Мой канал на Дзен:
https://dzen.ru/mix1
Полный текст статьи опубликован в журнале "Вестник науки" т.3 N 7 (16) на сайте Elibrary.ru
https://elibrary.ru/item.asp?id=38571728
Васильев Ю.Н. Уравнение Пелля (Ферма)Аннотация:Строгая зависимость между основной и обратной последовательностями образованные квадратным уравнением является решением диофантовых уравнений второй степени. "....Обратимся теперь к диофантовым уравнениям второй степени с двумя неизвестными а1х2+ а2ху + а3у2+а4х + а5у + а6 = 0 .... ...Остается рассмотреть уравнение х2- ау2 = b (5) при целом bи натуральном а, не являющимся квадратом... в этом уравнение числа а иbнатуральные.........для его решения надо обратиться к следующему частному уравнению х 2- ау2 =1 (6)Как показал Л. Эйлер, если (х1, у1) наименьшее натуральное решение уравнения (6), то числа хn =[(x1 +у1-а)n+(x1 - у1-а)n]/2 уn =[(x1 + у1-а)n- (x1 - у1-а)n ]/2-а удовлетворяют уравнению (6) при любом натуральном n.... . ....Лагранж показал, что цепная дробь для квадратичной иррациональности всегда периодическая: -а =(q0,q1,q2,...qs,q1,...qs...) В 1769 году он нашел способ получения наименьшего натурального решения уравнения (7). х2- 3у2 = 1 (7) Если длина периода S - четное число, то обращаются к дроби (Рs-1 )/(Qs-1)= [q0,q1,q2,...qs,q1,...qs...] В этом случае пара (Рs-1 ,Qs-1 ) являются наименьшим натуральным решением уравнения (6) Приведем теперь все натуральные решения (хn, уn) этого уравнения.... х2- 2у2 = 1 хn =[(-2 + 1 )2 n+(-2 - 1)2 n]/2 уn =[(-2 + 1 )2 n- (-2 - 1)2 n ]/2-2 Как мы видим, числа хn являются диагональными, а числа уn -боковыми, причем в соответствующих последовательностях они имеют четные номера." [2]. В данном случае, если взять для боковых и диагональных чисел уравнение (2) то получим решение.
Х2 -5У2=0
d2 - 4d - 1 = 0
a = 1, b = - 4, c = -1
d = (- b + √D)/ 2a
D = b2 - 4ac =(-4)2 - 41(-1)=
= 16 + 4 = 20
d1 = (- b + √D)/2a =
= (4 + √20)/21 = 2 + √5
d2 = (- b - √D) /2a =
= (4 - √20)/21 = 2 - √5
N = f(N) (N1, N2, N3 ... ... Nn)
Nn = (d1n - d2n)/(d1 - d2) n>1
Nn (4, 17, 72, 305, 1292, ...)
M =f(M) (M1, M2, M3,... ... Mn)
Mn = (d1n + d2n)/(d1 + d2) n>1
Mn (4/5, 19, 80/5, 341, 1444/5,...)
yn = Nn (4, 17, 72, 305, 1292,...)
xn = 2Mn (9, 38, 161, 682, 2889,...)
x2 - 5y2 = 1
92 - 542 = 81 - 516 = 81 - 80 = 1
sx2 - py2 = q, x√(q/s) - целое число.
d2 - bd - 1 = 0, b = 2√(n2p +1), где n ∈ N,
d2 - bd +1 = 0, b = 2√(n2p - 1)
p ∈ N не является квадратом.
(n2p + 1) квадрат целого числа.
При p = 2, b = 2 c = - 1,
т. к. 2√(122 - 1) = 2, d2 - 2d - 1 = 0
p = 3, b = 4 , c = 1,
2√(123 + 1) = 4, d2 - 4d + 1 = 0
p = 5, b = 4, c = - 1,
2√(125 - 1) = 4, d2 - 4d + 1 = 0
p = 6, b = 10, c = 1,
2√(226 + 1) = 10, d2 - 10d - 1= 0
sx2 - py2 = q,
Xn = √(q/s)([(-b) + √((-b)2 - 4c)]n +
+ [(-b) - √((-b)2 - 4c)]n)/2n+1
Уn = √((-b/2)2 - c)/p)([(-b) + √((-b)2 - 4c)]n -
- [(-b) - √((-b)2 - 4c)]n)/(2n+1√((-b)2 - 4c))
при с = - 1, (Х2n , У2n) sx2 - py2 = q
(X2n-1, У2n-1) py2 - sx2 = q
Упростим формулы,
D = (-b)2 - 4c, тогда
Хn = √(q/s)([(-b) + √D]n + [(-b) - √D]n)/2n+1
Уn = √(D/p)([(-b) + √D]n - [(-b) - √D]n)/(2n+1√D)
при с = - 1, (Х2n , У2n) sx2 - py2 = q
(X2n-1, У2n-1) py2 - sx2 = q
Список литературы [1] Васильев Ю.Н. "Классификация последовательностей" - С-П.: Журнал "Диалоги о науке" or="Black">2] Шибасов Л.П. " От единицы до бесконечности" -М.: Дрофа, 2005 г. _____________________________________________________________________