Дополнение к статье Разность квадратов нечётных чисел, пифагоровы тройки и доказательство Гипотезы Била

Данное дополнение вызвано недочётом, допущенным в статье при рассмотрении возможности целочисленных решений уравнения гипотезы Била при нечётных показателях , где доказательство, как и для случая чётного неполное, и в общем случае оно должно выглядеть следующим образом: если в уравнении (1) гипотезы Била чётное число невозможно выразить разностью квадратов нечётных чисел c нечётными показателями, составляющих уравнение, то оно не имеет целочисленных решений.

Нужно сказать, что доказательство этих случаев частично рассмотрены в статье Чудесное доказательство Великой теоремы Ферма этого автора на этом же сайте, размещённой 04. 06. 2023. (См.: уравнение (12) и далее.)

Продолжим доказательство в дополнении с уравнения (19).

Рассмотрим уравнение (19) в следующем виде.

(20)

Из уравнения (20) при целочисленных полных квадратах и не следует, что соответствующие им числа и с нечётными показателями также являются квадратами целых чисел. Поэтому всё, рассмотренное выше, относится к уравнению теоремы Ферма и к уравнению гипотезы Била, если их нечётные числа имеют чётные показатели степени, а также нечётные показатели степени, являющиеся квадратами нечётных чисел.

Разложим на множители уравнение теоремы Ферма с чётным показателем n, где - нечётные числа, а Y число чётное, аналогичное уравнению (3b).

(21)

Рассмотрим уравнение (21) как самый наглядный пример доказательства. Здесь , или Следовательно:

(22) ( (23)

Сложим левые и, отдельно, правые части уравнений (22) и (23).

или (24)

Вычтем левую часть уравнения (23) из левой части уравнения (22), а правую часть уравнения (23) из правой части уравнения (22).

или (25)

Уравнение (24) нужно рассматривать как вариант формулы суммы n х степеней, а уравнение (25) как вариант формулы разности n х степеней.

Разложим на множители правую часть уравнения (24).

(26)

Разложим на множители правую часть уравнения 25).

(27)

Из уравнения (26) следует, что нечётное число и невозможно разложить на целочисленные множители, поскольку множители разложения и теряют по одному числу 2, т. е. в процессе выделения нечётных чисел теряет число поэтому , не могут быть степенью целого числа. Это же относится и к нечётному числу и .

Из рассмотренного примера видно, что левая часть уравнения (20) не только равна правой, но абсолютно тождественна ей при указанных выше условиях, а именно: при всех чётных показателях нечётных чисел уравнения (1), коими нами приняты сумма и одно из слагаемых или , как в данном случае, а также при показателях, являющихся квадратами нечётных чисел. То есть за исключением нечётных чисел с остальными нечётными показателями. При этом не отвергается равенство значений левой и правой части уравнения (20) и при нечётных показателях нечётных чисел, в данном случае и .

Запишем уравнение (19) в следующем виде.

(28)

(29)

Итак, если уравнение (28) выражает чётное число, имеющее множитель 8, разностью квадратов нечётных чисел, то уравнение (29) выражает это же число разностью нечётных чисел в нечётной степени, то есть произведением суммы и разности квадратных корней этих чисел. Между тем ни сумма, ни разность этих квадратных корней нечётных чисел в нечётной степени не могут быть целыми числами, т. е. обусловленными ранее чётными множителями чётного числа Кроме того, разность степеней допускает только разложение на чётный и нечётный множители.

Отсюда следует; решение уравнения (1) с нечётными числами в нечётной степени в целых числах невозможно.

Рассмотрим уравнение (1) при чётном .

Первый случай, где показатели всех трёх членов чётные, невозможен как сумма квадратов двух нечётных чисел не равная квадрату третьего числа.

Рассмотрим случай когда сумма уравнения (1) число чётное, а числа нечётные с нечётными показателями. Запишем уравнение следующим образом.

(30)

Из уравнения (30) видно, что при равенстве показателей чисел и левую часть уравнения можно разложить только на чётный и нечётный множители, а целочисленное разложение на два чётных множителя невозможно. При неравенстве показателей чисел и преобразование левой части уравнения (30) невозможно, поскольку числа не имеют и общего множителя, а значит невозможно представить её как произведение двух чётных чисел.

Вывод: уравнение (1) гипотезы Била не имеет целочисленных решений при показателях

Следовательно, гипотеза Била доказана.

(C) С. И. Ведерников