятий, характерных для науки прошлого. Конечно, всё хорошо в меру, и схоластика тоже излишня. Но дело в том, что философия, пытаясь подняться до вершин диалектики, всё ещё пользуется обыденным наглядным языком и пошлым "здравым смыслом".

В частности, о количестве. Это определённый способ индивидуации, различения объектов. Причём, способ такой, при котором всё различие сводится к линейной упорядоченности системы объектов (т.е. к вытягиванию их в цепочку, конечную или бесконечную, дискретную или непрерывную, и т.д.). Так это выглядит математически. А фактически это самый примитивный способ различения, когда объекты хоть и отличаются, но само различие одинаково, однородно по всей системе; именно,— достаточно сдвинуть один из объектов на место другого, и он сразу станет этим другим, т.е. во всём остальном эти объекты совпадают. Всё это можно выразить формально, математически, но здесь эти подробности излишни. Замечу, что речь идёт не о номинальной упорядоченности объектов, когда мы их вытягиваем в цепочку просто ради удобства, а о фактической, когда упорядоченность доступна экспериментальной проверке. Если система объектов упорядочена так, что мы способны наблюдать или производить сами различные операции, сохраняющие порядок, фиксировать некий объект, и т.д.,— то вся система будет являться кольцом, полем, натуральным рядом, и т.д.

Чисто количественный взгляд на мир и приводит к таким вещам, как дурная бесконечность. Качество же,— понятие содержательное, которое не всегда можно формализовать. Хотя, и это тоже способ различения, причём различения через индивидуацию, о чём и писал Гегель. В самом деле, "определённость, тождественная с бытиём" именно этой, и никакой другой вещи,— она по сути своей содержательна, и поэтому полностью не формализуема. Формально можно сказать только то, что качественное различие не сводится к количественному. Очень важный момент: относительность разграничения на количество и качество. Здесь есть два аспекта: 1) Номинальность, конвенционность; можно сказать, что два неколлинеарных вектора на плоскости сравнимы количественно (по длине) и имеют разные качества (направления). Да, относительно длины векторов, их направление,— характеристика качественная, тогда как относительно самих векторов это просто две количественные характеристики. 2) Относительность фактическая; она связана с относительностью внешнего и внутреннего, с тем, что в данной системе отсчёта даёт объекту внутреннюю определённость, а что,— внешнюю. Если же взять качество в его абсолютном аспекте, то оно совпадёт с самостью, сущностью. Вот как бы я развернул определения Гегеля.

Заметим при этом, что вся математика трактует только о таких качествах, которые сводятся или сводимы к системе количественных (не в смысле числа, а в вышеуказанном общем смысле) характеристик.

Примитивность, формальность количественных различий приводит к тому, что они всегда являются огрублением, идеализацией явлений природы. И это огрубление всегда даёт себя знать: при достаточном количественном изменении возникает то, что данной количественной характеристикой не охватывается,— новое качество. В этом и есть основание закона перехода количества в качество, который "запрещает" дурную бесконечность в природе.

И всё же количество не только субъективно, но и объективно, в виду неизбежности реального разделения бытия объекта на внутреннюю и внешнюю части. Сама природа поставила нас в такое положение, что всякое теоретическое познание формально или формализуемо, т.е. количественно по сути, что априори и приводит к равноправию количества и качества.

Вот как бы я дополнил Кедрова и Шиффа, с которыми полностью согласен.

Категории количества и качества возникают за счёт тех или иных способов индивидуации. Последняя же полностью базируется на подобии и различии. Индивидуализировать объект,— это указать, чему и как он подобен, и от чего и как он отличается. Одна из причин принципов неопределённости и дополнительности в том, что это нельзя исчерпывающим образом сделать одновременно: уподобляя объект каким-либо другим объектам, мы теряем информацию об их различии; различая его среди других,— теряем информацию о подобии этим объектам. Кроме того, полностью индивидуализировать объект,— это указать его место среди всех других объектов, т.е. индивидуализировать весь мир. Всё это, конечно, надлежит ещё изучать. Но ясно, что теоретико-множественный взгляд на природу (а также его формальная и конструктивная разновидности) весьма далёк от реальности.

Однако при всей ограниченности применения теории множеств, само это применение практически никто не разрабатывал, а это могло бы принести немалую пользу (даже для проблемы индивидуации). Мыслим-то мы на сегодняшний день в рамках множеств! Самый главный вопрос: все ли множества реальны в природе? Быть может природа порою включает, а порою выключает пресловутую "функцию собирания"? Реально ли множество всех лепестков на клумбе, имеющих данную площадь поверхности? Или только номинально? Казалось бы, оно не реально, но реализуемо (нужные лепестки можно оборвать и собрать в одну кучу: очень поучительное занятие, в особенности для нашей молодёжи). И всё же, если объекты природы являются множествами других объектов, то какие это множества? Реален ли булеан множества всех молекул воды, налитой в чашку? Мы не сможем реализовать ни его, ни пустое множество. Возможно, для реальности множества его элементы должны так взаимодействовать, чтобы вести себя как целое? Но такой ответ только порождает массу вопросов. Насколько убедительно ведёт себя как целое правая половина воды в чашке? И т.д. Итак, нужна эмпирическая теория множеств (именно из внимания к эмпирическому процессу счёта и возникла алгоритмика). Или такой вопрос: а что есть процесс физического измерения данной величины с точки зрения теории множеств? И следующий пункт как раз подымает один из этих вопросов.

Чефранов: "Понятие "один" неприменимо к миру в целом, ибо нет одного без многого, а для мира в целом такой ход мысли недопустим". (стр.19)

Да, именно так и надо нащупывать некоторые свойства модели универсума. Но делать это надо очень осторожно, помня о противоречивости абсолютных понятий. Такие рассуждения скорее дают намёк на истину, дают её как-то ощутить, но не более того. Здесь на каждом шагу нужен творческий скачок, чтобы уйти от противоречия. Чтобы уйти от противоречия. Чтобы не получилось псевдоистин типа онтологического доказательства бытия Бога. Кстати, и это доказательство нельзя судить категорично! Теологи поняли, что абсолют первичнее самого бытия. Они упустили только, что абсолют, по определению, должен предшествовать и небытию тоже, быть раньше всей этой диалектической пары; поэтому бессмысленно искать "линейный" ответ на вопрос о существовании Бога.

Чефранов: "Далее,— нет аналогии между количественно- качественным процессом Вселенной и процессом при переходе кислорода в озон, ибо в последнем случае новое количество привлекается извне". (стр.19)

Но есть аналогия между таким процессом в замкнутых физических системах. В этом отношении мир в целом уникален, как единственная действительно замкнутая система. Практически каждая физическая теория таким образом и строит своё приближение для мира в целом (например, космологические модели общей теории относительности). И опять нельзя это понимать категорично: 1) В той мере, в которой 2- атомная и 3-атомная молекулы кислорода представляют собой один и тот же универсум, аналогия всё-таки полная; в той мере, в которой универсум не есть нечто целое, а есть именно та, и именно другая,— отличная от неё молекула, верна и обратная аналогия. 2) С этим замечанием соприкасается и следующее. Универсум может и не представлять собой "линейной" целостности. Тогда придётся его рассматривать как принципиально открытую систему (открытую в ничто, или открытую на себя). Здесь нет противоречия, здесь есть парадокс. В таких системах может выполняться закон сохранения энергии, и при этом энергия может не быть постоянной величиной,— нечто подобное ведь наблюдается в квантовой теории с её неопределённым значением энергии! (И интересно вообще обдумать этот подход в физике.)

Хочу заметить, что подобная неоднозначность истинности альтернативных суждений не имеет ничего общего ни с софистикой, ни с агностицизмом. Наоборот, это более точное и тонкое познание. Этим стилем проникнута и теория квантов; им проникнуты и все работы Гегеля. Это и есть конкретная работа диалектического метода.

Чефранов: "Представление о качестве, как об отличии одного объекта от других, беспочвенно для Вселенной, ибо она одна". (стр. 20)

Да, но мир в целом отличается от ручки, которой я пишу? Видимо,— и да, и нет... Он должен, и качественно, и количественно,— отличаться сам от себя. И быть себе же подобным (уподобление и различение подразумевают друг друга). Вот так и получается, что проблема универсума затрагивает тончайшие моменты индивидуации, о чём я и писал чуть выше.

Лейбниц: "Принцип тождества неразличимых". (стр.21)

Это просто и гениально! Именно этот принцип и работает в квантовой теории. А монады, различные благодаря тому, что каждая по-своему отражает Вселенную?! Да, в этом направлении надо искать...

Бергсон: "Количественное, числовое, экстенсивное неприложимо к качественному, интенсивному. Два качества,— противоречие". (стр.20)

Мы уже спрашивали: а все ли множества реальны? Как видим, трудно даже сказать, а всегда ли реальны числа? Вышеизложенный взгляд на количество и качество как на диалектическую пару снимает замечание Бергсона. Именно, количество задаётся реальной линейной упорядоченностью, порождённой однородным (всюду одинаковым) реальным различием качеств. Если наша информация о количестве полна, система объектов становится упорядоченным кольцом (или полем,— в случае действительных чисел), либо же "кольцевым" моноидом (натуральный ряд или его отрезок). Тогда это упорядочивающее различие станет абелевой группой или моноидом с единственной образующей. Впрочем, это тема для более подробного исследования...

Рассел: "Вера,— такое состояние существа, когда оно действует в отношении чего-то, чувственно ему не данного".

Полностью соглашаюсь с критикой теории "фактов и веры". К тому же Рассел здесь излишне схематичен. И всё же, в этом есть, хотя и примитивная, попытка диалектизации субъективного и объективного.

Далее, в связи с индивидуационной ролью пространства-времени, возвращаюсь к тому, о чём писал ранее. Если быть предельно точными, то единственная непреложная, самая реальная изо всех реальностей,— это мир в целом. Против этого можно возражать (интересно, что возражения эти, видимо, состоятельны. Думается, здесь та же ситуация, что и с онтологическим доказательством бытия Бога: мир в целом сам есть причина существования и несуществования; он охватывает и те системы отсчёта, где его не существует. Думается, что и теисты могут сказать атеистам: "Нет Бога для тех, кто не желает, чтобы он был".); но от каких бы других понятий мы не отталкивались,— всё равно прийдём к этому понятию. И мир в целом,— не единственное такое концентрическое понятие; следовательно, беря за основу любое из них, мы будем на разных языках говорить об одном и том же.

Выше уже говорилось, что противоречивость мира в целом нисколько не противоречит непротиворечивости формальнологических методов. Согласно Гёделю, они принципиально неполны. Мир же содержателен. Высказывания, неразрешимые формально, всегда разрешимы содержательно. Вот и получается, что содержательный объект просто неформализуем, не может существовать формально. Но в логике(и только в логике!) неспособность существовать,— синоним противоречивости. Однако содержательные объекты существуют реально! Есть ведь разница между фактическим и логическим бытиём. Так что в природе всё логически противоречиво! Но логика с противоречием несовместима. Вот и приходится непротиворечивым образом моделировать противоречивое, заранее смирившись с идеализациями, с относительностью наших истин. Что представляет собой познание, творчество, как не беспрестанное натягивание смирительной рубашки логики на явный абсурд реальности?

Поэтому диалектика,— это логическая противоречивость, осуществляющаяся логически непротиворечивым способом. Так получается диалектическое противоречие.

Квантовая теория опять даёт отличную иллюстрацию. Опять те же самые логически несовместимые альтернативы, которые совмещаются, если ситуация (прибор) неспособна их различать. Но стоит тут же поставить прибор, их различающий, и он зафиксирует, что всё в порядке, альтернативы несовместны (Фейнман). Да вся наука только из таких примеров и состоит. Что есть точка в континууме, как не попытка соединить полную целостность, обезличенность среды с "поэлементностью", чёткой индивидуализированностью дискретной системы объектов?

Но ближе к делу. Итак, фактически противоречивый мир в целом, непротиворечивым образом проецируется в нашу систему отсчёта.

Каким же должен быть этот всеобъемлющий (что и является синонимом противоречивости) мир в целом, если его всё же "разложить по полочкам" логики? Наверное, должен иметься какой- то принцип максимального многообразия и максимального единства. Его точную формулировку ещё предстоит вывести,— я сейчас говорю на интуинтивном уровне. Логика не может обойтись без деления мира на объекты. Значит, этих разных, несовместимых в одном, объектов должно быть бесконечно много, и все они должны взаимодействовать. Получается так: Мир противоречив. Мир есть единственная реальность. Проявляться, существовать она должна логически непротиворечиво. И, чтобы "избавиться" от противоречий, мир "делится" на объекты. Один объект обладает каким- либо свойством "А"; противоречащее же ему свойство "не-А" как бы вытесняется в другой объект (по свойствам-то мы их и различаем). Поэтому объектов имеется много. Но ведь существовать они должны в каком-то единстве. Вот и "появляется" пространство,— непротиворечивый способ сосуществования различных объектов. Однако нельзя исчерпать противоречие, указав "место", дальше которого его уже нет (ибо тогда оно не будет противоречием). Поэтому даже каждый отдельный объект противоречит себе, от себя отличается. Вот и "появляется" время,— в один момент объект был таким-то, в другой,— он стал иным. В одной точке пространства имеется нечто, в другой,— нечто иное. Время отличается от пространства имманентностью своей причины (объект различен с самим собой).

Всё это, выведено предварительно, эскизно, как направление поиска. Далее, уже говорилось, что расстояние-длительность,— это мера на пространственно-временном континууме. Физически такая мера может возникать из меры отличия системы объектов от себя самой. И физически, и философски,— вопрос нуждается в дальнейшей конкретизации. Ещё остаются вопросы: 1) Направленность времени; 2) 3-мерность пространства; 3) Причина их континуальной структуры. И т.д.

Чефранов: "Фейнман считал понятие времени бессмысленным для Вселенной". (стр.22)

Думаю, он был прав. В том смысле, что время существует во Вселенной, но не Вселенная во времени.

Чефранов: "Рассел объявляет математическое знание чисто условным, словесным: "Оно имеет ту же природу, что и "великая истина", что в ярде 3 фута". (стр.22)

Думаю, что автор не совсем прав, отвергая такой взгляд. Вспомним Витгенштейна: "Математика учит не фактам, а формам, по которым мы отливаем факт". В сущности, математика и логика это одно и то же. Сейчас известно, что логика не единственна, здесь может быть очень много вариантов. Не совпадающих с общепринятыми законами классической булевой логики. И все они могут использоваться в познании (например, конструктивная логика). Да и сама общепринятость булевой логики тоже сомнительна. Например, древнеиндийские философы пользовались несколько иной логической структурой, чем мы. Что вообще представляют собой логические законы с их подозрительной универсальной применимостью? Это не более и не менее, чем законы нашего теоретического мышления, т.е. законы построения языковых конструктов. И больше никакого объективного содержания логика не имеет. Она объективна в том смысле, что объективно описывает некоторую часть работы нашего мозга. Вот почему математика, вроде бы и не рассматривая явления внешнего мира, находит такое большое применение в науках. Она рассматривает явления нашего мышления, этот мир познающего и в нём возникшего. В расселовском высказывании больше прагматизма, чем идеализма. Однако всё это верно лишь отчасти. Подобные вопросы затрагивают основной вопрос философии, который вообще неразрешим окончательно. Но даже с учётом этого можно сказать, что логика описывает взаимодействия образуемых (или воспринимаемых! ) нами точных понятий, вне зависимости от статуса их бытия. Глобальные мировые сущности (например, Бог) проявляют себя во всём, и поэтому мы не имеем критерия для их отличия от того "цвета", которым окрашивают мир "очки" нашей субъективности. И пока мы не преодолеем жёсткую фиксацию собственного субъекта, и не сможем увидеть, как при этом изменяется мир,— нас везде ожидают парадоксы солипсизма. Логические сущности глобальны, но не столь принципиальны, как Бог, и не столь материальны, как пространство (имеющее чёткие физические свойства). Поэтому прагматический подход к ситуации требует признания субъективности логики. В логике, как и в языке, нет законов, но есть правила, которые легко спутать с законами. И если язык задаёт правила обозначения (разметки) и взаиморасположения понятий (точно также, как система координат в пространстве), то логика задаёт правила передвижения в "пространстве" понятий, наиболее удобные для достижения некоторых его "точек". Альпинисты всегда определяют, какой путь надо избрать для восхождения на вершину, исходя из её особенностей и своих возможностей, однако не спешат отождествлять свои выводы с нависшей над ними горой. Изучая свои теории, математики сначала определяют свой язык и свою логику, но не спешат объявлять их уже готовыми теориями. Несомненно, язык и логика возникают при взаимодействии субъективного и объективного. Но производятся они именно субъектом, и именно для субъекта, помогая ему выбрать объекты и приспособиться к ним. Обилие языков на нашей планете убеждает большинство людей в ковенционности языка как такового. Но математики уже столкнулись с аналогичным обилием логик. И я думаю, что этим всё сказано. За всеобщностью, универсальной применимостью и объективностью математики,— вполне может стоять и крайний субъективизм,— тот глубинный внутренний мир, который одинаков для всех человеческих существ.

В сущности, любой объект природы имеет свою, внутреннюю логику, описывающую законы его отражательного процесса (ибо способность отражения универсума присуще всем объектам).

Чефранов: "Дальше, в природе нет чёткой границы между одним качеством и другим, нет чёткой количественной грани, с которой начинается новое качество. По этой причине и возникают вопросы типа: Что происходит, когда к 2-м атомам кислорода добавляется 3-ий, и это уже не кислород, но ещё и не озон?" (стр.23)

Это возникает из-за содержательности тех объективных вещей, которым отвечают наши формальные (т.е. количественные) понятия. Качество в природе всегда содержательно и его нельзя исчерпать количественными средствами. Поэтому будет неполным и каждое рассмотрение объекта в виде множества.

Чефранов: "В микромире сходственность, количественность присуща исключительно массе-энергии, а различие, качественность,— исключительно пространству- времени, в мегамире, наоборот,— пространство-время есть однородный сходственный фон, а масса-энергия определяет качественность. Перекрёстная симметрия".

Это неверно в отношении микромира. И масса-энергия, и про- странство-время здесь могут быть различимыми или нет,— в зависимости от ситуации (состояния). Способы динамического и геометрического определения объекта взаимно дополнительны (Бор).

Это неверно и в астрономии, которая использует как квантовую, так и классическую физику. Здесь пространство-время,— однородный различитель, он же и отождествитель. Если две звезды с одинаковыми: массой, энергией, размером, излучением,— находятся в разных местах, то они различны, хотя от их перестановки ничего не изменится. Если же их координаты совпадают,— они не могут отличаться ничем. Что касается квантовой теории, то здесь частица, находящаяся в данной области пространства имеет целый интервал альтернативных импульсов и энергий, и наоборот. В сущности, здесь нет объектов как таковых; есть средства различения и уподобления, а "объект" создаётся ситуацией. Ψ-функция,— не что иное, как состояние всего мира в целом. В классической же физике масса-энергия,— однородный различитель, но не отождествитель. Так что именно пространство-время в мегамире и создаёт деление мира на объекты.

Поэтому никакой перекрёстной симметрии нет (или есть в каком-то уж очень туманном смысле). Но классика пользуется четким рецептом индивидуации, а квантовая теория вскрывает приблизительность этого рецепта. Здесь индивидуация зависит от общемировой ситуации. Вся сущность квантовой физики в том и состоит, что альтернативы, данной ситуацией неразличимые, свою альтернативность теряют (обращаю внимание: теряют её фактически, эмпирически, оставаясь таковыми логически!). Отсюда и надо отталкиваться, пытаясь создать эмпирическую теорию множеств. При этом надо отметить, что квантовая теория ещё не до конца осуществила свою программу.(Так, например, время, хотя и подчиняется известному соотношению неопределенностей: ΔE*Δt ≥ ?; всё ещё понимается классически, как параметр, реально не имеющий своего оператора. И это опять происходит по чисто эмпирическим причинам: мы сами со всеми нашими приборами находимся именно в такой "системе отсчёта"; и больше нет никаких причин в такой интерпретации времени. Впрочем, то же самое "эмпирически-параметрическое" представление времени прослеживается в теориях Ньютона, и даже Эйнштейна. Этот голый эмпиризм, безо всякого теоретического обоснования говорит о непонимании сущности явления. Именно обилие подобных моментов и не нравилось Эйнштейну в теории квантов.)

Во всяком случае, на примере квантовой теории ясно, как нетривиально "работает" в природе теория множеств.

 

 §4. Бесконечное и проблема индивидуации в связи с формой-содержанием.

 

Чефранов: "Энтелехия обозначает у Аристотеля то, благодаря чему мир имеет качественную разнородность.

Сомнения Аристотеля по поводу связи отдельного дома и дома вообще. Аристотель ищет связь между отдельным домом как предметом и миром в целом, решает всё ту же проблему индивидуации.

Любой вопрос Аристотель связывает с миром в целом. Энтелехия,— это то, благодаря чему мир актуален, а не потенциален. "Первой сущностью всех вещей является энтелехия как форма, форма форм, а не материя".

"Скорее форма есть природа, чем материя; ведь всякая вещь выделяется, когда она существует энтелехиально, а не потенциально". Под материей он понимал пассивный субстрат, из которого формируются все вещи.

Гоббс: "...будет ли корабль оставаться самим собой, если все его доски постепенно заменить?"

Бэкон: содержание и форма равноправны.

Лейбниц считал очевидным критерий определения индивидуальности монад". (стр.30-31)

Содержание и форма на протяжении развития философии понимались по-разному, часто имели слишком антропоморфное толкование, часто приводили к терминологической путанице. Считаю, что современная наука способна внести сюда необходимую ясность.

В общем, философы искали какого-то обобщения наглядного образа стакана с водой (стакан в роли формы, вода в роли содержания), усматривая нечто аналогичное во всех явлениях природы. И пришли вот к чему.

"Логическая функция категорий диалектики": Это понятия системные (т.е. теоретико- множественные). Так как один объект отвечает целому классу систем, то они относительны в этом классе. Содержание,— сама конкретная система; форма,— её отношения в чистом виде. Но,— "её отношения" и характеризуют полностью саму систему. Поэтому приходят к тому, что форма,— это класс систем, изоморфных данной; содержание,— конкретный элемент этого класса. В итоге имеем: форма,— неполное содержание; содержание,— конъюнктивная градация форм. Но ведь именно так и понимается содержание и форма в математике! Формальная арифметика изучает те свойства чисел, которые выразимы формально-логическим методом. Содержательная арифметика изучает реальные процессы счёта. При этом математика всегда может определить форму данного явления, но за содержанием обращается только к природе, практике.

Резюмируем. Энтелехия,— это то, что на современном языке называется содержательностью. Формой объекта для нас является то, что мы способны сказать об этом объекте на языке формальной логики, в виде формальной теории. Содержание,— полная модель этой теории. О такой модели мы можем много говорить, но существует она только как "отдельный дом", как сам конкретный объект. Абстрактный же дом в достаточно "убедительном" виде встречается нам только как языковой конструкт. Итак, содержание,— бесконечная градация форм, осуществимая реально, но не формально. Форма,— бесконечное множество содержаний, охватываемых формальной теорией (настолько бесконечное, чтобы быть осуществимым формально). Дом вообще формален, отдельный же дом содержателен, и поэтому имеет бесконечное множество свойств и любое его аксиоматическое описание неполно. Ибо для любого, сколь угодно конкретного формального описания можно построить бесконечное число экземпляров такого "формального" дома. Значит, для любых формальных средств, некоторые содержательные дома неразличимы и совпадают (согласно позиции Лейбница и теории квантов), хотя и являются альтернативными. Тем-то и ценна теорема Гёделя, что она доказывает неисчерпаемость содержания формой.

Здесь имеется некоторая относительность терминологического характера. Именно, можно ведь назвать формой теорию групп вообще, а такие формальные свойства, как абелевость, цикличность, и т.д.,— отнести к содержанию. Значит, это будет то содержание, которое можно формализовать, т.е. по сути своей формальное. Здесь нет противоречия с теоремой Гёделя. Аналогичную ситуацию мы уже описали, когда говорили о количестве и качестве. Итак, содержательность и формальность зависят от "системы отсчёта", но потенциально формальным является лишь конечное содержание, ибо сама форма всегда конечна. Видим, что Аристотель под формой понимал нечто близкое к современному смыслу слова, но всё же от него отличное. Он вообще не сопоставляет своей форме содержание. Он говорит о форме, как о некой развитости и богатстве свойств, как об идее конкретного предмета; и сопоставляет форме безличную материю, как пустую потенциальность любых предметов. В современной терминологии здесь скорее подошло бы как раз содержание, сопоставленное с гегелевским "ничто", как реальная бессодержательность, которая является потенциальной всесодержательностью. Ещё к аристотелевской форме близки такие термины, как "понятие" у Гегеля, и как "информация"(!) у нас.

Итак, не существует содержания и формы вообще, безотносительно. Попытаемся отвлечься от антропоморфизма слов: "наши формальные средства". Содержание,— объект как индивид; форма,— множество более-менее сходных объектов. Сходных в том смысле, что замена одного другим не изменит ситуацию. Ситуация же, это процесс отражения мира внутри некоторого "объекта-наблюдателя". А фактически в целом мире нет ничего, кроме мира в целом. Поэтому уже сам факт ситуации как-то "формализует" объекты. В то же время, мир в целом существует только через ситуации; они — его форма (в этом истинный момент Лейбницевской монадологии). Именно из-за своей ограниченности по свойствам, общности,— форма часто бывает инертнее содержания (потеря индивидуальности происходит легче, чем выход из всего множества индивидов). Короче говоря, форма,— родовой признак, содержание,- единичный, элементный. Отсюда и происходит глубокая относительность этой пары. Любая конкретизация наполняет форму некоторым содержанием, и любое обобщение оформляет содержание. Качественное различие между ними наступает, когда число "отброшенных" от содержания свойств бесконечно (и чем менее эта бесконечность свёрнута, тем различие больше). Вообще, здесь мы имеем более общий случай количественно-качественных отношений, которые тоже упираются в индивидуацию и в сходство- различие; содержание и форма в такой же степени равноправны.

Во всём вышеизложенном считается очевидной индивидуация. Если же учитывать, что средства индивидуации могут быть различны, то получим градацию относительных содержаний-форм. Значит, под энтелехией Аристотель понимал абсолютную индивидуализирующую содержательность.

Итак, в рамках теории множеств с содержанием-формой всё ясно. Не ясно в природе (индивидуация!).

Поэтому для эмпирической теории множеств из вопроса, поставленного Гоббсом, можно сделать вывод о том, что в природе вообще нет отдельных элементов; есть лишь классы эквивалентности, создаваемые различительными средствами ситуаций.

 

 §5 Бесконечное и конечное.

 

Чефранов: "Здравый смысл определяет бесконечное, как "без конца", а конечное,— как имеющее конец. Ни один из этих терминов не самоочевиден. Имеется бесконечность накопления конечного и бесконечность деления конечного, т.е.— бесконечное и конечное производятся друг из друга". (стр.38)

Ну, бесконечное из конечного производится лишь бесконечными способами. Здесь имеется хорошее канторовское определение: Бесконечное множество равномощно своему собственному подмножеству; конечное же таких свойств не имеет.

Но всё равно конечное и бесконечное друг без друга не существуют. Хотя бы потому, что давая полное определение конечного, мы должны работать не только в языке, но и во всех метаязыках любого порядка. А определяя бесконечное, мы всегда свёртываем его, сводя к нашим конечным средствам выражения.

К тому же возникают ещё трудности, носящие как логический, так и эмпирический характер: 1) Как образуется множество? Как происходит индивидуация? 2) Возникновение и выполнение канторовского взаимно-однозначного соответствия. Это соответствие должно на чём-то основываться, быть реальной операцией, изоморфизмом, и констатировать неразличимость множества и его подмножества относительно некоторых свойств.

Далее, полностью соглашаясь с неправомерностью отождествления бесконечности с более общим понятием абсолютности, не могу согласиться с отождествлением близкодействия и дальнодействия. Ибо близкодействие останется таковым в любых конечных объёмах. Объём же бесконечно малый будет проходиться полем за бесконечно малое время, но всё с той же конечной скоростью (производная). Нельзя также отождествлять бесконечно малые объёмы с любыми другими (они равны по мощности, но не по мере!). А скорость света на расстояниях межгалактических и внутриатомных будет одной и той же.

Надо ещё заметить, (см. выше) что наш мозг любые наши восприятия способен представлять как нечто всегда конечное, хотя и "сколь угодно большое". Именно из этого "сколь угодно" и выдаётся индуктивное заключение о существовании в природе бесконечного. Отсюда и возникают претензии конструктивизма на исключительно финитное познание.

Чефранов: "Далее, физика старается уйти от рассмотрения точки. Она стремится рассматривать области,— большие и малые". (стр.42)

Это потому, что нет и быть не может эмпирического определения точки. Я уже писал о том, что конструктивизм утверждает неустановимость "x=y" в действительных числах, принимая (как и классическая математика) существование отдельных чисел. А ведь практика требует большего. Именно: не существует элементов во "множестве" действительных чисел. Существуют лишь открытые интервалы, неограниченно уменьшаемые (только их и способны фиксировать приборы любой степени точности). Соответственно и теорию множеств надо бы построить на отношении включения, не имеющем нижнего предела: " ∈ ". Тогда "системой отсчёта" являлись бы те средства индивидуации, которыми мы располагаем. Эти средства (средство индивидуации, это некое высказывание, отличающее объекты, на которых оно истинно от объектов, на которых оно ложно) разбивали бы данное множество на классы эквивалентности, которые и играли бы роль релятивизированных "элементов" множества (причём, переходя к более мощным средствам индивидуации, эти разбиения можно продолжать до бесконечности).

Именно такой должна быть эмпирическая теория множеств. Именно в такой математической модели нуждается современная физика, которая пока вынуждена пользоваться традиционным математическим аппаратом. Это и было бы первым предварительным подходом к проблеме индивидуации. Это бы и позволяло рассматривать "линейные комбинации", "смеси" альтернативных элементов, в чём и нуждается квантовая теория. В пользу такого подхода говорит и то, что отношение включения является частным случаем упорядоченности (можно ведь рассматривать и неограниченный снизу порядок). Кроме того, стандартная теория множеств имеет в себе свою собственную модель, если зафиксировать произвольное (необязательно = Ø ) множество как пустое. Тогда будет понятным и появление "отрицательных" множеств: " X ∈ Ø " . К этому взгляду на вещи вплотную подошла теория категорий (речь идёт о нечётких множествах и частичных элементах).

 

 

 Глава 2. Моделирование бесконечного в математике.

 

§1. Бесконечное.

 

Парадокс Коши (натуральных чисел столько же, сколько их квадратов) математически решён. Ведь любое бесконечное множество имеет равномощные ему собственные подмножества по определению. И нет никакого противоречия в том, что плотность количества квадратов на натуральной оси всё время уменьшается. Она не доходит до нулевой и это главное. Логическое противоречие появляется только тогда, когда вместе с утверждением выводимо его отрицание. Здесь этого нет.

Думаю, что нулевая вероятность (возможного!) точечного события,— лишний довод в пользу нереальности самой точки (элемента; см. выше). И это тоже не логическое, а диалектическое противоречие. Поэтому на него можно посмотреть и с другой стороны. Является ли невозможным событие с нулевой вероятностью? Насколько точно измеряет вероятность замкнутый отрезок стандартных действительных чисел: [0,1]? Отсюда сразу же следует целый ком других вопросов, например,— а на сколько достоверно событие с единичной вероятностью? И т.д. Что же касается выделенной роли нормального закона в теории вероятностей, то специальные математические причины этого ясны (они содержатся в любом доказательстве предельных теорем). Неясен более общий, метатеоретический вопрос: Почему в функциональном анализе именно нормальная кривая сохраняет свою форму при преобразовании Фурье?

Далее, формально-логическое рассмотрение супермощных множеств приводит к противоречиям. Интересно, что даже самая "малая", непротиворечивая бесконечность,— уже как-то сближает противоположности, что и является причиной диалектических парадоксов.

Я бы не стал отвергать теорию групп (которая широко применяется в квантовой физике для моделирования симметрических свойств Ψ-вектора, представляемого как линейная комбинация базисных состояний прибора) в решении проблемы индивидуации. Группа, это совокупность преобразований, сохраняющих отношение эквивалентности. А ведь эквивалентность, это и есть неабсолютное, относительное равенство, обусловленное ограниченным набором свойств. Думаю, что абсолютное равенство, тождество надо изгнать из науки, также, как это было в физике с абсолютным пространством.

Каждый объект, каждая "система отсчёта", должна воспринимать мир в целом относительно, в каком-то своём аспекте. И поэтому относительно каждого объекта мир в целом может иметь определённые физические характеристики, такие, как масса, энергия, и т.д. Это может возникать из-за свёртывания воспринимаемой бесконечности. Так что, возможно, не так уж не прав был Мах, когда связывал центробежные силы и силы инерции с "полем тяготения всех удалённых звёзд".

Чефранов: Точки зрения Канта и Вейля на "правое и левое".

Вопрос о том, правая или левая единственная в космосе рука,— пуст, ибо понятия правого левого всегда парны, симметричны. Ни одна из этих ориентаций сама по себе не выделена. Нормализатор Вейля,— всё-таки объяснение, а не название. Но Кант прав в проблеме индивидуации. Здесь ведь сформулировано такое свойство единственного предмета, на которое нельзя дать определённого ответа о его истинности, т.е. наш единственный предмет имеет неразличимые альтернативные варианты. Однако здесь нет противоречия или изъяна в аксиомах геометрии.

Очень верная мысль о том, что понятия логики и теории множеств ещё не доросли до той диалектики, что имеется в спинорах, замене величин операторами, и т.д. Математика ещё не знает диалектики движения и объекта. Сейчас в математике мы имеем кризис схоластически-критического периода. Не могу не согласиться также и с тем, что единственное всеобщее ничто, (пустое множество " Ø "),— изъян теории множеств.

Я уже писал, что методом Кантора определяется и конечное и бесконечное. Это определение страдает общематематической схоластикой. Но его надо развивать, а не просто отбрасывать.

Далее, наличие в мире чётко индивидуализированных объектов фактически равносильно признанию теории множеств как всеобщей философии. Квантовая теория отвергает такую тривиальную абсолютную индивидуацию. А парадоксы типа Рассела указывают на то, что с такой индивидуацией далеко не всё в порядке даже в её математическом воплощении. Парадокс Рассела чисто математически упирает проблему мира в целом в проблему индивидуации. Имеем: теория множеств, построенная на тривиальной индивидуации, сама эту тривиальность вынуждена отвергать.

 

 §2. Проблема континуума и единицы.

 

Вейль: "Утверждение о том, что 1 есть наименьшее следующее за 0 кардинальное число, должно быть отброшено, как ни на чём не основывающееся".

Т.е.— это принимается в теории множеств просто за аксиому. Но если это неверно, то должны существовать множества с дробным числом элементов, и т.д. И такая ситуация действительно моделируется в теории нечётких множеств. Плохо то, что сама эта теория существует только как одно из экзотических приложений глобальной концепции "чёткого" множества.

 

 §3. Проблема точки.

 

Я уже писал о том, что длина, определённая как мера, это совсем не тривиальность, как может показаться на первый взгляд, хотя и не установлен физический источник возникновения меры.

В сущности, проблема точки,— это и есть проблема элемента вообще, т.е. проблема индивидуации.

 

 

 Глава 3. Моделирование бесконечного в современной науке.

 

§1. Соотношение научного и обыденного языков.

 

Чефранов: "Глаз человека прекрасно фиксирует контурные линии и мало замечает связь между тем, что эти линии отделяют". (стр.112)

Именно поэтому в итоге необходима даже не научная, а физиологическая эволюция в нашем восприятии и способе существования для полного решения затронутых нами вопросов. Речь идёт о путях, предлагаемых йогой. Но эта тема выходит за рамки собственно философии.

 

 §2. Релятивистское пространство-время и движение.

 

Эффект Черенкова действительно не противоречит предельности скорости света. Под сигналом в теории относительности подразумевается любой наблюдаемый перенос энергии (или импульса, что то же самое). Поэтому проекция светового зайчика от вращающегося фонаря и не является сигналом: вдоль движения светового пятна не происходит какого-либо переноса энергии. Наблюдаемая энергия действительно переносится со скоростью, равной групповой скорости волнового пакета. Но эффект Черенкова доказывает другое: не вся физическая реальность вмещается в процессы переноса наблюдаемой энергии. Эффект Черенкова показывает экспериментально, что фазовая скорость также является физически реальной и для этого аспекта реальности теория относительности с самого начала ничего не ограничивала. Аналогичный случай: прохождение частицей непроходимого потенциального барьера (туннельный эффект) вовсе не означает нарушения закона сохранения энергии. Но это означает, что информационный, вероятностный аспект нельзя полностью свести к энергетическим неоднородностям,— информация имеет самостоятельную физическую реальность. Фазовая скорость волн тоже относится именно к информационной реальности.

Далее, если отец умер в Москве, то сын во Владивостоке становится сиротой именно со скоростью света: пока не пройдёт время, равное времени прохождения светового сигнала, во Владивостоке этого человека надо считать живым и влияющим на внешний мир. Такие ошибки происходят из-за неявной подсознательной установки на абсолютную систему отсчёта, которой на самом деле не имеется

И, наконец, ни в коем случае нельзя утверждать, что если последовательно проводить принцип относительности, то получится, что любая система отсчёта имеет скорость: " C " относительно светового пучка. Система отсчёта,— понятие сугубо эмпирическое: это набор материальных тел, маркирующий пространство и время (грубо говоря, часы и линейки). На фотоне время полностью остановлено,— он не является системой отсчёта, поэтому принцип относительности к нему неприменим. Поймите правильно, я не отвергаю таких гипотез, как существование скрытого мира внутри фотона. Просто, чтобы лучше разобраться в таких гипотезах, надо дотошно и чётко понять, что об этом говорит теория относительности. Именно она и утверждает, что Вселенная внутри фотона, относительно нашего физического мира,— будет вещью в себе, и наоборот.

Далее, нулевая масса среды в некоторой точке и бесконечность полевой массы точечного электрона свидетельствует о том, что физическая реальность склонна к отождествлению, замыканию бесконечности и нуля. В этом смысле более перспективными являются математические модели типа теории расслоенных пространств. А тот факт, что Ψ-функция отдельной частицы описывает некое состояние Вселенной, говорит, что каждая точка такого пространства "совпадает" со всем пространством в целом (бесконечно малое "тождественно" бесконечно большому: современная интерпретация монадологии Лейбница). Но нынешняя математика практически не в состоянии дать непротиворечивое и продуктивное описание такого положения вещей. Так что, понимая, что Вселенная должна моделироваться информационно-вероятностным методом, нельзя забывать, что требуются революционные изменения в самом фундаменте математики, в таких понятиях, как множество, логика, информация, индивидуация, и т.д.

 

 §3. Мир не есть конечная или бесконечная сумма объектов на фоне общемировой пространственно-временной протяженности.

 

Чефранов: "Наличие кванта длины требует наличия максимальной длины". (стр.126)

Но это не совсем так. Ни логически, ни эмпирически. Требует ли наличия максимального числа дискретность множества целых чисел?

Чефранов: "Дж. Веронезе для отражения реальности вводил логику и линейные пространства".

Математические понятия кольца и поля являются операционными моделями понятия линейно упорядоченного множества. Линейное пространство, это прямая степень кольца (точнее, класс эквивалентности всех изоморфных прямых степеней,— это условие необходимо для отсутствия выделенного базиса, иначе у нас получится линейная алгебра). Я уже писал об особой роли этих понятий в вопросах количества и качества, содержания и формы, подобия и различия, т.е. в проблеме индивидуации. Следует ещё заметить, что наиболее полной и точной научной информацией всегда является информация числовая,— наиболее трудно достижимая. Поэтому мысли Веронезе очень интересны...

Чефранов: "Квантовая механика от непрерывного описания природы стремится перейти к дискретному". (стр.126)

Это не совсем так. В том и суть дуализма: волна-частица, что теория квантов перерастает как чисто континуальные, так и чисто дискретные модели реальности. Каждая физическая величина в одном состоянии может быть квантована, в другом,— непрерывна. Здесь дискретное возникает как суперпозиция непрерывного и наоборот.

Ненаблюдаемое нарушение закона сохранения энергии в виртуальных процессах, выражает общий дух квантовой теории: "То, что истинно, но ненаблюдаемо,— ложно. Однако, при возникновении условий для наблюдения,— оно опять становится истинным". Необходимо последовательно провести этот принцип во всей физике. Следует уточнить: речь идёт не об истинности и ложности, а об истинности реальной и виртуальной. Ненаблюдаемая "часть" объекта влияет на наблюдение косвенно, оставаясь скрытой причиной явлений. Ненаблюдаемоя Ψ-пοле электрона "прощупывает" всё пространство, для того, чтобы электрон "выбрал" путь наименьшего действия. В квантовой физике гораздо меньше ложных высказываний, чем в классической: виртуальная часть объекта охватывает все возможные значения физических величин, и создаёт ненулевую вероятность странных событий, типа туннельного эффекта или рождения Вселенной из вакуума. С этой точки зрения Бог,— абсолютно виртуальная сущность.

 

 §4. Что может заменить идею бесконечной пространственно-временной протяжённости мира в целом?

 

Вернусь к §3: парадокс "колесо Аристотеля". (стр.126)

И это тоже не противоречие. Все концентрические окружности колеса имеют одинаковую угловую скорость. Если бы колесо просто вертелось на оси, то линейная скорость уменьшалась бы вместе с радиусом. Но колесо катится! Его центр имеет ненулевую линейную скорость, равную линейной скорости точек окружности качения. В данном случае окружностью качения является внешний обод колеса. Точки обода проходят по поверхности качения без трения, т.е. возникает взаимно-однозначное соответствие между точками обода и линией качения. Соответствие, сохраняющее меру (длину). Каждая точка обода покрывает одну, и только одну точку поверхности, ту, с которой соприкоснётся. С точками же внутренних окружностей этого не будет: их полная линейная скорость превысит ту, что вызвана вращением, на постоянную величину, равную линейной скорости внешнего обода. Они уже будут не только катиться по отрезку длины h, но и скользить по нему; взаимно-однозначного соответствия не будет. Так что центр колеса уже полностью проскользит по всему отрезку своего уровня. Если на штангу нацепить диски уменьшающихся радиусов и сделать ступенчатую дорогу (так, чтобы каждый диск катился по своей полосе), то штанга не сможет просто катиться: если идеально катить самый большой диск, то все остальные будут уже тереться, прокручиваться. Так что нигде никаких непокрытых промежутков не останется. Просто точка внутренней окружности уже покроет не точку дороги, а целый интервал, проскользнув по нему. Вот и всё.

И что же? Мы сейчас опровергли Аристотеля, показали, что его удивление вызвано непониманием? Думаю, нет. Сейчас у нас могут появиться технические идеи о ременных передачах; сейчас мы можем ещё более удивиться странной взаимосвязи угловой и линейной мер, что может дать новый теоретический результат. Сейчас мы больше знаем, и больше соприкасаемся с неизвестным. И, скорее всего, это безобидное недоразумение станет настоящим противоречием, если его смоделировать во множестве достаточно большой мощности. Это верно для большинства кажущихся противоречий. От китайских коанов, до системы Гегеля,— практически в любой области, роль парадокса трудно переоценить.

Теперь, снова входя в рамки этого параграфа,— о том, почему шарик всегда выбирает более крутой склон для скатывания с горки.

Это объясняется принципом наименьшего действия. В классической физике было, однако, неясно: каким образом шарик "узнаёт", что именно на этом пути можно скорейшим образом потерять высоту? Квантовая физика прояснила вопрос. Очень хорошо это описывает Фейнман. То, что мы наблюдаем как шарик, на самом деле является смесью, суперпозицией волн вероятности, различных, альтернативных, виртуальных "шариков". Эти волны размазаны по всему пространству, по всей поверхности горки. Каждая из них ненаблюдаема непосредственно и поэтому не обязана выполнять принцип наименьшего действия. Вот так, виртуально, шарик и прощупывает свой путь, чтобы этот принцип был выполнен в его наблюдаемом движении. Остаётся неясным другое: в чём причина самого принципа наименьшего действия, во всех физических теориях принимаемого за аксиому, обобщение эмпирических данных?

Чефранов: Далее: гегелевская критика закона исключения третьего (о том, что надо вводить и законы исключения 4-го, 5-го, и т.д.). Конструктивистская критика классической логики.

В современной логике гегелевская критика уже не состоятельна, потому что этот закон имеет сейчас позитивную формулировку: (A v lA); фактически ни о каком третьем здесь не говорится. Поэтому, как и следовало ожидать, классическая алгебра высказываний обладает свойствами полноты и непротиворечивости, не имея внутренних трудностей.

Трудности возникают, когда мы строим конкретные теории на языке исчисления предикатов, т.е.— когда вводим в рассмотрение соотнесение свойств и объектов, этими свойствами обладающих. Отсюда чётко видно, что нуждается в решении именно проблема индивидуации.

Но есть ещё одна трудность, на которую обращают неоправдано мало внимания, но которую и мог неявно подразумевать Гегель в своих неформальных рассуждениях. Любая логика или теория для своего полного обоснования нуждаются в металогике, в метатеории. И цепочка этих "мета-" конца не имеет. Это бесконечная "вавилонская башня". Детская игра в бесконечное "почему?" на самом деле является вполне обоснованным поиском самодостаточной истины. Это говорит о том, что бесконечность нас преследует везде, даже в конечном, даже в конструктивизме. Далее, оказывается невозможным избавиться: 1) от рекурсивных логических процедур; 2) и (что из пункта 1; вытекает) от имманентного, т.е. непредикативного (но и логически строгого!) применения понятий. Только так и можно замкнуть мета-башню, устранить из неё дурную бесконечность. Ведь по сути своей эта метабашня такова, что от неё невозможно избавиться, и её необходимо охватить именно как такую актуальную бесконечность, которая уже не заставит нас для своего обоснования строить новую мета-башню (кстати, именно такие ситуации замыкания, требующего нового замыкания,— часто возникают у Канта, в его априорных построениях). Но, что касается рекурсии, то до сих пор именно в логике она не применялась (её всегда применяли к объектам, элементам множеств). Между тем, содержательная рекурсия лежит в основе результатов Гёделя и Чёрча, в основе свёртывания бесконечного и авторефлексии понятий и объектов. Гегель же всей своей системой показал, что любое понятие, для окончательного обоснования, нуждается в авторефлексии, самоотражении.

По поводу конструктивной критики математики я уже писал. Главная ошибка конструктивистов состоит в ложной уверенности в непогрешимости финитных методов. На самом же деле нам никуда не уйти от бесконечности и от наших финитных средств её представления. Это я и подразумеваю под свертыванием бесконечного; это мы и делаем, когда конечным числом символов записываем аксиомы бесконечного натурального ряда. Конструктивная критика очень даже состоятельна, несостоятельна их политика отказа от нерешённых проблем. Их позитивный вклад в математику неоспорим, но априорно мал. Здесь нужно что-то более гибкое, какая-то относительность физических законов, коль мы заговорили о средствах познания. Однако надо отдать должное конструктивизму как первой удавшейся попытке построения эмпирической математики.

Касательно того, что предложение существования может быть истинно, ложно или независимо в данной системе аксиом. Могу добавить, что таковым может быть любое предложение, к тому же мы сейчас знаем, что истинность может иметь как классические, так и конструктивные аспекты. И, более того, предложение может быть не истинным и не ложным (неразрешимость высоких порядков), и т.д., и т.п. Это уже теплее, доказательные средства уже не обязательно затянуты поясом финитности.

По поводу математических и физических наблюдений. Должна быть построена целая мета- физика, со своими "теоремами Геделя", и т.д. Наподобие метафилософии Канта. Ситуация в квантовой теории и в теории относительности, с их системами отсчёта, зависимостью частицы от прибора, уже требует этого.

Чефранов: "Далее, теория вероятностей больше отвлекается от элементов, говоря о реальности целого, чем любые другие теории". (стр.150)

Думаю, что всё ещё недостаточно отвлекается. В частности, плохо разработаны основы математической статистики, которые сводятся сейчас исключительно к технике приближённых вычислений. А ведь тут тоже нужна целая метатеория! Быть может, это прояснило бы и квантовые проблемы. Однако уже в связи с классической теории вероятностей, хотелось бы привести один очень негативный пример деструктивного развития науки.

Исчисление вероятностей, у самых своих истоков, лежало на пересечении математики с философией. Когда возникла термодинамика, сюда вмешалась ещё и физика. А когда появилась теория Дарвина, в коктейль была добавлена биология, да ещё с некоторыми чисто кибернетическими вопросами, до которых сама математика ещё не дошла. Я уже не говорю о вопросах теологических и телеологических! Здесь мне хотелось бы отослать читателя к моей статье "Космология Ньютона", которая, в свою очередь, навеяна одной из статей Пауля Эренфеста. Думается, что по изложенному там материалу ясно, насколько запутанной и беспомощной оказалась философия в основных физических вопросах, до сих пор покрытых мраком споров и заблуждений.

Чефранов: "Далее, мир предметов является значительно менее мощным, чем мир отношений".

Кстати, вот одно из следствий диалектического решения основного вопроса философии. Как мы уже говорили, природа построена не так, что материальное является субстратом, носителем информационного, а последнее не имеется в природе только в виде неоднородностей в распределении первого (как считает термодинамика).

Отношения между множествами предметов, это и есть свойства самих предметов, это и есть собственно идеальное для материальных предметов. Как было сказано выше, нет ничего материального, которое не возникало бы из идеального, и наоборот. Поэтому материальные отношения сами выступают как разновидность материи. Это можно видеть на примере пространства-времени, которое представимо как структура отношений материальных объектов, как форма существования материи, и как один из видов самой материи (искривлённое пространство- время тождественно полю гравитации и обладает собственной энергией-импульсом).

Итак, в мире нет ничего, кроме материальных предметов, и в тоже время,— в мире нет ничего, кроме свойств этих предметов. Каждый объект является одновременно и предметом и свойством, отношением на предметах.

Далее, попытки определить информацию не только количественно, но и качественно, пока ещё довольно примитивны. Сейчас в понятие информации практически ещё не введено отражение, не введён собственно логический аспект. У нас ещё нет другого определения информации, кроме того, что это мера неоднородности некой среды, пассивного субстрата. А надо ещё и саму среду определить через информацию. Информация же немыслима без вероятности (которая и является мерой истинности).

 

Заключение.

Хотелось бы обратить внимание на следующие ключевые моменты:

1) Материальное и идеальное. Мысль о том, что информация тождественна идеальному,— не нова. И она много критиковалась. Однако именно информация (в широком смысле этого слова, включающем отражательный аспект) является единственным нетавтологичным определением идеального, которое способна дать современная наука. Сказать, что мир идеального, это мир понятий,— всё равно, что ничего не сказать. В то же время, любое идеальное явление всегда информационно, и эта информационность,— единственный критерий идеальности. Так что материальное и идеальное составляют пару неразрывных диалектических противоположностей, ни одна из которых не является первичной. Поэтому основное достижение философии,— диалектика; и дальнейшее развитие философии состоит в развитии именно диалектического взгляда на мир. На нынешнем этапе диалектическое противоречие можно определить как такое логическое противоречие, которое воплощается в реальность непротиворечивым способом.

2) Теорема Гёделя. Она отнюдь не утверждает невозможности моделирования целого его частью. Такая невозможность имеет место лишь тогда, когда и целое, и часть конечны. Само доказательство этой теоремы основано на возможности адекватного отображения всей теории в некоторую часть предметной области, которую эта теория изучает. Отсюда, согласно Канторовскому определению, и получается бесконечность как предметной области, так и самой теории.

Кроме того, из теоремы Гёделя вытекает неопределённость, недетерминированность и самого объекта, и его свойств. Так обосновывается Боровский принцип дополнительности, информационно-вероятностный подход к проблеме мира в целом. Более того, неопределённость влечёт нетривиальность проблемы индивидуации. К решению последней надо подходить путём внимательного изучения средств индивидуации: подобия и различия. Аксиоматическое введение тождественного равенства ничем не обосновано. Индивидуация объекта, это выделение его изо всей Вселенной. Поэтому нельзя проводить индивидуацию, не рассматривая мир в целом.

4) Метафилософия. Естественно, что это часть самой философии, тесно соприкасающаяся с гносеологией. Хотелось бы обратить внимание на необходимость имманентного применения философской системы (наука о наиболее общем познании по определению непредикативна). Именно в процессе такого применения и усматривается противоречие между диалектикой Гегеля и схемой его системы. Тут же могут возникать интересные результаты типа своеобразных теорем Гёделя, и т.д. Ещё раз подчёркиваю, что теорема Гёделя,— мощный инструмент научного познания, совершенно несправедливо воспринимаемый как тормоз.

В итоге следует признать неудовлетворительной ситуацию в современной философии. Глобальная философия закончилась на работах Канта и Гегеля. Проблемы, после них оставшиеся, были забыты в суете споров о мелких деталях, несмотря на огромный новый естественнонаучный материал. Математическая революция в области формального мышления не была замечена и понята философами. А ведь фактически наследие Канта и Гегеля требует именно формальной интерпретации: на интуинтивно-содержательном уровне там действительно уже мало что можно сделать, не тот уровень строгости (я не говорю о математизации философии по образцу физики, но говорю о необходимости применения математических методов в спекулятивном мышлении; характер этого применения тоже надо исследовать). Однако в настоящее время эти вопросы вообще не обсуждаются на серьёзном уровне (имеется только ряд работ описательного характера, например у структуралистов). Достигнув своего апогея у Канта и Гегеля, глобальная философия остановилась на бытовом здравом рассудке Маркса и Фейербаха (думаю, что именно здравый смысл, а не диалектика или материализм превалирует в этих учениях), на которых серьёзные философы предпочли не обращать внимания. Между тем, на стихийном уровне практически каждый современный учёный придерживается концепций диалектического материализма (Ленин писал о стихийном материализме учёных; однако, и Ленин, и эти учёные, просто спутали прагматизм с материализмом). На нашей планете уже не раз умирала культура мышления. Достаточно вспомнить Китай и Египет, дошедшие до нас обрывки их произведений, мы даже не можем толком понять. Не надо думать, что наша культура более объективна и всеобща. Ещё Витгенштейн обратил внимание на то, что совсем непонятно, а что, собственно происходит при выполнении арифметической операции: "1+1"? Думается, что даже математика, несмотря на свои ошеломительные технологические приложения, больше содержит культурной традиции, чем объективной истины. Поэтому, вряд ли её поймут гипотетические инопланетяне. Что касается глобальной философии, то она может быть непонята уже ближайшими нашими потомками, если мы сейчас не сможем возродить эту важную традицию познания.

ответ   ЧЕФРАНОВА