Мой канал на Дзен:
https://dzen.ru/mix1
кубических уравнений.
Аннотация: Решение кубических уравнений различными методами. 1. "Кубическим уравнением с действительными коэффициентами называется уравнение третьей степени ах³ + bх² + cх + d = 0 (7) где а,b,c,d - некоторые действительные числа. Кубическое уравнение (7) заменой х = у - b/3а приводит к "неполному" кубическому уравнению относительно у у³ + ру + q = 0 где р = -1/3(b/а)² + с/а, q = 2(b/3а)³ - bc/3а² + d /а Корни у1,у2,у3 "неполного" кубического уравнения вычисляются по формулам Кардано у1 = А+В у2,у3 = -(А+В)/2 ? i(А-В)/2?√3 где А = ( - d/а + √Q), B =( - d/а - √Q), Q=(p/3)³ + (q/2)²" [1] 2. " Решение уравнения с целыми коэффициентами. ...Рациональными корнями уравнения .... могут быть числа m/p ( m целое, р натуральное) где число׀m׀ является делителем числа (в данном случае) | d |, а число р - делителем числа |а|" [1] Замечание. Делителями будут множество всевозможных рациональных чисел, отбор которых производятся непосредственной подстановкой их в уравнение.
3. " Если элементы последовательности {Nn} связаны формулой Nn = - d1Nn-1 - d2Nn-2 -...- dm-1Nn -(m-1)- dmNn - m, n - m ≥ 1
где d0 = 1, N0 = 0, N1 = 1, а коэффициенты d1,d2......,dm - действительные числа взяты из многочлена Р(х) = хm + d1хm-1 + d2хm-2 +... + dm-1x + d m
со старшим коэффициентом, равный единице (каждый корень взят такое число раз, какова его кратность), и корни с1,с2...сm-1,сm этого многочлена различные и действительные |с1| > |с2 | >...> |сm -1|,.> |сm |, то существует зависимость между элементами {Nn}
где Н0 = 0, Н1 = 1, а0 = 1, а коэффициенты а1,а2,а3 , взяты из кубического уравнения: х³ - а1х² - а2 х - а3 = 0 (10)
Вычислим первые элементы последовательности {Нn}образованной по формуле (9),
где (x1 + x2+ x3) = а1, x1x2 + x1x3 + x2x3 = - а2, x1x2x3 = а3, x1, x2,x3 - различные и действительные корни уравнения (10), а так же учтем, что для квадратного уравнения х² = d1 х + d2, коэффициент d1 = (x1 + x2), d2 = (- x1x2), тогда а1= (d1 +x3), а3 = (- d2 x3). Н1 = 1, Н2 = а1Н1, т. к.. Н1 = 1, то Н2 = а1, Н3 = а1Н2 + а2Н1, т. к. Н2 = а1, Н1 = 1, то Н3 = а1² + а2. Квадратное уравнение х² = d1 х + d2 образует последовательность {Nn}, по формуле
Nn = d1 Nn-1 + d2Nn-2, где N1=1, N2 = d1, N3 = d1² +d2 Элементы последовательности {Нn}образованные кубическим уравнением (10) можно записать через элементы последовательности {Nn} образованные квадратным уравнением.
Н2 = а1, а1= (d1 + x3), где N2 = d1, а N1 = 1, тогда Н2 = (d1 + x3) = N2 + x3N1 ,