Аннотация. Цель работы - найти правила, обеспечивающие доказательство гипотезы Гольдбаха, точнее доказательство его бинарной проблемы, и доказать её. Поскольку бинарная проблема Гольдбаха гласит, что любое чётное число, начиная с числа 4, можно выразить суммой двух простых чисел, т. е. чётное число (c≥4) выразить суммой простых нечётных чисел (a) и (b): c=a+b, то очевидно есть число, которое можно выразить разностью этих же чисел: c_1=a-b при a>b. Тогда есть и некоторое число (C), являющееся произведением суммы этих простых чисел и разности этих простых чисел: C=c∙c_1=a^2-b^2, т. е. разностью квадратов нечётных чисел. Следовательно, чётное число Гольдбаха - множитель в этой разности квадратов, а не простая математическая случайность, но строгая закономерность, не имеющая ограничений в числовом поле. Это и есть алгоритм проблемы, которой нет.
Abstract. The purpose of the work is to find rules that provide a proof of the Goldbach hypothesis, more precisely, a proof of his binary problem and prove it. Since the Goldbach binary problem states that any even number starting from the number 4 can be expressed by the sum of two primes, that is, an even number (c ≥ 4) can be expressed by the sum of prime odd numbers (a) and (b): c = a+b, that is, obviously there is a number that can be expressed by the difference of the same numbers: c_1=a-b for a> b. Then there is a certain number (C), which is the product of the sum of these primes and the difference of these primes: C = c ∙ c _ 1 = a ^ 2-b ^ 2, that is, the difference in squares of odd numbers. Therefore, an even Goldbach number is a factor in this difference of squares, and not a simple mathematical accident, but a strict pattern that has no restrictions in the number field. This is the algorithm of the problem, which is not.
Keywords: even numbers, odd numbers, primes, sum of primes, difference of primes, difference of squares of primes.
Вводная часть. Рассмотрим "посыл" [1], принятый за основу "Полного доказательства гипотезы Била", который выглядит следующим образом: любое чётное число, имеющее множителем число 8, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел. То есть это чётное число можно представить произведением суммы и разности этих нечётных чисел. Сумма и разность в этом случае числа чётные, но одно из них имеет множителем одно число 2, а другое - минимум число 4. То есть предполагая, что сумма двух нечётных чисел имеет множителем число 4, надо иметь ввиду, что разность этих же чисел будет иметь чётный множитель только число 2. Или же наоборот: если сумма двух нечётных чисел имеет множитель только одно число 2, то разность этих же чисел имеет множитель минимум число 4. Рассмотрим это на примере пифагоровых троек (3, 4, 5) и (5, 12, 13).
4^2=5^2-3^2=(5+3)(5-3)=8∙2.
〖12〗^2=〖13〗^2-5^2=(13+5)(13-5)=18∙8=(2∙9)∙8.
Итак, имеется чётное число (c) с чётным множителем ≥4, равное сумме двух нечётных чисел. В данном случае это числа a и b.
c=a+b. (1)
Пусть это будет первый множитель некоторого числа (C). Второй множитель этого числа - разность этих же нечётных чисел. И этот множитель (c_1) содержит только одно число 2.
c_1=a-b. (2)
Имеются два множителя c и c_1. Перемножим уравнение (1) и уравнение (2).
C=c∙c_1=(a+b)(a-b)=a^2-b^2. (3)
Результат - некоторое чётное число (C), являющееся произведением суммы и разности двух нечётных чисел. Следовательно, это число имеет множитель число 8. Если принятое число с=a+b имеет множитель минимум число 4, то число c_1=a-b должно иметь чётный множитель число 2 . Заметим, однако, что значения множителей могут быть противоположными. Главный результат перемножения суммы и разности этих нечётных чисел тот, что их произведение имеет чётный множитель ≥8 при том, что один из множителей имеет в своём составе только одно чётное число 2.
Из уравнения (3) видно, что сумма и разность двух нечётных чисел имеют следующие значения:
c=a+b=4∙c_2; (4) c_1=a-b=2∙c_(3.) (5)
Надо заметить, в уравнении (5) число c_1, являясь чётным числом, содержит множителем только одно число 2 при нечётном числе c_3.
Увяжем предлагаемый метод доказательства с рассматриваемой гипотезой.
Возьмём её первое рассматриваемое число 4. Представим его суммой двух нечётных чисел 3 и 1. Умножим их сумму на их разность.
3+1=4; 3-1=2; 9^2-1^2=8.
Аналогично рассмотрим число 6, представив его суммой чисел 5 и 1, и умножим на их разность.
5+1=6: 5-1=4: 5^2-1^2=24=3∙8.
Несмотря на "непростоту" числа 1 смысл связи метода доказательства и гипотезы понятен, и заключается он в нахождении чисел, в данном случае C, разлагаемых на два множителя - сумму и разность нечётных чисел c и c_1, которые выражаются простыми числами a и b. (См. (4) и (5).)
Рассмотрим нахождение множителей, составляющих сумму и разность нечётных чисел, и выделение этих простых нечётных чисел.
Примем число 12 "гольдбаховой" суммой простых чисел 7 и 5.
a+b=7+5=12. (6)
Разность этих чисел будет такой.
a-b=7-5=2. (7)
Перемножим уравнения (6) и (7).
C=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=7^2-5^2=24. (8)
Итак, "гольдбахова" сумма простых чисел, число 12, всего лишь множитель числа 24, имеющего упомянутый уже важный множитель число 8. Из тех же самых простых чисел состоит и второй множитель, соответствующая этой сумме и незаслуженно забытая "гольдбахова" разность.
Произведём обратное действие с выделением простых нечётных чисел, составляющих сумму "гольдбахового" числа. Упростим задачу, взяв для примера число C = 24. Прежде всего это число нужно разложить на множители, выделив первым множитель с одним числом 2. Примем этим множителем значение уравнения (7), т. е число 2. Тогда второй множитель - значение уравнения (6), т. е. число 12. Отсюда имеем:
(a+b)=12; (9) (a-b)=2. (10)
Сложим левые и правые части уравнений (9) и (10).
2∙a=12+2; a=(12+2)/2=7; (11)
Вычтем из правой и левой частей уравнения (9) правую и левую часть уравнения (10).
2∙b=12-2; b=(12-2)/2=5. (12)
В результате имеем два простых числа, составляющих "гольдбахову" сумму, т. е. число 12, и соответствующую ей разность число 2, вместе образующие в разности квадратов число 24. (См. уравнение (8).) При этом, как видно из примера, первое простое число является половиной суммы полученных разложением множителей, а второе - половиной разности этих же множителей. То есть полученные числа a и b являются выражением тех самых нечётных чисел, что образуют ту самую разность квадратов, в том числе и простых, чисел.
Выделим нечётные числа, поменяв разложение на множители число 24, где имеем: 24=3∙8=(2∙3)∙4. Так как сумма двух чисел больше, чем их разность, поэтому сумма и разность нечётных чисел будут выглядеть так:
(a+b)=2∙3; (13) (a-b)=4. (14)
Поскольку первый нечётный множитель равен половине суммы множителей, а второй половине разности множителей, то имеем:
2∙a=2∙3+4; a=3+2=5. (15)
2∙b=2∙3-4; b=3-2=1. (16)
Выведем уравнение аналогичное уравнению (8) со значениями ур. (15) и (16).
C=c∙c_1=(a^2-b^2 )=(5+1)(5-1)=(5^2-1^2 )=24. (17)
Таким образом, имеется ещё одна "сумма" число 6 равное (5 + 1).
Из уравнений с (8) по (12), а также из уравнений (13) по (17) следует, что из одного числа С возможно выделить не одну "сумму" с соответствующими парами нечётных чисел. Рассмотрим это детальнее на разложении числа 27000, принятого произведением трёх чисел в кубе для упрощения расчётов.
〖30〗^3=27000=2^3∙3^3∙5^3.
Первый вариант разложения этого числа на множители для выделения простых чисел a и b таков:
В данном случае "сумма" - (a+b)=179+71=250, а разность квадратов:
〖179〗^2-〖71〗^2=27000.
Итак, числа a = 277 и b = 223 первого варианта разложения, а также числа a =179 и b = 71 второго варианта - числа простые.
Рассмотрено два варианта разложения числа 27000 на множители и выделения нечётных чисел разности квадратов. Рассмотрим оставшиеся возможные варианты его разложения на множители.
Очевидно, что разложение на множители чётного числа, имеющего множитель число 8, как разность квадратов двух нечётных чисел нужно рассматривать общим математическим случаем, не выделяя "гольдбахову" сумму простой случайностью. При этом разложение на множители и последующее выделение простых чисел зависит от количества множителей исходного числа.
До сих пор нечётные числа разложения, простые числа, рассматривались нами наглядно, выразим представление о них абстрактно, в полной их связи с гипотезой.
Поскольку разложение чётного числа на множители разностью квадратов подразумевает наличие у него множителя 2^3, произведём выделение нечётных чисел из числа 〖12〗^3, прежде выделив множители, соответствующие чётным сумме и разности нечётных чисел.
Разложим число 〖12〗^3 на множители: сумму и разность нечётных чисел.
(a+b)=2∙3^3=54; (a-b)=(2^((3-1) )∙2^3)=32.
2∙a=2∙3^3+2^((3-1))∙2^3; a=3^3+2∙2^3=43. (19)
2∙b=2∙3^3-2^((3-1))∙2^3; b=3^3-2∙2^3=11. (20)
Уравнения (19) и (20) выражают нечётные числа разности квадратов числа 〖12〗^3, и они простые. (Здесь примечательно, что число 2^6 уравнения (18) при выделении этих чисел теряет множитель 2^2. См.: (18), (19), (20).) [2]
Представим уравнение (18) в отвлечённом, общем, виде.
При этом нужно заметить, что число c_1^3 нечётное, а числа 〖〖(2〗^3∙с〗_2^3) и с_1^3, степенные множители числа С^3, взаимно простые, то есть не имеют общих множителей, иначе при разложении числа a и b имели бы общий множитель.
Выделим множители разности квадратов.
(a+b)=2∙c_1^3; (a-b)=2^2∙c_(2.)^3
Нечётные числа равны половине суммы и половине разности множителей разности квадратов. Отсюда имеем:
a=c_1^3+2∙c_2^3. (22) b=c_1^3-2∙c_2^3. (23)
Примем уравнение (22) как вариант суммы кубов, а уравнение (23) как вариант разности кубов. Разложим на множители уравнение (22).
Из уравнений (24) и (25) следует: поскольку целые нечётные числа (a) и (b) нельзя разложить на целые множители, следовательно они с большой вероятностью являются простыми числами. Примем подтверждением приблизительное разложение на множители уравнения (19), представляющего число a как сумму кубов, в соответствии с уравнениями (22) и (24).
Числовое подтверждение простоты нечётных чисел доказывает правильность применения метода к доказательству гипотезы. А теперь представим уравнение (3) со значением C^n,c^n,c_2^n. То есть представим общие формулы разложения на множители числа C^n, выделения простых чисел a,b и разложения их на множители.
Нужно обратить внимание на чётное число 2^((n-2)) в формулах (29) и (30), остаток от потери множителя 2^2, что явилось причиной иррационального разложения на множители значений чисел a,b, т. е. из уравнений (31) и (32) следует, что целые числа (a) и (b) нельзя разложить на целочисленные множители, следовательно, они, вполне возможно, простые.
Выше рассмотрена возможность разложения на множители и выделения сумм простых слагаемых из одного числа, имеющего множитель 8. Рассмотрим возможность выделения нескольких пар простых чисел для одной "суммы". Возьмём число 14. Поскольку 14=2∙7 имеет только множитель 2 и его нельзя выразить разностью квадратов нечётных чисел, умножим его на 4.
14∙4=56=7∙8=(7∙2)∙4.
Примем 14 суммой разности квадратов, а 4 разностью. Тогда:
(a+b)=14 и (a-b)=4. a=7+2=9. b=7-2=5.
Примем 14 суммой, а 8 разностью, где 14∙8=112.
(a+b)=14; (a-b)=8. a=7+4=11. b=7-4=3.
Примем 14 суммой, а 12 разностью, где 14∙12=168.
(a+b)=14; (a-b)=12. a=7+6=13. b=7-6=1.
Приведённые выше примеры в отношении выделенных пар нечётных чисел показательны, хотя только в одной паре оба числа 11 и 3 являются простыми. Поэтому эта пара не выглядит чем-то исключительным, поскольку в первой и третьей паре присутствуют по одному простому числу. Очевидно, что в простейших вариантах выделение простых чисел при разложении чётных чисел ограничено по количеству, тогда как с возрастанием рассматриваемого четного числа и увеличения в нём числа множителей увеличивается также количество выделенных пар простых чисел, выражающих "гольдбахову" сумму. Возьмём в качестве "суммы" число 2744. Это число является третьей степенью числа 14.
〖14〗^3=2744=(8∙343).
Принятое нами за "сумму" число содержит множителем число 8, поэтому за разность надо принять число с множителем 2, т.е. нечётное число, умноженное на 2. Пусть это будет 1∙2 . Тогда имеем число, множителями которого являются принятые нами сумма и разность. Число C=5488. Выделим нечётные числа, определяющие "сумму" и разность квадратов.
В результате есть простое число a=1373 и полупростое число b=3∙457, выражающие "гольдбахову" сумму число 2744. Подобным образом можно найти все возможные нечётные числа выражающие "сумму" 2744 и соответствующую ей "разность", представленную нечётными числами от 1 до 1371, умноженными на 2, т. е. до (a-b)=(2∙1371). Ниже приведён ряд расчётов по выделению нечётных чисел, соответствующих каждой паре "сумма" - "разность" с разрывом между парами примерно в сотню единиц "разности" при одной и той же "сумме", учитывая приведённый выше пример.
Итак, приведённый краткий обзор определения возможных нечётных чисел, составляющих "сумму" числа 2744, показывает, что рассматриваемым промежутком нечётных чисел от 1 до 1371, помноженными на 2, т. е. "гольдбаховой" разностью, становится лишним поиск других возможных простых чисел, образующих "сумму" числа 2744, так как при полном рассмотрении всех вариантов указанного промежутка чисел, они будут полностью определены. Поскольку из 17 рассмотренных случаев проблемы (a+b)=2744 пять оказались суммой простых чисел, можно ожидать, что из возможных 686 порядка 50 будут такими же, т. е. суммой простых чисел.
Рассмотрим ещё три случая сочетаний множителей "сумма" - "разность" при определении нечётных чисел на предмет их простоты, т. е. нахождения всех простых чисел по заданной их сумме. Первой "гольдбаховой" суммой будет число, имеющее один множитель 2. Это число 342 - сумма разности квадратов. Поскольку разность квадратов нечётных чисел имеет множитель число 8, то при сумме разности квадратов, имеющей множитель 2, разность разности квадратов должна иметь множитель минимум число 4, т. е. нечётное число, умноженное на 4. Ниже приводятся выборочные моменты из полного разбора случая.
Число 342=171∙2.
(a+b)=342; (a-b)=1∙4. a=173; b=169=(13∙13).
18. (a+b)=342; (a-b)=35∙4=140. a=241; b=101.
43. (a+b)=342; (a-b)=85∙4=340. a=341; b=1.
Число случаев "гольдбаховых" сумм с простыми числами их образующих составляет в этом случае 8 при общем количестве примеров 43.
Приведём разбор примера с тем же числом 342 - "суммой" и нечётным числом, умноженным на число 8 - "разностью".
1. (a+b)=342; (a-b)=1∙8. a=171=(7∙5∙5); b=167.
9. (a+b)=342; (a-b)=17∙8. a=239; b=103.
20. (a+b)=342; (a-b)=41∙8. a=335=(67∙5); b=7.
Приведённый выше пример позволяет подобную операцию, поскольку соблюдено условие о том, что разность квадратов нечётных чисел подразумевает содержание одним множителем число 2, а другим - минимум число 4.
Число "сумм" с простыми слагаемыми в этом случае равно 5 при общем количестве примеров 20.
Рассмотрим ещё один пример разности квадратов, где "сумма" - 364 имеет множитель число 4, а "разность" нечётное число, умноженное на 2.
1. (a+b)=364; (a-b)=1∙2. a=183=(61∙3); b=181.
5. (a+b)=364; (a-b)=9∙2. a=191; b=173.
90. (a+b)=364; (a-b)=177∙2. a=359; b=5.
92. (a+b)=364; (a-b)=181∙2. a=363=(11∙11∙3); b=1.
Число пар "сумма" - "разность", образованных простыми числами в данном случае, равно 14 при общем количестве примеров 92.
Показательно, что большинство нечётных чисел, выражающих "сумму" и соответствующую ей "разность" выражены полупростыми числами, или парами простое - полупростое число, также парами, состоящими из полупростого числа и числа, состоящего из трёх и даже четырёх нечётных чисел. При этом пары чисел "сумма" - "разность", выраженные простыми числами, ничем не выделяются в общем списке. Поэтому нет особого математического смысла, кроме, очевидно, прикладного, искать особое поведение нечётных чисел, называемых "простыми".
Рассмотренные примеры показывают возможность сочетания той же "суммы" и другой "разности", как множителей в новом числе - произведении, и выделение при этом другой пары нечётных чисел, в том числе и простых, составляющих эту "сумму". Это значит, что при всё большем исходном числе и большем количестве множителей в нём возрастает вероятность выражения "суммы" в разных сочетаниях, в том числе и выраженных простыми числами, при одном и том же её значении. Поэтому можно сделать вывод, что нет никакого нового "алгоритма" для "гольдбаховой" суммы, а есть простое правило разности квадратов нечётных чисел, в том числе и простых.
Итак, показано: чётное число ≥ 4, представляемое суммой двух нечётных чисел, можно выразить множителем некоторого числа (C), второй множитель которого - разность этих же нечётных чисел. Число (C), тем самым, является разностью квадратов двух нечётных чисел, что не имеет ограничений в числовом поле для него и его множителей, которые выражаются "суммой" и разностью простых чисел, что следует из доказательства. Следовательно, бинарная проблема Гольдбаха решена.
Литература.
Ведерников С. И. Полное доказательство гипотезы Била. - Журнал: Проблемы современной науки и образования. 2025. No 8 (207). Стр. 6.
Ведерников С. И. Разность квадратов нечётных чисел и гипотеза Била. - Журнал: Интернаука. 2023. No33 (303). Часть 1. Стр. 25.