Un premier fait doit nous étonner, ou plutôt devrait nous étonner, si nous n'y étions si habitués. Comment se fait-il qu'il y ait des gens qui ne comprennent pas les Mathématiques ? Si les Mathématiques n'invoquent que les règles de la Logique, celles qui sont acceptées par tous les esprits bien faits, si leur évidence est fondée sur des principes qui sont communs à tous les hommes et que nul ne saurait nier sans être fou, comment se fait-il qu'il y ait tant de personnes qui y soient totalement réfractaires ?

Начнем с одного факта, который должен нас изумлять или, вернее, должен был бы изумлять, если бы мы к нему не привыкли. Чем объяснить то обстоятельство, что некоторые люди не понимают математических рассуждений? Если эти рассуждения основаны на одних лишь правилах логики, правилах, признаваемых всеми нормальными умами, если их очевидность основывается на принципах, которые общи всем людям и которых никто в здравом уме не станет отрицать, то как возможно существование столь многих людей, совершенно к ним неспособных?

Que tout le monde ne soit pas capable d'invention, cela n'a rien de mystérieux. Que tout le monde ne puisse retenir une démonstration qu'il a apprise autrefois, passe encore. Mais que tout le monde ne puisse pas comprendre un raisonnement mathématique au moment où on le lui expose, voilà qui paraît bien surprenant quand on y réfléchit. Et pourtant ceux qui ne peuvent suivre ce raisonnement qu'avec peine sont en majorité ; cela est incontestable, et l'expérience des maîtres de l'enseignement secondaire ne me contredira certes pas.

Что не всякий способен на творчество, в этом нет ничего удивительного. Что не всякий может запомнить .доказательство, однажды им узнанное, с этим также можно примириться. Но что не всякий может понимать математическое рассуждение в тот момент, когда ему его излагают, вот что кажется в высшей степени поразительным, когда начинаешь в это вдумываться. А между тем тех, которые лишь с трудом могут следить за таким рассуждением, большинство; это неоспоримый факт, и опыт учителей средней школы наверное ему не противоречит.

Et il y a plus ; comment l'erreur est-elle possible en Mathématiques ? Une intelligence saine ne doit pas commettre de faute de logique, et cependant il y a des esprits très fins, qui ne broncheront pas dans un raisonnement court tel que ceux que l'on a à faire dans les actes ordinaires de la vie, et qui sont incapables de suivre ou de répéter sans erreur les démonstrations des Mathématiques qui sont plus longues, mais qui ne sont, après tout, qu'une accumulation de petits raisonnements tout à fait analogues à ceux qu'ils font si facilement. Est-il nécessaire d'ajouter que les bons mathématiciens eux-mêmes ne sont pas infaillibles ?

Но мало того: как возможна ошибка в математическом рассуждении? Здравый ум не должен допускать логических ошибок, а между тем иные острые умы, безошибочные в тех кратких рассуждениях, которые приходится делать при обычных повседневных обстоятельствах, оказываются неспособными следить или повторить без ошибок математические доказательства, которые, хотя и более длинны, но, в сущности, представляют собой лишь нагромождение маленьких рассуждений, совершенно подобных тем, что даются им так легко. Нужно ли добавлять, что и хорошие математики далеко не непогрешимы?

La réponse me semble s'imposer. Imaginons une longue série de syllogismes, et que les conclusions des premiers servent de prémisses aux suivants ; nous serons capables de saisir chacun de ces syllogismes, et ce n'est pas dans le passage des prémisses à la conclusion que nous risquons de nous tromper. Mais, entre le moment où nous rencontrons pour la première fois une proposition, comme conclusion d'un syllogisme, et celui où nous la retrouvons comme prémisse d'un autre syllogisme, il se sera écoulé parfois beaucoup de temps, on aura déroulé de nombreux anneaux de la chaîne ; il peut donc arriver qu'on l'ait oubliée, ou, ce qui est plus grave, qu'on en ait oublié le sens. Il peut donc se faire qu'on la remplace par une proposition un peu différente, ou que, tout en conservant le même énoncé, on lui attribue un sens un peu différent, et c'est ainsi qu'on est exposé à l'erreur.

Ответ представляется мне очевидным. Представим себе длинную цепь силлогизмов, в которой заключения предыдущих силлогизмов служат посылками для последующих; мы способны понять каждый силлогизм в отдельности, и при переходе от посылок к заключению мы не рискуем впасть в ошибку. Но между моментом, когда мы в первый раз встретили какое-нибудь предложение в виде заключения некоторого силлогизма, и тем моментом, когда мы вновь с ним встречаемся как посылкой другого силлогизма, иногда проходит много времени, в течение которого были развернуты многочисленные звенья цепи; и вот может случиться, что за это время мы либо вовсе забыли это предложение, либо, что еще хуже, забыли его смысл. Таким образом, возможно, что мы его заменим другим, несколько отличным от него предложением или, сохраняя его словесное выражение, припишем ему несколько иной смысл; в том и в другом случае мы рискуем ошибиться.

Souvent le mathématicien doit se servir d'une règle : naturellement il a commencé par démontrer cette règle ; au moment où cette démonstration était toute fraîche dans son souvenir, il en comprenait parfaitement le sens et la portée, et il ne risquait pas de l'altérer. Mais ensuite il l'a confiée à sa mémoire et il ne l'applique plus que d'une façon mécanique ; alors, si la mémoire lui fait défaut, il peut l'appliquer tout de travers. C'est ainsi, pour prendre un exemple simple et presque vulgaire, que nous faisons quelquefois des fautes de calcul parce que nous avons oublié notre table de multiplication.

Часто математику приходится пользоваться много раз одним и тем же правилом: в первый раз он, конечно, доказывает себе его справедливость; пока это доказательство остается в его памяти вполне ясным и свежим, пока он совершенно точно представляет себе смысл и широту охвата этого правила, до тех пор нет никакого риска в его употреблении. Но когда в дальнейшем наш математик, полагаясь на свою память, продолжает применять правило уже совершенно механически, тогда какой-нибудь изъян в памяти может привести к ложному применению правила. Так, если взять простой, почти избитый пример, мы иногда делаем ошибки в счете по той причине, что забыли нашу таблицу умножения.

A ce compte, l'aptitude spéciale aux Mathématiques ne serait due qu'à une mémoire très sûre, ou bien à une force d'attention prodigieuse. Ce serait une qualité analogue à celle du joueur de whist, qui retient les cartes tombées ; ou bien, pour nous élever d'un degré, à celle du joueur d'échecs, qui peut envisager un nombre très grand de combinaisons et les garder dans sa mémoire. Tout bon mathématicien devrait être en même temps bon joueur d'échecs, et inversement ; il devrait être également un bon calculateur numérique. Certes, cela arrive quelquefois : ainsi Gauss était à la fois un géomètre de génie et un calculateur très précoce et très sûr.

С этой точки зрения специальная способность в математике должна обусловливаться очень верной памятью или скорее необычайной напряженностью внимания. Это качество можно было бы сравнить со способностью игрока в вист запоминать вышедшие карты, или, чтобы взять более сильную степень, со способностью шахматиста обозревать и предвидеть очень большое число комбинаций и удерживать их в памяти. С этой точки зрения всякий хороший математик должен был бы быть в то же время хорошим шахматистом, и наоборот; равным образом, он должен быть силен в числовых выкладках. Конечно, иногда так и бывает; так, Гаусс одновременно был гениальным геометром и очень искусным и уверенным вычислителем.

Mais il y a des exceptions, ou plutôt je me trompe ; je ne puis pas appeler cela des exceptions, sans quoi les exceptions seraient plus nombreuses que les cas conformes à la règle. C'est Gauss, au contraire, qui était une exception. Quant à moi, je suis obligé de l'avouer, je suis absolument incapable de faire une addition sans faute. Je serais également un fort mauvais joueur d'échecs ; je calculerais bien qu'en jouant de telle façon, je m'expose à tel danger ; je passerais en revue beaucoup d'autres coups que je rejetterais pour d'autres raisons, et je finirais par jouer le coup d'abord examiné, ayant oublié dans l'intervalle le danger que j'avais prévu.

Но бывают исключения; впрочем, я ошибаюсь, говоря "исключения", ибо тогда исключения окажутся многочисленнее случаев, подходящих под правило. Напротив, именно Гаусс и представляет собой исключение. Что же касается, например, меня лично, то я должен сознаться, что неспособен сделать без ошибки сложение. Равным образом, из меня вышел бы плохой шахматист; я, быть может, хорошо рассчитал бы, что, играя таким-то образом, я подвергаюсь такой-то опасности; я бы разобрал много других ходов, которые отверг бы по тем или другим причинам; но в конце концов я, наверное, сделал бы ход, уже рассмотренный, забыв тем временем о той опасности, которую я раньше предусмотрел.

En un mot, ma mémoire n'est pas mauvaise, mais elle serait insuffisante pour faire de moi un bon joueur d'échecs.

Одним словом, память у меня неплохая, но она была бы недостаточна для того, чтобы я мог стать хорошим игроком в шахматы.

Pourquoi donc ne me fait-elle pas défaut dans un raisonnement mathématique difficile, où la plupart des joueurs d'échecs se perdraient ? C'est évidemment parce qu'elle est guidée par la marche générale du raisonnement. Une démonstration mathématique n'est pas une simple juxtaposition de syllogismes : ce sont des syllogismes placés dans un certain ordre, et l'ordre dans lequel ces éléments sont placés est beaucoup plus important que ne le sont ces éléments eux-mêmes. Si j'ai le sentiment, l'intuition, pour ainsi dire, de cet ordre, de façon à apercevoir d'un coup d'œil l'ensemble du raisonnement, je ne dois plus craindre d'oublier l'un des éléments ; chacun d'eux viendra se placer de lui-même dans le cadre qui lui est préparé, et sans que j'aie à faire aucun effort de mémoire.

Почему же она не изменяет мне в трудном математическом рассуждении, в котором растерялось бы большинство шахматистов? Очевидно, по той причине, что здесь моей памятью руководит общий ход рассуждения. Математическое доказательство представляет собой не просто какое-то нагромождение силлогизмов: это силлогизмы, расположенные в известном порядке, причем этот порядок расположения элементов оказывается гораздо более важным, чем сами элементы. Если я обладаю чувством, так сказать, интуицией этого порядка, так что могу обозреть одним взглядом все рассуждения в целом, то мне не приходится опасаться, что я забуду какой-нибудь один из элементов; каждый из них сам по себе займет назначенное ему место без всякого усилия памяти с моей стороны.

Il me semble alors, en répétant un raisonnement appris, que j'aurais pu l'inventer ; ou plutôt, même si cela est une illusion, si je ne suis pas assez fort pour créer par moi-même, je le réinvente moi-même, à mesure que je le répète.

Далее, когда я повторяю усвоенное доказательство, мне часто кажется, что я мог бы и сам придумать его; быть может, часто это только иллюзия; но если даже у меня недостаточно сил, чтобы самостоятельно найти такое доказательство, то я по меньшей мере самостоятельно создаю его всякий раз, когда мне приходится его повторять.

On conçoit que ce sentiment, cette intuition de l'ordre mathématique, qui nous fait deviner des harmonies et des relations cachées, ne puisse appartenir à tout le monde. Les uns ne posséderont ni ce sentiment délicat et difficile à définir, ni une force de mémoire et d'attention au-dessus de l'ordinaire, et alors ils seront absolument incapables de comprendre les Mathématiques un peu élevées ; c'est le plus grand nombre. D'autres n'auront ce sentiment qu'à un faible degré, mais ils seront doués d'une mémoire peu commune et d'une grande capacité d'attention. Ils apprendront par cœur les détails les uns après les autres ; ils pourront comprendre les Mathématiques et quelquefois les appliquer, mais ils seront hors d'état de créer. Les autres, enfin, posséderont à un plus ou moins haut degré l'intuition spéciale dont je viens de parler, et alors non seulement ils pourront comprendre les Mathématiques, quand même leur mémoire n'aurait rien d'extraordinaire, mais ils pourront devenir créateurs et chercher à inventer avec plus ou moins de succès, suivant que cette intuition est chez eux plus ou moins développée.

Понятно, что это чувство, этот род математической интуиции, благодаря которой мы отгадываем скрытые гармонии н соотношения, не может быть принадлежностью всех людей. Одни не обладают ни этим тонким, трудно оценимым чувством, ни силой памяти и внимания выше среднего уровня, и тогда они оказываются совершенно неспособными понять сколько-нибудь сложные математические теории. Другие, обладая этим чувством лишь в слабой степени, одарены в то же время редкой памятью и большой способностью внимания. Они запомнят наизусть частности, одну за другой; они смогут понять математическую теорию и даже иной раз сумеют ее применить, но они не в состоянии творить. Наконец, третьи, обладая в более или менее высокой степени той специальной интуицией, о которой я только что говорил, не только смогут понять математику, не обладая особенной памятью, но они смогут оказаться творцами, и их поиски новых открытий будут более или менее успешны, смотря по степени развития у них этой интуиции.

Qu'est-ce, en effet, que l'invention mathématique ? Elle ne consiste pas à faire de nouvelles combinaisons avec des êtres mathématiques déjà connus. Cela, n'importe qui pourrait le faire ; mais les combinaisons que l'on pourrait faire ainsi seraient en nombre fini, et le plus grand nombre est absolument dépourvu d'intérêt. Inventer, cela consiste précisément à ne pas construire les combinaisons inutiles et à construire celles qui sont utiles et qui ne sont qu'une infime minorité. Inventer, c'est discerner, c'est choisir.

В чем, в самом деле, состоит математическое творчество? Оно заключается не в создании новых комбинаций с помощью уже известных математических объектов. Это может сделать мало ли кто; но число комбинаций, которые можно найти этим путем, было бы бесконечно, и даже самое большое их число не пред-ставляло бы ровно никакого интереса. Творчество состоит как раз в том, чтобы не создавать бесполезных комбинаций, а строить такие, которые оказываются полезными; а их ничтожное меньшинство. Творить - это отличать, выбирать.

Comment doit se faire ce choix, je l'ai expliqué ailleurs ; les faits mathématiques dignes d'être étudiés, ce sont ceux qui, par leur analogie avec d'autres faits, sont susceptibles de nous conduire à la connaissance d'une loi mathématique, de la même façon que les faits expérimentaux nous conduisent à la connaissance d'une loi physique. Ce sont ceux qui nous révèlent des parentés insoupçonnées entre d'autres faits, connus depuis longtemps, mais qu'on croyait à tort étrangers les uns aux autres.

Как следует производить этот выбор, я объяснил в другом месте; в математике фактами, заслуживающими изучения, являются те, которые ввиду их сходства с другими фактами способны привести нас к открытию какого-нибудь математического закона, совершенно подобно тому, как экспериментальные факты приводят к открытию физического закона. Это именно те факты, которые обнаруживают родство между другими фактами, известными с давних пор, но ошибочно считавшимися чуждыми друг другу.

Parmi les combinaisons que l'on choisira, les plus fécondes seront souvent celles qui sont formées d'éléments empruntés à des domaines très éloignés. Je ne veux pas dire qu'il suffise pour inventer de rapprocher des objets aussi disparates que possible ; la plupart des combinaisons qu'on formerait ainsi seraient entièrement stériles ; mais quelques-unes d'entre elles, bien rares, sont les plus fécondes de toutes.

Среди комбинаций, на которые падает выбор, часто наиболее плодотворными оказываются те, элементы которых взяты из наиболее удаленных друг от друга областей. Я не хочу сказать, что для нового открытия достаточно сблизить возможно глубже различающиеся предметы; большинство комбинаций, построенных таким образом, оказались бы совершенно бесплодными; но некоторые, правда, очень немногие из них, бывают наиболее плодотворными.

Inventer, je l'ai dit, c'est choisir ; mais le mot n'est peut-être pas tout à fait juste. Il fait penser à un acheteur à qui l'on présente un grand nombre d'échantillons, qui les examine l'un après l'autre de façon à faire son choix. Ici les échantillons seraient tellement nombreux qu'une vie entière ne suffirait pas pour les examiner. Ce n'est pas ainsi que les choses se passent. Les combinaisons stériles ne se présenteront même pas à l'esprit de l'inventeur. Dans le champ de sa conscience n'apparaîtront jamais que les combinaisons réellement utiles, et quelques autres qu'il rejettera, mais qui participent un peu des caractères des combinaisons utiles. Tout se passe comme si l'inventeur était un examinateur du deuxième degré, qui n'aurait plus à interroger que les candidats déclarés admissibles après une première épreuve.

Творить, изобретать, сказал я, значит выбирать; но это слово, пожалуй, не вполне подходит. Оно вызывает представление о покупателе, которому предлагают громадное число образчиков и который их пересматривает один за другим, имея в виду сделать свой выбор. Здесь число образчиков было бы так велико, что всей жизни не хватило бы для пересмотра всех их. Но в действительности это обстоит иначе. Бесплодные комбинации даже и не представляются уму изобретателя. В поле его сознания появляются лишь действительно полезные комбинации, да еще некоторые другие, которые он, правда, отбросит в сторону, но которые не лишены характера полезных комбинаций. Все происходит подобно тому, как если бы изобретатель был экзаменатором второй ступени, имеющим дело лишь с кандидатами, успешно прошедшими через первое испытание.

Mais ce que j'ai dit jusqu'ici, c'est ce qu'on peut observer ou inférer en lisant les écrits des géomètres, à la condition de faire cette lecture avec quelque réflexion.

К тому, что мною сказано до сих пор, можно прийти посредством наблюдения или вывода при чтении произведений математиков, если только вдумчиво это делать.

Il est temps de pénétrer plus avant et de voir ce qui se passe dans l'âme même du mathématicien. Pour cela, je crois que ce que j'ai de mieux à faire, c'est de rappeler des souvenirs personnels. Seulement, je vais me circonscrire et vous raconter seulement comment j'ai écrit mon premier Mémoire sur les fonctions fuchsiennes. Je vous demande pardon, je vais employer quelques expressions techniques ; mais elles ne doivent pas vous effrayer, vous n'avez aucun besoin de les comprendre. Je dirai, par exemple : J'ai trouvé la démonstration de tel théorème dans telles circonstances ; ce théorème aura un nom barbare, que beaucoup d'entre vous ne connaîtront pas, mais cela n'a aucune importance ; ce qui est intéressant pour le psychologue, ce n'est pas le théorème, ce sont les circonstances.

Теперь пора вникнуть глубже и посмотреть, что происходит в самой душе математика. Лучшее, что я могу сделать с этой целью, - это, я полагаю, обратиться к моим личным воспоминаниям. Впрочем, я ограничусь тем, что расскажу вам, как я написал мой первый мемуар о фуксовых функциях. Прошу у вас извинения, ибо мне придется употребить несколько технических выражений; но они не должны вас пугать: вам, собственно, незачем их понимать. Например, я скажу так: я нашел доказательство такой-то теоремы при таких-то обстоятельствах; эта теорема будет носить варварское название, которое для большинства из вас не будет понятно, но это совершенно неважно; все, что интересно здесь для психолога, - это условия, обстоятельства.

Depuis quinze jours, je m'efforçais de démontrer qu'il ne pouvait exister aucune fonction analogue à ce que j'ai appelé depuis les fonctions fuchsiennes ; j'étais alors fort ignorant ; tous les jours, je m'asseyais à ma table de travail, j'y passais une heure ou deux, j'essayais un grand nombre de combinaisons et je n'arrivais à aucun résultat. Un soir, je pris du café noir contrairement à mon habitude ; je ne pus m'endormir ; les idées surgissaient en foule ; je les sentais comme se heurter, jusqu'à ce que deux d'entre elles s'accrochassent pour ainsi dire pour former une combinaison stable. Le matin, j'avais établi l'existence d'une classe de fonctions fuchsiennes, celles qui dérivent de la série hypergéométrique ; je n'eus plus qu'à rédiger les résultats, ce qui ne me prit que quelques heures.

В течение двух недель я старался доказать, что невозможна никакая функция, которая была бы подобна тем, которым я впоследствии дал название фуксовых функции; в то время я был еще весьма далек от того, что мне было нужно. Каждый день я усаживался за свой рабочий стол, проводил за ним один-два часа, перебирал большое число комбинаций и не приходил ни к какому результату. Но однажды вечером я выпил, вопреки своему обыкновению, чашку черного кофе; я не мог заснуть; идеи возникали во множестве; мне казалось, что я чувствую, как они сталкиваются между собой, пока, наконец, две из них, как бы сцепившись друг с другом, не образовали устойчивого соединения. Наутро я установил существование класса функций Фукса, а именно тех, которые получаются из гипергеометрического ряда; мне оставалось лишь сформулировать результаты, что отняло у меня всего несколько часов.

Je voulus ensuite représenter ces fonctions par le quotient de deux séries ; cette idée fut parfaitement consciente et réfléchie ; l'analogie avec les fonctions elliptiques me guidait. Je me demandai quelles devaient être les propriétés de ces séries si elles existaient, et j'arrivai sans difficulté à former les séries que j'ai appelées thétafuchsiennes.

Я захотел затем представить эти функции в виде частного двух рядов; это была вполне сознательная и обдуманная мысль; мною руководила аналогия с эллиптическими функциями. Я задал себе вопрос; каковы должны быть свойства этих рядов, если они существуют, и я пришел без труда к образованию рядов, названных мною тета- фуксовыми функциями.

A ce moment, je quittai Caen, que j'habitais alors, pour prendre part à une course géologique entreprise par l'École des Mines. Les péripéties du voyage me firent oublier mes travaux mathématiques ; arrivés à Coutances, nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade ; au moment où je mettais le pied sur le marche-pied, l'idée me vint, sans que rien de mes pensées antérieures parut m'y avoir préparé, que les transformations dont j'avais fait usage pour définir les fonctions fuchsiennes sont identiques à celles de la Géométrie non-euclidienne. Je ne fis pas la vérification ; je n'en aurais pas eu le temps, puisque, à peine assis dans l'omnibus, je repris la conversation commencée, mais j'eus tout de suite une entière certitude. De retour à Caen, je vérifiai le résultat à tête reposée pour l'acquit de ma conscience.

В эту пору я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической экскурсии, организованной Горным институтом. Среди дорожных перипетии я забыл о своих математических работах; по прибытии в Кутанс мы взяли омнибус для прогулки; и вот в тот момент, когда я заносил ногу на ступеньку омнибуса, мне пришла в голову идея - хотя мои предыдущие мысли не имели с нею ничего общего,- что те преобразования, которыми я воспользовался для определения фуксовых функций, тождественны с преобразованиями неевклидовой геометрии. Я не проверил этой идеи; для этого я не имел времени, так как, едва усевшись в омнибус, я возобновил начатый разговор, тем не менее я сразу почувствовал полную уверенность в правильности идеи. Возвратись в Кан, я сделал проверку; идея оказалась правильной.

Je me mis alors à étudier des questions d'Arithmétique sans grand résultat apparent et sans soupçonner que cela pût avoir le moindre rapport avec mes recherches antérieures. Dégoûté de mon insuccès, j'allai passer quelques jours au bord de la mer, et je pensai à tout autre chose. Un jour, en me promenant sur une falaise, l'idée me vint, toujours avec les mêmes caractères de brièveté, de soudaineté et de certitude immédiate, que les transformations arithmétiques des formes quadratiques ternaires indéfinies sont identiques à celles de la Géométrie non euclidienne.

Вслед за тем я занялся некоторыми вопросами арифметики, по-видимому, без особенного успеха; мне и в голову не приходило, что эти вопросы могут иметь хотя бы самое отдаленное отношение к моим предыдущим исследованиям. Раздосадованный неудачей, я решил провести несколько дней на берегу моря и стал думать о совершенно других вещах. Однажды, когда я бродил по прибрежным скалам, мне пришла в голову мысль, опять-таки с теми же характерными признаками: краткостью, внезапностью и непосредственной уверенностью в ее истинности, что арифметические преобразования неопределенных квадратичных трехчленов тождественны с преобразованиями неевклидовой геометрии.

Étant revenu à Caen, je réfléchis sur ce résultat, et j'en tirai les conséquences ; l'exemple des formes quadratiques me montrait qu'il y a des groupes fuchsiens autres que ceux qui correspondent à la série hypergéométrique ; je vis que je pouvais leur appliquer la théorie des séries thétafuchsiennes et que, par conséquent, il existe des fonctions fuchsiennes autres que celles qui dérivent de la série hypergéométrique, les seules que je connusse jusqu'alors. Je me proposai naturellement de former toutes ces fonctions ; j'en fis un siège systématique et j'enlevai l'un après l'autre tous les ouvrages avancés ; il y en avait un, cependant, qui tenait encore et dont la chute devait entraîner celle du corps de place. Mais tous mes efforts ne servirent d'abord qu'à me mieux faire connaître la difficulté, ce qui était déjà quelque chose. Tout ce travail fut parfaitement conscient.

Возвратившись в Кан, я стал размышлять над этой мыслью и сделал из нее некоторые выводы; пример квадратичных форм показал мне, что, помимо фуксовых групп, которые соответствуют гипергеометрическому ряду, существуют еще и другие; я увидел, что к ним можно приложить теорию тета-фуксовых рядов и что, следовательно, существуют еще иные фуксовы функции, помимо тех, которые происходят из гнпергеометрического ряда и которые только и были известны мне до тех пор. Понятно, я задался целью образовать все такие функции; я повел правильную осаду и овладел одним за другим всеми наружными фортами; но один все еще держался; его падение должно было повлечь за собой сдачу крепости. Однако все мои усилия приводили лишь к большему убеждению в трудности задачи; но и это уже имело некоторое значение. Вся эта работа происходила вполне сознательно.

Là-dessus, je partis pour le Mont Valérien, où je devais faire mon service militaire ; j'eus donc des préoccupations très différentes. Un jour, en traversant le boulevard, la solution de la difficulté qui m'avait arrêté m'apparut tout à coup. Je ne cherchai pas à l'approfondir immédiatement, et ce fut seulement après mon service que je repris la question. J'avais tous les éléments, je n'avais qu'à les rassembler et à les ordonner. Je rédigeai donc mon Mémoire définitif d'un trait et sans aucune peine.

Тут мне пришлось уехать в Мон-Валерьен, где я должен был отбывать воинскую повинность; конечно, я был поглощен разнообразнейшими делами. Однажды я шел по бульвару, как вдруг мне представилось решение занимавшей меня задачи. Я не стал тогда же вникать в этот вопрос; это я сделал лишь по окончании военной службы. В руках у меня были все необходимые данные, оставалось только собрать их вместе и расположить в надлежащем порядке. Теперь я уже в один присест без всякого усилия написал свой окончательный мемуар.

Je me bornerai à cet exemple unique ; il est inutile de les multiplier ; en ce qui concerne mes autres recherches, j'aurais à vous faire des récits tout à fait analogues ; et les observations rapportées par d'autres mathématiciens dans l'enquête de l'Enseignement mathématique ne pourraient que les confirmer.

Я ограничусь одним только этим примером; было бы бесполезно увеличивать их число, о многих других исследованиях мне пришлось бы повторять почти то же самое; наблюдения, сообщаемые другими математиками в ответе на анкету журнала "Математическое образование", тоже лишь подтвердили бы сказанное.

Ce qui frappera tout d'abord, ce sont ces apparences d'illumination subite, signes manifestes d'un long travail inconscient antérieur ; le rôle de ce travail inconscient, dans l'invention mathématique, me paraît incontestable et l'on en trouverait des traces dans d'autres cas où il est moins évident. Souvent, quand on travaille une question difficile, on ne fait rien de bon la première fois qu'on se met à la besogne ; ensuite, on prend un repos plus ou moins long, et on s'assoit de nouveau devant sa table. Pendant la première demi-heure, on continue à ne rien trouver ; puis, tout à coup, l'idée décisive se présente à l'esprit. On pourrait dire que le travail conscient a été plus fructueux parce qu'il a été interrompu et que le repos a rendu à l'esprit sa force et sa fraîcheur. Mais il est plus probable que ce repos a été rempli par un travail inconscient, et que le résultat de ce travail s'est révélé ensuite au géomètre, tout à fait comme dans les cas que j'ai cités ; seulement la révélation, au lieu de se faire jour pendant une promenade ou un voyage, s'est produite pendant une période de travail conscient, mais indépendamment de ce travail, qui joue tout au plus un rôle de déclenchement, comme s'il était l'aiguillon qui aurait excité les résultats déjà acquis pendant le repos, mais restés inconscients, à revêtir la forme consciente.

Прежде всего, поражает этот характер внезапного прозрения, с несомненностью свидетельствующий о долгой предварительной бессознательной работе; роль этой бессознательной работы в процессе математического творчества кажется мне неоспоримой; следы ее можно было бы. найти и в. других случаях, где она является менее очевидной- Часто, когда думаешь над каким-нибудь трудным вопросом, за первый присест не удается сделать ничего путного; затем, отдохнув более или менее продолжительное время, садишься снова за стол. Проходит полчаса и все так же безрезультатно, как вдруг в голове появляется решающая мысль. Можно думать, что сознательная работа оказалась более плодотворной, благодаря тому, что она была временно прервана, и отдых вернул уму его силу и свежесть. Но более вероятно, что это время отдыха было заполнено бессознательной работой, результат которой потом раскрывается перед математиком, подобно тому как это имело место в приведенных примерах; но только здесь это откровение происходит не во время прогулки или путешествия, а во время сознательной работы, хотя в действительности независимо от этой работы, разве только разматывающей уже готовые изгибы; эта работа играет как бы только роль стимула, который заставляет результаты, приобретенные за время покоя, но оставшиеся за порогом сознания, облечься в форму, доступную сознанию.

Il y a une autre remarque à faire au sujet des conditions de ce travail inconscient : c'est qu'il n'est possible et, en tout cas, qu'il n'est fécond que s'il est, d'une part, précédé, et, d'autre part, suivi d'une période de travail conscient. Jamais (et les exemples que je vous ai cités le prouvent déjà suffisamment) ces inspirations subites ne se produisent sinon après quelques jours d'efforts volontaires, qui ont paru absolument infructueux et où l'on a cru ne rien faire de bon, où il semble qu'on a fait totalement fausse route. Ces efforts n'ont donc pas été aussi stériles qu'on le pense ; ils ont mis en branle la machine inconsciente, et sans eux elle n'aurait pas marché et elle n'aurait rien produit.

Можно сделать еще одно замечание по поводу условий такой бессознательной работы; а именно: эта работа возможна или по меньшей мере плодотворна лишь в том случае, если ей предшествует и за нею следует период сознательной работы. Никогда (и приведенные мною примеры достаточны для такого утверждения) эти внезапные внушения не происходят иначе, как после нескольких дней волевых усилий, казавшихся совершенно бесплодными, так что весь пройденный путь в конце концов представлялся ложным. Но эти усилия оказываются в действительности не такими уж бесплодными, как это казалось; это они пустили в ход машину бессознательного, которая без них не стала бы двигаться и ничего бы не произвела.

La nécessité de la seconde période de travail conscient, après l'inspiration, se comprend mieux encore. Il faut mettre en œuvre les résultats de cette inspiration, en déduire les conséquences immédiates, les ordonner, rédiger les démonstrations. Mais surtout il faut les vérifier. Je vous ai parlé du sentiment de certitude absolue qui accompagne l'inspiration ; dans les cas cités, ce sentiment n'était pas trompeur, et le plus souvent, il en est ainsi ; mais il faut se garder de croire que ce soit une règle sans exception ; souvent ce sentiment nous trompe, sans pour cela être moins vif, et l'on ne s'en aperçoit que quand on cherche à mettre la démonstration sur pied. J'ai observé surtout le fait pour les idées qui me sont venues le matin ou le soir dans mon lit, dans un état semi-hypnagogique.

Необходимость второго периода сознательной работы представляется еще более понятной. Надо пустить в действие результаты этого вдохновения, сделать из них непосредственные выводы, привести их в порядок, провести доказательства; а прежде всего их надо проверить. Я говорил вам о чувстве абсолютной достоверности, сопровождающем вдохновение; в приведенных примерах это чувство меня не обмануло, и так оно бывает в большинстве случаев; но следует остерегаться мнения, что так бывает всегда; подчас это чувство нас обманывает, хотя оно и в этих случаях ощущается не менее живо; ошибка обнаруживается лишь тогда, когда хочешь провести строгое доказательство. Это, по моим наблюдениям, особенно часто имеет место с мыслями, которые приходят в голову утром или вечером, когда я лежу в постели в полусонном состоянии.

Tels sont les faits, et voici maintenant les réflexions qu'ils nous imposent. Le moi inconscient ou, comme on dit, le moi subliminal joue un rôle capital dans l'invention mathématique ; cela résulte de tout ce qui précède. Mais on considère d'ordinaire le moi subliminal comme purement automatique. Or nous avons vu que le travail mathématique n'est pas un simple travail mécanique, qu'on ne saurait le confier à une machine, quelque perfectionnée qu'on la suppose. Il ne s'agit pas seulement d'appliquer des règles, de fabriquer le plus de combinaisons possibles d'après certaines lois fixes. Les combinaisons ainsi obtenues seraient extrêmement nombreuses, inutiles et encombrantes. Le véritable travail de l'inventeur consiste à choisir entre ces combinaisons, de façon à éliminer celles qui sont inutiles ou plutôt à ne pas se donner la peine de les faire.

Таковы факты; они наводят нас на следующие размышления. Бессознательное или, как еще говорят, подсознательное "я" играет в математическом творчестве роль первостепенной важности; это явствует из всего предшествующего. Но это подсознательное "я" обычно считают совершенно автоматическим; Между тем мы видели, что математическая работа не есть простая механическая работа; ее нельзя доверить никакой машине, как бы совершенна она ни была. Дело не только в том, чтобы применять известные правила и сфабриковать как можно больше комбинаций по некоторым установленным законам. Полученные таким путем комбинации были бы невероятно многочисленны, но бесполезны и служили бы лишь помехой. Истинная творческая работа состоит в том, чтобы делать выбор среди этих комбинаций, исключая из рассмотрения те, которые являются бесполезными, или даже в том, чтобы освобождать себя от труда создавать эти бесполезные комбинации.

Et les règles qui doivent guider ce choix sont extrêmement fines et délicates ; il est à peu près impossible de les énoncer dans un langage précis ; elles se sentent plutôt qu'elles ne se formulent ; comment, dans ces conditions, imaginer un crible capable de les appliquer mécaniquement ?

Но правила, руководящие этим выбором, - крайне тонкого, деликатного характера; почти невозможно точно выразить их словами; они явственно чувствуются, но плохо поддаются формулировке; возможно ли при таких обстоятельствах представить себе решето, способное просеивать их механически?

Et alors une première hypothèse se présente à nous ; le moi subliminal n'est nullement inférieur au moi conscient ; il n'est pas purement automatique, il est capable de discernement, il a du tact, de la délicatesse ; il sait choisir, il sait deviner. Que dis-je ? Il sait mieux deviner que le moi conscient, puisqu'il réussit là où celui-ci avait échoué. En un mot, le moi subliminal n'est-il pas supérieur au moi conscient ? Vous comprenez toute l'importance de cette question. M. Boutroux, dans une conférence récente, vous a montré comment elle s'était posée à des occasions toutes différentes et quelles conséquences entraînerait une réponse affirmative. (Voir aussi du même auteur, Science et religion, page 313, sqq.)[1]

А в таком случае представляется правдоподобной такая гипотеза: "я" подсознательное нисколько не "ниже", чем "я" сознательное; оно отнюдь не имеет исключительно механического характера, но способно к распознаванию, обладает тактом, чувством изящного; оно умеет выбирать и отгадывать. Да что там! Оно лучше умеет отгадывать, чем "я" сознательное, ибо ему удается то, перед чем другое "я" оказывается бессильным. Одним словом, не является ли подсознательное "я" чем-то высшим, чем "я" сознательное? Вам понятна вся важность этого вопроса. Бутру в лекции, прочитанной месяца два тому назад, показал, каким образом к тому же вопросу приводят совершенно другие обстоятельства и к каким следствиям привел бы положительный ответ на него.

Cette réponse affirmative nous est-elle imposée par les faits que je viens de vous exposer ? J'avoue que, pour ma part, je ne l'accepterais pas sans répugnance. Revoyons donc les faits et cherchons s'ils ne comporteraient pas une autre explication.

Приводят ли нас к этому положительному ответу те факты, которые я только что изложил? Что касается меня, то я, признаюсь, отнесся бы к такому ответу далеко не сочувственно. Пересмотрим же вновь факты и поищем, не допускают ли они другого объяснения.

Il est certain que les combinaisons qui se présentent à l'esprit, dans une sorte d'illumination subite, après un travail inconscient un peu prolongé, sont généralement des combinaisons utiles et fécondes, qui semblent le résultat d'un premier triage. S'ensuit-il que le moi subliminal, ayant deviné par une intuition délicate que ces combinaisons pouvaient être utiles, n'a formé que celles-là, ou bien en a-t-il formé beaucoup d'autres qui étaient dépourvues d'intérêt et qui sont demeurées inconscientes.

Несомненно, что те комбинации, которые представляются уму в момент какого-то внезапного просветления, наступающего после более или менее продолжительного периода бессознательной работы, в общем случае оказываются полезными и плодотворными, являясь, по-видимому, результатом первого отбора. Но следует ли отсюда, что подсознательное "я", отгадавшее с помощью тонкой интуиции, что эти комбинации могут быть полезны, только эти именно комбинации и построило, или, может быть, оно построило еще множество других, оказавшихся лишенными всякого интереса и потому не переступивших порога сознания?

Dans cette seconde manière de voir, toutes les combinaisons se formeraient par suite de l'automatisme du moi subliminal, mais, seules, celles qui seraient intéressantes pénétreraient dans le champ de la conscience. Et cela est encore très mystérieux. Quelle est la cause qui fait que, parmi les mille produits de notre activité inconsciente, il y en a qui sont appelés à franchir le seuil, tandis que d'autres restent en deçà ? Est-ce un simple hasard qui leur confère ce privilège ? Évidemment non ; parmi toutes les excitations de nos sens, par exemple, les plus intenses seules retiendront notre attention, à moins que cette attention n'ait été attirée sur elles par d'autres causes. Plus généralement, les phénomènes inconscients privilégiés, ceux qui sont susceptibles de devenir conscients, ce sont ceux qui, directement ou indirectement, affectent le plus profondément notre sensibilité.

С этой второй точки зрения все комбинации создаются благодаря автоматизму подсознательного "я", но только те из них, которые могут оказаться интересными, проникают в поле сознания. И это представляется еще более таинственным. В чем причина того, что среди тысяч продуктов нашей бессознательной деятельности одним удается переступить порог сознания, тогда как другие остаются за его порогом? Случайно ли даруется такая привилегия? Очевидно, нет; например, среди всех раздражений наших чувств только самые интенсивные остановят на себе наше внимание, если только оно не привлекается еще и другими причинами. Вообще, среди несознаваемых явлений привилегированными, т. е. способными стать сознаваемыми, оказываются те, которые прямо или косвенно оказывают наибольшее воздействие на нашу способность к восприятию.

On peut s'étonner de voir invoquer la sensibilité à propos de démonstrations mathématiques, qui, semble-t-il, ne peuvent intéresser que l'intelligence. Ce serait oublier le sentiment de la beauté mathématique, de l'harmonie des nombres et des formes, de l'élégance géométrique. C'est un véritable sentiment esthétique que tous les vrais mathématiciens connaissent. Et c'est bien là de la sensibilité.

Может показаться странным, что по поводу математических доказательств, имеющих, по-видимому, дело лишь с мышлением, я заговорил о восприятии. Но считать это странным значило бы забыть о чувстве прекрасного в математике, о гармонии чисел и форм, о геометрическом изяществе. Всем истинным математикам знакомо настоящее эстетическое чувство. Но ведь здесь мы уже в области чувственного восприятия.

Or, quels sont les êtres mathématiques auxquels nous attribuons ce caractère de beauté et d'élégance et qui sont susceptibles de développer en nous une sorte d'émotion esthétique ? Ce sont ceux dont les éléments sont harmonieusement disposés, de façon que l'esprit puisse sans effort en embrasser l'ensemble tout en pénétrant les détails. Cette harmonie est à la fois une satisfaction pour nos besoins esthétiques et une aide pour l'esprit, qu'elle soutient et qu'elle guide. Et, en même temps, en mettant sous nos yeux un tout bien ordonné, elle nous fait pressentir une loi mathématique. Or, nous l'avons dit plus haut, les seuls faits mathématiques dignes de retenir notre attention et susceptibles d'être utiles sont ceux qui peuvent nous faire connaître une loi mathématique. De sorte que nous arrivons à la conclusion suivante : Les combinaisons utiles, ce sont précisément les plus belles, je veux dire celles qui peuvent le mieux charmer cette sensibilité spéciale que tous les mathématiciens connaissent, mais que les profanes ignorent au point qu'ils sont souvent tentés d'en sourire.

Но какие же именно математические предметы мы называем прекрасными и изящными, какие именно предметы способны вызвать в нас своего рода эстетические эмоции? Это те, элементы которых расположены так гармонично, что ум без труда может охватить целое, проникая в то же время и в детали. Эта гармония одновременно удовлетворяет нашим эстетическим потребностям и служит подспорьем для ума, который она поддерживает и которым руководит. И в то же время, давая нам зрелище правильно расположенного целого, она вызывает в нас предчувствие математического закона. А ведь мы видели, что единственными математическими фактами, достойными нашего внимания и могущими оказаться полезными, являются как раз те, которые могут привести нас к открытию нового математического закона. Таким образом, мы приходим к следующему заключению: полезными комбинациями являются как раз наиболее изящные комбинации, т. е. те, которые в наибольшей степени способны удовлетворять тому специальному эстетическому чувству, которое знакомо всем математикам, но которое до того непонятно профанам, что упоминание о нем вызывает улыбку на их лицах.

Qu'arrive-t-il alors ? Parmi les combinaisons en très grand nombre que le moi subliminal a aveuglément formées, presque toutes sont sans intérêt et sans utilité, mais par cela même elles sont sans action sur la sensibilité esthétique ; la conscience ne les connaîtra jamais ; quelques-unes seulement sont harmonieuses, et par suite à la fois utiles et belles ; elles seront capables d'émouvoir cette sensibilité spéciale du géomètre dont je viens de vous parler, et qui, une fois excitée, appellera sur elles notre attention, et leur donnera ainsi l'occasion de devenir conscientes.

Но что же тогда оказывается? Среди тех крайне многочисленных комбинаций, которые слепо создает мое подсознательное "я", почти все оказываются лишенными интереса и пользы, но именно поэтому они не оказывают никакого воздействия на эстетическое чувство, и сознание никогда о них не узнает; лишь некоторые среди них оказываются гармоничными, а следовательно, полезными и прекрасными в то же время; они сумеют разбудить ту специальную восприимчивость математика, о которой я только что говорил; последняя же, однажды возбужденная, со своей стороны, привлечет наше внимание к этим комбинациям и этим даст им возможность переступить через порог сознания.

Ce n'est là qu'une hypothèse, et cependant voici une observation qui pourrait la confirmer : Quand une illumination subite envahit l'esprit du mathématicien, il, arrive le plus souvent qu'elle ne le trompe pas ; mais il arrive aussi quelquefois, je l'ai dit, qu'elle ne supporte pas l'épreuve d'une vérification ; eh bien, on remarque presque toujours que cette idée fausse, si elle avait été juste, aurait flatté, notre instinct naturel de l'élégance mathématique.

Это не более как гипотеза; но вот наблюдение, решительно говорящее в ее пользу: когда ум математика испытывает внезапное просветление, то большей частью оно его не обманывает; но иногда все же случается, как я уже говорил, что пришедшие таким образом в голову идеи не выдерживают проверочных операций; и вот замечено, что почти всегда такая ложная идея, будь она верна, была бы приятна нашему естественному инстинкту математического изящества.

Ainsi c'est cette sensibilité esthétique spéciale qui joue le rôle du crible délicat dont je parlais plus haut, et cela fait comprendre assez pourquoi celui qui en est dépourvu ne sera jamais un véritable inventeur.

Таким образом, именно это специальное эстетическое чувство играет роль того тонкого критерия, о котором я говорил выше; благодаря этому становится понятным и то, почему человек, лишенный этого чувства, никогда не окажется истинным творцом.

Toutes les difficultés n'ont pas disparu cependant ; le moi conscient est étroitement borné ; quant au moi subliminal, nous n'en connaissons pas les limites, et c'est pourquoi nous ne répugnons pas trop à supposer qu'il a pu former en peu de temps plus de combinaisons diverses que la vie entière d'un être conscient ne pourrait en embrasser. Ces limites existent cependant ; est-il vraisemblable qu'il puisse former toutes les combinaisons possibles, dont le nombre effrayerait l'imagination ; cela semblerait nécessaire néanmoins, car, s'il ne produit qu'une petite partie de ces combinaisons, et s'il le fait au hasard, il y aura bien peu de chances pour que la bonne, celle qu'on doit choisir, se trouve parmi elles.

Однако такое объяснение не устраняет всех затруднений; сознательное "я" в крайней степени ограничено; что же касается подсознательного "я", то нам неизвестны его границы, и потому нет ничего неестественного в предположении, что оно может за небольшой промежуток времени создать больше различных комбинаций, чем может охватить сознательное существо за целую жизнь. Но тем не менее эти пределы существуют; в таком случае правдоподобно ли, чтобы это подсознательное "я" могло образовать, все возможные комбинации, число которых ужаснуло бы всякое воображение? И, однако, это представляется необходимым, ибо если оно создает лишь небольшую часть этих комбинаций, да и то делает на авось, то будет очень уж мало шансов на то, что среди них окажется удачная комбинация, т. е.та, которую надо найти.

Peut-être faut-il chercher l'explication dans cette période de travail conscient préliminaire qui précède toujours tout travail inconscient fructueux. Qu'on me permette une comparaison grossière. Représentons-nous les éléments futurs de nos combinaisons comme quelque chose de semblable aux atomes crochus d'Épicure. Pendant le repos complet de l'esprit, ces atomes sont immobiles, ils sont pour ainsi dire accrochés au mur : ce repos complet peut donc se prolonger indéfiniment sans que ces atomes se rencontrent, et, par conséquent, sans qu'aucune combinaison puisse se produire entre eux.

Но, быть может, объяснения следует искать в том периоде сознательной работы, который всегда предшествует плодотворной бессознательной работе? Позвольте мне прибегнуть к грубому сравнению. Представим себе будущие элементы наших комбинаций чем-то вроде крючкообразных атомов Эпикура. Во время полного бездействия ума эти атомы неподвижны, как если бы они были повешены на стену; таким образом, этот полный покой ума может продолжаться неопределенно долго, и за все это время атомы не сблизятся ни разу и, следовательно, не осуществится ни одна комбинация.

Au contraire, pendant une période de repos apparent et de travail inconscient, quelques-uns d'entre eux sont détachés du mur et mis en mouvement. Ils sillonnent dans tous les sens l'espace, j'allais dire la pièce où ils sont enfermés, comme pourrait le faire, par exemple, une nuée de moucherons, ou, si vous préférez une comparaison plus savante, comme le font les molécules gazeuses dans la théorie cinétique des gaz. Leurs chocs mutuels peuvent alors produire des combinaisons nouvelles.

В противоположность этому, в течение периода кажущегося покоя и бессознательной работы некоторые из атомов отделяются от стены и приходят в движение. Они бороздят по всем направлениям то пространство, в котором они заключены, подобно рою мошек или, если вы предпочитаете более ученое сравнение, подобно молекулам газа в кинетической теории газов. Тогда их взаимные столкновения могут привести к образованию новых комбинаций.

Quel va être le rôle du travail conscient préliminaire ? C'est évidemment de mobiliser quelques-uns de ces atomes, de les décrocher du mur et de les mettre en branle. On croit qu'on n'a rien fait de bon parce qu'on a remué ces éléments de mille façons diverses pour chercher à les assembler et qu'on n'a pu trouver d'assemblage satisfaisant. Mais, après cette agitation qui leur a été imposée par notre volonté, ces atomes ne rentrent pas dans leur repos primitif. Ils continuent librement leur danse.

Какова же тогда роль предварительной сознательной работы? Очевидно, она заключается в том, чтобы привести некоторые атомы в движение, сорвав их со стены. Когда мы, пытаясь собрать воедино эти элементы, на тысячу ладов ворочаем их во все стороны, но не находим в конце концов удовлетворительного сопоставления, тогда мы бываем склонны отрицать всякое значение такой работы. А между тем атомы после того возбуждения, в которое их привела наша воля, отнюдь не возвращаются в свое первоначальное состояние покоя. Они продолжают, теперь уже свободно, свою пляску.

Or, notre volonté ne les a pas choisis au hasard, elle poursuivait un but parfaitement déterminé ; les atomes mobilisés ne sont donc pas des atomes quelconques ; ce sont ceux dont on peut raisonnablement attendre la solution cherchée. Les atomes mobilisés vont alors subir des chocs, qui les feront entrer en combinaison, soit entre eux, soit avec d'autres atomes restés immobiles et qu'ils seront venus heurter dans leur course. Je vous demande pardon encore une fois ; ma comparaison est bien grossière, mais je ne sais trop comment je pourrais faire comprendre autrement ma pensée.

Но ведь наша воля взяла их не наугад, она при этом преследовала вполне определенную цель, так что пришли в движение не какие-нибудь атомы вообще, но такие, от которых можно с некоторым основанием ожидать искомого решения. Раз придя в движение, атомы начинают испытывать столкновения, которые приводят к образованию комбинаций этих атомов либо между собой, либо с другими, неподвижными атомами, с которыми они сталкиваются на своем пути. Я еще раз прошу у вас извинения; мое сравнение довольно грубо, но я не знаю иного способа сделать понятной мою мысль.

Quoi qu'il en soit, les seules combinaisons qui ont chance de se former, ce sont celles où l'un des éléments, au moins, est l'un de ces atomes librement choisis par notre volonté. Or, c'est évidemment parmi elles que se trouve ce que j'appelais tout à l'heure la bonne combinaison. Peut-être y a-t-il là un moyen d'atténuer ce qu'il y avait de paradoxal dans l'hypothèse primitive.

Как бы там ни было, но единственными комбинациями, образование которых представляется вероятным, являются те, хоть один элемент которых оказывается в числе атомов, свободно выбранных нашей волей. Но ведь очевидно, что именно среди них находится та комбинация, которую я только что назвал удачной. Быть может, здесь мы имеем средство смягчить то, что представлялось парадоксальным в первоначальной гипотезе.

Autre observation. Il n'arrive jamais que le travail inconscient nous fournisse tout fait le résultat d'un calcul un peu long, où l'on n'a qu'à appliquer des règles fixes. On pourrait croire que le moi subliminal, tout automatique, est particulièrement apte à ce genre de travail, qui est en quelque sorte exclusivement mécanique. Il semble qu'en pensant le soir aux facteurs d'une multiplication, on pourrait espérer trouver le produit tout fait à son réveil, ou bien encore qu'un calcul algébrique, une vérification, par exemple, pourrait se faire inconsciemment. Il n'en est rien, l'observation le prouve.

Другое замечание. Никогда не случается, чтобы бессознательная работа доставила вполне готовым результат сколько-нибудь продолжительного вычисления, состоящего в одном только применении определенных правил. Казалось бы, что абсолютное "я" подсознания в особенности должно быть способно к такого рода работе, являющейся в некотором роде исключительно механической. Казалось бы, что, думая вечером о множителях какого-нибудь произведения, можно надеяться найти при пробуждении готовым самое произведение или, еще иначе, что алгебраическое вычисление, например проверка, может быть выполнено помимо сознания. Но в действительности ничего подобного не происходит, как то доказывают наблюдения.

Tout ce qu'on peut espérer de ces inspirations, qui sont les faits du travail inconscient, ce sont des points de départ pour de semblables calculs ; quant aux calculs eux-mêmes, il faut les faire dans la seconde période de travail conscient, celle qui suit l'inspiration, celle où l'on vérifie les résultats de cette inspiration et où l'on en tire les conséquences. Les règles de ces calculs sont strictes et compliquées ; elles exigent la discipline, l'attention, la volonté et, par suite, la conscience. Dans le moi subliminal règne, au contraire, ce que j'appellerais la liberté, si l'on pouvait donner ce nom à la simple absence de discipline et au désordre né du hasard. Seulement ce désordre même permet des accouplements inattendus.

От таких внушений, являющихся продуктами бессознательной работы, можно ожидать только исходных точек для подобных вычислений; самые же вычисления приходится выполнять во время второго периода сознательной работы, который следует за внушением и в течение которого проверяются результаты этого внушения и делаются из них выводы. Правила этих вычислений отличаются строгостью и сложностью; они требуют дисциплины, внимания, участия воли и, следовательно, сознания. В подсознательном же "я" господствует, в противоположность этому, то, что я назвал бы свободой, если бы только можно было дать это имя простому отсутствию дисциплины и беспорядку, обязанному своим происхождением случаю. Только этот самый беспорядок делает возможным возникновение неожиданных сближений.

Je ferai une dernière remarque : Quand je vous ai exposé plus haut quelques observations personnelles, j'ai parlé d'une nuit d'excitation, où je travaillais comme malgré moi ; les cas où il en est ainsi sont fréquents, et il n'est pas nécessaire que l'activité cérébrale anormale soit causée par un excitant physique comme celui que j'ai cité. Eh bien, il semble que, dans ce cas, on assiste soi-même à son propre travail inconscient, qui est devenu partiellement perceptible à la conscience surexcitée et qui n'à pas pour cela changé de nature. On se rend alors vaguement compte de ce qui distingue les deux mécanismes ou, si vous voulez, les méthodes de travail des deux " moi ". Et les observations psychologiques que j'ai pu faire ainsi me semblent confirmer dans leurs traits généraux les vues que je viens d'émettre.

Сделаю последнее замечание. Излагая выше некоторые мои личные наблюдения, я рассказал, между прочим, об одной бессонной ночи, когда я работал как будто помимо своей воли; подобные случаи бывают нередко, и для этого нет необходимости в том, чтобы нормальная мозговая деятельность была вызвана каким-нибудь физическим возбудителем, как то имело место в описанном мною случае. И вот в таких случаях кажется, будто сам присутствуешь при своей собственной бессознательной работе, которая, таким образом, оказалась отчасти доступной перевозбужденному сознанию, но нисколько вследствие этого не изменила своей природе. Тогда отдаешь себе в общих чертах отчет в том, что различает оба механизма или, если вам угодно, методы работы обоих "я". Психологические наблюдения, которые я, таким образом, имел возможность сделать, подтверждают те взгляды, которые я только что изложил.

Certes, elles en ont bien besoin, car elles sont et restent, malgré tout, bien hypothétiques : l'intérêt de la question est si grand pourtant que je ne me repens pas de les avoir soumises au lecteur.

А в подтверждении они конечно нуждаются, так как, вопреки всему, они остаются весьма гипотетическими; однако вопрос столь интересен, что я не раскаиваюсь в том, что изложил вам эти взгляды.

" Comment oser parler des lois du hasard ? Le hasard n'est-il pas l'antithèse de toute loi ? " Ainsi s'exprime Bertrand au début de son Calcul des probabilités. La probabilité est opposée à la certitude ; c'est donc ce qu'on ignore et par conséquent semble-t-il ce qu'on ne saurait calculer. Il y a la une contradiction au moins apparente et sur laquelle on a déjà beaucoup écrit.

"Как можно говорить о законах случайности? Разве случайность не представляет собой противоположности всякой законо-мерности?" Этим вопросом Бертран начинает свое "Исчисление вероятностей". Вероятность противоположна достоверности; вероятность - это то, чего мы не знаем и чего поэтому мы, казалось бы, не можем вычислять. В этом содержится противоречие, по крайней мере кажущееся, о котором уже много писали.

Et d'abord qu'est-ce que le hasard ? Les anciens distinguaient les phénomènes qui semblaient obéir à des lois harmonieuses, établies une fois pont toutes, et ceux qu'ils attribuaient au hasard ; c'étaient ceux qu'on ne pouvait prévoir parce qu'ils étaient rebelles a toute loi. Dans chaque domaine, les lois précises ne décidaient pas de tout, elles traçaient seulement les limites entre lesquelles il était permis au hasard de se mouvoir. Dans cette conception, le mot hasard avait un sens précis, objectif : ce qui était hasard pour l'un, était aussi hasard pour l'autre et même pour les dieux.

Прежде всего, что такое случайность? Древние различали явления, которые, как им казалось, повинуются гармоничным законам, установленным раз навсегда, и другие явления, которые приписывались случаю. К последним относили все то, чего нельзя было предвидеть, что было противно всякому закону. В каждой области точные законы регулировали отнюдь не все. Они намечали лишь границы, в пределах которых возможна игра случая. С этой точки зрения слово "случайность" приобрело объективный смысл. То, что было случайностью для одного, должно было быть случайностью и для других, даже для богов.

Mais cette conception n'est plus la nôtre ; nous sommes devenus des déterministes absolus, et ceux mêmes qui veulent réserver les droits du libre arbitre humain laissent du moins le déterminisme régner sans partage dans le monde inorganique. Tout phénomène, si minime qu'il soit, a une cause, et un esprit infiniment puissant, infiniment bien informé des lois de la nature, aurait pu le prévoir dès le commencement des siècles. Si un pareil esprit existait, on ne pourrait jouer avec lui à aucun jeu de hasard, on perdrait toujours.

Однако в настоящее время мы уже не придерживаемся этого взгляда. Мы сделались абсолютными детерминистами, и даже те, которые склонны сохранить за человеком свободу воли, признают неограниченное господство детерминизма в области неорганического мира. Всякое явление, сколь бы оно, ни было незначительно, имеет свою причину, и бесконечно мощный дух, беспредельно осведомленный в законах природы, мог бы его предвидеть с начала веков. С такого рода духом, если бы он существовал, нельзя было бы играть ни в какую азартную игру, не теряя всего состояния.

Pour lui en effet le mot de hasard n'aurait pas de sens, ou plutôt il n'y aurait pas de hasard. C'est à cause de notre faiblesse et de notre ignorance qu'il y en aurait un pour nous. Et, même sans sortir de notre faible humanité, ce qui est hasard pour l'ignorant n'est plus hasard pour le savant. Le hasard n'est que la mesure de notre ignorance. Les phénomènes fortuits sont, par définition, ceux dont nous ignorons les lois.

Для него слово "случайность" не имело бы смысла или, вернее, для него вовсе не существовало бы случайности. Лишь вследствие нашей слабости, вследствие нашего невежества случайность для нас существует. Можно даже оставить в стороне слабость человеческой природы; то, что представляется случайным для невежды, отнюдь не будет таковым для ученого. Случайность является, таким образом, как бы мерой нашего невежества. Случайными явлениями, согласно этому определению, будут те, законы которых нам неизвестны.

Mais cette définition est-elle bien satisfaisante ? Quand les premiers bergers chaldéens suivaient des yeux les mouvements des astres, ils ne connaissaient pas encore les lois de l'Astronomie, auraient-ils songé à dire que les astres se meuvent au hasard ?

Но достаточно ли это определение? Когда первые халдейские пастухи следили за движением светил, они не знали еще законов астрономии; но приходило ли им в голову сказать, что движение светил предоставлено случаю?

Si un physicien moderne étudie un phénomène nouveau, et s'il en découvre la loi le mardi, aurait-il dit le lundi que ce phénomène était fortuit ? Mais il y a plus : n'invoque-t-on pu souvent, pour prédire un phénomène, ce que Bertrand appelle les lois du hasard ? Et par exemple dans la théorie cinétique des gaz, on retrouve les lois connues de Mariotte et de Gay-Lussac, grâce à cette hypothèse que les vitesses des molécules gazeuses varient irrégulièrement, c'est-à-dire au hasard. Les lois observables seraient beaucoup moins simples, diront tous les physiciens, si les vitesses étaient réglées par quelque loi élémentaire simple, si les molécules étaient, comme on dit, organisées, si elles obéissaient à quelque discipline. C'est grâce au hasard, c'est-à-dire grâce à notre ignorance que nous pouvons conclure ; et alors si le mot hasard est tout simplement synonyme d'ignorance qu'est-ce que cela veut dire ? Faut-il donc traduire comme il suit ?

Когда современный физик изучает новое явление, закон которого он открыл во вторник, то говорил ли он в понедельник, что это явление случайное? Но мало того. Не прибегают ли часто для предсказания явления к тому, что Бертран называет законом случайностей? Так, например, в кинетической теории газов мы приходим к известным законам Мариотта и Гей-Люссака именно благодаря той гипотезе, что скорости молекул газа меняются совершенно случайно. Наблюдаемые законы, скажут физики, были бы, менее просты, если бы скорости регулировались простым элементарным законом, если бы молекулы были, как говорят, организованы, если бы они подчинялись какому-нибудь распорядку. Именно благодаря господству случая, т. е. именно благодаря нашему невежеству, мы имеем возможность делать заключения. И далее, если слово "случай" является простым синонимом нашего невежества, то что же это значит? Надо ли это толковать, примерно, следующим образом.

" Vous me demandez de vous prédire les phénomènes qui vont se produire. Si, par malheur, je connaissais les lois de ces phénomènes, je ne pourrais y arriver que par des calculs inextricables et je devrais renoncer à vous répondre ; mais, comme j'ai la chance de les ignorer, je vais vous répondre tout de suite. Et, ce qu'il y a de plus extraordinaire, c'est que ma réponse sera juste. "

"Вы желаете, чтобы я предсказал вам явления, которые должны произойти? Если бы я имел несчастье знать законы этих явлений, то я мог бы этого достигнуть разве только путем непроходимого леса вычислений, и я должен был бы отказаться от ответа. Но так как, к счастью, я этих законов не знаю, то я вам сейчас отвечу, и, что наиболее странно, мой ответ будет верен".

Il faut donc bien que le hasard soit autre chose que le nom que nous donnons à notre ignorance, que parmi les phénomènes dont nous ignorons les causes, nous devions distinguer les phénomènes fortuits, sur lesquels le calcul des probabilités nous renseignera provisoirement, et ceux qui ne sont pas fortuits et sur lesquels nous ne pouvons rien dire tant que nous n'aurons pas déterminé les lois qui les régissent.

Ясно, что случайность должна быть чем-то иным, не одним лишь названием, которое мы даем собственному невежеству. Ясно, что между явлениями, истинные причины которых нам неизвестны, мы должны были бы различать случайные явления, относительно которых вероятностные расчеты дадут нам некоторые предварительные сведения, и явления, которые не являются случайными и относительно которых мы не можем сказать ничего, пока не узнаем законов, которые ими управляют.

Et pour les phénomènes fortuits eux-mêmes, il est clair que les renseignements que nous fournit le calcul des probabilités ne cesseront pas d'être vrais le jour où ces phénomènes seront mieux connus.

Что касается явлений случайных, то ясно, что сведения, которые нам дает о них теория вероятностей, не перестанут быть справедливыми в тот день, когда мы получим об этих явлениях больше сведений.

Le directeur d'une compagnie d'assurances sur la vie ignore quand mourra chacun de ses assurés, mais il compte sur le calcul des probabilités et sur la loi des grands nombres et il ne se trompe pas puisqu'il distribue des dividendes à ses actionnaires. Ces dividendes ne s'évanouiraient pas si un médecin très perspicace et très indiscret venait, une fois les polices signées, renseigner le directeur sur les chances de vie des assurés. Ce médecin dissiperait l'ignorance du directeur, mais il n'aurait aucune influence sur les dividendes qui ne sont évidemment pas un produit de cette ignorance.

Директор общества страхования жизни не знает, когда умрет каждое из застрахованных у него лиц, но он вычисляет на основании теории вероятностей и по закону больших чисел и при этом не ошибается, поскольку он делит дивиденды между акционерами. Эти дивиденды не исчезли бы даже и в том случае, если бы какой-либо врач, столь же прозорливый, сколь и нескромный, после подписания полисов осведомлял бы директора о шансах на жизнь застрахованных лиц. Такой врач рассеял бы неосведомленность директора, но он не оказал бы влияния на дивиденды, которые, очевидно, вовсе не являются продуктами этой неосведомленности.

Pour trouver une meilleure définition du hasard, il nous faut examiner quelques-uns des faits que l'on s'accorde à regarder comme fortuits, et auxquels le calcul des probabilités parait s'appliquer ; nous rechercherons ensuite quels sont leurs caractères communs.

Чтобы найти лучшие определения случайности, нам необходимо исследовать некоторые из тех фактов, которые обыкновенно принято считать случайными и к которым, по-видимому, применяется теория вероятностей.

Le premier exemple que nous allons choisir est celui de l'équilibre instable ; si un cône repose sut sa pointe, nous savons bien qu'il va tomber, mais nous ne savons pas de quel côté ; il nous semble que le hasard seul va en décider. Si le cône était parfaitement symétrique, si son axe était parfaitement vertical, s'il n'était soumis à aucune autre force que la pesanteur, il ne tomberait pas du tout. Mais le moindre défaut de symétrie va le faire pencher légèrement d'un côté ou de l'autre, et dès qu'il penchera, si peu que ce soit, il tombera tout à fait de ce côté. Si même la symétrie est parfaite, une trépidation très légère, un souffle d'air pourra le faire incliner de quelques secondes d'arc ; ce sera assez pour déterminer sa chute et même le sens de sa chute qui sera celui de l'inclinaison initiale.

Первым примером, на котором мы остановимся, будет вопрос о неустойчивом равновесии. Если конус стоит на вершине, то мы знаем, что он опрокинется, но мы не знаем, в какую сторону. Нам представляется, что это полностью зависит от случая. Если бы конус был совершенно симметричен, если бы ось его была совершенно вертикальна, если бы он не был подвержен действию никакой силы, кроме тяжести, то он не упал бы вовсе. Но малейший изъян в симметрии заставил бы его слегка наклониться в ту или иную сторону; наклонившись же, хотя бы и весьма незначительно, он упадет в сторону наклона окончательно. Если бы даже симметрия была совершенна, то самого легкого дрожания, легчайшего дуновения ветерка было бы достаточно, чтобы наклонить его на несколько секунд дуги; и этим не только было бы решено его падение, было бы предопределено и направление этого падения, которое совпало бы с направлением первоначального наклона.

Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard.

Таким образом, совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которого мы не можем предусмотреть, и тогда мы говорим, что это явление представляет собой результат случая.

Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit.

Если бы мы знали точно законы природы и состояние Вселенной в начальный момент, то мы могли бы точно предсказать состояние Вселенной в любой последующий момент. Но даже и в том случае, если бы законы природы не представляли собой никакой тайны, мы могли бы знать первоначальное состояние только приближенно. Если это нам позволяет предвидеть дальнейшее ее состояние с тем же приближением, то это все, что нам нужно. Мы говорим, что явление было предвидено, что оно управляется законами. Но дело не всегда обстоит так; иногда небольшая разница в первоначальном состоянии вызывает большое различие в окончательном явлении. Небольшая погрешность в первом вызвала бы огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, мы имеем перед собой явление случайное.

Notre second exemple sera fort analogue au premier et nous l'emprunterons à la météorologie. Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors qu'ils jugeraient ridicule de demander une éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les régions où l'atmosphère est en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet équilibre est instable, qu'un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d'état de le dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses ravages sur des contrées qu'il aurait épargnées. Si on avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le savoir d'avance, mais les observations n'étaient ni assez serrées, ni assez précises, et c'est pour cela que tout semble dû à l'intervention du hasard. Ici encore nous retrouvons le même contraste entre une cause minime, inappréciable pour l'observateur, et des effets considérables, qui sont quelquefois d'épouvantables désastres.

Второй пример, на котором мы остановимся, будет в большой мере аналогичен первому; мы заимствуем его из метеорологии. Почему метеорологам так трудно предсказать погоду сколько-нибудь достоверно? Почему выпадение дождя, наступление грозы всегда представляется нам делом случая, так что многие люди находят естественным молиться о ниспослании дождя или хорошей погоды, те самые люди, которые считали бы смешным испрашивать молитвой затмение. Мы видим, что большие пертурбации бывают обыкновенно в тех местах, где атмосфера находится в состоянии неустойчивого равновесия. Метеорологи часто хорошо видят, что равновесие неустойчиво, что образуется циклон, но где именно, они не в состоянии сказать. Лишняя десятая градуса в какой-либо точке - и циклон разражается здесь, а не там; он бушует над странами, которые были бы пощажены, если бы не эта десятая. Если бы мы могли знать эту десятую градуса, то мы могли бы это предсказать; но сеть наблюдений недостаточно густа и сами наблюдения недостаточно точны, а именно поэтому нам и кажется, что все обусловлено случаем. Здесь мы вновь находим то же несоответствие между мельчайшей, неощутимой наблюдателем причиной и значительным эффектом, вызывающим иногда страшные последствия.

Passons à un autre exemple, la distribution des petites planètes sur le zodiaque. Leurs longitudes initiales ont pu être quelconques ; mais leurs moyens mouvements étaient différents et elles circulent depuis si longtemps qu'on peut dire qu'actuellement, elles sont distribuées au hasard le long du zodiaque. De très petites différences initiales entre leurs distances au soleil, ou ce qui revient au même entre leurs mouvements moyens, ont fini par donner d'énormes différences entre leurs longitudes actuelles ; un excès d'un millième de seconde dans le moyen mouvement diurne, donnera en effet une seconde en trois ans, un degré en dix mille ans, une circonférence entière en trois ou quatre millions d'années, et qu'est-ce que cela auprès du temps qui s'est écoulé depuis que les petites planètes se sont détachées de la nébuleuse de Laplace ? Voici donc une fois de plus une petite cause et un grand effet ; ou mieux de petites différences dans la cause et de grandes différences dans l'effet.

Перейдем к другому примеру - к распределению малых планет по зодиаку. Их начальные долготы могли быть какие угодно, но их средние движения были различны, и они двигались уже так долго, что в настоящее время можно спокойно сказать, что они распределены вдоль зодиака совершенно случайно. Незначительные разности в их начальных расстояниях от Солнца и, что сводится к тому же, в их среднем движении в конце концов дали огромное различие в долготах, которые они теперь имеют. В самом деле, разница в одну тысячную долю секунды их суточного пути дает уже секунду за три года, градус - приблизительно за 10000 лет и целую окружность - за три-четыре миллиона лет; но что это составляет по сравнению со временем, которое протекло с тех пор, как малые планеты отделились от туманности Лапласа! Перед нами опять ничтожная причина и большой эффект или, иначе, небольшие разности в причине и большие - в действии.

Le jeu de la roulette nous éloigne moins qu'il ne semble de l'exemple précédent. Supposons une aiguille qu'on peut faire tourner autour d'un pivot, sur un cadran divisé en 100 secteurs alternativement rouges et noirs. Si elle s'arrête sur un secteur rouge, la partie est gagnée, sinon, elle est perdue. Tout dépend évidemment de l'impulsion initiale que nous donnons à l'aiguille. L'aiguille fera, je suppose, 10 ou 20 fois le tour, mais elle s'arrêtera plus ou moins vite, suivant que j'aurai poussé plus ou moins fort. Seulement il suffit que l'impulsion varie d'un millième, ou d'un deux millième, pour que mon aiguille s'arrête à un secteur qui est noir, ou au secteur suivant qui est rouge. Ce sont là des différences que le sens musculaire ne peut apprécier et qui échapperaient même à des instruments plus délicats. Il m'est donc impossible de prévoir ce que va faire l'aiguille que je viens de lancer, et c'est pourquoi mon cœur bat et que j'attends tout du hasard. La différence dans la cause est imperceptible, et la différence dans l'effet est pour moi de la plus haute importance, puisqu'il y va de toute ma mise.

Игра в рулетку отличается от этого примера меньше, чем это может казаться на первый взгляд. Представим себе иглу, которая вращается на шпиле в центре циферблата, разделенного на сто секторов, попеременно красных и черных. Если игла останавливается на красном секторе, то игра выиграна, в противном случае - проиграна. Все, очевидно, зависит от толчка, который мы первоначально сообщаем игле. Игла сделает, скажем, 10 или 20 оборотов, но остановится она раньше или позже, смотря по тому, толкнул ли я ее сильнее или слабее. Однако достаточно, чтобы толчок изменился на тысячную или на две тысячных доли, и игла остановится на черном или соответственно на следующем красном секторе. Это- различия, которые не могут быть восприняты мускульным чувством, которые ускользают даже и от более тонких инструментов. Я лишен, следовательно, возможности предвидеть, что произойдет с иглой, которую я только что толкнул, а потому мое сердце бьется, и я с нетерпением ожидаю, что мне даст случай. Разность в причине совершенно неощутима, разность в результате имеет для меня чрезвычайно большую важность, потому что речь идет о всей моей ставке.

Qu'on me permette à ce propos une réflexion un peu étrangère à mon sujet. Un philosophe a dit il y a quelques années que l'avenir était déterminé par le passé, mais que le passé ne l'était pas par l'avenir ; ou, en d'autres termes, que de la connaissance du présent nous pouvions déduire celle de l'avenir, mais non celle du passé ; parce que, disait-il, une cause ne peut produire qu'un effet, tandis qu'un même effet peut être produit par plusieurs causes différentes. Il est clair qu'aucun savant ne peut souscrire à cette conclusion : les lois de la nature lient l'antécédent au conséquent de telle sorte que l'antécédent est déterminé par le conséquent aussi bien que le conséquent par l'antécédent. Mais quelle a pu être l'origine de l'erreur de ce philosophe ? Nous savons qu'en vertu du principe de Carnot, les phénomènes physiques sont irréversibles et que le monde tend vers l'uniformité. Quand deux corps de température différente sont en présence, le plus chaud cède de la chaleur au plus froid ; nous pouvons donc prévoir que les températures s'égaliseront. Mais une fois que les températures seront devenues égales, si on nous interroge sur l'état antérieur, que pourrons-nous répondre ? Nous dirons bien que l'un des corps était chaud et l'autre froid, mais nous ne pourrons pas deviner lequel des deux était autrefois le plus chaud.

Позвольте мне теперь сделать отступление, несколько странное для моей темы. Один философ несколько лет тому назад сказал, что будущее определено прошлым, но что прошлое не определено будущим. Иными словами: зная настоящее, мы могли бы сделать заключение относительно будущего, но не относительно прошлого, ибо, сказал бы он, определенная причина всегда должна привести к одному результату, но один и тот же результат может быть вызван множеством различных причин. Ясно, что ни один ученый не подпишется под этим выводом. Законы природы связывают предшествующее с последующим таким образом, что предшествующее определено последующим так же, как последующее предшествующим. Но в чем же может заключаться источник ошибки, допущенной этим философом? Как известно, в силу принципа Карно физические явления необратимы, и мир стремится к полному однообразию. Когда два тела различной температуры находятся в соприкосновении, то более теплое уступает тепло холодному; мы можем, таким образом, предвидеть, что температура сравняется. Но когда температура уже сравняется, и нас спросят о том, что было раньше, что сможем мы ответить? Мы скажем, конечно, что одно тело было более нагрето, а другое менее, но мы не сумеем угадать, какое из них было прежде более теплым.

Et cependant, en réalité, les températures n'arrivent jamais à l'égalité parfaite. La différence des températures tend seulement vers zéro d'une façon asymptotique. Il arrive alors un moment où nos thermomètres sont impuissants à la déceler. Mais si nous avions des thermomètres mille fois, cent mille fois plus sensibles, nous reconnaîtrions qu'il subsiste encore une petite différence, et que l'un des corps est resté un peu plus chaud que l'autre ; et alors nous pourrions affirmer que c'est celui-là qui a été autrefois beaucoup plus chaud que l'autre.

Между тем в действительности температуры никогда не сделаются совершенно равными. Разность температур стремится к нулю лишь ассимптотически, и наступает момент, когда наши термометры уже неспособны ее распознать. Но если бы мы имели термометры в тысячу раз, в сто тысяч раз более чувствительные, то мы убедились бы, что есть еще небольшая разница и что одно из двух тел осталось более теплым, чем другое, и тогда мы могли бы утверждать, что именно это тело было некогда более теплым.

Il y a donc alors, contrairement à ce que nous avons vu dans les exemples précédents, de grandes différences dans la cause et de petites différences dans l'effet. Flammarion avait imaginé autrefois un observateur qui s'éloignerait de la Terre avec une vitesse plus grande que celle de la lumière ; pour lui le temps serait changé de signe. L'histoire serait retournée, et Waterloo précéderait Austerlitz. Eh bien, pour cet observateur, les effets et les causes seraient intervertis ; l'équilibre instable ne serait plus l'exception ; à cause de l'irréversibilité universelle, tout lui semblerait sortir d'une sorte de chaos en équilibre instable ; la nature entière lui apparaîtrait comme livrée au hasard.

Мы видим здесь, в противоположность предыдущим примерам, большие различия и причинах и ничтожные - в результатах. Фламмарион придумал как-то наблюдателя, который удаляется от Земли со скоростью большей, чем скорость света. Для него время изменило бы знак, история потекла бы вспять, и Ватерлоо предшествовало бы Аустерлицу. Ясно, что для такого рода наблюдателя результаты и причины заменили бы друг друга, неустойчивое равновесие не было бы исключением, вследствие общей необратимости явлений ему казалось бы, что все исходит из какого-то хаоса в неустойчивом равновесии. Вся природа казалась бы ему предоставленной случаю.

Voici maintenant d'autres exemples où nous allons voir apparaître des caractères un peu différents. Prenons d'abord la théorie cinétique des gaz. Comment devons-nous nous représenter un récipient rempli de gaz ? D'innombrables molécules, animées de grandes vitesses, sillonnent ce récipient dans tous les sens ; à chaque instant elles choquent les parois, ou bien elles se choquent entre elles ; et ces chocs ont lieu dans les conditions les plus diverses. Ce qui nous frappe surtout ici, ce n'est pas la petitesse des causes, c'est leur complexité. Et cependant, le premier élément se retrouve encore ici et joue un rôle important. Si une molécule était déviée vers la gauche ou la droite de sa trajectoire, d'une quantité très petite, comparable au rayon d'action des molécules gazeuses, elle éviterait un choc, ou elle le subirait dans des conditions différentes, et cela ferait varier, peut-être de 90№ ou de 180№, la direction de sa vitesse après le choc.

Мы обратимся теперь к другим примерам, в которых мы увидим совершенно другие свойства. Начнем с кинетической теории газов. Как должны мы представлять себе.сосуд, наполненный газом? Бесчисленные молекулы, несущиеся с большими скоростями, бороздят сосуд во всех направлениях. В любой момент они ударяются о стенки и друг о друга, и эти столкновения происходят в самых разнообразных условиях. Здесь нас больше всего поражает не столько малость причин, сколько их сложность. И все-таки первоначальный элемент находится здесь и играет важную роль. Если бы молекула уклонилась налево или направо от своей траектории на очень малую величину, сравнимую с радиусом действия молекул газа, то она избежала бы толчка или таковой произошел бы при совершенно иных условиях, а это могло бы изменить на 90 или 180 направление скорости после толчка.

Et ce n'est pas tout, il suffit, nous venons de le voir, de dévier la molécule avant le choc d'une quantité infiniment petite, pour qu'elle soit déviée, après le choc, d'une quantité finie. Si alors la molécule subit deux chocs successifs, il suffira de la dévier, avant le premier choc, d'une quantité infiniment petite du second ordre, pour qu'elle le soit, après le premier choc, d'une quantité infiniment petite du premier ordre et après le second choc, d'une quantité finie. Et la molécule ne subira pas deux chocs seulement, elle en subira un très grand nombre par seconde. De sorte que si le premier choc a multiplié la déviation par un très grand nombre A, après n chocs, elle sera multipliée par Aⁿ ; elle sera donc devenue très grande, non seulement parce que A est grand, c'est-à-dire parce que les petites causes produisent de grands effets, mais parce que l'exposant n est grand, c'est-à-dire parce que les chocs sont très nombreux et que les causes sont très complexes.

И это еще не все. Как мы видели, достаточно отклонить молекулу до толчка на бесконечно малое расстояние, чтобы она после толчка отклонилась на конечное расстояние. Поэтому, если бы молекула подверглась двум последовательным столкновениям, то ей достаточно было бы сообщить до первого толчка бесконечно малое уклонение второго порядка , чтобы мы получили после первого столкновения бесконечно малое уклонение первого порядка, а после второго - конечное. Между тем молекула испытывает не только два столкновения, а весьма большое число их в секунду. Поэтому, если первый толчок умножает отклонение на весьма большое число A, то после n столкновений оно будет умножено на . Оно сделается, следовательно, весьма большим не только потому, что A очень велико, т.е. потому, что малые причины производят большие следствия, но и потому, что показатель n велик, т.е. потому, что столкновения весьма многочисленны и причины очень сложны.

Passons à un deuxième exemple ; pourquoi, dans une averse, les gouttes de pluie nous semblent-elles distribuées au hasard ? C'est encore à cause de la complexité des causes qui déterminent leur formation. Des ions se sont répandus dans l'atmosphère, pendant longtemps ils ont été soumis à des courants d'air constamment changeants, ils ont été entraînés dans des tourbillons de très petites dimensions, de sorte que leur distribution finale n'a plus aucun rapport avec leur distribution initiale. Tout à coup, la température s'abaisse, la vapeur se condense et chacun de ces ions devient le centre d'une goutte de pluie. Pour savoir quelle sera la distribution de ces gouttes et combien il en tombera sur chaque pavé, il ne suffirait pas de connaître la situation initiale des ions, il faudrait supputer l'effet de mille courants d'air minuscules et capricieux.

Обратимся теперь к другому примеру. Почему нам кажется во время ливня, что капли дождя распределены совершенно случайно? Это опять-таки происходит оттого, что причины, которыми обусловливается их образование, очень сложны. Ионы были распространены в атмосфере задолго до ливня, задолго до него они были подвержены постоянно меняющимися токами воздуха, они были увлечены в вихри весьма малых размеров, так что окончательное распределение их не находилось уже ни в каком соответствии с начальным. Затем температура внезапно понижается, туман сгущается, и каждый из этих ионов становится центром капли дождя. Чтобы установить, каково будет распределение капель и сколько их упадет на каждый каменнь мостовой, недостаточно было бы узнать начальное положение ионов. Необходимо было бы учесть действие тысячи слабых и прихотливых воздушных течений.

Et c'est encore la même chose si on met des grains de poussière en suspension dans l'eau ; le vase est sillonné par des courants dont nous ignorons la loi, nous savons seulement qu'elle est très compliquée, au bout d'un certain temps, les grains seront distribués au hasard, c'est-à-dire uniformément, dans ce vase ; et cela est dû précisément à la complication de ces courants. S'ils obéissaient à quelque loi simple, si, par exemple, le vase était de révolution et si les courants circulaient autour de l'axe du vase en décrivant des cercles, il n'en serait plus de même, puisque chaque grain conserverait sa hauteur initiale et sa distance initiale à l'axe.

Совершенно то же имеет место, когда пылинки взвешены в воде. Сосуд изборожден токами, законы которых нпм неизвестны. Мы знаем только, что они очень слоны; по истечении некотороговремени пылинки будут распределены случайно, т.е. равномерно по всему сосуду: и это обусловливается именно сложностью потоков. Если бы они подчинялись простому закону, если бы, например, сосуд сосуд был круглый и токи бы описывали круги вокруг оси сосуда., то дело бы обстояло иначе, ибо каждая пылинка оставалась бы на той же высоте и на том же расстоянии от оси.

On arriverait au même résultat en envisageant le mélange de deux liquides ou de deux poudres à grains fins. Et pour prendre un exemple plus grossier, c'est aussi ce qui arrive quand on bat les cartes d'un jeu. A chaque coup, les cartes subissent une permutation (analogue à celle qu'on étudie dans la théorie des substitutions). Quelle est celle qui se réalisera ? La probabilité, pour que ce soit telle permutation (par exemple celle qui amène au rang n la carte qui occupait le rang φ(n) avant la permutation), cette probabilité, dis-je, dépend des habitudes du joueur. Mais si ce joueur bat les cartes assez longtemps, il y aura un grand nombre de permutations successives ; et l'ordre final qui en résultera ne sera plus régi que par le hasard ; je veux dire que tous les ordres possibles seront également probables. C'est au grand nombre des permutations successives, c'est-à-dire à la complexité du phénomène que ce résultat est dû.

Мы пришли бы к тому же результату, если бы мы рассматривали смесь двух жидкостей или смесь двух мелко истолченных порошков. Чтобы привести еще грубый пример, скажем, что приблизительно то же самое происходит, когда мы тасуем игральные карты. При каждой перетасовке карты подвергаются перемещению (аналогично тому, которое мы изучаем в теории перестановок). Какое же расположение карт получится в результате? Вероятность того, что получится некоторое определенное расположение (например, то, прикотором на n -месте оказывается карта, занимавшая до перетасовки f (n)-е место), зависит от привычки игрока. Но если игрок тасует карты довольно долго, то образуется множество последовательных перестановок, т.е. сложностью всего явления.

Un mot enfin de la théorie des erreurs. C'est ici que les causes sont complexes et qu'elles sont multiples. A combien de pièges n'est pas exposé l'observateur, même avec le meilleur instrument ! Il doit s'attacher à apercevoir les plus gros et à les éviter. Ce sont ceux qui donnent naissance aux erreurs systématiques. Mais quand il les a éliminés, en admettant qu'il y parvienne, il en reste beaucoup de petits, mais qui, en accumulant leurs effets, peuvent devenir dangereux. C'est de là que proviennent les erreurs accidentelles ; et nous les attribuons au hasard parce que leurs causes sont trop compliquées et trop nombreuses. Ici encore, nous n'avons que de petites causes, mais chacune d'elles ne produirait qu'un petit effet, c'est par leur union et par leur nombre que leurs effets deviennent redoutables.

Еще два слова о теории ошибок. Здесь причины особенно сложны и особенно многообразны. Сколько ловушек должен избежать наблюдатель, располагая даже лучшими инстркментами. Он должен приучить себя замечать наиболее опасные и избегать их. Их называют систематическими ошибками. Но даже когда он их устранил, - допуская, что это ему удалось, - остается много мелких ошибок, которые, накапливаясь, могут оказаться опасными. Таким образом, возникают случайные ошибки; мы приписываем их случаю, потому что причины их слишком сложны и многочисленны; и здесь мы имеем только мелкие причины; каждая из которых производит незначительный эффект, но вследствие их взаимодействия и вследствие значительного их числа результаты становятся серьезными.

On peut se placer encore à un troisième point de vue qui a moins d'importance que les deux premiers et sur lequel j'insisterai moins. Quand on cherche à prévoir un fait et qu'on en examine les antécédents, on s'efforce de s'enquérir de la situation antérieure ; mais on ne saurait le faire pour toutes les parties de l'univers, on se contente de savoir ce qui se passe dans le voisinage du point où le fait doit se produire, ou ce qui paraît avoir quelque rapport avec ce fait. Une enquête ne peut être complète, et il faut savoir choisir. Mais il peut arriver que nous ayons laissé de côté des circonstances qui, au premier abord, semblaient complètement étrangères au fait prévu, auxquelles on n'aurait jamais songé à attribuer aucune influence et qui, cependant, contre toute prévision, viennent à jouer un rôle important.

Можно стать еще на третью точку зрения, которая имеет меньшее значение, чем предыдущие, и на которой я буду менее настаивать. Когда хотят предсказать какой-либо факт и исследуют подготавливающие его обстоятельства, стараются получить сведения о предшествующем состоянии. Но этого ведь нельзя сделать по отношению ко всей Вселенной. Мы ограничиваемся поэтому местами, соседними с пунктом, где наше явление должно произойти, и тем, что, по-видимому, имеет связь с этим явлением. Выяснение обстоятельств не может быть полным, и нужно уметь сделать выбор. Но при таких условиях легко может случиться, что мы оставили в стороне такого рода факты, которые на первый взгляд казались совершенно чуждыми предусматриваемому явлению, которым нам даже в голову не приходило приписать какое-либо влияние на это явление и которые, тем не менее, помимо нашего предвидения, играют здесь важную роль.

Un homme passe dans la rue en allant à ses affaires ; quelqu'un qui aurait été au courant de ces affaires, pourrait dire pour quelle raison il est parti à telle heure, pourquoi il a passé par telle rue. Sur le toit, travaille un couvreur ; l'entrepreneur qui l'emploie pourra, dans une certaine mesure, prévoir ce qu'il va faire. Mais l'homme ne pense guère au couvreur, ni le couvreur à l'homme : ils semblent appartenir à deux mondes complètement étrangers l'un à l'autre. Et pourtant, le couvreur laisse tomber une tuile qui tue l'homme, et on n'hésitera pas à dire que c'est là un hasard.

Человек проходит по улице, отправляясь по своим делам. Лицо, которое было бы в курсе этих дел, могло бы сказать, почему он прошел в таком-то часу по такой-то улице. На крыше работает кровельщик; подрядчик, который его нанял, вероятно, в известной мере мог бы предвидеть, что он там делает. Но прохожий, о котором была речь выше, не думает вовсе о кровельщике, как и кровельщик не думает о прохожем. Они принадлежат точно двум совершенно отдельным мирам; и тем не менее кровельщик уронил черепицу, которая убила прохожего. Мы, не колеблясь, скажем, что это дело случая.

Notre faiblesse ne nous permet pas d'embrasser l'univers tout entier, et nous oblige à le découper en tranches. Nous cherchons à le faire aussi peu artificiellement que possible, et néanmoins, il arrive, de temps en temps, que deux de ces tranches réagissent l'une sur l'autre. Les effets de cette action mutuelle nous paraissent alors dus au hasard.

Наши слабые силы не дают нам возможности охватить всей Вселенной, и это заставляет нас разрезать ее на слои. Мы стараемся выполнить это наименее искусственно, и тем не менее иногда оказывается, что два различных слоя влияют один на другой. Результаты такого взаимодействия мы склонны приписывать случаю.

Est-ce là une troisième manière de concevoir le hasard ? Pas toujours ; en effet, la plupart du temps, on est ramené à la première ou à la seconde. Toutes les fois que deux mondes, généralement étrangers l'un à l'autre, viennent ainsi à réagir l'un sur l'autre, les lois de cette réaction ne peuvent être que très complexes, et, d'autre part, il aurait suffi d'un très petit changement dans les conditions initiales de ces deux mondes pour que la réaction n'eût pas lieu. Qu'il aurait fallu peu de chose pour que l'homme passât une seconde plus tard, ou que le couvreur laissât tomber sa tuile une seconde plus tôt !

Есть ли это особая третья точка зрения на случайность? Не всегда; в большей части случаев мы здесь возвращаемся к первой или ко второй точке зрения. Если два мира, вообще, совершенно отличные один от другого, оказывают иногда друг на друга влияние, то законы этого взаимодействия неизбежно должны быть весьма сложны; а с другой стороны, достаточно весьма слабого изменения в начальных условиях, и взаимодействие между этими двумя мирами не имело бы места. Как мало было бы нужно, чтобы прохожий прошел на одну секунду раньше или чтобы кровельщик уронил свою черепицу на одну секунду позже.

Tout ce que nous venons de dire ne nous explique pas encore pourquoi le hasard obéit à des lois. Suffit-il que les causes soient petites, ou qu'elles soient complexes, pour que nous puissions prévoir, sinon quels en sont les effets dans chaque cas, mais au moins ce que seront ces effets en moyenne ? Pour répondre à cette question, le mieux est de reprendre quelques-uns des exemples cités plus haut.

Все изложенное до сих пор еще не объясняет, почему случай повинуется законам. Достаточно ли, чтобы причины были незначительны или чтобы они были сложны, для того чтобы мы могли уже предвидеть если не результаты каждого случая, то по крайней мере средние результаты. Чтобы ответить на этот вопрос, лучше всего обратиться к одному из приведенных уже выше примеров.

Je commencerai par celui de la roulette. J'ai dit que le point où s'arrêtera l'aiguille va dépendre de l'impulsion initiale qui lui est donnée. Quelle est la probabilité pour que cette impulsion ait telle ou telle valeur ? Je n'en sais rien, mais il m'est difficile de ne pas admettre que cette probabilité est représentée par une fonction analytique continue. La probabilité pour que l'impulsion soit comprise entre a et a+ε, sera alors sensiblement égale à la probabilité pour qu'elle soit comprise entre a+ε et a+2ε, pourvu que ε soit très petit. C'est là une propriété commune à toutes les fonctions analytiques. Les petites variations de la fonction sont proportionnelles aux petites variations de la variable.

Я начну с рулетки. Я сказал, что точка, на которой остановится игла, будет зависеть от начального толчка, который ей дан. Какова вероятность того, что этот толчок будет иметь ту или другую величину? Я об этом ничего не знаю, но мне трудно не допустить, что эта вероятность выражается непрерывной аналитической функцией. Тогда вероятность того, что толчок содержится между а и a+ e, будет практически такая же, как и вероятность того, что он заключен между a+ e и а + 2e, лишь бы e было очень мало. Это общее свойство всех аналитических функций: небольшие изменения функций будут пропорциональны небольшим изменениям переменных.

Mais, nous l'avons supposé, une très petite variation de l'impulsion suffit pour changer la couleur du secteur devant lequel l'aiguille finira par s'arrêter. De a à a+ε a + s c'est le rouge, de a+ε à a+2ε c'est le noir ; la probabilité de chaque secteur rouge est donc la même que celle du secteur noir suivant, et, par conséquent, la probabilité totale du rouge est égale à la probabilité totale du noir.

Но, как мы предположили, весьма малого изменения силы толчка будет достаточно для изменения цвета сектора, перед которым в конце концов остановится игла. При интервале от а до a+e это будет красный сектор, при интервале от а+e до а+2e это будет черный сектор. Вероятность каждого красного сектора такая же, как и вероятность следующего за ним черного, и общая вероятность красного та же, что и общая вероятность черного.

La donnée de la question, c'est la fonction analytique qui représente la probabilité d'une impulsion initiale déterminée. Mais le théorème reste vrai, quelle que soit cette donnée, parce qu'il dépend d'une propriété commune à toutes les fonctions analytiques. Il en résulte que finalement nous n'avons plus aucun besoin de la donnée.

Данной в этой задаче является аналитическая функция, которая выражает вероятность определенного начального толчка. Но теорема остается справедливой, каково бы ни было это данное, так как она зависит от свойства, общего всем аналитическим функциям. Отсюда следует, что в конечном результате данное нам вовсе не нужно.

Ce que nous venons de dire pour le cas de la roulette, s'applique aussi à l'exemple des petites planètes. Le zodiaque peut être regardé comme une immense roulette sur laquelle le créateur a lancé un très grand nombre de petites boules auxquelles il a communiqué des impulsions initiales diverses, variant suivant une loi d'ailleurs quelconque. Leur distribution actuelle est uniforme et indépendante de cette loi, pour la même raison que dans le cas précédent. On voit ainsi pourquoi les phénomènes obéissent aux lois du hasard quand de petites différences dans les causes suffisent pour amener de grandes différences dans les effets. Les probabilités de ces petites différences peuvent alors être regardées comme proportionnelles à ces différences elles-mêmes, justement parce que ces différences sont petites et que les petits accroissements d'une fonction continue sont proportionnels à ceux de la variable.

То, что мы сказали о рулетке, применяется также к примеру малых планет. Мы можем смотреть на зодиак как на громадную рулетку, по которой Творец разбросал большое число шариков, сообщив им различные начальные скорости, меняющиеся согласно закону, вообще говоря, произвольному. В настоящее время они распределены равномерно, независимо от этого закона, по той же причине, что и в предыдущем случае. Мы видим также, почему явления повинуются законам случая, когда незначительные разницы в причинах способны вызвать большие различия в результатах. Вероятности этих малых разностей мы можем в этом случае считать пропорциональными самим разностям именно потому, что эти разности очень малы, и незначительные приращения непрерывной функции пропорциональны приращениям переменной.

Passons à un exemple entièrement différent, où intervient surtout la complexité des causes ; je suppose qu'un joueur batte un jeu de cartes. A chaque battement, il intervertit l'ordre des cartes, et il peut les intervertir de plusieurs manières. Supposons trois cartes seulement pour simplifier l'exposition. Les cartes qui, avant le battement, occupaient respectivement les rangs 123, pourront, après le battement, occuper les rangs

Перейдем теперь к совершенно другому примеру, где главную роль играет сложность причин. Я предположу, что игрок тасует колоду карт. При каждой перетасовке он меняет порядок карт и может это сделать несколькими способами. Предположим для простоты, что мы имеем только три карты. Карты, которые вначале были расположены в порядке 1 2 3, могут после перетасовки оказаться в одном из шести расположений:

123, 231, 312, 321, 132, 213.

123, 231, 312, 321, 132, 213.

Chacune de ces six hypothèses est possible et elles ont respectivement pour probabilités :

Каждая из этих шести гипотез возможна и соответственно имеет вероятность

p_1, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆.

p1, р2, р3, p4, р5, р6.

La somme de ces six nombres est égale à 1 ; mais c'est tout ce que nous en savons ; ces six probabilités dépendent naturellement des habitudes du joueur que nous ne connaissons pas.

Сумма этих шести чисел равна единице, но это и все, что мы о них знаем. Эти шесть вероятностей зависят от привычек игрока, которых мы не знаем.

Au second battement et aux suivants, cela recommencera et dans les mêmes conditions ; je veux dire que p₄, par exemple, représente toujours la probabilité pour que les trois cartes qui occupaient après le n^e battement et avant le n + 1^e les rangs 123, pour que ces trois cartes, dis-je, occupent les rangs 321 après le n + 1^e battement. Et cela reste vrai, quel que soit le nombre n puisque les habitudes du joueur, sa façon de battre restent les mêmes.

При второй тасовке повторится то же и притом в тех же условиях. Я хочу этим сказать, что p4 по-прежнему выражает возможность того, что три карты, которые после n-го взмаха были расположены в порядке 123, расположатся после n+l-ro взмаха в порядке 321; и это остается справедливым, каково бы ни было число n, ибо привычки игрока, его манера тасовать остаются теми же.

Mais si le nombre des battements est très grand, les cartes qui, avant le 1^er battement, occupaient les rangs 123, pourront, après le dernier battement, occuper les rangs

Но если число взмахов очень велико, то карты, которые до первого взмаха были расположены в порядке 123, могут после последнего взмаха иметь любое из расположений

123, 231, 312, 321, 132, 213

123, 231, 312, 321, 132, 213,

et la probabilité de ces six hypothèses sera sensiblement la même et égale à 1/6 ; et cela sera vrai, quels que soient les nombres p_1,..., p₆ que nous ne connaissons pas. Le grand nombre des battements, c'est-à-dire la complexité des causes, a produit l'uniformité.

и вероятность этих шести гипотез в доступных нам пределах будет одна и та же, т. е. 1/6; и это будет справедливо, каковы бы ни были числа р1, p2, р3, p4, p5, р6, которых мы не знаем. Большое число взмахов, т. е. сложность причин, вызвало это единообразие.

Cela s'appliquerait sans changement s'il y avait plus de trois cartes, mais, même avec trois cartes, la démonstration serait compliquée ; je me contenterai de la donner pour deux cartes seulement. Nous n'avons plus que deux hypothèses

Это без изменения относится и к тому случаю, когда число карт больше трех, но даже и при трех картах доказательство было бы сложно. Я ограничусь тем, что проведу его для случая только двух карт. Тогда мы имеем лишь две гипотезы

12, 21

12, 21

avec les probabilités p₁ et 1-p₁. Supposons n battements et supposons que je gagne 1 franc si les cartes sont finalement dans l'ordre initial, et que j'en perde un si elles sont finalement interverties. Alors, mon espérance mathématique sera :

с соответственными вероятностями р1 и р2=1-р1. Предположим теперь, что сделано n взмахов и что я выигрываю один франк, если карты оказываются в конце концов в первоначальном порядке, и столько же теряю, если они окажутся расположенными в обратном порядке. В таком случае мое математическое ожидание составит

(p₁-p₂)ⁿ

La différence p₁-p₂ est certainement plus petite que 1 ; de sorte que si n est très grand, mon espérance sera nulle ; nous n'avons pas besoin de connaître p₁ et p₂ pour savoir que le jeu est équitable.

Разность p1-р2, конечно, меньше единицы. Вследствие этого, если n слишком велико, то мое ожидание сведется к нулю. Мы не имеем нужды знать р1 и р2, мы и без того знаем, что игра должна кончиться вничью.

Il y aurait une exception toutefois, si l'un des nombres p₁ et p₂ était égal à 1 et l'autre nul. Cela ne marcherait plus alors parce que nos hypothèses initiales seraient trop simples.

Есть, однако, одно исключение - именно, когда одно из чисел р1 и р2 равно единице, а другое нулю. В этом случае дело будет обстоять иначе, потому что начальные гипотезы слишком просты.

Ce que nous venons de voir ne s'applique pas seulement au mélange des cartes, mais à tous les mélanges, à ceux des poudres et des liquides ; et même à ceux des molécules gazeuses dans la théorie cinétique des gaz. Pour en revenir à cette théorie, supposons pour un instant un gaz dont les molécules ne puissent se choquer mutuellement, mais puissent être déviées par des chocs sur les parois du vase où le gaz est renfermé. Si la forme du vase est suffisamment compliquée, la distribution des molécules et celle des vitesses ne tarderont pas à devenir uniformes. Il n'en sera plus de même si le vase est sphérique ou s'il a la forme d'un parallélépipède rectangle ; pourquoi ? Parce que, dans le premier cas, la distance du centre à une trajectoire quelconque demeurera constante ; dans le second cas ce sera la valeur absolue de l'angle de chaque trajectoire avec les faces du parallélépipède.

Изложенное относится не только к смеси карт, но и ко всяким смесям, в том числе и к смесям порошков и жидкостей; оно относится и к смесям газовых молекул в кннетичеекой теории газов. Чтобы перейти от изложенных примеров к этой теории, представим себе газ, молекулы которого не могут взаимно сталкиваться, но могут отклоняться только при ударах о стенки сосуда, в который они заключены. Если сосуд имеет достаточно сложную форму, то распределение молекул и скоростей не замедлит стать однородным; этого, однако, не будет, если сосуд имеет форму шара или прямоугольного параллелепипеда. Почему же? Потому что в первом случае расстояние центра от каждой траектории остается постоянным. Во втором случае постоянной остается абсолютная величина угла, составляемого каждой траекторией с гранями параллелепипеда.

On voit ainsi ce que l'on doit entendre par conditions trop simples ; ce sont celles qui conservent quelque chose, qui laissent subsister un invariant. Les équations différentielles du problème sont-elles trop simples pour que nous puissions appliquer les lois du hasard ? Cette question parait, au premier abord, dénuée de sens précis ; nous savons maintenant ce qu'elle veut dire. Elles sont trop simples, si elles conservent quelque chose, si elles admettent une intégrale uniforme ; si quelque chose des conditions initiales demeure inaltéré, il est clair que la situation finale ne pourra plus être indépendante de la situation initiale.

Мы видим также, что нужно понимать под очень простыми условиями. Это те условия, которые сохраняют нечто неизменное, которые допускают инварианты. Не слишком ли просты дифференциальные уравнения задачи, чтобы мы могли применить к ней законы случая? На первый взгляд вопрос кажется лишенным точного смысла, но теперь мы понимаем его содержание. Эти дифференциальные уравнения слишком просты, если они сохраняют что-то постоянным, если они допускают общий интеграл. Если что-то из начальных условий остается неизменным, то ясно, что конечное состояние не сможет быть независимым от начального.

Venons enfin à la théorie des erreurs. A quoi sont dues les erreurs accidentelles, nous l'ignorons, et c'est justement parce que nous l'ignorons que nous savons qu'elles vont obéir à la loi de Gauss. Tel est le paradoxe. Il s'explique à peu près de la même manière que dans les cas précédents. Nous n'avons besoin de savoir qu'une chose : que les erreurs sont très nombreuses, qu'elles sont très petites, que chacune d'elles peut être aussi bien négative que positive. Quelle est la courbe de probabilité de chacune d'elles ? nous n'en savons rien, nous supposons seulement que celte courbe est symétrique. On démontre alors que l'erreur résultante suivra la loi de Gauss, et cette loi résultante est indépendante des lois particulières que nous ne connaissons pas. Ici encore la simplicité du résultat est née de la complication même des données.

Обратимся теперь к теории ошибок. Чем обусловливаются случайные ошибки, мы не знаем, и именно потому, что мы этого не знаем, мы уверены, что они будут подчиняться закону Гаусса, Таков парадокс. Он объясняется приблизительно так же, как и предыдущий случай. Нам нужно знать только одно: что ошибки очень многочисленны, что они очень малы, что каждая из них может столь же легко оказаться отрицательной, как и положительной. Какова кривая вероятностей каждой из них, мы этого не знаем; мы только предполагаем, что это симметричная кривая. Тогда мы можем доказать, что окончательная ошибка будет следовать закону Гаусса, и этот окончательный закон не зависит от частных законов, которые остались для нас неизвестными. Здесь опять-таки простота результата обусловливается сложностью данных.

Mais nous ne sommes pas au bout des paradoxes. J'ai repris tout à l'heure la fiction de Flammarion, celle de l'homme qui va plus vite que la lumière et pour qui le temps est changé de signe. J'ai dit que pour lui tous les phénomènes sembleraient dus au hasard. Cela est vrai à un certain point de vue, et cependant tous ces phénomènes à un instant donné ne seraient pas distribués conformément aux lois du hasard, puisqu'ils le seraient comme pour nous, qui les voyant se dérouler harmonieusement et sans sortir d'un chaos primitif, ne les regardons pas comme réglés par le hasard.

Однако мы еще не покончили с парадоксами. Выше я воcпользовался выдумкой Фламмариона о человеке, который движется быстрее света и для которого время вследствие этого меняет знак. Я сказал, что ему все явления представлялись бы случайными. С известной точки зрения это справедливо; и все эти явления в некоторый определенный момент не были бы распределены согласно законам случая потому, что они в действительности были бы распределены так же, как и для нас, на глазах которых они разматываются гармонично, не возникая из какого-то первичного хаоса, а мы отнюдь не считаем их результатом случая.

Qu'est-ce que cela veut dire ? Pour Lumen, l'homme de Flammarion, de petites causes semblent produire de grands effets ; pourquoi les choses ne se passent-elles pas comme pour nous quand nous croyons voir de grands effets dus à de petites causes ? Le même raisonnement ne serait-il pas applicable à son cas ?

Что же это значит? Люмену, человеку Фламмариона, кажется, что незначительные причины приводят к большим эффектам. Почему же явления не протекают для него так же, как для нас, когда мы полагаем, что видим большие результаты, обусловливаемые малыми причинами. Нельзя ли и к его случаю применить то же самое рассуждение?

Revenons sur ce raisonnement : quand de petites différences dans les causes en engendrent de grandes dans les effets, pourquoi ces effets sont-ils distribués d'après les lois du hasard ? Je suppose qu'une différence d'un millimètre sur la cause, produise une différence d'un kilomètre dans l'effet. Si je dois gagner dans le cas où l'effet correspondra à un kilomètre portant un numéro pair, ma probabilité de gagner sera ½ ; pourquoi ? Parce qu'il faut pour cela que la cause corresponde à un millimètre de numéro pair. Or selon toute apparence, la probabilité pour que la cause varie entre certaines limites sera proportionnelle à la distance de ces limites, pourvu que cette distance soit très petite. Si l'on n'admettait pas cette hypothèse, il n'y aurait plus moyen de représenter la probabilité par une fonction continue.

Возвратимся же к этому рассуждению. Почему в тех случаях, когда незначительные изменения причин вызывают большую разницу в результатах, последние распределяются по законам случайностей? Допустим, что разница в один миллиметр в причине вызывает разницу в один километр в результате. Если я выигрываю всякий раз, когда результат будет соответствовать километру, занумерованному четным числом, то вероятность выигрыша составит половину. Почему же так? Потому, что для этого необходимо, чтобы причина соответствовала миллиметру с четным номером. Между тем, по всей видимости, вероятность, что причина будет меняться в известных пределах, пропорциональна расстоянию между этими пределами, если только последнее очень мало. Не делая этого допущения, мне было бы совершенно невозможно выражать вероятность непрерывной функцией.

Qu'arrivera-t-il maintenant quand de grandes causes produiront de petits effets ? C'est le cas où nous n'attribuerions pas le phénomène au hasard, et où Lumen au contraire l'attribuerait an hasard. A une différence d'un kilomètre dans la cause correspondrait une différence d'un millimètre dans l'effet. La probabilité pour que la cause soit comprise entre deux limites distantes de n kilomètres, sera-t-elle encore proportionnelle à n ? Nous n'avons aucune raison de le supposer puisque cette distance de n kilomètres est grande. Mais la probabilité pour que l'effet reste compris entre deux limites distantes de n millimètres sera précisément la même, elle ne sera donc pas proportionnelle à n, et cela bien que cette distance de n millimètres soit petite. Il n'y a donc pas moyen de représenter la loi de probabilité des effets par une courbe continue ; entendons-nous bien, cette courbe pourra rester continue au sens analytique du mot, à des variations infiniment petites de l'abscisse correspondront des variations infiniment petites de l'ordonnée. Mais pratiquement elle ne serait pas continue puisque, à des variations très petites de l'abscisse, ne correspondraient pas des variations très petites de l'ordonnée. Il deviendrait impossible de tracer la courbe avec un crayon ordinaire : voila ce que je veux dire.

Что же произойдет теперь, когда большие причины будут вызывать мелкие результаты. В этом случае мы не приписывали бы явления случаю, между тем как Люмен считал бы их случайными. При разнице в километр в причине мы имели бы разницу в один миллиметр в результате. Будет ли и теперь пропорциональна n вероятность того, что причина заключается в интервале длиною n километров? Мы не имеем никаких оснований это предполагать, ибо расстояние в n километров весьма велико. Но вероятность того, что следствие останется в пределах n миллиметров, будет совершенно та же; она не будет потому пропорциональна числу n, несмотря на то, что расстояние в n миллиметров очень мало. В этом случае закон вероятности результатов невозможно, следовательно, представить непрерывной кривой. Заметим, однако, что в аналитическом смысле слова эта кривая может оставаться непрерывной, т. е. бесконечно малым изменениям абсциссы соответствовали бы бесконечно малые изменения ординаты. Но практически она не будет непрерывной, ибо очень малым изменениям абсциссы не будут соответствовать очень малые изменения ординаты. Я хочу сказать, что нарисовать такую кривую карандашом было бы невозможно.

Que devons-nous donc conclure ? Lumen n'a pas le droit de dire que la probabilité de la cause (celle de sa cause, qui est notre effet à nous) doit nécessairement être représentée par une fonction continue. Nais alors, nous, pourquoi avons-nous ce droit ? C'est parce que cet état d'équilibre instable, que nous appelions tout à l'heure initial, n'est lui-même que le point d'aboutissement d'une longue histoire antérieure. Dans le cours de cette histoire, des causes complexes ont agi et elles ont agi longtemps : elles ont contribué à opérer le mélange des éléments et elles ont tendu à tout uniformiser au moins dans un petit espace ; elles ont arrondi les angles, nivelé les montagnes et comblé les vallées : quelque capricieuse et irrégulière qu'ait pu être la courbe primitive qu'on leur a livrée, elles ont tant travaillé à la régulariser, qu'elles nous rendront finalement une courbe continue. Et c'est pourquoi nous en pouvons en toute confiance admettre la continuité.

Что же мы должны отсюда заключить? Люмен не имеет права утверждать, что вероятность причины (его причины, которая для нас является результатом) непременно должна выражаться непрерывной функцией. Но в таком случае почему же имеем на это право мы? Потому, что то состояние неустойчивого равновесия, которое мы выше назвали начальным, само представляет собой конечный момент долгой предшествующей истории. В продолжение этой истории сложные причины действовали и действовали долго: именно они содействовали тому, что образовалось смешение элементов, они стремились придать всему однородный характер, по крайней мере на небольшой части пространства; они закругляли углы, нивелировали горы, заполняли долины: как бы капризна и неправильна ни была первоначальная кривая, которая была им дана, они затратили столько труда на то, чтобы сделать ее правильной, что мы в конце концов получим непрерывную кривую. Вот почему мы можем совершенно спокойно допустить се непрерывность.

Lumen n'aurait pas les mêmes raisons de conclure ainsi ; pour lui, les causes complexes ne lui paraîtraient pas des agents de régularité et de nivellement, elles ne créeraient au contraire que la différentiation et l'inégalité. Il verrait sortir un monde de plus en plus varié d'une sorte de chaos primitif ; les changements qu'il observerait seraient pour lui imprévus et impossibles à prévoir ; ils lui paraîtraient dus à je ne sais quel caprice ; mais ce caprice serait tout autre chose que notre hasard, puisqu'il serait rebelle à toute loi, tandis que notre hasard a encore les siennes. Tous ces points demanderaient de longs développements, qui aideraient peut-être à mieux comprendre l'irréversibilité de l'univers.

Однако Люмен не имел бы права сделать такое заключение; ему сложные причины не представлялись бы факторами правильности и нивелирования; напротив, с его точки зрения они вели бы только к дифференциации и к неравенству; в его глазах из первоначального хаоса разрастался бы мир, все более и более разнородный; изменения, которые он наблюдал бы, были бы для него неожиданными; предусмотреть их он бы не мог; ему казалось бы, что они обусловлены бог весть каким капризом, но это был бы каприз, совершенно не похожий на нашу случайность; он был бы противоположен всякой закономерности,между тем как наши случайности имеют свои законы. Полное выяснение всего этого требовало бы еще более продолжительного изложения, которое, быть может, содействовало бы лучшему пониманию необратимости мироздания.

Nous avons cherché à définir le hasard, et il convient maintenant de se poser une question. Le hasard, étant ainsi défini dans la mesure où il peut l'être, a-t-il un caractère objectif ?

Мы старались определить, что такое случайность. Теперь будет уместно спросить: определив таким образом случайность, можем ли мы утверждать, что она имеет объективный характер?

On peut se le demander. J'ai parlé de causes très petites ou très complexes. Mais ce qui est très petit pour l'un ne peut-il être grand pour l'autre, et ce qui semble très complexe à l'un ne peut-il paraître simple à l'autre ? J'ai déjà répondu en partie puisque j'ai dit plus haut d'une façon précise dans quel cas des équations différentielles deviennent trop simples pour que les lois du hasard restent applicables. Mais il convient d'examiner la chose d'un peu plus près, car on peut se placer encore à d'autres points de vue.

Можно задать себе этот вопрос. Я говорил о причинах, весьма малых и весьма сложных, но не будет ли то, что кажется малым одному, весьма большим для другого, и не будет ли то, что представляется весьма сложным одному, казаться простым другому. Я уже отчасти ответил на этот вопрос, потому что я выше точно указал, в каком случае дифференциальные уравнения становятся слишком простыми, чтобы законы случая оставались применимыми. Но будет полезно вдуматься несколько глубже в этот вопрос, так как возможны и другие точки зрения.

Que signifie le mot très petit ? Il suffit pour le comprendre de se reporter à ce que nous avons dit plus haut. Une différence est très petite, un intervalle est très petit lorsque, dans les limites de cet intervalle, la probabilité reste sensiblement constante. Et pourquoi cette probabilité peut-elle être regardée comme constante dans un petit intervalle ? C'est parce que nous admettons que la loi de probabilité est représentée par une courbe continu ; et non seulement continue au sens analytique du mot, mais pratiquement continue, comme je l'expliquais plus haut. Cela veut dire que non seulement elle, ne présentera pas d'hiatus absolu mais qu'elle n'aura pas non plus de saillants et de rentrants trop aigus ou trop accentués.

Что означает слово "весьма малый"? Чтобы уяснить его себе, нужно обратиться к тому, что мы сказали выше. Разница весьма мала, интервал весьма мал, если в пределах этого интервала вероятность остается приблизительно постоянной. Но почему же эта вероятность может считаться постоянной в таком небольшом интервале? Именно потому, что мы допускаем, что закон вероятности выражается непрерывной кривой и притом непрерывной не только в аналитическом смысле этого слова, но и практически, как я это старался выяснить выше.

Et qu'est-ce qui nous donne le droit de faire cette hypothèse ? Nous l'avons dit plus haut, c'est parce que, depuis le commencement des siècles, il y a des causes complexes qui ne cessent d'agir dans le même sens et qui font tendre constamment le monde vers l'uniformité sans qu'il puisse jamais revenir en arrière. Ce sont ces causes qui ont peu à peu abattu les saillants et rempli les rentrants, et c'est pour cela que nos courbes de probabilité n'offrent plus que des ondulations lentes. Dans des milliards de milliards de siècles, on aura fait un pas de plus vers l'uniformité et ces ondulations seront dix fois plus lentes encore : le rayon de courbure moyen de notre courbe sera devenu dix fois plus grand. Et alors telle longueur qui aujourd'hui ne nous semble pas très petite, parce que sur notre courbe un arc de cette longueur ne peut être regardé comme rectiligne, devra au contraire à cette époque être qualifiée de très petite, puisque la courbure sera devenue dix fois moindre, et qu'un arc de cette longueur pourra être sensiblement assimilé à une droite.

Что же дает нам право делать такое предположение? Как было сказано выше, это происходит оттого, что с начала веков имеются сложные причины, неизменно действующие в одном и том же смысле и постоянно направляющие мир к однородному состоянию, возврат от которого для него невозможен. Эти именно причины мало-помалу отбили выступы и заполнили впадины, и по этой-то причине наши кривые вероятности имеют лишь слабые колебания. Через миллиарды миллиардов веков мы сделаем еще шаг вперед по направлению к единообразию, и эти колебания сделаются еще в десять раз медленнее. Радиус средней кривизны нашей кривой сделается в десять раз больше. И тогда длина, которая сейчас не представляется для нас очень малой, так как на нашей кривой дуга такой длины не может считаться прямолинейной, будет в ту эпоху признана весьма малой, ибо кривизна уменьшится в десять раз и дуга такой длины может быть в доступных нам пределах уподоблена прямой.

Ainsi ce mot de très petit reste relatif ; mais il n'est pas relatif à tel homme ou à tel autre, il est relatif à l'état actuel du monde. Il changera de sens quand le monde sera devenu plus uniforme, que toutes les choses se seront mélangées plus encore. Mais alors sans doute les hommes ne pourront plus vivre et devront faire place à d'autres être ; dois-je dire beaucoup plus petits ou beaucoup plus grands ? De sorte que notre critérium, restant vrai pour tous les hommes, conserve un sens objectif.

Таким образом, понятие о весьма малом все-таки остается относительным; но относительным оно оказывается не по отношению к тому или иному лицу, а по отношению к настоящему состоянию мира. Оно изменит смысл, когда мир станет более единообразным, когда все еще больше смешается, но тогда, несомненно, люди уже не смогут больше жить и должны будут уступить место другим существам, более крупным или более мелким - могу ли я это предсказать? Таким образом, наш критерий остается справедливым для всех людей, и в этом смысле он должен быть признан объективным.

Et que veut dire d'autre part le mot très complexe ? J'ai déjà donné une solution, et c'est celle que j'ai rappelée au début de ce paragraphe, mais il y en a d'autres. Les causes complexes, nous l'avons dit, produisent un mélange de plus en plus intime, mais au bout de combien de temps ce mélange nous satisfera-t-il ? Quand aura-t-on accumulé assez de complications ? Quand aura-t-on suffisamment battu les cartes ? Si nous mélangeons deux poudres, l'une bleue et l'autre blanche, il arrive un moment où la teinte du mélange nous parait uniforme ; c'est à cause de l'infirmité de nos sens ; elle sera uniforme pour le presbyte qui est obligé de regarder de loin quand elle ne le sera pas encore pour le myope. Et quand elle le sera devenue pour toutes les vues, on pourra encore reculer la limite par l'emploi des instruments. Il n'y a pas de chance pour qu'aucun homme discerne jamais la variété infinie qui, si la théorie cinétique est vraie, se dissimule sous l'apparence uniforme d'un gaz. Et cependant, si on adopte les idées de Gouy sur le mouvement brownien, le microscope ne semble-t-il pas sur le point de nous montrer quelque chose d'analogue ?

С другой стороны, что должно означать слово "очень сложный"? Я уже дал ответ на этот вопрос и повторил его в начале этой главы. Но возможны и другие толкования. Как мы сказали, сложные причины вызывают все более и более тесное смешение; но сколько же нужно времени, чтобы эта смесь нас удовлетворила? В какой момент мы признаем достаточным накопление сложных элементов? Когда мы признаем достаточной тасовку карт? Если мы смешиваем два порошка - белый и голубой, то наступает момент, когда окраска смеси представляется нам однородной. Это обусловливается, однако, несовершенством наших чувств. Смесь может оказаться уже однородной для дальнозоркого, который должен рассматривать ее издалека, но она не будет таковой для близорукого. Если она станет уже однородной для всякого глаза, то можно будет эту границу отодвинуть еще далее, если мы будем пользоваться оптическими инструментами. Нет, конечно, никаких шансов на то, чтобы какой-нибудь человек мог когда-либо различать все бесконечное многообразие, которое скрывается под видимой однородностью газа, если только верна кинетическая теория. И все же, если принять идеи Гуи о броуновском движении, то микроскоп, по-видимому, находится уже на той ступени, что может обнаружить нам такого рода вещи.

Ce nouveau critérium est donc relatif comme le premier et s'il conserve un caractère objectif, c'est parce que tous les hommes ont à peu près les mêmes sens, que la puissance de leurs instruments est limitée et qu'ils ne s'en servent d'ailleurs qu'exceptionnellement.

Этот критерий таким же образом является относительным, как и первый; и если он сохраняет характер объективности, то это происходит оттого, что люди одарены приблизительно одними и теми же чувствами, что силы наших инструментов ограничены и что мы пользуемся ими лишь в виде исключения.

C'est la même chose dans les sciences morales et en particulier dans l'histoire. L'historien est obligé de faire un choix dans les événements de l'époque qu'il étudie ; il ne raconte que ceux qui lui semblent les plus importants. Il s'est donc contenté de relater les événements les plus considérables du XVI^e siècle par exemple, de même que les faits les plus remarquables du XVII^e siècle. Si les premiers suffisent pour expliquer les seconds, on dit que ceux-ci sont conformes aux lois de l'histoire. Mais si un grand événement du XVII^e siècle reconnaît pour cause un petit fait du XVI^e siècle, qu'aucune histoire ne rapporte, que tout le monde a négligé, alors on dit que cet événement est dû au hasard, ce mot a donc le même sens que dans les sciences physiques ; il signifie que de petites causes ont produit de grands effets.

С тем же обстоятельством мы встречаемся в гуманитарных науках и, в частности, в истории. Историк должен делать выбор между событиями эпохи, которую он изучает. Он рассказывает только о тех, которые ему кажутся более важными. Он довольствуется поэтому тем, что изложит, скажем, наиболее значительные события XVI века и также наиболее важные факты, относящиеся к XVII веку. Если первых оказывается достаточно, чтобы объяснить вторые, то говорят, что последние согласуются с законами истории. Но если великое событие XVII столетия имеет своей причиной незначительный факт XVI столетия, о котором не сообщает ни один историк и который все оставили в пренебрежении, то говорят, что это событие обусловливается случаем, и слово это имеет, таким образом, то же значение, что в физических науках. Оно означает, что незначительные причины произвели большие действия.

Le plus grand hasard est la naissance d'un grand homme. Ce n'est que par hasard que se sont rencontrées deux cellules génitales, de sexe différent, qui contenaient précisément, chacune de son côté, les éléments mystérieux dont la réaction mutuelle devait produire le génie. On tombera d'accord que ces éléments doivent être rares et que leur rencontre est encore plus rare. Qu'il aurait fallu peu de chose pour dévier de sa route le spermatozoïde qui les portait ; il aurait suffi de le dévier d'un dixième de millimètre et Napoléon ne naissait pas et les destinées d'un continent étaient changées. Nul exemple ne peut mieux faire comprendre les véritables caractères du hasard.

Что может быть в большей мере явлением случайности, как не рождение великого человека! Только случай свел две клетки различных полов, которые содержали каждая со своей стороны те элементы, взаимодействие которых было необходимо для создания гения. Все согласятся, что эти элементы вообще должны быть редки, а такое совпадение должно было быть еще реже. Как мало было бы нужно, чтобы уклонить с пути сперматозоид, который его нес, достаточно было бы отклонить его на десятую долю миллиметра, и Наполеон не родился бы, и судьбы целого материка изменились бы. Никакой другой пример не может лучше выяснить истинных признаков случайности.

Un mot encore sur les paradoxes auxquels a donné lieu l'application du calcul des probabilités aux sciences morales. On a démontré qu'aucune Chambre ne contiendrait jamais aucun député de l'opposition, ou du moins un tel événement serait tellement improbable qu'on pourrait sans crainte parier le contraire, et parier un million contre un sou. Condorcet s'est efforcé de calculer combien il fallait de jurés pour qu'une erreur judiciaire devint pratiquement impossible. Si on avait utilisé les résultats de ce calcul, on se serait certainement exposé aux mêmes déceptions qu'en pariant sur la foi du calcul que l'opposition n'aurait jamais aucun représentant.

Еще несколько слов относительно парадоксов, к которым привело применение теории вероятностей в гуманитарных науках. Доказывали, что ни одна Палата не должна была бы включать ни одного оппозиционного депутата, или по крайней мере это должно было бы быть явлением настолько редким, что за это можно было бы спокойно биться об заклад, ставя при этом миллион против одного су. Кондорсе пытался выяснить, сколько должно быть присяжных, для того чтобы судебная ошибка была практически невозможна. Если мы, однако, вздумали бы пользоваться результатами этого вычисления, то нас, несомненно, ожидало бы такое же разочарование, как и в случае, если бы мы держали пари, основываясь на вычислениях, по которым оппозиция не должна была бы иметь ни одного представителя в Палате.

Les lois du hasard ne s'appliquent pas à ces questions. Si la justice ne se décide pas toujours par de bonnes raisons, elle use moins qu'on ne croit de la méthode de Bridoye ; c'est peut-être fâcheux, puisque alors le système de Condorcet nous mettrait à l'abri des erreurs judiciaires.

Законы случая не применяются к этим вопросам. Если суд не всегда руководствуется справедливыми доводами, то он, во всяком случае, пользуется методами Бридуа (1) меньше, чем это можно думать; может быть, это дурно, ибо тогда система Кондорсе избавила бы нас от судебных ошибок.

Qu'est-ce à dire ? Nous sommes tentés d'attribuer au hasard les faits de cette nature parte que les causes en sont obscure ; mais ce n'est pas là le vrai hasard. Les causes nous sont inconnues, il est vrai, et même elles sont complexes ; mais elles ne le sont pas assez puisqu'elles conservent quelque chose ; nous avons vu que c'est là ce qui distingue les causes " trop simples ". Quand des hommes sont rapprochés, ils ne se décident plus au hasard et indépendamment les uns des autres ; ils réagissent les uns sur les autres. Des causes multiples entrent en action, elles troublent les hommes, les entraînent à droite et à gauche, mais il y a une chose qu'elles ne peuvent détruire, ce sont leurs habitudes de moutons de Panurge. Et c'est cela qui se conserve.

Что же это значит? Мы пытались приписать случаю факты этого рода, потому что причины их весьма темны. Но здесь нет настоящей случайности. Причины остаются нам, правда, неизвестными; верно и то, что они сложны; но они не в достаточной мере сложны, ибо они нечто сохраняют неизменным. Мы видели, что этим именно и отличаются причины "слишком простые". Когда люди сталкиваются, они не предоставлены уже случаю независимо один от другого, они воздействуют друг на друга. Многочисленные причины оказывают свое влияние, они толкают людей, увлекают их вправо и влево; но есть нечто, чего они не в состоянии разрушить: это их привычки панургова стада (2). Именно это и сохраняется.

L'application du calcul des probabilités aux sciences exactes entraîne aussi bien des difficultés. Pourquoi les décimales d'une table de logarithme, pourquoi celles du nombre π sont-elles distribuées conformément aux lois du hasard ? J'ai déjà ailleurs étudié la question en ce qui concerne les logarithmes, et là, cela est facile ; il est clair qu'une petite différence sur l'argument donnera une petite différence sur le logarithme, mais une grande différence sur la sixième décimale du logarithme. Nous retrouvons toujours le même critérium.

Применение теории вероятностей к точным наукам также сопряжено с большими трудностями. Почему десятичные знаки таблицы логарифмов или числа p распределены по законам случайности? Я занимался исследованием этого вопроса в другом месте - в применении к логарифмам. Ясно, что небольшая разница в аргументе должна дать незначительную разницу в логарифме, но это может выразиться большой разницей в шестом или седьмом десятичном знаке. Мы приходим, таким образом, к тому же критерию.

Mais pour le nombre π, cela présente plus de difficultés et je n'ai pour le moment rien de bon à dire.

Но что касается числа p , то здесь представляется затруднение, о котором я не могу сказать ничего путного.

Il y aurait beaucoup d'autres questions à soulever, si je voulais les aborder avant d'avoir résolu celle que je m'étais plus spécialement proposée.

Пришлось бы разобрать много других вопросов, если бы я хотел к ним приступить, не разрешив того, который я себе специально поставил.

Quand nous constatons un résultat simple, quand nous trouvons un nombre rond par exemple, nous disons qu'un pareil résultat ne peut pas être dû au hasard, et nous cherchons pour l'expliquer une cause non fortuite. Et en effet il n'y a qu'une très faible probabilité pour qu'entre 10.000 nombres, le hasard amène un nombre rond, le nombre 10.000 par exemple ; il y a seulement une chance sur 10.000. Mais il n'y a non plus qu'une chance sur 10.000 pour qu'il amène n'importe quel autre nombre ; et cependant ce résultat ne nous étonnera pas et il ne nous répugnera pas de l'attribuer au hasard ; et cela simplement parce qu'il sera moins frappant.

Когда мы обнаруживаем простой результат, например, когда мы получаем круглое число, мы говорим, что такого рода результат не может быть делом случая, и мы ищем для его объяснения причину не случайную. И действительно, вероятность того, чтобы из десяти тысяч чисел случай привел нас к круглому числу, скажем, именно к числу 10 000, очень незначительна; она составляет один шанс из десяти тысяч. Но есть также один шанс из десяти тысяч, что мы пришли бы к любому из остальных чисел. И все-таки такой результат нас не удивит, и мы спокойно припишем его случаю. И это только потому, что он менее бросается з глаза.

Y a-t-il là de notre part une simple illusion, ou bien y a-t-il des cas où cette façon de voir est légitime ? Il faut l'espérer, car sans cela toute science serait impossible. Quand nous voulons contrôler une hypothèse, que faisons-nous ? Nous ne pouvons en vérifier toutes les conséquences, puisqu'elles seraient en nombre infini ; nous nous contentons d'en vérifier quelques-unes et si réussissons, nous déclarons l'hypothèse confirmée, car tant de succès ne sauraient, être dus au hasard. Et c'est toujours au fond le même raisonnement.

В чем же тут дело? Есть ли это простая иллюзия с нашей стороны или бывают случаи, в которых эта точка зрения законна? Нужно думать, что это так, ибо иначе никакая наука не была бы возможна. Что делаем мы, когда хотим проконтролировать какую-либо гипотезу? Мы не можем проверить все ее выводы, потому что таковых имеется бесчисленное множество. Мы ограничиваемся тем, что выверяем некоторые и в благоприятном случае объявляем гипотезу установленной, ибо такое число совпадений не могло быть делом случая. По существу это то же самое рассуждение.

Je ne puis ici le justifier complètement, cela me prendrait trop de temps ; mais je puis dire au moins ceci : nous nous trouvons en présence de deux hypothèses, ou bien une cause simple, ou bien cet ensemble de causes complexes que nous appelons le hasard. Nous trouvons naturel d'admettre que la première doit produire un résultat simple, et alors, si nous constatons ce résultat simple, le nombre rond par exemple, il nous parait plus vraisemblable de l'attribuer à la cause simple qui devait nous le donner presque certainement, qu'au hasard qui ne pouvait nous le donner qu'une fois sur 10.000. Il n'en sera plus de même si nous constatons un résultat qui n'est pas simple ; le hasard, il est vrai, ne l'amènera pas non plus plus d'une fois sur 10.00 ; mais la cause simple n'a pas plus de chance de le produire.

Я не имею возможности здесь вполне его оправдать, так как это потребовало бы слишком много времени, но я могу сказать по крайней мере следующее. Мы стоим перед двумя гипотезами: либо здесь действует простая причина, либо же совокупность сложных причин, которую мы называем случаем. Мы считаем естественным допустить, что первая вызывает простой результат; поэтому, когда мы констатируем простой результат, например круглое число, нам представляется гораздо более правдоподобным приписать его простой причине, которая почти наверное должна была к нему привести, чем случайности, которая могла его дать только с вероятностью один на десять тысяч. Иначе будет обстоять дело, когда мы обнаружим не простой результат. Случай, конечно, тоже приведет к нему с вероятностью один на десять тысяч, но зато простая причина не имеет шансов его воспроизвести.

Il est impossible de se représenter l'espace vide ; tous nos efforts pour imaginer un espace pur, d'où seraient exclues les images changeantes des objets matériels, ne peuvent aboutir qu'à une représentation où les surfaces fortement colorées, par exemple, sont remplacées par des lignes à faible coloration et l'on ne pourrait aller jusqu'au bout dans cette voie, sans que tout s'évanouisse et aboutisse au néant. C'est de là que provient la relativité irréductible de l'espace.

Совершенно невозможно представить себе пространство пустым. Все наши усилия представить себе чистое пространство, из которого были бы исключены изменчивые образы материальных предметов, могут заканчиваться только тем, что мы составляем себе, например, представление, в котором сильно окрашенные поверхности заменены линиями со слабой окраской; и идти в этом направлении до конца нет возможности без того, чтобы все не уничтожалось, не свелось на нет. Отсюда и возникает неустранимая относительность пространства.

Quiconque parle de l'espace absolu, emploie un mot vide de sens. C'est là une vérité qui a été proclamée depuis longtemps par tous ceux qui ont réfléchi à la question, mais qu'on est trop souvent porté à oublier.

Если кто говорит об абсолютном пространстве, то он употребляет слово, лишенное смысла. Эту истину высказывали уже давно все, кто размышлял по этому вопросу, но ее слишком часто забывают и по сей день.

Je suis en un point déterminé de Paris, place du Panthéon, par exemple, et je dis : je reviendrai ici demain. Si l'on me demande : Entendez-vous que vous reviendrez au même point de l'espace ; je serai tenté de répondre : Oui ; et cependant j'aurai tort, puisque d'ici à demain la Terre aura marché, entraînant avec elle la place du Panthéon, qui aura parcouru plus de 2 millions de kilomètres. Et, si je voulais préciser mon langage, je n'y gagnerais rien, puisque ces 2 millions de kilomètres, notre globe les a parcourus dans son mouvement par rapport au soleil, que le soleil se déplace à son tour par rapport à la Voie Lactée, que la Voie Lactée elle-même est sans doute en mouvement sans que nous puissions connaître sa vitesse. De sorte que nous ignorons complètement et que nous ignorerons toujours de combien la place du Panthéon se déplace en un jour. En somme, j'ai voulu dire : Demain je verrai de nouveau le dôme et le fronton du Panthéon, et s'il n'y avait pas de Panthéon, ma phrase n'aurait aucun sens et l'espace s'évanouirait.

Я нахожусь в определенной точке Парижа, скажем на площади Пантеона, и говорю: "я возвращусь сюда завтра". Если меня спросить: "разумеете ли вы, что возвратитесь в ту же точку пространства", то я буду склонен ответить: "да!"; и все же я буду неправ, ибо в течение этого времени Земля будет двигаться, унося с собой и площадь Пантеона, которая пробежит, таким образом, свыше двух миллионов километров. Если же я пожелал бы учесть это обстоятельство и выразиться точнее, то это все-таки ни к чему бы не привело; в самом деле, эти два миллиона километров Земля пробежала относительно Солнца; но Солнце перемещается относительно Млечного Пути, а Млечный Путь в свою очередь, несомненно, имеет движение, скорости которого мы не можем знать. Таким образом, мы совершенно не знаем и не будем знать никогда, на какое собственно расстояние перемещается площадь Пантеона в течение суток. Все, что я хотел сказать, сводится, таким образом к следующему: "завтра я снова увижу купол и фасад Пантеона", и если бы не было Пантеона, то моя фраза потеряла бы всякий смысл - пространство свелось бы на нет.

C'est là une des formes les plus banales du principe de la relativité de l'espace ; mais il en est une autre, sur laquelle Delbeuf a particulièrement insisté. Supposons que, dans une nuit, toutes les dimensions de l'univers deviennent mille fois plus grandes ; le monde sera resté semblable à lui-même, en donnant au mot de similitude le même sens qu'au troisième livre de géométrie. Seulement, ce qui avait un mètre de long mesurera désormais un kilomètre, ce qui était long d'un millimètre deviendra long d'un mètre. Le lit où je suis couché et mon corps lui-même se seront agrandis dans la même proportion. Quand je me réveillerai, le lendemain matin, quel sentiment éprouverai-je en présence d'une aussi étonnante transformation ? Eh bien, je ne m'apercevrai de rien du tout. Les mesures les plus précises seront incapables de me rien révéler de cet immense bouleversement, puisque les mètres dont je me servirai auront varié précisément dans les mêmes proportions que les objets que je chercherai à mesurer. En réalité, ce bouleversement n'existe que pour ceux qui raisonnent comme si l'espace était absolu. Si j'ai raisonné un instant comme eux, c'est pour mieux faire voir que leur façon de voir implique contradiction. En réalité, il vaudrait mieux dire que l'espace étant relatif, il ne s'est rien passé du tout et que c'est pour cela que nous ne nous sommes aperçus de rien.

Это одна из наиболее тривиальных форм идеи относительности пространства; но есть и другая точка зрения, которую особенно отстаивал Дельбёф. Вообразим себе, что за одну ночь все размеры Вселенной возросли в тысячу раз. Мир остался бы подобен самому себе, если разуметь под подобием то, что указано в третьей книге "Геометрии". Все сведется к тому, что предмет, имевший метр в длину, будет измеряться километром; предмет, имевший миллиметр, возрастет до метра. Постель, на которой я лежал, и само мое тело возрастут в одной и той же пропорции. Что же почувствую я на следующее утро, проснувшись после такого поразительного превращения? Я попросту ничего не замечу. Самые точные измерения не будут в состоянии ни в малейшей мере обнаружить этот поразительный переворот, ибо метры, которыми я буду пользоваться, изменятся в совершенно том же отношении, что и предметы, которые я буду измерять. В действительности переворот существует только для тех, которые рассуждают так, как будто бы пространство было абсолютным. Если бы я стал на минуту рассуждать, как они, то лишь для того, чтобы обнаружить, что их точка зрения необходимо содержит противоречие. В действительности было бы лучше сказать, что ввиду относительности пространства не произошло, собственно говоря, ничего, и именно потому мы ничего не заметили.

A-t-on le droit, en conséquence, de dire que l'on connaît la distance entre deux points ? Non, puisque cette distance pourrait subir d'énormes variations sans que nous puissions nous en apercevoir, pourvu que les autres distances aient varié dans les mêmes proportions. Tout à l'heure, nous avions vu que quand je dis : Je serai ici demain, cela ne voulait par dire : Je serai demain au point de l'espace où je suis aujourd'hui, mais : Je serai demain à 1a même distance du Panthéon qu'aujourd'hui. Et voici que cet énoncé n'est plus suffisant et que je dois dire : Demain et aujourd'hui, ma distance du Panthéon sera égale à un même nombre de fois la longueur de mon corps.

Можем ли мы, таким образом, сказать, что мы знаем расстояние между точками. Нет, ибо это расстояние может подвергнуться огромным изменениям, и мы могли бы их не заметить, если бы другие расстояния изменились в той же пропорции. Если я говорю: "я буду здесь завтра", то, как мы видели только что, я не хочу этим сказать, что я буду завтра в той же точке пространства, где сегодня; я имею в виду только, что я буду завтра на том же расстоянии от Пантеона, что и сегодня. Но, строго говоря, и эта формулировка недостаточно ясна. Я, собственно, должен был бы сказать: "завтра, как и сегодня, расстояние от меня до Пантеона составит столько-то раз взятую длину моего тела".

Mais ce n'est pas tout, j'ai supposé que les dimensions du monde variaient, mais que du moins ce monde restait toujours semblable à lui-même. On peut aller beaucoup plus loin et une des théories les plus étonnantes des physiciens modernes va nous en fournir l'occasion. D'après Lorentz et Fitzgerald[1], tous les corps entraînés dans le mouvement de la Terre subissent une déformation. Cette déformation est, à la vérité, très faible, puisque toutes les dimensions parallèles au mouvement de la Terre diminueraient d'un cent millionième, tandis que les dimensions perpendiculaires à ce mouvement ne seraient pas altérées. Mais peu importe qu'elle soit faible, il suffit qu'elle existe pour la conclusion que j'en vais bientôt tirer. Et d'ailleurs, j'ai dit qu'elle était faible, mais, en réalité, je n'en sais rien du tout ; j'ai été victime moi-même de l'illusion tenace qui nous fait croire que nous pensons un espace absolu ; j'ai pensé au mouvement de la terre sur son orbite elliptique autour du Soleil, et j'ai admis 30 kilomètres pour sa vitesse. Mais, sa véritable vitesse (j'entends, cette fois, non sa vitesse absolue qui n'a aucun sens, mais sa vitesse par rapport à l'éther), je ne la connais pas, je n'ai aucun moyen de la connaître : elle est peut-être 10, 100 fois plus grande et alors la déformation sera 100, 10.000 fois plus forte.

Но это не все; я предположил, что размеры мира изменятся, но что этот мир останется по крайней мере подобен самому себе. Но в этом направлении можно идти гораздо дальше, и одна из наиболее поразительных теорий современных физиков дает нам. к этому повод. По теории Лоренца и Фицджеральда все тела, увлекаемые движением Земли, подвергаются деформации. Эта деформация в действительности весьма мала, потому что все размеры, параллельные движению Земли, должны уменьшиться на одну стомиллионную часть, между тем как размеры, перпедикулярные этому движению, совсем не должны измениться. Но для нас даже неважно, что эти изменения ничтожны; достаточно того, что они существуют, чтобы сделать вывод, который я имею в виду. Да к тому же, когда я говорю, что изменения ничтожны, я в действительности об этом ничего не знаю; я обнаруживаю только, что становлюсь сам жертвой упорной иллюзии, рисуя себе абсолютное пространство. Я размышлял о движении Земли вокруг Солнца по ее эллиптической орбите, и я принял скорость, равную 30 километрам. Но ее истинная скорость (я разумею на этот раз не абсолютную скорость, которая не имеет никакого смысла, а скорость по отношению к эфиру) мне совершенно неизвестна, и я не имею никаких средств ее узнать; она может быть в 10, 100 раз больше; а тогда и деформация будет в 100 или в 10000 раз больше.

Pouvons-nous mettre en évidence cette déformation ? Evidemment non ; voici un cube qui a 1 mètre de côté ; par suite du déplacement de la terre, il se déforme, l'une de ses arêtes, celle qui est parallèle au mouvement, devient plus petite, les autres ne varient pas. Si je veux m'en assurer à l'aide d'un mètre, je mesurerai d'abord l'une des arêtes perpendiculaires au mouvement et je constaterai que mon mètre s'applique exactement sur cette arête ; et, en effet, ni l'une ni l'antre de ces deux longueurs n'est altérée, puisqu'elles sont, toutes deux, perpendiculaires au mouvement. Je veux mesurer, ensuite, l'autre arête, celle qui est parallèle au mouvement ; pour cela je déplace mon mètre et le fais tourner de façon à l'appliquer sur mon arête. Mais le mètre ayant changé d'orientation, et étant devenu parallèle au mouvement, a subi, à son tour, la déformation, de sorte que bien que l'arête n'ait plus un mètre de longueur, il s'y appliquera exactement, je ne me serai aperçu de rien.

Можем ли мы обнаружить эту деформацию? Конечно, нет. Вот перед нами куб, ребро которого равно одному метру; вследствие перемещения Земли куб испытывает деформацию; одно из ребер, то, которое параллельно движению, становится меньше, дру- гие же не изменяются. Если я хочу в этом убедиться при помощи метра, то я измерю сначала одно из ребер, перпендикулярных движению, и найду, что мой метр точно совпадет с этим ребром; и, в самом деле, ни одна из этих величин ведь не изменилась, так как обе они перпендикулярны движению. Я хочу затем измерить другое ребро, параллельное движению: для этого я перемещаю свой метр и поворачиваю его, чтобы наложить на это ребро. Но метр, изменив свое направление и сделавшись параллельным движению, в свою очередь претерпел деформацию; таким образом, хотя длина ребра не равна более одному метру, последний точно совпадает с ребром, и я ровно ничего не замечу.

On me demandera alors quelle est l'utilité de l'hypothèse de Lorentz et de Fitzgerald si aucune expérience ne peut permettre de la vérifier ? c'est que mon exposition a été incomplète ; je n'ai parlé que des mesures que l'on peut faire avec un mètre ; mais on peut mesurer aussi une longueur par le temps que la lumière met à la parcourir, à la condition que l'on admette que la vitesse de la lumière est constante et indépendante de la direction. Lorentz aurait pu rendre compte des faits en supposant que la vitesse de la lumière est plus grande dans la direction du mouvement de la terre que dans la direction perpendiculaire. Il a préféré admettre que la vitesse est la même dans ces diverses directions, mais que les corps sont plus petits dans les unes que dans les autres. Si les surfaces d'onde de la lumière avaient subi les mènes déformations que les corps matériels, nous ne nous serions pas aperçus de la déformation de Lorentz-Fitzgerald.

Меня спросят в таком случае, в чем же польза гипотезы Лоренца и Фицджеральда, если она не может быть проверена опытом? Но мое изложение не было полное, я говорил только об измерениях, которые могут быть произведены при помощи метра; но длину можно измерять и при помощи времени, которое нужно свету, чтобы ее пробежать, в предположении, что скорость света постоянна и не зависит от направления. Лоренц мог бы дать объяснение того же факта, допустив, что скорость света по направлению движения Земли больше, чем скорость света в перпендикулярном направлении. Он предпочел допустить, что скорость эта одинакова во всех направлениях, но что тела в одних направлениях обладают меньшими размерами, чем в других. Если бы поверхности световой волны испытали те же деформации, что и материальные тела, то мы не заметили бы деформации Лоренца-Фицджеральда.

Dans un cas comme dans l'autre, il ne peut être question de grandeur absolue, mais de la mesure de cette grandeur par le moyen d'un instrument quelconque ; cet instrument peut être un mètre, ou le chemin parcouru par la lumière ; c'est seulement le rapport de la grandeur à l'instrument que nous mesurons ; et si ce rapport est altéré, nous n'avons aucun moyen de savoir si c'est la grandeur ou bien l'instrument qui a varié.

Как в одном случае, так и в другом нет речи об абсолютной неличине, а лишь об измерении этой величины посредством какого-нибудь инструмента; этим инструментом может быть метр или же путь, пройденный светом; мы измеряем только отношение величины к инструменту, и, если это отношение изменилось, мы никоим образом не можем узнать, что именно изменилось - измеряемая величина или инструмент.

Mais ce que je veux faire voir, c'est que, dans cette déformation, le monde n'est pas demeuré semblable à lui-mène ; les carrés sont devenus des rectangles ou des parallélogrammes, les cercles des ellipses, les sphères des ellipsoïdes. Et cependant nous n'avons aucun moyen de savoir si cette déformation est réelle.

Но я хочу лишь показать, что при деформации, о которой идет речь, мир не остался себе подобным: квадраты обратились в прямоугольники или в параллелограммы, круги - в эллипсы, сферы - в эллипсоиды. И, однако, мы ни в каком случае не можем знать, реальна ли эта деформация.

Il est évident qu'on pourrait aller beaucoup plus loin : au lieu de la déformation de Lorentz-Fitzgerald dont les lois sont particulièrement simples, on pourrait imaginer une déformation tout à fait quelconque. Les corps pourraient se déformer d'après des lois quelconques, aussi compliquées que nous voudrions, nous ne nous en apercevrions pas pourvu que tous les corps sans exception se déforment suivant les mènes lois. En disant : tous les corps sans exception, j'y comprends, bien entendu, notre corps lui-même, et les rayons lumineux émanés des divers objets.

Очевидно, что в этом направлении можно было бы пойти гораздо дальше: вместо деформации Лоренца-Фицджеральда, законы которой чрезвычайно просты, мы могли бы вообразить какую-нибудь совершенно произвольную деформацию. Тела могли бы изменяться по законам, сколь угодно сложным, и мы бы этого не заметили, если бы все тела без исключения подчинялись тем же законам. Говоря "все тела", я разумею, конечно, в том числе и наше тело и световые лучи, исходящие от разных предметов.

Si nous regardions le monde dans un de ces miroirs de forme compliquée qui déforment les objets d'une façon bizarre, les rapports mutuels des diverses parties de ce monde n'en seraient pas altérés ; si, en effet, deux objets réels se touchent, leurs images semblent également se toucher. A vrai dire, quand nous regardons dans un pareil miroir, nous nous apercevons bien de la déformation, mais c'est parce que le monde réel subsiste à côté de son image déformée ; et alors même que ce monde réel nous serait caché, il y a quelque chose que l'on ne saurait nous cacher, c'est nous-même ; nous ne pouvons cesser de voir, ou tout au moins de sentir, notre corps et nos membres qui n'ont pas été déformés et qui continuent à nous servir d'instruments de mesure. Mais si nous imaginons que notre corps soit déformé lui-même, et de la même façon que s'il était vu dans le miroir, ces instruments de mesure à leur tour nous feront défaut et la déformation ne pourra plus être constatée.

Если бы мы рассматривали мир в одном из тех зеркал сложной формы, которые самым причудливым образом изменяют предметы, то взаимные отношения различных частей мира от этого не изменялись бы; если, в самом деле, два реальных предмета касаются друг друга, то их изображения также будут касаться друг друга. Собственно говоря, когда мы смотрим в такое зеркало, мы замечаем происшедшую деформацию, но это потому, что реальный мир существует рядом с его измененным образом, и если бы даже этот реальный мир был от нас скрыт, то все же осталось бы нечто, что от нас не было бы скрыто: это мы сами; мы не можем не видеть или по крайней мере не чувствовать нашего тела и наших членов, которые не испытали деформации и продолжают служить нам орудием измерения. Но если бы мы вообразили, что наше тело изменилось и притом стало таким, каким оно показалось бы в зеркале, то у нас исчезло бы орудие измерения, и деформация не могла бы быть обнаружена.

Voici de même deux univers qui sont l'image l'un de l'autre ; à chaque objet P de l'univers A correspond dans l'univers B un objet P' qui est son image ; les coordonnées de cette image P' sont des fonctions déterminées de celles de l'objet P ; ces fonctions peuvent d'ailleurs être tout à fait quelconques ; je suppose seulement qu'on les ait choisies une fois pour toutes. Entre la position de P et celle de P', il y a une relation constante ; quelle est cette relation, peu importe ; il suffit qu'elle soit constante.

Вот два мира, из которых каждый является изображением другого; всякому предмету Р мира А соответствует в мире В предмет Р", который и есть его изображение; координаты изображения являются определенными функциями координат предмета Р; эти функции могут, конечно, быть какими угодно; я предполагаю только, что они выбраны раз и навсегда. Между положением Р и положением Р" существует постоянное соотношение; неважно, каково это соотношение; достаточно, что оно постоянное.

Eh bien, ces deux univers seront indiscernables l'un de l'autre. Je veux dire que le premier sera pour ses habitants ce que le second est pour les siens.

При таких условиях эти два мира не будут отличимы друг от друга. Я хочу сказать, что первый будет для своих обитателей тем же, чем является второй мир для своих.

Et il en serait ainsi tant que les deux univers resteraient étrangers l'un à l'autre. Supposons que nous habitions l'univers A, nous aurons construit notre science et en particulier notre géométrie : pendant ce temps les habitants de l'univers B auront construit une science, et comme leur monde est l'image du nôtre, leur géométrie sera aussi l'image de la nôtre ou, pour mieux dire, ce sera la même. Mais si un jour une fenêtre nous est ouverte sur l'univers B, nous les prendrons en pitié : " Les malheureux, dirons-nous, ils croient avoir fait une géométrie, mais ce qu'ils appellent ainsi n'est qu'une image grotesque de la nôtre ; leurs droites sont toutes tortues[2], leurs cercles sont bossus, leurs sphères ont de capricieuses inégalités ". Et nous ne nous douterons pas qu'ils en disent autant de nous, et qu'on ne saura jamais qui a raison.

И так будет до тех пор, пока два мира останутся обособленными друг от друга. Допустим, что мы обитаем в мире А, что мы построили нашу науку и, в частности, нашу геометрию. В это же время обитатели мира В также построят науку и, так как их мир есть образ нашего мира, то их геометрия будет также образом нашей геометрии, или, лучше сказать, она будет такой же, как и наша. Но если в один прекрасный день перед нами откроется окно в мир В, нас охватит чувство жалости: "несчастные, - скажем мы, - они думают, что построили геометрию, но то, что они называют этим именем, есть не что иное, как смешной и странный образ нашей геометрии, их прямые искривлены, их круги искажены буграми, их сферы усажены капризными неровностями". И мы не сомневаемся в том, что они скажут то же самое о нас, и никогда нельзя будет сказать, кто прав.

On voit dans quel sens large doit être entendue la relativité de l'espace ; l'espace est en réalité amorphe et les choses qui sont dedans lui donnent seules une forme. Que doit-on penser alors de cette intuition directe que nous aurions de la droite ou de la distance ? Nous avons si peu l'intuition de la distance en soi que, dans une nuit, nous l'avons dit, une distance pourrait devenir mille fois plus grande sans que nous puissions nous en apercevoir, si toutes les autres distances avaient subi la même altération. Et même en une nuit l'univers B pourrait s'être substitué à l'univers A sans que nous eussions aucun moyen de le savoir, et alors les lignes droites d'hier auraient cessé d'être droites et nous ne nous apercevrions de rien.

Ясно, таким образом, в каком широком смысле нужно понимать относительность пространства. В действительности пространство аморфно, и форму ему сообщают те вещи, которые в нем находятся. Что же можно сказать о той непосредственной интуиции, которую мы как будто имеем о прямой линии и о расстоянии? Мы столь мало обладаем интуицией расстояния самого по себе, что, как мы уже сказали, в течение ночи расстояние может увеличиваться в тысячу раз незаметно для нас, если только все другие расстояния испытывают то же самое изменение. И в течение ночи же мир В может стать на место мира А, причем мы этого решительно не будем знать; вместе с тем прямые линии перестанут быть прямыми и мы этого совершенно не заметим.

Une partie de l'espace n'est pas par elle-même et au sens absolu du mot égale à une autre partie de l'espace ; car si elle l'est pour nous, elle ne le sera pas pour les habitants de l'univers B ; et ceux-ci ont précisément autant de droits de rejeter notre opinion que nous en avons de condamner la leur.

Одна часть пространства сама по себе и в абсолютном смысле слова не равна другой части пространства; ибо если она равна для нас, она не равна для обитателей мира В; а эти последние могут иметь такое же точно право отвергнуть наше воззрение, какое имеем мы для того, чтобы отвергнуть их воззрение.

J'ai montré ailleurs quelles sont les conséquences de ces faits au point de vue de l'idée que nous devons nous faire de la géométrie non-euclidienne et d'autres géométries analogues ; je ne veux pas y revenir ; et aujourd'hui je me placerai à un point de vue un peu différent.

Я указал в другом сочинении, какие последствия вытекают из этих фактов для того представления, которое мы должны себе составить о неевклидовой геометрии и о других аналогичных геометриях; я не буду к ним возвращаться. Теперь же я стану на несколько иную точку зрения.

Si cette intuition de la distance, de la direction, de la ligne droite, si cette intuition directe de l'espace en un mot n'existe pas, d'où vient que nous croyons l'avoir ? Si ce n'est là qu'une illusion, d'où vient que cette illusion est si tenace ? C'est ce qu'il convient d'examiner. Il n'y a pas d'intuition directe de la grandeur, avons-nous dit, et nous ne pouvons atteindre que le rapport de cette grandeur à nos instruments de mesure. Nous n'aurions donc pas pu construire l'espace si nous n'avions eu un instrument pour le mesurer ; eh bien, cet instrument auquel nous rapportons tout, celui dont nous nous servons instinctivement, c'est notre propre corps. C'est par rapport à notre corps que nous situons les objets extérieurs, et les seules relations spatiales de ces objets que nous puissions nous représenter, ce sont leurs relations avec notre corps. C'est notre corps qui nous sert, pour ainsi dire, de système d'axes de coordonnées.

Если эта интуиция расстояния, направления, прямой линии, словом, если эта непосредственная интуиция пространства не существует, то почему нам кажется,.что мы ее имеем? Если здесь только иллюзия, то почему эта иллюзия держится так прочно? Этот вопрос требует исследования. Непосредственной интуиции величины, сказали мы, не существует, и мы в состоянии только определить отношение этой величины к нашим измерительным инструментам. Мы не были бы способны построить пространство, если бы мы не имели инструмента для его измерения. А инструмент, к которому мы все относим, которым мы инстинктивно пользуемся, - это наше собственное тело. По отношению к нашему телу мы располагаем внешние предметы, и единственные пространственные отношения этих предметов, какие мы можем себе представить, суть их отношения с нашим телом. Наше тело служит, так сказать, системой осей координат.

Par exemple à un instant α, la présence de l'objet A m'est révélée par le sens de la vue ; à un autre instant β, la présence d'un autre objet B m'est révélée par un autre sens, celui de l'ouie ou du toucher, par exemple. Je juge que cet objet B occupe la même place que l'objet A. Qu'est-ce que cela veut dire ? D'abord cela ne signifie pas que ces deux objets occupent, à deux instants différents, un même point d'un espace absolu, qui même, s'il existait, échapperait à notre connaissance, puisque, entre les instants α et β, le système solaire s'est déplacé et que nous ne pouvons connaître son déplacement. Cela veut dire que ces deux objets occupent la même position relative par rapport à notre corps.

Например, в один момент a присутствие предмета А обнаруживается мною органом зрения. В другой момент b присутствие другого предмета В обнаруживается мною при помощи другого органа чувств, например слуха или осязания. Я заключаю, что предмет В занимает то же место, что и предмет А. Что же это значит? Прежде всего, это не значит, что оба предмета занимают в два различных момента одну и ту же точку в абсолютном пространстве; такое пространство, если бы и существовало, ускользало бы от нашего сознания, ибо между моментами a и b Солнечная система переместилась, а мы этого перемещения не знаем. Это значит только, что оба предмета занимают одно и то же положение по отношению к нашему телу.

Mais cela même, qu'est-ce que cela veut dire ? Les impressions qui nous sont venues de ces objets ont suivi des chemins absolument différents, le nerf optique pour l'objet A, le nerf acoustique pour l'objet B. Elles n'ont rien de commun au point de vue qualitatif. Les représentations que nous pouvons nous faire de ces deux objets sont absolument hétérogènes, irréductibles l'une à l'autre. Seulement je sais que, pour atteindre l'objet A, je n'ai qu'à étendre le bras droit d'une certaine manière ; lors même que je m'abstiens de le faire, je me représente les sensations musculaires et autres sensations analogues qui accompagneraient cette extension, et cette représentation est associée à celle de l'objet A.

Но какое же содержание имеет это утверждение? Впечатления, которые мы получили от этих предметов, шли по совершенно различным путям: по зрительному нерву для предмета А, по слуховому нерву для предмета В. С точки зрения качественной эти впечатления не имеют ничего общего. Представления, которые мы можем себе составить об этих двух предметах, являются абсолютно разнородными, друг к другу не сводимыми. Но я знаю только, что мне стоит известным образом протянуть правую руку, и я ухвачу тело А; если даже я воздерживаюсь от соответствующего движения, то я представляю себе мускульные ощущения и другие аналогичные ощущения, которыми сопровождается это движение. Такое представление и ассоциируется с представлением предмета А.

Or, je sais également que je puis atteindre l'objet B en étendant le bras droit de la même manière, extension accompagnée du même cortège de sensations musculaires. Et quand je dis que ces deux objets occupent la même position, je ne veux pas dire autre chose.

Я знаю, однако, что могу достать тело В, протягивая тем же самым образом правую руку, причем это движение сопровождается таким же рядом мускульных ощущений. И только это я и разумею, когда утверждаю, что оба предмета занимают одно и то же положение.

Je sais aussi que j'aurais pu atteindre l'objet A par un autre mouvement approprié du bras gauche et je me représente les sensations musculaires qui auraient accompagné ce mouvement ; et, par ce même mouvement du bras gauche accompagné des mêmes sensations, j'aurais pu également atteindre l'objet B.

Я знаю также, что мог бы достать предмет А при помощи другого подходящего движения левой руки, и я представляю себе те мускульные ощущения, которыми сопровождалось бы это движение; и при помощи того же движения левой руки, влекущего за собою те же ощущения, я мог бы достать предмет В.

Et cela est très important, puisque c'est de cette façon que je pourrai me défendre contre les dangers dont pourraient me menacer soit l'objet A, soit l'objet B. A chacun des coups dont nous pouvons être frappés, la nature a associé une ou plusieurs parades qui nous permettent de nous en préserver. Une même parade peut répondre à plusieurs coups ; c'est ainsi, par exemple, qu'un même mouvement du bras droit nous aurait permis de nous défendre à l'instant α contre l'objet A et à l'instant β contre l'objet B. De même, un même coup peut être paré de plusieurs manières, et nous avons dit, par exemple, qu'on pouvait atteindre indifféremment l'objet A, soit par un certain mouvement du bras droit, soit par un certain mouvement du bras gauche.

Это очень важно, потому что именно этим путем я могу защитить себя против опасностей, которыми мне могут угрожать предметы А и В. Каждому удару, который может быть нам нанесен извне, природа противопоставила один или несколько ответных ударов, которые имеют для нас предохранительное значение. Одним и тем же парированием можно отвечать на несколько ударов; например, одним и тем же движением правой руки можно будет защитить себя в момент a против предмета A и в момент b против предмета В. Точно так же один и тот же удар может быть отражен несколькими приемами, и, например, как мы уже указали, предмет А можно достать при помощи известного движения либо правой, либо левой руки.

Toutes ces parades n'ont rien de commun entre elles, sinon qu'elles permettent de se garer d'un même coup, et c'est cela, et rien que cela, que nous entendons quand nous disons que ce sont des mouvements aboutissant à un même point de l'espace. De même, ces objets, dont nous disons qu'ils occupent un même point de l'espace, n'ont rien de commun, sinon qu'une même parade peut permettre de se défendre contre eux.

Все эти ответные удары не имеют между собою ничего общего, кроме того, разве, что они дают возможность избежать одного и того же удара, и только об этом-то идет речь, когда мы говорим о них как о движениях, заканчивающихся в одной и той же точке пространства. Равным образом, то общее, которое заключается в предметах, когда мы говорим, что они занимают одно и то же место пространства, выражается лишь в том, что для защиты от них может быть употреблен один и тот же ответный удар.

Ou, si l'on aime mieux, que l'on se représente d'innombrables fils télégraphiques, les uns centripètes, les autres centrifuges. Les fils centripètes nous préviennent des accidents qui se produisent au dehors, les fils centrifuges doivent y apporter le remède. Des connexions sont établies de telle façon que quand l'un des fils centripètes est parcouru par un courant, ce courant agit sur un relais et provoque ainsi un courant dans l'un des fils centrifuges, et les choses sont arrangées pour que plusieurs fils centripètes puissent agir sur un même fil centrifuge, si un même remède convient à plusieurs maux, et qu'un fil centripète puisse ébranler divers fils centrifuges, soit simultanément, soit à défaut l'un de l'autre, toutes les fois qu'un même mal peut être guéri par plusieurs remèdes.

Другими словами, представим себе сеть бесчисленных телеграфных проволок, из которых одни имеют центробежное, другие центростремительное направление. Центростремительные проволоки предупреждают нас о бедах, совершившихся во внешнем мире, центробежные должны принести помощь. Соединения установлены таким образом, что когда по одной из центростремительных проволок пробегает ток, он действует на электрический прибор, реле, и вызывает ток в одной из центробежных проволок. При этом несколько центростремительных проволок могут действовать на одну и ту же центробежную, если один и тот же вид помощи применим в разных несчастных случаях, и одна центростремительная проволока может поколебать разные центробежные проволоки либо одновременно, либо в каком-нибудь последовательном порядке, если одно и то же бедствие может быть исправлено несколькими средствами.

C'est ce système complexe d'associations, c'est ce tableau de distribution, pour ainsi dire, qui est toute notre géométrie, ou, si l'on veut, tout ce que notre géométrie a d'instinctif. Ce que nous appelons notre intuition de la ligne droite ou de la distance, c'est la conscience que nous avons de ces associations et de leur caractère impérieux.

Вот эта-то сложная система связей, этот, если можно так сказать, распределительный щит и есть вся наша геометрия или, иначе говоря, все то инстинктивное, что заключается в нашей геометрии. То, что мы называем интуицией прямой линии или расстояния, и есть реализация в нашем сознании этих связей и их управляющего характера.

Et d'où vient ce caractère impérieux lui-même, il est aisé de le comprendre. Une association nous paraîtra d'autant plus indestructible qu'elle sera plus ancienne. Mais ces associations ne sont pas, pour la plupart, des conquêtes de l'individu, puisqu'on en voit la trace chez l'enfant qui vient de naître : ce sont des conquêtes de la race. La sélection naturelle a dû amener ces conquêtes d'autant plus vite qu'elles étaient plus nécessaires.

Легко понять, откуда вытекает этот управляющий характер. Связь нам кажется тем более неразрушимой, чем древнее ее происхождение. Но эти связи в большинстве случаев не являются приобретениями индивидуума, ибо в зачаточном состоянии они заметны уже у новорожденного. Эти связи - приобретения расовые (1). Естественный отбор должен был упрочить их тем скорее, чем они более необходимы.

A ce compte, celles dont nous parlons ont dû être des premières en date, puisque sans elles la défense de l'organisme été impossible. Des que les cellules n'ont plus été purement juxtaposées, et qu'elles ont été appelées à se porter un mutuel secours, il a bien fallu que s'organise un mécanisme analogue à celui que nous venons de décrire pour que ce secours ne se trompe pas de chemin et aille au-devant du péril.

В числе последних на первом месте должны были быть, конечно, те приобретения, о которых мы говорили, потому что без них защита организма была бы невозможна. Как только клетки вышли из стадии простого наложения и стали вступать в стадию взаимного служения друг другу, должен был создаться механизм, аналогичный тому, который мы выше описали, для того, чтобы это служение не уклонялось от должного пути и направлялось против опасности.

Quand une grenouille est décapitée, et qu'une goutte d'acide est déposée en un point de la peau, elle cherche à essuyer l'acide avec la patte la plus rapprochée, et, si cette patte est amputée, elle l'enlève avec la patte du coté opposé. Voilà bien cette double parade dont je parlais tout à l'heure, permettant de combattre un mal par un second remède, si le premier fait défaut. Et c'est cette multiplicité des parades, et la coordination qui en résulte, qui est l'espace.

Если пустим каплю кислоты на кожу обезглавленной лягушки, то последняя старается снять эту каплю лапой, ближайшей к тому месту, где упала капля; а если эта лапа ампутирована, то лягушка пользуется другой лапой. Вот пример того дублирования ответного удара, о котором я только что говорил и которое позволяет бороться с бедствием вторым средством, если первое вышло из строя. Именно эта множественность ответных ударов и координация, которая из нее вытекает, образуют в своей совокупности пространство.

On voit à quelle profondeur de l'inconscient il faut descendre pour trouver les premières traces de ces associations spatiales, puisque les parties les plus inférieures du système nerveux entrent seules en jeu. Comment s'étonner, dès lors, de la résistance que nous opposons à toute tentative faite pour dissocier ce qui depuis si longtemps est associé ? Or, c'est cette résistance même que nous appelons l'évidence des vérités géométriques ; cette évidence n'est autre chose que la répugnance que l'on éprouve à rompre avec de très vieilles habitudes, dont on s'est toujours bien trouvé.

Мы видим, в какие глубины бессознательного надобно спуститься, чтобы найти первые следы пространственных связей, ибо в них играют роль простейшие и низшие части нервной системы. Можно ли после этого удивляться сопротивлению, которое мы оказываем каждой попытке разъединить то, что уже так давно соединено? Но это сопротивление и есть то, что мы называем очевидностью геометрических истин, эта очевидность есть не что иное, как то тягостное чувство противления, которое мы обыкновенно испытываем, когда отказываемся от очень старых привычек, с коими нам всегда легко жилось.

L'espace ainsi créé n'est qu'un petit espace qui ne s'étend pas plus loin que ce que mon bras peut atteindre ; l'intervention de la mémoire est nécessaire pour en reculer les limites. Il y a des points qui resteront hors de ma portée, quelque effort que je fasse pour étendre la main ; si j'étais cloué au sol comme un polype hydraire, par exemple, qui ne peut qu'étendre ses tentacules, tous ces points seraient en dehors de l'espace, puisque les sensations que nous pourrions éprouver par l'action des corps qui y seraient placés, ne seraient associées à l'idée d'aucun mouvement nous permettant de les atteindre, d'aucune parade appropriée. Ces sensations ne nous sembleraient avoir aucun caractère spatial et nous ne chercherions pas à les localiser.

Созданное таким образом пространство имеет малые размеры: оно не простирается дальше того места, которое достигается моей рукой. Границы пространства расширяются благодаря вмешательству памяти. Имеются такие точки, которые навсегда останутся для меня недостижимыми, какие бы усилия я ни употреблял, протягивая руку. Если бы я был прикреплен к почве наподобие, например, гидроидного полипа, который может протягивать свои щупальца, то все эти точки оставались бы вне пространства, по-тому что те ощущения, которые мы можем испытывать благодаря действию тел, помещенных в этих точках, не были бы ассоциированы ни с какой-либо идеей движения, необходимого для достижения этих тел, ни с каким-либо соответствующим ответным ударом. Нам казалось бы, что эти ощущения не имеют пространственного характера, и мы не старались бы их локализовать.

Mais nous ne sommes pas fixés au sol comme les animaux inférieurs ; nous pouvons, si l'ennemi est trop loin, marcher à lui d'abord et étendre la main quand nous sommes assez près. C'est encore une parade, mais une parade à longue portée. D'autre part, c'est une parade complexe, et dans la représentation que nous nous en faisons entrent la représentation des sensations musculaires causées par les mouvements des jambes, celle des sensations musculaires causées par le mouvement final du bras, celle des sensations des canaux semi-circulaires, etc. Nous devons, d'ailleurs, nous représenter, non pas un complexus de sensations simultanées, mais un complexus de sensations successives, et se suivant dans un ordre déterminé, et c'est pour cela que j'ai dit tout à l'heure que l'intervention de la mémoire était nécessaire.

Но, в отличие от низших животных, мы не прикреплены к почве. Если враг находится далеко от нас, то мы можем до него дойти и, приблизившись, протянуть руку. Это тоже ответный удар, но дальнего действия. Кроме того, это сложный ответный удар и в представление, которое мы о нем себе составляем, входит представление о мускульных ощущениях, вызванных движением ног, представление о мускульных ощущениях, вызванных конечным движением руки, представление об ощущениях полукружных каналов и т. д. Мы должны, кроме того, представить себе не комплекс одновременных ощущений, а комплекс ощущений последовательных, сменяющих друг друга в определенном порядке, и вот почему я указал выше на необходимость вмешательства памяти.

Observons encore que, pour aller à un même point, je puis m'approcher plus prés du but à atteindre, pour avoir moins à étendre la main ; que sais-je encore ? Ce n'est pas une, c'est mille parades que je puis opposer à un même danger. Toutes ces parades sont formées de sensations qui peuvent n'avoir rien de commun et cependant nous les regarderons comme définissant un même point de l'espace, parce qu'elles peuvent répondre à ce même danger et qu'elles sont les unes et les autres associées à la notion de ce danger. C'est la possibilité de parer un même coup, qui fait l'unité de ces parades diverses, comme c'est la possibilité d'être parés de la même façon qui fait l'unité des coups de nature si diverse, qui peuvent nous menacer d'un même point de l'espace. C'est cette double unité qui fait l'individualité de chaque point de l'espace, et, dans la notion de point, il n'y a pas autre chose.

Заметим еще, что для того, чтобы прийти к одной и той же точке, я могу очень близко подойти к цели, которую мне нужно достигнуть, и лишь немного вытянуть руку. Что же еще мне известно? Не один, а тысячу ответных ударов могу я противопоставить одной и той же опасности. Все эти удары образованы из ощущений, которые могут не иметь между собой ничего общего, но мы их рассматриваем как определяющие одну и ту же точку пространства, потому что они могут отвечать одной и той же опасности и все ассоциированы с понятием об этой опасности. Возможность парировать один и тот же удар и сообщет этим различным ответным ударам единство, подобно тому как возможность быть парированным одним и тем же способом сообщает единство различного рода ударам, которые могут угрожать нам из одной и той же точки пространства. Именно это двоякое единство и создает индивидуальность каждой точки пространства, а понятие о точке ничего, кроме этого, в себе не заключает.

L'espace que j'envisageais dans le paragraphe précédent, et que je pourrais appeler l'espace restreint, était rapporté à des axes de coordonnées liés à mon corps ; ces axes étaient fixes, puisque mon corps ne bougeait pas et que mes membres seuls se déplaçaient. Quels sont les axes auxquels se rapporte naturellement l'espace étendu ? c'est-à-dire le nouvel espace que je viens de définir. Nous définissons un point par la suite de mouvements qu'il convient de faire pour l'atteindre à partir d'une certaine position initiale du corps. Les axes sont donc liés à cette position initiale du corps.

Пространство, которое я рассматривал в предыдущем разделе, и которое я мог бы назвать ограниченным пространством, было отнесено к осям координат, связанным с моим телом; эти оси были постоянны, так как мое тело не двигалось, а перемещались лишь мои члены. Каковы же оси, к которым может быть отнесено расширенное пространство, т. е. то пространство, которое я только что определил? Мы определяем точку при помощи ряда движении, которые необходимо совершить для ее достижения, исходя при этом из определенного начального положения тела. Оси, следовательно, связаны с этим начальным положением.

Mais la position que j'appelle initiale peut être arbitrairement choisie parmi toutes les positions que mon corps a successivement occupées ; si la mémoire plus ou moins inconsciente de ces positions successives est nécessaire à la genèse de la notion d'espace, cette mémoire petit remonter plus ou moins loin dans le passé. De là résulte dans la définition même de l'espace une certaine indétermination et c'est précisément cette indétermination qui constitue sa relativité.

Но положение, которое я называю начальным, может быть произвольно избрано среди всех тех положений, которые мое тело последовательно занимало; если более или менее бессознательное воспоминание об этих последовательных положениях необходимо для генезиса понятия пространства, то это воспоминание может простираться более или менее далеко в прошлое. Отсюда получается известная неопределенность в самом определении пространства и этой именно неопределенностью обусловливается его относительность.

Il n'y a plus d'espace absolu, il y a seulement l'espace relatif à une certaine position initiale du corps. Pour un être conscient, qui serait fixé au sol comme les animaux inférieurs, et qui, par conséquent, ne connaîtrait que l'espace restreint, l'espace serait encore relatif (puisqu'il se rapporterait à son corps), mais cet être n'aurait pas conscience de cette relativité, parce que les axes auxquels il rapporterait cet espace restreint ne changeraient pas ! Sans doute, le rocher auquel cet être serait enchaîné ne serait pas immobile, puisqu'il serait entraîné dans le mouvement de notre planète ; pour nous, par conséquent, ces axes changeraient à chaque instant ; mais, pour lui, ils ne changeraient pas. Nous avons la faculté de rapporter notre espace étendu tantôt à la position A de notre corps, considérée comme initiale, tantôt à la position B, qu'il avait quelques instants, après, et que nous sommes libres de regarder à son tour comme initiale ; nous faisons donc à chaque instant des changements inconscients de coordonnées. Cette faculté ferait défaut à notre être imaginaire, et, faute d'avoir voyagé, il croirait l'espace absolu. A chaque instant, son système d'axes lui serait imposé ; ce système aurait beau changer en réalité, pour lui, il serait toujours le même, puisqu'il serait toujours le système unique. Il n'en est pas de même pour nous qui, à chaque instant, possédons plusieurs systèmes entre lesquels nous pouvons choisir à volonté et à la condition de remonter par la mémoire plus ou moins loin dans le passé.

Итак, нет абсолютного пространства, а есть только пространство, отнесенное к известному начальному положению тела. Для сознательного существа, которое, как низшие животные, было бы прикреплено к почве и которому, следовательно, было бы знакомо лишь ограниченное пространство, это пространство также было бы относительным, так как оно было бы отнесено к его телу; но такое существо не сознавало бы этой относительности, потому что оси, к которым оно относило ограниченное пространство, не изменялись бы! Конечно, скала к которой это существо было бы приковано, не оставалась бы неподвижной, так как она увлекалась бы движением нашей планеты; для нас, следовательно, эти оси изменялись бы в каждое мгновение; но для него они оставались бы неизменными. Мы обладаем способностью относить наше расширенное пространство то к положению А нашего тела, рассматриваемому как начальное, то к положению В, которое наше тело приобрело несколькими мгновениями позже и которое совершенно свободно можем также рассматривать как начальное; мы, следовательно, каждое мгновение производим бессознательное изменение координат. Этой способности не было бы у нашего воображаемого существа; лишенное возможности путешествовать, оно почитало бы пространство абсолютным. В каждое мгновение его система в действительности изменялась бы, но для него она оставалась бы одной и той же, так как она была бы единственной его системой. Не то для нас, обладающих в каждое мгновение несколькими системами, между которыми мы можем произвольно выбирать, и сохраняющих воспоминания, которые могут нас переносить в более или менее далекое прошлое.

Ce n'est pas tout, l'espace restreint ne serait pas homogène ; les divers points de cet espace ne pourraient être regardés comme équivalents, puisque les uns ne pourraient être atteints qu'au prix des plus grands efforts, tandis que d'autres le seraient facilement. Au contraire, notre espace étendu nous apparaît comme homogène, et nous disons que tous les points en sont équivalents. Qu'est-ce que cela veut dire ?

Но это не все. Ограниченное пространство не было бы однородным; различные точки этого пространства не могли бы рассматриваться как эквивалентные, потому что для достижения одних потребовались бы величайшие усилия, для достижения других - незначительные. Напротив, наше беспредельное пространство кажется нам однородным, и мы говорим, что все его точки эквивалентны. Что же это, собственно, значит?

Si nous partons d'une certaine position A, nous pouvons, à partir de cette position, effectuer certains mouvements M, caractérisés par un certain complexus de sensations musculaires. Mais, à partir d'une autre position B, nous pourrons exécuter des mouvements M' qui seront caractérisés par les mêmes sensations musculaires. Soit alors a la situation d'un certain point du corps, du bout de l'index de la main droite, par exemple, dans la position initiale A, soit b la situation de ce même index quand, partant de cette position A, on a exécuté les mouvements M. Soit ensuite a' la situation de cet index dans la position B, et b' sa situation quand, partant de la position B, on a exécuté les mouvements M'.

Если мы исходим из известного положения А, то мы можем совершить известные движения М, характеризуемые известным комплексом мускульных ощущений. Но, исходя из другого положения В, мы сможем совершить движения М", характеризуемые теми же мускульными ощущениями. Обозначим через a положение определенной точки тела, например конца указательного пальца правой руки при начальном положении А, и обозначим через b положение того же пальца после того, как, исходя из этого положения А, мы совершили движения М. Пусть а" будет положение того же пальца в В, а b" - положение того же пальца после совершения движений М".

Eh bien ! j'ai coutume de dire que les points de l'espace a et b sont entre eux comme les points a' et b' et cela veut dire simplement que les deux séries de mouvements M et M' sont accompagnées des mêmes sensations musculaires. Et comme j'ai conscience que, en passant de la position A à la position B, mon corps est resté capable des mêmes mouvements, je sais qu'il y a un point de l'espace qui est au point a', ce qu'un point b quelconque est au point a, de sorte que les deux points a et a' sont équivalents. C'est cela qu'on appelle l'homogénéité de l'espace. Et, en même temps, c'est pour cela que l'espace est relatif, puisque ses propriétés restent les mêmes, qu'on le rapporte aux axes A ou aux axes B. De sorte que la relativité de l'espace et son homogénéité sont une seule et même chose.

Так вот, при таких условиях я обыкновенно говорю, что точки пространства а и b относятся друг к другу как точки а" и b", a это обозначает только, что два ряда движений М и М" сопровождаются одними и теми же мускульными ощущениями. И так как я сознаю, что при переходе из положения А в В мое тело сохранило способность к одним и тем же движениям, то я знаю, что есть точка пространства, которая по отношению к точке а" составляет то же, что произвольно выбранная точка В относительно точки а, и что, таким образом, обе точки а и а" эквивалентны. И вот поэтому пространство в то же время относительно, ибо его свойства остаются одними и теми же, когда оно отнесено к осям А или к осям В. Таким образом, относительность пространства и его однородность - это одно и то же.

Maintenant, si je veux passer au grand espace, qui ne sert plus seulement pour moi, mais où je peux loger l'univers, j'y arriverai par un acte d'imagination. Je m'imaginerai ce qu'éprouverait un géant qui pourrait atteindre les planètes en quelques pas ; ou, si l'on aime mieux, ce que je sentirais moi-même en présence d'un monde en miniature où ces planètes seraient remplacées par de petites boules, tandis que sur l'une de ces petites boules s'agiterait un lilliputien que j'appellerais moi. Mais cet acte d'imagination me serait impossible, si je n'avais préalablement construit mon espace restreint et mon espace étendu pour mon usage personnel.

Теперь, если я захочу перейти к огромному пространству, которое служит уже не только для меня, но в котором я могу себе представить всю Вселенную, я прибегну к акту воображения. Я представлю себе, что испытал бы великан, который несколькими шагами достиг бы планет или, если это угодно, что испытал бы я сам перед лицом миниатюрного мира, в котором планеты были бы заменены маленькими шариками, и на одном из них суетился бы лилипут, и этим лилипутом был бы я. Но вот акт воображения был бы для меня невозможен, если бы я не построил предварительно и притом для собственного обихода своего ограниченного и своего обширного пространства.

Pourquoi maintenant tous ces espaces ont-ils trois dimensions ? Reportons-nous au " tableau de distribution " dont nous parlions plus haut. Nous avons d'un côté la liste des différents dangers possibles ; désignons-les par A 1, A 2, etc. ; et, de l'autre côté, la liste des différents remèdes que j'appellerai de même B 1, B 2, etc. Nous avons ensuite des connexions entre les plots de la première liste et ceux de la deuxième, de telle façon que quand, par exemple, l'avertisseur du danger A 3 fonctionnera, il mettra ou pourra mettre en branle le relais correspondant à la parade B 4.

Теперь возникает вопрос; почему все эти пространства имеют три измерения? Обратимся к "распределительному щиту", о котором мы говорили выше. Мы имеем, с одной стороны, список возможных опасностей: обозначим их через А1, A2 и т. д.; с другой стороны - список разных средств защиты, которые мы обозначим через В1, В2 и т. д. Мы имеем, таким образом, связи между элементами первого и второго списков, так что, когда, например, сработает сигнализатор опасности A3, он приведет или может привести в действие реле, соответствующее ответному удару B3.

Comme j'ai parlé plus haut de fils centripètes ou centrifuges, je crains qu'on ne voie dans tout ceci, non une simple comparaison, mais une description du système nerveux. Telle n'est pas ma pensée, et cela pour plusieurs raisons : d'abord, je ne me permettrais pas d'énoncer une opinion sur la structure du système nerveux que je ne connais pas, tandis que ceux qui l'ont étudié ne le font qu'avec circonspection ; ensuite parce que, malgré mon incompétence, je sens bien que ce schéma serait par trop simpliste ; et enfin, parce que, sur ma liste de parades, il en figure de très complexes, qui peuvent même, dans le cas de l'espace étendu, comme nous l'avons vu plus haut, être formées de plusieurs pas suivis d'un mouvement du bras. Il ne s'agit donc pas de connexion physique entre deux conducteurs réels, mais d'association psychologique entre deux séries de sensations.

Так как я говорил выше о центростремительных и центробежных проволоках, то я опасаюсь, как бы во всем этом не усмотрели не простое сравнение, а описание нервной системы. Но моя мысль не такова. Прежде всего я не позволил бы себе высказать мнение относительно структуры нервной системы, которой я не знаю, между тем как лица, изучавшие ее, высказываются о ней с большой осторожностью. Затем, несмотря на мою некомпетентность, я чувствую, что эта схема была бы слишком упрощенной, и, наконец, в моем списке ответных ударов имеются некоторые очень сложные; как мы выше видели, когда речь шла об обширном пространстве, некоторые ответные удары могут включать в себя ряд движений ног, сопровождающихся движением руки. Дело, следовательно, идет не о физической связи между двумя реальными проводниками, но о психологической связи между двумя рядами ощущений.

Si A 1 et A 2 par exemple sont l'un et l'autre associés à la parade B 1, et si A 1 est également associé à la parade B 2, il arrivera généralement que A 2 et B 2 seront eux aussi associés. Si cette loi fondamentale, n'était pas généralement vraie, il n'y aurait qu'une immense confusion et il n'y aurait rien qui pût ressembler à une conception de l'espace ou à une géométrie. Comment, en effet, avons-nous défini un point de l'espace. Nous l'avons fait de deux façons : c'est d'une part l'ensemble des avertisseurs A qui sont en connexion avec une même parade B ; c'est d'autre part l'ensemble des parades B qui sont en connexion avec un même avertisseur A. Si notre loi n'était pas vraie, on devrait dire que A 1 et A 2 correspondent à un même point puisqu'ils sont tous deux en connexion avec B 1 ; mais on devrait dire également qu'ils ne correspondent pas à un même point, puisque A 1 serait en connexion avec B 2 et qu'il n'en serait pas de même de A 2. Ce serait une contradiction.

Если сигнализаторы А2 и A2, например, связаны один и другой с ответным ударом B1, и если А1 связан также с ответным ударом B2, то обыкновенно случается, что A2 и B2 также связаны. Если бы этот основной закон не был вообще справедлив, то произошло бы неимоверное смешение, и ничего схожего с понятием о пространстве или с геометрией не могло бы составиться. В самом деле, вспомним, как мы определяли точку пространства. Мы это сделали двояко: с одной стороны, мы имели совокупность сигнализаторов A, которые связаны с одним и тем же ответным ударом В, с другой - совокупность ответных ударов В, связанных с одним и тем же сигнализатором А. Если бы наш закон не был справедлив, следовало бы сказать, что А1 и A2 отвечают одной и той же точке, потому что оба они связаны с ответным ударом B1, но, равным образом, следовало бы также сказать, что они не отвечают одной и той же точке, потому что А1 связан с В2, а A2 не связан с В2. Это было бы противоречием.

Mais, d'un autre côté, si la loi était rigoureusement et toujours vraie, l'espace serait tout différent de ce qu'il est. Nous aurions des catégories bien tranchées entre lesquelles se répartiraient d'une part les avertisseurs A, d'autre part les parades B ; ces catégories seraient excessivement nombreuses, mais elles seraient entièrement séparées les unes des autres. L'espace serait formé de points très nombreux, mais discrets, il serait discontinu. Il n'y aurait pas de raison pour ranger ces points dans un ordre plutôt que dans un autre, ni par conséquent pour attribuer à l'espace trois dimensions.

Но, с другой стороны, если бы закон был строго и всегда правилен, пространство было бы отлично от того, каким оно является. Мы имели бы резко очерченные категории, между которыми распределились бы, с одной стороны, сигнализаторы A и с другой - ответные удары В эти категории были бы чрезвычайно многочисленны, но они были бы друг от друга совершенно отделены. Пространство было бы составлено из очень многочисленных, но раздельных точек, оно было бы прерывным. Не было бы оснований предпочесть один порядок расположения точек другому, не было бы, следовательно, оснований приписывать пространству три измерения.

Mais il n'en est pas ainsi ; qu'on me permette de reprendre un instant le langage des gens qui savent déjà la géométrie ; il le faut bien puisque c'est la langue qu'entendent le mieux ceux de qui je cherche à me faire comprendre. Quand je veux parer le coup, je cherche à atteindre le point d'où vient ce coup, mais il suffit que j'en approche assez près. Alors la parade B 1 pourra répondre à A 1 et à A 2 si le point qui correspond à B 1 est suffisamment près à la fois de celui qui correspond à A 1 et de celui qui correspond à A 2. Mais il pourra se faire que le point qui correspond à une autre parade B 2 soit assez voisin du point correspondant à A 1, et ne le soit pas assez du point correspondant à A 2. De sorte que la parade B 2 pourra répondre à A 1 sans pouvoir répondre à A 2.

Но дело обстоит не так. Да будет мне позволено воспользоваться на мгновение языком людей, уже знающих геометрию. Это даже необходимо, потому что именно такой язык наиболее понятен читателям, которых я имею в виду, поясняя свою мысль. Когда я хочу отразить удар, я стараюсь достигнуть той точки, откуда удар исходит, но для этого достаточно, чтобы я приблизился к точке на надлежащее расстояние. В таком случае ответный удар В1 может отвечать ударам A1 и A2, если только точка, отвечающая В1, одновременно достаточно близка к точкам, отвечающим А1 и A2. Но может случиться, что точка, отвечающая другому ответному удару B2, окажется достаточно близкой к точке, отвечающей А1, но недостаточно близкой к точке, отвечающей A2. Таким обра-зом, ответный удар B2 будет соответствовать А1 и не соответствовать А2.

Pour celui qui ne sait pas encore la géométrie, cela se traduira simplement par une dérogation à la loi énoncée plus haut. Et alors, les choses se passeront de la façon suivante. Deux parades B 1 et B 2 seront associées à un même avertissement A 1 et à un très grand nombre d'avertissements que nous rangerons dans la même catégorie que A 1 et que nous ferons correspondre à un même point de l'espace. Mais nous pourrons trouver des avertissements A 2 qui seront associés à B 2 sans l'être à B 1, et qui en revanche le seront à B 3, lequel B 3 n'était pas associé à A 1, et ainsi de suite, de sorte que noua pouvons écrire la suite

Для того, кто не знает еще геометрии, все это покажется просто нарушением формулированного выше закона. Для него дело будет просходить таким образом: два ответных удара В1 и В2 будут связаны с одним и тем же сигнализатором А1 и с еще большим числом сигнализаторов, которые мы включили в ту же кате- горию, в какой находится A1, и которые мы отнесем к одной и той же точке пространства. Но мы сможем найти сигнализаторы А2, которые будут связаны с В2, не,будучи связанными с B1 и которые зато связаны с B3, причем В3 не связан с А1, и.т. д. Итак, мы можем писать ряд

B1, A1, B2, A2, B3, A3, B4, A4,

В1, A1, B2, А2, В3, A3, B4, A4

où chaque terme est associé au suivant et au précédent, mais ne l'est pas aux termes qui sont distants de plusieurs rangs.

в котором каждый член связан со следующим и с предыдущим, но не связан с членами, отстоящими от него дальше.

Inutile d'ajouter que chacun des termes de ces suites n'est pas isolé, mais fait partie d'une très nombreuse catégorie d'autres avertisseurs ou d'autres parades qui a les mêmes connexions que lui, et que l'on peut regarder comme appartenant à un même point de l'espace. La loi fondamentale, tout en comportant des exceptions, reste donc presque toujours vraie. Seulement, par suite de ces exceptions, ces catégories, au lieu d'être entièrement séparées, empiètent partiellement les unes sur les autres et se pénètrent mutuellement dans une certaine mesure, de sorte que l'espace devient continu.

Излишне прибавлять, что каждый из членов этих рядов не является изолированным, а составляет часть очень многочисленной категории других сигнализаторов или других ответных ударов. Эта категория имеет такие же связи, как и первый член, и ее можно рассматривать как относящуюся к одной и той же точке пространства. Основной закон, несмотря на исключения, остается, следовательно, почти всегда верным. Но благодаря этим исключениям упомянутые категории вместо того, чтобы оставаться совершенно обособленными, захватывают друг друга некоторыми частями, проникают одни в другие, и пространство, таким образом, становится непрерывным.

D'autre part, l'ordre dans lequel ces catégories doivent être rangées n'est plus arbitraire et si l'on se reporte à la suite précédente, on voit bien qu'il faut ranger B 2 entre A 1 et A 2 et par conséquent entre B 1 et B 3 et qu'on ne saurait par exemple le placer entre B 3 et B 4.

С другой стороны, порядок, в котором категории должны быть размещены, не оказывается уже произвольным. Обращаясь к предыдущему ряду, легко заметить, что В2 должен быть помещен между А1 и А2 и, следовательно, между В1 и В3, но не может быть помещен, например, между В3 и B4.

Il y a donc un ordre dans lequel se rangent naturellement nos catégories qui correspondent aux points de l'espace, et l'expérience nous apprend que cet ordre se présente sous la forme d'un tableau à triple entrée, et c'est pour cela que l'espace a trois dimensions.

Итак, существует порядок, в котором естественно располагаются категории, отвечающие точкам пространства. И опыт нас учит, что этот порядок представляется в виде таблицы с тремя входами, вот почему пространство имеет три измерения.

Ainsi la propriété caractéristique de l'espace, celle d'avoir trois dimensions, n'est qu'une propriété de notre tableau de distribution, une propriété interne de l'intelligence humaine pour ainsi dire. Il suffirait de détruire quelques-unes de ces connexions, c'est-à-dire de ces associations d'idées pour avoir un tableau de distribution différent, et cela pourrait être assez pour que l'espace acquit une quatrième dimension.

Характерная особенность пространства, выражающаяся в том, что оно обладает тремя измерениями, есть, таким образом, особенность нашего распределительного щита, есть, так сказать, внутреннее свойство человеческого ума. Достаточно было бы разрушить некоторые из соединений, т. е. некоторые ассоциации идей, чтобы получить другой распределительный щит, а этого было бы достаточно, чтобы пространство приобрело четвертое измерение.

Quelques personnes s'étonneront d'un pareil résultat. Le monde extérieur, penseront-elles, doit bien y être pour quelque chose. Si le nombre des dimensions vient de la manière dont nous sommes faits, il pourrait y avoir des êtres pensants qui vivraient dans notre monde, mais qui seraient faits autrement que nous et qui croiraient que l'espace a plus ou moins de trois dimensions. M. de Cyon n'a-t-il pas dit que les souris japonaises, n'ayant que deux paires de canaux semi-circulaires, croyaient que l'espace a deux dimensions ? Et alors cet être pensant, s'il est capable de construire une physique, ne va-t-il pas faire une physique à deux ou à quatre dimensions, et qui en un sens sera cependant la même que la nôtre, puisque ce sera la description du même monde dans un autre langage ?

Такой результат может удивить некоторых. Ведь внешний мир, скажут они, должен же играть здесь какую-то роль. Если число измерений зависит от того, как мы созданы, то можно предположить, что мыслящие существа, живущие в нашем мире, но созданные иначе, чем мы, полагали бы, что пространство имеет больше или меньше трех измерений. И не утверждал ли Цион, что японские мыши, имеющие только две пары полукружных каналов, думают, что пространство имеет два измерения? А подобное мыслящее существо, если бы оно было способно создать физику, разве не построило бы физики двух или четырех измерений, физики, которая, в известном смысле, была бы такою же, как и наша, ибо она описывала бы другим языком тот же самый мир?

Il semble bien en effet qu'il serait possible de traduire notre physique dans le langage de la géométrie à quatre dimensions ; tenter cette traduction ce serait se donner beaucoup de mal pour peu de profit, et je me bornerai à citer la mécanique de Hertz où l'on voit quelque chose d'analogue. Cependant, il semble que la traduction serait toujours moins simple que le texte, et qu'elle aurait toujours l'air d'une traduction, que la langue des trois dimensions semble la mieux appropriée à la description de notre monde, encore que cette description puisse se faire à la rigueur dans un autre idiome.

В самом деле, не представляет, по-видимому, никаких затруднений перевести нашу физику на язык геометрии четырех измерений. Осуществить действительно такую задачу значило бы потратить много усилий с ничтожной пользой, и я ограничусь лишь указанием на механику Герца, в которой мы имеем нечто, напоминающее такой перевод. Но такой перевод, по-видимому, всегда был бы сложнее текста и всегда обнаруживал бы свою заимствованную природу, тогда как язык трех измерений кажется наиболее приспособленным к описанию нашего мира, хотя это описание может быть точно выполнено и на другом языке.

D'ailleurs, ce n'est pas par hasard que notre tableau de distribution s'est constitué. Il y a connexion entre l'avertissement A 1 et la parade B 1, cela est une propriété interne de notre intelligence ; mais pourquoi cette connexion ? c'est parce que la parade B 1 permet effectivement de se défendre contre le danger A 1 ; et cela c'est un fait extérieur à nous, c'est une propriété du monde extérieur. Notre tableau de distribution n'est donc que la traduction d'un ensemble de faits extérieurs ; s'il a trois dimensions, c'est parce qu'il s'est adapté à un monde qui avait certaines propriétés ; et la principale de ces propriétés c'est qu'il y existe des solides naturels dont les déplacements se font sensiblement suivant les lois que nous appelons lois du mouvement des solides invariables. Si donc la langue des trois dimensions est celle qui nous permet le plus facilement de décrire notre monde, nous ne devons pas nous en étonner ; cette langue est calquée sur notre tableau de distribution ; et c'est afin de pouvoir vivre dans ce monde que ce tableau a été établi.

Однако наш распределительный щит возник не случайно. Имеется связь между сигналом А1 и ответным ударом В1, это - внутреннее свойство нашего ума. Но чем объясняется эта связь? Тем, что ответный удар В1 позволяет действительно защититься против опасности А1, а это - факт, внешний для нас, это - свойство, внешнего мира. Таким образом, наш распределительный щит есть лишь выражение совокупности внешних фактов; если он имеет три измерения, то это потому, что он приспособлен к миру, имеющему определенные свойства, и главное из этих свойств заключается в том, что в этом мире существуют твердые тела, перемещающиеся по таким законам, которые мы называем законами движения неизменяющихся твердых тел. Если, следовательно, язык трех измерений лучше всего позволяет нам описать наш мир, то мы не должны этому удивляться. Этот язык скопирован с нашего распределительного щита, а этот щит установлен для того, чтобы можно было жить в этом мире.

J'ai dit que nous pourrions concevoir, vivant dans notre monde, des êtres pensants dont le tableau de distribution serait à quatre dimensions et qui par conséquent penseraient dans l'hyperespace. Il n'est pas certain toutefois que de pareils êtres, en admettant qu'ils y naissent, pourraient y vivre et s'y défendre contre les mille dangers dont ils y seraient assaillis.

Я сказал, что мы могли бы представить себе мыслящие существа, живущие в нашем мире и обладающие распределительным щитом четырех измерений; такие существа мыслили бы сверхпространство. Но не может быть уверенности в том, что такие существа, если бы и рождались, могли бы выжить и защититься против тысяч опасностей, которыми они были бы окружены в этом мире.

Quelques remarques pour finir. Il y a un contraste frappait entre la grossièreté de cette géométrie primitive qui se réduit à ce que j'appelle un tableau de distribution, et la précision infinie de la géométrie des géomètres. Et cependant celle-ci est née de celle-là ; mais pas de celle-là seule ; il a fallu qu'elle fût fécondée par la faculté que nous avons de construire des concepts mathématiques, tels que celui de groupe par exemple ; il a fallu chercher parmi les concepts purs celui qui s'adaptait le mieux à cet espace grossier, dont j'ai essayé d'expliquer la genèse dans les pages précédentes et qui nous est commun avec les animaux supérieurs.

В заключение несколько замечаний. Существует разительный контраст между грубостью той примитивной геометрии, которая сводится к распределительному щиту, и безграничной точностью геометрии геометров. И, однако, последняя - плод первой. Но не ее одной; она должна была быть оплодотворена присущей нам способностью к построению математических понятий, как, например, понятия о группах; нужно было среди этих чистых понятий найти наиболее приспособленное к этому грубому пространству, генезис которого я пытался объяснить на предшествующих страницах и которое является общим у нас и у высших животных.

L'évidence de certains postulats géométriques n'est, avons-nous dit, que notre répugnance à renoncer à de très vieilles habitudes. Mais ces postulats sont infiniment précis, tandis que ces habitudes ont quelque chose d'essentiellement flou. Dès que nous voulons penser, il nous faut bien des postulats infiniment précis, puisque c'est le seul moyen d'éviter la contradiction ; mais parmi tous les systèmes de postulats possibles, il en est que nous répugnerions à choisir, parce qu'ils ne s'accorderaient pas suffisamment avec nos habitudes ; si floues, si élastiques qu'elles soient, celles-ci ont une limite d'élasticité.

Очевидность некоторых геометрических постулатов, сказали мы, есть не что иное, как наша косная неспособность отказаться от очень старых привычек. Но эти постулаты чрезвычайно точны, тогда как привычки заключают в себе нечто по существу зыбкое. И, как только мы хотим мыслить, мы испытываем нужду в этих чрезвычайно точных постулатах, так как лишь с их помощью мы можем избежать противоречия. Но среди всех возможных систем постулатов имеются такие, которые мы отказываемся принять, потому что они не согласуются с нашими привычками; как ни зыбки, как ни эластичны эти привычки, все же они имеют предел этой эластичности.

On voit que si la géométrie n'est pas une science expérimentale, c'est une science née à propos de l'expérience, que nous avons créé l'espace qu'elle étudie, mais en l'adaptant au monde où nous vivons. Nous avons choisi l'espace le plus commode, mais c'est l'expérience qui a guidé notre choix ; comme ce choix a été inconscient, il nous semble qu'il nous est imposé ; les uns disent que c'est l'expérience qui nous l'impose, les autres que nous naissons avec notre espace tout fait ; on voit, d'après les considérations précédentes, quelle est dans ces deux opinions la part de la vérité et la part de l'erreur.

Мы видим, что если геометрия не есть экспериментальная наука, то это все же наука, рожденная в связи с опытом; мы создали пространство, которое она изучает, но мы приспособили его к миру, в котором мы живем. Мы сделали выбор наиболее удобного пространства, но этим выбором руководил опыт. И так как выбор был бессознателен, то нам кажется, что он для нас необходим; одни говорят, что он сделался для нас необходимым путем опыта, другие говорят, что мы рождаемся с вполне сложившимся представлением о пространстве. Из предыдущих рассуждений явствует, какая доля истины и ошибки заключается в этих двух суждениях.

Dans cette éducation progressive qui a abouti à la construction de l'espace, quelle est la part de l'individu, et quelle est celle de la race, c'est ce qu'il est bien difficile de déterminer. Dans quelle mesure un de nous, transporté dès sa naissance dans un monde entièrement différent, où par exemple domineraient des corps se déplaçant conformément aux lois de mouvement des solides non-euclidiens, dans quelle mesure, dis-je, pourrait-il renoncer à l'espace ancestral pour bâtir un espace complètement nouveau ?

Очень трудно определить участие индивида и участие расы (1) в том эволюционном процессе воспитания, который закончился построением пространства. В какой мере кто-нибудь из нас, будучи перенесен с момента рождения в другой совершенно мир, где, например, преобладали бы тела, перемещающиеся по законам движения, свойственным неевклидовским твердым телам, в какой мере, повторяю, мог бы он отказаться от пространства предков, чтобы построить совершенно новое пространство?

La part de la race semble bien prépondérante ; cependant, si c'est à elle que nous devons l'espace grossier, l'espace flou dont je parlais tout à l'heure, l'espace des animaux supérieurs, n'est-ce pas à l'expérience inconsciente de l'individu que nous devons l'espace infiniment précis du géomètre ? C'est une question malaisée à résoudre. Citons cependant un fait qui montre que l'espace que nous ont légué nos ancêtres conserve encore une certaine plasticité. Certains chasseurs apprennent à tirer des poissons sous l'eau, bien que l'image de ces poissons soit relevée par la réfraction. Ils le font d'ailleurs instinctivement : ils ont donc appris à modifier leur ancien instinct de la direction ; ou si l'on veut à substituer à l'association A 1, B 1 une autre association A 1, B 2, parce que l'expérience leur a montré que la première ne réussissait pas.

Участие расы кажется преобладающим. Однако если мы и обязаны ему грубым пространством, зыбким пространством высших животных, о котором я говорил выше, то не обязаны ли мы бессознательному опыту индивида тем безгранично точным пространством, которое имеет геометр? Этот вопрос нелегко разрешается. Укажем, однако, на факт, который показывает, что пространство, завещанное нам предками, сохраняет известную пластичность. Некоторые охотники научиваются ловить рыбу под водой, хотя изображение этих рыб вследствие преломления несколько приподнято. Они учатся этому инстинктивно: они сумели, следовательно, изменить свой прежний инстинкт направления. Или, если хотите, они сумели на место связи А1, В1 поставить другую связь А1, В2 , потому что опыт показал им, что с первой связью нельзя достигнуть цели.

Je dois parler ici des définitions générales en mathématiques ; c'est du moins ce que dit le titre du chapitre, mais il me sera impossible de me renfermer dans ce sujet autant que l'exigerait la règle de l'unité d'action ; je ne pourrai le traiter sans parler un peu d'autres questions voisines, et si je suis ainsi obligé de marcher de temps en temps dans les plates-bandes à droite ou à gauche, je vous prie de vouloir bien me le pardonner.

Я должен говорить здесь об общих определениях в математических науках; по крайней мере к этому меня обязывает название настоящей главы. Но мне невозможно будет оставаться в рамках предмета в такой мере, в какой это требовалось бы правилом единства действия; я не смогу трактовать вопроса, не затрагивая отчасти других ближайших вопросов, и потому прошу простить мне уклонения вправо и влево, которые встретятся в дальнейшем.

Qu'est-ce qu'une bonne définition ? Pour le philosophe, ou pour le savant, c'est une définition qui s'applique à tous les objets définis et ne s'applique qu'à eux ; c'est celle qui satisfait aux règles de la logique. Mais dans l'enseignement, ce n'est pas cela ; une bonne définition, c'est celle qui est comprise par les élèves.

Что разумеют под хорошим определением? Для философа или для ученого это есть определение, которое приложимо ко всем определяемым предметам и только к ним; такое определение удовлетворяет правилам логики. Но при преподавании дело обстоит иначе. Здесь хорошим определением будет то, которое понято учениками.

Comment se fait-il qu'il y a tant d'esprits qui se refusent à comprendre les mathématiques ? N'y a-t-il pas là quelque chose de paradoxal ? Comment, voir une science qui ne fait appel qu'aux principes fondamentaux de la logique, au principe de contradiction, par exemple, à ce qui fait pour ainsi dire le squelette de notre entendement, à ce qu'on ne saurait dépouiller sans cesser de penser, et il y a des gens qui la trouvent obscure ! et même ils sont en majorité ! Qu'ils soient incapables d'inventer, passe encore, mais qu'ils ne comprennent pas les démonstrations qu'on leur expose, qu'ils restent aveugles quand nous leur présentons une lumière qui nous semble briller d'un pur éclat, c'est ce qui est tout à fait prodigieux.

Чем объяснить, что многие умы отказываются понимать математику? Не парадоксально ли это? В самом деле, вот наука, которая апеллирует только к основным принципам логики, например к принципу противоречия, апеллирует к тому, что составляет, так сказать, скелет нашего разумения, к тому, от чего нельзя отказаться, не отказываясь вместе с тем от самого мышления, и все же встречаются люди, которые находят эту науку темной! И этих людей большинство! Пусть бы они оказались неспособными изобретать - это еще допустимо. Но они не понимают доказательств, которые им предлагают, они остаются слепыми, когда им подносят свет, который для нас горит чистым и ярким пламенем, - вот что чрезвычайно странно.

Et pourtant il ne faut pas avoir une grande expérience des examens pour savoir que ces aveugles ne sont nullement des êtres d'exception. Il y a là un problème qu'il n'est pas aisé de résoudre, mais qui doit préoccuper tous ceux qui veulent se vouer à l'enseignement.

А между тем достаточно и небольшого опыта, доставляемого экзаменами, чтобы убедиться в том, что эти слепые отнюдь не являются исключениями. Здесь имеется проблема, которая не легко решается, но которая должна занимать всех, желающих посвятить себя делу преподавания.

Qu'est-ce que comprendre ? Ce mot a-t-il le même sens pour tout le monde ? Comprendre la démonstration d'un théorème, est-ce examiner successivement chacun des syllogismes dont elle se compose et constater qu'il est correct, conforme aux règles du jeu ? De même comprendre une définition, est-ce seulement reconnaître qu'on sait déjà le sens de tous les termes employés et constater qu'elle n'implique aucune contradiction ?

Что значит понимать? Имеет ли это слово для всех одно и то же значение? Понять доказательство теоремы - значит ли это рассмотреть последовательно каждый из силлогизмов, из коих составляется доказательство, и констатировать, что он правилен и согласуется с ходом задачи? Точно так же понять определение - значит ли это только признать, что смысл всех употребленных в нем терминов уже известен, и констатировать, что определение не заключает в себе никакого противоречия?

Oui, pour quelques-uns ; quand ils auront fait cette constatation, ils diront : j'ai compris. Non, pour le plus grand nombre. Presque tous sont beaucoup plus exigeants, ils veulent savoir non seulement si tous les syllogismes d'une démonstration sont corrects, mais pourquoi ils s'enchaînent dans tel ordre, plutôt que dans tel autre. Tant qu'ils leur semblent engendrés par le caprice, et non par une intelligence constamment consciente du but à atteindre, ils ne croient pas avoir compris.

"Да",- скажут одни, которые, констатировав отсутствие противоречия в определении, говорят: "мы его поняли". "Нет",- скажет большинство. Почти все люди оказываются более требовательными; они хотят не только знать, правильны ли все силлогизмы доказательства, но еще и знать, почему силлогизмы связываются в данном, а не в другом порядке. Пока им кажется, что эта связь рождена капризом, а не разумом в постоянном сознании преследуемой цели, они думают, что не поняли доказательства.

Sans doute ils ne se rendent pas bien compte eux-mêmes de ce qu'ils réclament et ils ne sauraient formuler leur désir, mais s'ils n'ont pas satisfaction, ils sentent vaguement que quelque chose leur manque. Alors qu'arrive-t-il ? Au début, ils aperçoivent encore les évidences qu'on met sous leurs yeux ; mais comme elles ne sont liées que par un fil trop ténu à celles qui précédent et à celles qui suivent, elles passent sans laisser de trace dans leur cerveau ; elles sont tout de suite oubliées ; un instant éclairées, elles retombent aussitôt dans une nuit éternelle. Quand ils seront plus avancés, ils ne verront plus même cette lumière éphémère, parce que les théorèmes s'appuient les uns sur les autres et que ceux dont ils auraient besoin sont oubliés ; c'est ainsi qu'ils deviennent incapables de comprendre les mathématiques.

Без сомнения, они сами не отдают себе отчета в том, чего они собственно требуют, и не могут формулировать своего желания; но если они не находят удовлетворения, то они смутно чувствуют, что чего-то им недостает. Что же тогда происходит? Вначале они еще схватывают те очевидные вещи, которые представляются их взору; но, так как последние связаны чрезвычайно тонкой нитью с предшествующими и последующими, то они не оставляют никакого следа в их мозгу; они тотчас забываются. Освещенные на одно мгновение, они сейчас же исчезают в сумраке вечной ночи. А когда эти люди следят за дальнейшим развитием доказательства, для них исчезает и прежняя эфемерная ясность, так как теоремы опираются одна на другую, а теоремы, которые им нужны, уже забыты. Таким образом, эти люди становятся неспособными понимать математику.

Ce n'est pas toujours la faute de leur professeur ; souvent leur intelligence, qui a besoin d'apercevoir le fil conducteur, est trop paresseuse pour le chercher et pour le trouver. Mais pour leur venir en aide, il faut d'abord que nous comprenions bien ce qui les arrête.

Не всегда здесь виной преподаватель; зачастую ум людей, нуждающийся в руководящей нити, слишком ленив для поисков ее. Но, чтобы помочь непонимающим, мы должны сначала хорошо узнать то, что их останавливает.

D'autres se demanderont toujours à quoi cela sert ; ils n'auront pas compris s'ils ne trouvent autour d'eux, dans la pratique on dans la nature, la raison d'être de telle ou telle notion mathématique. Sous chaque mot, ils veulent mettre une image sensible ; il faut que la définition évoque cette image, qu'à chaque stade de la démonstration ils la voient transformer et évoluer. A cette condition seulement, ils comprendront et ils retiendront. Ceux-là souvent se font illusion à eux-mêmes ; ils n'écoutent pas les raisonnements, ils regardent les figures ; ils s'imaginent avoir compris et ils n'ont fait que voir.

Другие же спросят, для чего все это служит; они не поймут силлогизмов, если они не нашли вокруг себя на практике или в природе основания для того или иного математического понятия. Под всяким словом они хотят разглядеть чувственный образ; необходимо, чтобы определение вызывало этот образ, чтобы на каждой стадии доказательства они видели его превращения и эволюцию. Лишь при таком условии они поймут и удержат в памяти доказательство. Такие люди часто заблуждаются относительно самих себя; они не слушают рассуждений, а рассматривают фигуры, они воображают, что поняли, тогда как они только видели.

Que de tendances diverses ! Faut-il les combattre ? Faut-il nous en servir ? Et si nous voulions les combattre, laquelle faudrait-il favoriser ? Est-ce à ceux qui se contentent de la logique pure qu'il faut montrer qu'ils n'ont vu qu'une face des choses ? Ou bien faut-il dire à ceux qui ne se satisfont pas à si bon marché que ce qu'ils réclament n'est pas nécessaire ?

Сколько различных тенденций! Нужно ли с ними бороться? Или нужно ими воспользоваться? А если мы хотим с ними бороться, то какой из них должны мы благоприятствовать? Нужно ли доказывать тем, которые довольствуются чистой логикой, что они видят только одну сторону вещей? Или, напротив, нужно доказывать тем, которые не удовлетворяются так легко, что то, чего они требуют, не является необходимостью?

En d'autres termes, devons-nous contraindre les jeunes gens à changer la nature de leur esprit ? Une pareille tentative serait vaine ; nous ne possédons pas la pierre philosophale qui nous permettrait de transmuter les uns dans les autres les métaux qui nous sont confiés ; tout ce que nous pouvons faire c'est de les travailler en nous accommodant à leurs propriétés.

Другими словами, должны ли мы принуждать молодых людей к тому, чтобы они изменяли природу своего ума? Такая попытка была бы бесплодна. Мы не обладаем философским камнем, который дал бы нам возможность превращать один в другой вверенные нам металлы; все, что мы можем сделать, - это работать, приспосабливаясь к их свойствам.

Bien des enfants sont incapables de devenir mathématiciens, auxquels pourtant il faut enseigner les mathématiques ; et les mathématiciens eux-mêmes ne sont pas tous coulés dans le même moule. Il suffit de lire leurs ouvrages pour distinguer parmi eux deux sortes d'esprits, les logiciens comme Weierstrass, par exemple, les intuitifs comme Riemann. Même différence parmi nos étudiants. Les uns aiment mieux traiter leurs problèmes " par l'analyse " comme ils disent, les autres " par la géométrie ".

Многие дети неспособны стать математиками, тем не менее им необходимо преподавать математику. Да и сами математики не все отлиты по одной и той же модели. Достаточно прочитать их труды, чтобы заметить существование умов двух типов: логиков, как Вейерштрасс, и интуитивистов, как Риман. Такая же разница наблюдается и среди студентов. Одни любят разрабатывать задачи, как они выражаются, "путем анализа", другие - "путем геометрии".

Il est bien inutile de chercher à y changer quelque chose, et cela d'ailleurs serait-il désirable ?

Было бы бесполезно пытаться изменить что-либо в этом отношении, да и, помимо того, было ли бы это желательно?

Il est bon qu'il y ait des logiciens et qu'il y ait des intuitifs ; qui oserait dire s'il aimerait mieux que Weierstrass n'eût jamais écrit, ou qu'il n'y eût pas eu de Riemann. Il faut donc nous résigner à la diversité des esprits, ou mieux, il faut nous en réjouir.

Хорошо, что существуют логики и интуитивисты; кто рискнет утверждать, что он предпочел бы, чтобы Вейерштрасс никогда не писал или чтобы Римана не было? Таким образом, мы должны примириться с разнообразием умов или, еще лучше, мы должны ему радоваться.

Puisque le mot comprendre a plusieurs sens, les définitions qui seront le mieux comprises des uns ne seront pas celles qui conviendront aux autres. Nous avons celles qui cherchent à faire naître une image, et celles où l'on se borne à combiner des formes vides, parfaitement intelligibles, mais purement intelligibles, que l'abstraction a privées de toute matière.

Так как слово "понимать" имеет несколько значений, то определения, наиболее понятные для одних людей, не будут совпадать с определениями, которые подходят для других. Мы имеем такие определения, которые стараются вызвать в нас образ, и такие, которые лишь комбинируют пустые формы, доступные интеллекту, но только ему одному, определения, которые по своей абстрактности лишены всякого материального содержания.

Je ne sais s'il est bien nécessaire de citer des exemples ? Citons-en pourtant, et d'abord la définition des fractions va nous fournir un exemple extrême. Dans les écoles primaires, pour définir une fraction, on découpe une pomme ou une tarte ; on la découpe par la pensée bien entendu et non en réalité, car je ne suppose pas que le budget de l'enseignement primaire permette une pareille prodigalité. A l'École normale supérieure, au contraire, ou dans les Facultés, on dira : une fraction, c'est l'ensemble de deux nombres entiers séparés par un trait horizontal ; on définira par des conventions les opérations que peuvent subir ces symboles ; on démontrera que les règles de ces opérations sont les mêmes que dans le calcul des nombres entiers, et on constatera enfin qu'en faisant, d'après ces règles, la multiplication de la fraction par le dénominateur, on retrouve le numérateur. C'est très bien parce qu'on s'adresse à des jeunes gens, depuis longtemps familiarisés avec la notion des fractions à force d'avoir partagé des pommes ou d'autres objets, et dont l'esprit, affiné par une forte éducation mathématique, en est arrivé peu à peu à désirer une définition purement logique. Mais quel serait l'ahurissement d'un débutant à qui on voudrait la servir ?

Я не знаю, нужно ли приводить примеры. Однако мы приведем некоторые, и прежде всего мы остановимся на определении дробей, которое даст нам крайний пример. В начальных школах, чтобы определить дробь, разрезают яблоко или пирог; конечно, разрезание происходит в уме, а не в действительности, ибо я не думаю, чтобы бюджет начальной школы позволял такую расточительность. В высшей нормальной школе или на факультетах, напротив, скажут: дробь - это совокупность двух целых чисел, разделенных горизонтальной чертой; определят при помощи соглашений те операции, которым можно подвергать эти символы; докажут, что правила для этих операций те же, какие употребляются в исчислении целых чисел и, наконец, обнаружат, что, умножая, согласно этим правилам, дробь на знаменатель, мы находим числитель. Такое определение будет здесь уместным, потому что его преподносят молодым людям, которые уже давно освоились с понятием о дробях - они уже делили яблоки и другие предметы; ум которых уже изощрен математической эрудицией; которые хотят, наконец, получить чисто логическое определение. Но как был бы ошеломлен начинающий, к которому подошли бы с подобным определением.

Telles sont aussi les définitions que vous trouvez dans un livre justement admiré et bien des fois couronné, les " Grundlagen der Geometrie " de Hilbert. Voyons on effet comment il débute : Pensons trois systèmes de CHOSES que nous appellerons points, droites et plans. Que sont ces " choses " ? nous ne le savons pas, et nous n'avons pas à le savoir ; il serait même fâcheux que nous cherchions à le savoir ; tout ce que nous avons le droit d'on savoir, c'est ce que nous en apprennent les axiomes, celui-ci par exemple : Deux points différents déterminent toujours une droite, qui est suivi de ce commentaire : au lieu de déterminent, nous pouvons dire que la droite passe par ces deux points, ou qu'elle joint ces deux points, ou que ces deux points sont situés sur la droite. Ainsi, " être situé sur une droite " est simplement défini comme synonyme de " déterminer une droite ". Voilà un livre dont je pense beaucoup de bien, mais que je ne recommanderais pas à un lycéen. Au reste, je pourrais le faire sans crainte, il ne pousserait pas la lecture bien loin.

Таковы же определения, которые вы найдете в удивительной и несколько раз премированной книге Гильберта "Основания геометрии". Посмотрим, как он начинает: вообразим три системы вещей, которые мы назовем точками, прямыми и плоскостями. Что это за "вещи" - мы не знаем, да и незачем нам это знать. Было бы даже греховно стараться это узнать. Все, на что мы можем претендовать, сводится к тому, чтобы мы усвоили относящиеся к ним аксиомы, например следующую: две различные точки всегда определяют прямую, и комментарий к ней: вместо "определяют" мы можем сказать, что прямая проходит через две точки, или соединяет эти две точки, или что две точки расположены на прямой. Значит, фраза "точки расположены на прямой" является просто синонимом фразы "точки определяют прямую". Вот книга, которую я очень высоко ценю, но которую я не рекомендую лицеисту. Впрочем, я мог бы это сделать без опаски, так как в чтении ее он ушел бы не очень далеко.

J'ai pris des exemples extrêmes et aucun maître ne pourrait songer à aller aussi loin. Mais, même en restant bien en deçà de pareils modèles, ne s'expose-t-il pas déjà au même danger ?

Я взял крайние примеры; никакой преподаватель, конечно, не предложил бы таких определений. Но разве не остается такая же опасность и тогда, когда мы стоим ближе к действительности?

Nous sommes dans une classe de h le professeur dicte : le cercle est le lieu des points du plan qui sont à la même distance d'un point intérieur appelé centre. Le bon élève écrit cette phrase sur son cahier ; le mauvais élève y dessine des bonshommes ; mais ni l'un ni l'autre n'ont compris ; alors le professeur prend la craie et trace un cercle sur le tableau. " Ah ! pensent les élèves, que ne disait-il tout de suite : un cercle c'est un rond, nous aurions compris. " Sans doute, c'est le professeur qui a raison. La définition des élèves n'aurait rien valu, puisqu'elle n'aurait pu servir à aucune démonstration, et surtout puisqu'elle n'aurait pu leur donner la salutaire habitude d'analyser leurs conceptions. Mais il faudrait leur montrer qu'ils ne comprennent pas ce qu'ils croient comprendre, les amener à se rendre compte de la grossièreté de leur concept primitif. à désirer d'eux-mêmes qu'on l'épure et le dégrossisse.

Вот в четвертом классе. Преподаватель диктует: "окружность - это геометрическое место точек на плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной внутренней точки, именуемой центром". Хороший ученик вписывает эту фразу в свою тетрадь; плохой ученик рисует в ней "человечков", но ни тот, ни другой ничего не поняли. Тогда преподаватель берет мел и рисует круг на доске. "Ага, - думают ученики, - почему он не сказал сразу: окружность - это кружок, и мы бы сразу поняли". Без сомнения, преподаватель прав. Определение учеников не имело бы никакой ценности, потому что не могло бы служить ни для какого доказательства, и в особенности не привило бы им спасительной привычки анализировать свои понятия. Но им надобно было бы доказать, что они не понимают того, что им кажется понятным, надобно было бы заставить их отдать себе отчет в грубости их первоначального представления, сделать так, чтобы они сами пожелали очистить и улучшить это представление.

Je reviendrai sur tous ces exemples ; j'ai voulu seulement vous montrer les deux conceptions opposées ; il y a entre elles un violent contraste. Ce contraste, l'histoire de la science nous l'explique. Si nous lisons un livre écrit il y a cinquante ans, la plupart des raisonnements que nous y trouverons nous sembleront dépourvus de rigueur.

Я еще вернусь ко всем этим примерам. Я хотел лишь показать вам две противоположные идеи: между ними имеется самый резкий контраст, причина которого нам раскрывается историей науки. Если мы читаем книгу, написанную пятьдесят лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишенными логической строгости.

On admettait à cette époque qu'une fonction continue ne peut changer de signe sans s'annuler ; on le démontre aujourd'hui. On admettait que les règles ordinaires du calcul sont applicables que nombres incommensurables, on le démontre aujourd'hui. On admettait bien d'autres choses qui quelquefois étaient fausses.

В ту эпоху допускали, что непрерывная функция не может изменить знак, не проходя через нуль; теперь это доказывают. Допускали, что обыкновенные правила счисления приложимы к несоизмеримым числам, теперь это доказывают. Допускали еще и другие вещи, которые порою оказывались ложными.

On se fiait à l'intuition ; mais l'intuition ne peut nous donner la rigueur, ni même la certitude, on s'en est aperçu de plus en plus. Elle nous apprend par exemple que toute courbe a une tangente, c'est-à-dire que toute fonction continue a une dérivée, et cela est faux. Et comme on tenait à la certitude, il a fallu faire de plus en plus petite la part de l'intuition.

Доверялись интуиции. Но интуиция не может дать ни строгости суждений, ни уверенности в их правильности, в этом убеждались все более и более. Интуиция, например, учит нас, что всякая кривая имеет касательную, т. е что каждая непрерывная функция имеет производную, и, однако, это положение ложно. А так как знание стремилось к уверенности, то приходилось все более и более ограничивать роль интуиции.

Comment s'est faite cette évolution nécessaire ? On n'a pas tardé à s'apercevoir que la rigueur ne pourrait pas s'établir dans les raisonnements, si on ne la faisait entrer d'abord dans les définitions.

Каким образом свершилась эта необходимая эволюция? Вскоре было замечено, что рассуждения лишь тогда приобретут строго доказательную силу, когда эта строгость будет предварительно внесена в определения.

Longtemps les objets dont occupent les mathématiciens étaient mal définis ; on croyait les connaître parce qu'on se les représentait avec les sens ou l'imagination, mais on n'en avait qu'une image grossière et non une idée précise sur laquelle le raisonnement pût avoir prise.

Объекты, которыми занимаются математики, долгое время не имели хороших определений; эти предметы казались известными потому, что их себе представляли при помощи чувств или воображения; но в действительности их образы отличались грубостью; не было точных идей, на которые могли бы опереться доказательства.

C'est là, que les logiciens ont dû porter leurs efforts. Ainsi pour le nombre incommensurable.

Вот в эту сторону логики вынуждены были направить свои усилия. Примером могут служить несоизмеримые числа.

L'idée vague de continuité, que nous devions à l'intuition, s'est résolue en un système compliqué d'inégalités portant sur des nombres entiers. C'est ainsi que se sont définitivement évanouies toutes ces difficultés qui effrayaient nos pères, quand ils réfléchissaient aux fondements du calcul infinitésimal.

Неопределенная идея непрерывности, которой мы обязаны интуиции, разрешилась в сложную систему неравенств, имеющих дело с целыми числами. Благодаря этому исчезли, наконец, все те трудности, которые пугали наших отцов, когда они размышляли об основаниях исчисления бесконечно малых величин.

Il ne reste plus aujourd'hui en analyse que des nombres entiers, ou des systèmes finis ou infinis de nombres entiers, reliés par un réseau d'égalités et d'inégalités.

Теперь анализ имеет дело только с целыми числами или же с конечными или бесконечными системами целых чисел, связанных совокупностью равенств и неравенств.

Les mathématiques, comme on l'a dit, se sont arithmétisées.

Математические науки, как говорят, арифметизировались.

Mais croit-on que les mathématiques aient atteint la rigueur absolue sans faire de sacrifice ? Pas du tout, ce qu'elles ont gagné en rigueur, elles l'ont perdu en objectivité. C'est en s'éloignant de la réalité qu'elles ont acquis cette pureté parfaite. On peut parcourir librement tout leur domaine, autrefois hérissé d'obstacles, mais ces obstacles n'ont pas disparu. Ils ont seulement été transports à la frontière et il faudra les vaincre de nouveau si l'on veut franchir cette frontière pour pénétrer dans le royaume de la pratique.

Но можно ли думать, что эти науки достигли абсолютной строгости, ничем со своей стороны не жертвуя? Ничуть; то, что они выиграли в строгости, они потеряли в объективности. Они приобретали совершенную чистоту, удаляясь от реальности. Теперь можно свободно обозреть всю область математического знания, которая раньше была усеяна преградами, но эти преграды не исчезли. Они были лишь перенесены на границу; и если мы хотим перейти эту границу, чтобы вступить в область практики, то мы должны снова преодолеть эти препятствия.

On possédait une notion vague, formée d'éléments disparates, les uns a priori, les autres provenant d'expériences plus ou moins digérées ; on croyait en connaître, par l'intuition, les principales propriétés. Aujourd'hui on rejette les éléments empiriques en ne conservant que les éléments a priori ; c'est l'une des propriétés qui sert de définition et toutes les autres s'en déduisent parmi raisonnement rigoureux. C'est très bien, mais il reste à prouver que cette propriété, qui est devenue une définition, appartient bien aux objets réels que l'expérience nous avait fait connaître et d'où nous avions tiré notre vague notion intuitive. Pour le prouver, il faudra bien en appeler à l'expérience, ou faire un effort d'intuition, et si nous ne pouvions le prouver, nos théorèmes seraient parfaitement rigoureux, mais parfaitement inutiles.

Прежде мы обладали лишь неясными понятиями, составленными из несвязанных элементов, из которых одни были априорны, другие вытекали из более или менее уясненного опыта; мы думали, что главные их свойства узнаны интуитивным путем. Теперь эмпирические элементы отвергаются и сохраняются лишь элементы априорные, для определения берется одно из свойств, все другие выводятся из него путем строгого рассуждения. Это хорошо, но остается еще доказать, что свойство, ставшее определением, принадлежит действительно тем реальным объектам, с которыми нас познакомил опыт и из которых мы вывели наше ясное интуитивное понятие. Чтобы это доказать, необходимо обратиться к опыту или прибегнуть к усилию интуиции; если же мы этого не докажем, то наши теоремы будут совершенно строгими, но и совершенно бесполезными.

La logique parfois engendre des monstres. Depuis un demi-siècle on a vu surgir une foule de fonctions bizarres qui semblent s'efforcer de ressembler aussi peu que possible aux honnêtes fonctions qui servent à quelque chose. Plus de continuité, ou bien de la continuité, mais pas de dérivées, etc. Bien plus, au point de vue logique, ce sont ces fonctions étranges qui sont les plus générales, celles qu'on rencontre sans les avoir cherchées n'apparaissent plus que comme un cas particulier. Il ne leur reste qu'un tout petit coin.

Логика приводит часто к уродствам. На протяжении полувека мы видели, как возникло множество причудливых функций; эти новые функции как будто старались возможно менее походить на те благородные функции, которые чему-нибудь да служат. Таковы, например, функции непрерывные, но без производных, и т. д. Более того, с точки зрения логической эти именно причудливые функции и являются наиболее общими; те же функции, которые мы находим без долгих поисков, образуют как бы частный случай. Для них остается лишь маленький уголок.

Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c'était en vue de quelque but pratique ; aujourd'hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères, et on n'en tirera jamais que cela.

Некогда при нахождении новых функций имелась в виду какая-нибудь практическая цель. Теперь функции изобретаются специально для того, чтобы обнаружить недостаточность рассуждения наших отцов, никакого иного вывода, кроме этого, из них нельзя извлечь.

Si la logique était le seul guide du pédagogue, ce serait par les fonctions les plus générales, c'est-à-dire par les plus bizarres, qu il faudrait commencer. C'est le débutant qu'il faudrait mettre aux prises avec ce musée tératologique. Si vous ne le faites pas, pourraient dire les logiciens, vous n'atteindrez la rigueur que par étapes.

Если бы логика была единственным руководителем педагога, то нужно было бы начинать с наиболее общих, т. е. наиболее причудливых функций. Именно начинающего следовало бы в таком случае отдать во власть этого музея уродств. "Если вы этого не делаете, - могли бы сказать логики, - то вы достигнете надлежащей строгости лишь после целого ряда этапов".

Oui, peut-être, mais nous ne pouvons faire aussi bon marché de la réalité, et je n'entends pas seulement la réalité du monde sensible, qui a pourtant son prix, puisque c'est pour lutter contre elle que les neuf dixièmes de vos élèves vous demandent des armes. Il y a une réalité plus subtile, qui fait la vie des êtres mathématiques, et qui est autre chose que la logique.

Быть может, это и так; но мы не можем не дорожить реальностью. Я разумею здесь не только реальность чувственного мира, который, впрочем, имеет свою ценность уже потому, что девять десятых ваших учеников ищут у вас орудий именно для борьбы с этой реальностью. Но есть реальность более утонченная, которая составляет жизнь математических субстанций и которая все-таки не логика.

Notre corps est formé de cellules et les cellules d'atomes ; ces cellules et ces atomes sont-ils donc toute la réalité du corps humain ? La façon dont ces cellules sont agencées, et dont résulte l'unité de l'individu, n'est-elle pas aussi une réalité et beaucoup plus intéressante ?

Наше тело составлено из клеток, клетки - из атомов. Составляют ли эти клетки и эти атомы всё, что есть реального в человеческом теле? Не представляет ли собою способ, каким эти клетки собраны и который обусловливает единство индивида, также реальности и реальности гораздо более интересной.

Un naturaliste qui n'aurait jamais étudié l'éléphant qu'au microscope croirait-il connaître suffisamment cet animal ?

Мог бы натуралист, изучавший слона только под микроскопом, думать, что он достаточно познакомился с этим животным?

Il en est de même en mathématiques. Quand le logicien aura décomposé chaque démonstration en une foule d'opérations élémentaires, toutes correctes, il ne possédera pas encore la réalité tout entière ; ce je ne sais quoi qui fait l'unité de la démonstration lui échappera complètement.

То же самое в области математики. Когда логик разложил всякое доказательство на множество элементарных операций, вполне правильных, он еще не уловил реальности в ее целом; то неизвестное мне, что составляет единство доказательства, совершенно от него ускользнуло.

Dans les édifices élevés par nos maîtres, à quoi bon admirer l'œuvre du maçon si nous ne pouvons comprendre le plan de l'architecte ? Or, cette vue d'ensemble, la logique pure ne peut nous la donner, c'est à l'intuition qu'il faut la demander.

Стоит ли в здании, возведенном нашими учителями, удивляться работе каменщика, если мы не понимаем плана архитектора? Но общий взгляд не дается нам чистой логикой; чтобы получить его, мы должны обратиться к интуиции.

Prenons par exemple l'idée de fonction continue. Ce n'est d'abord qu'une image sensible, un trait tracé à la craie sur le tableau noir. Peu à peu elle s'épure ; on s'en sert pour construire un système compliqué d'inégalités, qui reproduit toutes les lignes de l'image primitive ; quand tout a été terminé, on a décintré, comme après la construction d'une voûte ; cette représentation grossière, appui désormais inutile, a disparu et il n'est resté que l'édifice lui-même, irréprochable aux yeux du logicien. Et pourtant, si le professeur ne rappelait l'image primitive, s'il ne rétablissait momentanément le cintre, comment l'élève devinerait-il par quel caprice toutes ces inégalités se sont échafaudées de cette façon les unes sur les autres ? La définition serait logiquement correcte, mais elle ne lui montrerait pas la réalité véritable.

Возьмем для примера идею непрерывной функции. Сначала это не что иное, как чувственный образ, след, начертанный мелом на черной доске. Мало-помалу эта идея очищается. Ею пользуются для построения сложной системы неравенств, воспроизво- дящей все линии примитивного образа. Когда построение закончено; кружала (1) снимаются, как это делается после сооружения свода, то грубое представление, которое стало отныне бесполезным, исчезает, остается лишь само здание, безупречное в глазах логика. И, однако, если бы преподаватель не влил содержания в первоначальные образы, если бы он не установил на время кружал, разве мог бы ученик догадаться, по какому капризу все эти неравенства определенным образом нанизывались одно на другое? Определение было бы правильным с логической стороны, но оно не раскрыло бы ученику настоящей реальности.

Nous voilà donc obligés de revenir en arrière ; sans doute il est dur pour un maître d'enseigner ce qui ne le satisfait pas entièrement ; mais la satisfaction du maître n'est pas l'unique objet de l'enseignement ; on doit d'abord se préoccuper de ce qu'est l'esprit de l'élève et de ce qu'on veut qu'il devienne.

Мы должны вернуться назад. Без сомнения, учителю неприятно вести преподавание в рамках, которые его не вполне удовлетворяют. Но удовлетворение учителя - не единственная цель обучения; нужно прежде всего считаться с умом ученика и с тем, что из него желают сделать.

Les zoologistes prétendent que le développement embryonnaire d'un animal résume en un temps très court toute l'histoire de ses ancêtres des temps géologiques. Il semble qu'il en est de même du développement des esprits. L'éducateur doit faire repasser l'enfant par où ont passé ses pères ; plus rapidement mais sans brûler d'étape. À ce compte, l'histoire de la science doit être notre premier guide.

Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного резюмирует вкратце историю его предков в разные геологические периоды. Воспитатель должен заставить ребенка пройти через те ступени, которые были пройдены его предками, пройти быстрее, но без пропуска промежуточных этапов. В этом смысле история науки должна быть нашим первым руководителем.

Nos pères croyaient savoir ce que c'est qu'une fraction, ou que la continuité, ou que l'aire d'une surface courbe ; c'est nous qui nous sommes aperçus qu'ils ne le savaient pas. De même nos élèves croient le savoir quand ils commencent à étudier sérieusement les mathématiques. Si, sans autre préparation, je viens leur dire : " Non, vous ne le savez pas ; ce que vous croyez comprendre, vous ne le comprenez pas ; il faut que je vous démontre ce qui vous semble évident ", et si dans la démonstration je m'appuie sur des prémisses qui leur semblent moins évidentes que la conclusion, que penseront ces malheureux ? Ils penseront que la science mathématique n'est qu'un entassement arbitraire de subtilités inutiles ; ou bien ils s'en dégoûteront ; ou bien ils s'en amuseront comme d'un jeu et ils arriveront à un état d'esprit analogue à celui des sophistes grecs.

Наши предки думали, что знают, что такое дробь, непрерывность, площадь кривой поверхности; лишь мы заметили, что они этого не знали. Точно так же наши ученики думают, что они это знают, когда уже принимаются серьезно за изучение математики. Если я, без предварительной подготовки, скажу им: "нет, вы этого не знаете, вы не понимаете того, что вам казалось понятным; я должен вам доказать то, что вы считали очевидным", -и если я в своих доказательствах буду опираться на посылки, которые им кажутся менее очевидными, чем заключения, то что подумают эти несчастные? Они подумают, что математическая наука есть не что иное, как произвольно собранная груда бесполезных умствований; и они либо почувствуют к ней отвращение, либо будут забавляться ею, как игрою, и в умственном отношении уподобятся греческим софистам.

Plus tard, au contraire, quand l'esprit de l'élève, familiarisé avec le raisonnement mathématique, se sera mûri par cette longue fréquentation, les doutes naîtront d'eux-mêmes et alors votre démonstration sera la bienvenue. Elle en éveillera de nouveaux, et les questions se poseront successivement à l'enfant, comme elles se sont posées successivement à nos pères, jusqu'à ce que la rigueur parfaite puisse seule le satisfaire. Il ne suffit pas de douter de tout, il faut savoir pourquoi l'on doute.

Напротив, позже, когда ученик освоится с математическим суждением и ум его созреет в этой продолжительной работе, сомнения станут возникать сами собой, и тогда ваше доказательство будет своевременным. Оно разбудит новые сомнения, и вопросы предстанут перед юношей в той последовательности, в какой они представлялись нашим отцам; и это будет продолжаться до тех пор, пока он не разовьется в такой мере, что его будут удовлетворять только совершенно строгие определения. Недостаточно еще во всем сомневаться, нужно знать, почему возникает сомнение.

Le but principal de l'enseignement mathématique est de développer certaines facultés de l'esprit et parmi elles l'intuition n'est pas la moins précieuse. C'est par elle que le monde mathématique reste en contact avec le monde réel et quand les mathématiques pures pourraient s'en passer, il faudrait toujours y avoir recours pour combler l'abîme qui sépare le symbole de la réalité. Le praticien en aura toujours besoin et pour un géomètre pur il doit y avoir cent praticiens.

Главная цель обучения математике - это развить известные способности ума, а между этими способностями интуиция отнюдь не является наименее ценной. Благодаря ей мир математических образов остается в соприкосновении с реальным миром; и если чистая математика может обойтись без нее, то она всегда необходима, чтобы заполнить пропасть, которая отделяет символы от реального мира; к нему будет постоянно обращаться практик, а ведь на одного чистого геометра приходится сто практиков.

L'ingénieur doit recevoir une éducation mathématique complète, mais à quoi doit-elle lui servir ? à voir les divers aspects des choses et à les voit vite ; il n'a pas le temps de chercher la petite bête. Il faut que, dans les objets physiques complexes qui s'offrent à lui, il reconnaisse promptement le point où pourront avoir prise les outils mathématiques que nous lui avons mi en main. Comment le ferait-il si nous laissions entre les uns et les autres cet abîme profond creusé par les logiciens ?

Инженер должен получить полное математическое образование, но для чего оно ему? Для того чтобы видеть различные стороны вещей, видеть их быстро. У него нет времени гоняться за мелочами. В сложных физических предметах, которые представляются его взору, он должен быстро найти точку, к которой могут быть приложены данные ему в руки математические орудия. .Как бы он это сделал, если бы между предметами и орудиями оставалась та пропасть, которую вырыли логики?

À côté des futurs ingénieurs, d'autres élèves, moins nombreux, doivent à leur tour devenir des maîtres ; il faut donc qu'ils aillent jusqu'au fond ; une connaissance approfondie et rigoureuse des premiers principes leur est avant tout indispensable. Mais ce n'est pas une raison pour ne pas cultiver chez eux l'intuition ; car ils se feraient une idée fausse de la science s'ils ne la regardaient jamais que d'un seul côté et d'ailleurs ils ne pourraient développer chez leurs élèves une qualité qu'ils ne posséderaient pas eux-mêmes.

Наряду с будущими инженерами имеются ученики, не столь многочисленные, которые должны стать учителями. Последние должны дойти до конца; для них прежде всего обязательно глубокое и строгое изучение основных принципов. Но отсюда не следует, что в них не надо культивировать интуиции. Ибо они могут составить себе ложное представление о науке, если всегда будут смотреть на нее с одной только стороны,и они не сумеют развить в своих питомцах того качества, которым сами не обладают.

Pour le géomètre pur lui-même, cette faculté est nécessaire, c'est par la logique qu'on démontre, c'est par l'intuition qu'on invente. Savoir critiquer est bon, savoir créer est mieux. Vous savez reconnaître si une combinaison est correcte ; la belle affaire si vous ne possédez pas l'art de choisir entre toutes les combinaisons possibles. La logique nous apprend que sur tel ou tel chemin nous sommes sûrs de ne pas rencontrer d'obstacle ; elle ne nous dit pas quel est celui qui mène au but. Pour cela il faut voir le but de loin, et la faculté qui nous apprend à voir, c'est l'intuition. Sans elle, le géomètre serait comme un écrivain qui serait ferré sur la grammaire, mais qui n'aurait pas d'idées. Or, comment cette faculté se développerait-elle, si dès qu'elle se montre on la pourchasse et on la proscrit, si on apprend à s'en défier avant de savoir ce qu'on en peut tirer de bon.

Для чистого геометра эта способность необходима. Доказывают при помощи логики, изобретают при помощи интуиции. Хорошо уметь критиковать, еще лучше - уметь творить. Вы способны распознать, правильна ли данная комбинация, и это недурно, раз вы не обладаете искусством сделать выбор между всеми возможными комбинациями. Логика нам говорит, что на таком-то пути мы можем быть уверены, что не встретим препятствий; она не говорит, какой путь ведет к цели. Для этого необходимо видеть цель издалека, и интуиция есть та способность, которая этому нас учит. Без нее геометр походил бы на писателя, который был бы прикован к грамматике, но не имел бы идей. Но как может развиться такая способность, раз ее преследуют и изгоняют, лишь только она обнаруживается, раз приучают относиться к ней с недоверием еще раньше, чем убедились в пользе, которую она может принести.

Et là, permettez-moi d'ouvrir une parenthèse pour insister sur l'importance des devoirs écrits. Les compositions écrites n'ont peut-être pas assez de place dans certains examens, à l'École polytechnique, par exemple. On me dit qu'elles fermeraient la porte à de très bons élèves qui savent très bien leur cours, qui le comprennent très bien, et qui pourtant sont incapables d'en faire la moindre application. J'ai dit tout à l'heure que le mot comprendre a plusieurs sens : ceux-là ne comprennent que de la première manière, et nous venons de voir que cela ne suffit ni pour faire un ingénieur, ni pour faire un géomètre. Eh bien, puisqu'il faut faire un choix, j'aime mieux choisir ceux qui comprennent tout à fait.

Позвольте мне здесь мимоходом остановиться на важности письменных работ. Эти работы занимают, быть может, слишком мало места на экзаменах, например, в Политехнической школе. Мне говорят, что такие работы закрыли бы доступ хорошим ученикам, которые понимают пройденные курсы, хорошо их знают, но не способны сделать из них ни малейшего применения. Я сказал выше, что слово "понимать" имеет несколько значений: эти ученики "понимают" определения в первом из указанных мною значений этого слова; но мы видели, что такого понимания недостаточно ни для инженера, ни для геометра. А так как здесь необходимо сделать выбор, то я предпочитаю выбрать тех, которые понимают вполне.

Mais l'art de raisonner juste n'est-il pas aussi une qualité précieuse, que le professeur de mathématiques doit avant tout cultiver ? Je n'ai garde de l'oublier ; on doit s'en préoccuper et dès le début. Je serais désolé de voir la géométrie dégénérer en je ne sais quelle tachymétrie de bas étage et je ne souscris nullement aux doctrines extrêmes de certains Oberlehrer allemands. Mais on a assez d'occasions d'exercer les élèves au raisonnement correct, dans les parties des mathématiques où les inconvénients que j'ai signalés ne se présentent pas. On a de longs enchaînements de théorèmes où la logique absolue a régné du premier coup et pour ainsi dire tout naturellement, où les premiers géomètres nous ont donné des modèles qu'il faudra constamment imiter et admirer.

Но искусство правильно рассуждать разве не есть драгоценное качество, которое преподаватель математики должен прежде всего культивировать. Я этого не забываю. Об этом нужно позаботиться с самого начала. Я был бы в отчаянии, если бы увидел, что геометрия выродилась в какую-то тахеометрию (2) нижайшего уровня, и нисколько не подписываюсь под крайними доктринами некоторых немецких оберучителей. Но при изучении математики и именно тех отделов ее, где указанные выше неудобства не встречаются, бывает немало случаев, которые дают место для упражнения учеников в правильном рассуждении. У нас имеются длинные сцепления теорем, в которых абсолютная логика сразу и как будто естественно заняла господствующее положение и которые, как образцы, вышедшие из рук первых геометров, достойны всякого удивления и подражания.

C'est dans l'exposition des premiers principes qu'il faut éviter trop de subtilité ; là elle serait plus rebutante et d'ailleurs inutile. On ne peut tout démontrer et on ne peut tout définir ; et il faudra toujours emprunter à l'intuition ; qu'importe de le faire un peu plus tôt ou un peu plus tard, ou même de lui demander un peu plus ou un peu moins, pourvu qu'en se servant correctement des prémisses qu'elle nous a fournies, nous apprenions à raisonner juste.

Именно в изложении основных принципов нужно избегать излишних тонкостей. Здесь они и не привились бы и к тому же были бы бесполезны. Нельзя все доказать и нельзя все определить. Приходится всегда делать заимствование у интуиции. Неважно, сделаем ли мы это заимствование немного раньше или немного позже, будет ли оно немного больше или меньше, лишь бы мы, правильно пользуясь теми посылками, которые даны нам интуицией, научились правильно рассуждать.

Est-il possible de remplir tant de conditions opposées ? Est-ce possible eu particulier quand il s'agit de donner une définition ? Comment trouver un énoncé concis qui satisfasse à la fois aux règles intransigeantes de la logique, à notre désir de comprendre la place de la notion nouvelle dans l'ensemble de la science, à notre besoin de penser avec des images ? Le plus souvent on ne le trouvera pas, et c'est pourquoi il ne suffit pas d'énoncer une définition ; il faut la préparer et il faut la justifier.

Можно ли, однако, удовлетворить столь противоположным условиям? Возможно ли это в особенности тогда, когда приходится дать определение? Как найти такую краткую формулировку, которая одновременно удовлетворяла бы непреклонным правилам логики, нашему желанию понять то место, которое занимает новое понятие в совокупности знаний, нашей необходимости мыслить образами? Чаще всего такой формулировки найти нельзя, и вот почему недостаточно высказать определение: необходимо его под готовить и необходимо его оправдать.

Que veux-je dire par là ? Vous savez ce qu'on a dit souvent : toute définition implique un axiome, puisqu'elle affirme l'existence de l'objet défini. La définition ne sera donc justifiée, au point de vue purement logique, que quand on aura démontré qu'elle n'entraîne pas de contradiction, ni dans les termes, ni avec les vérités antérieurement admises.

Что я хочу этим сказать? Вы знаете, как часто говорят: всякое определение включает в себя аксиому, так как оно утверждает существование определенного объекта. Определение будет, следовательно, оправдано с точки зрения логической лишь тогда, когда будет доказано, что оно не находится в противоречии ни с терминами, ни с ранее допущенными истинами.

Mais ce n'est pas assez; la définition nous est énoncée comme une convention ; mais la plupart des esprits se révolteront si vous voulez la leur imposer comme convention arbitraire. Ils n'auront de repos que quand vous aurez répondu à de nombreuses questions.

Но это не все. Определение теперь называют соглашением; но большинство умов возмутится, если вы захотите навязать это определение как соглашение произвольное. Они успокоятся только тогда, когда вы им дадите ответ на многочисленные вопросы, которые у них возникнут.

Le plus souvent les définitions mathématiques, comme l'a montré M. Liard, sont de véritables constructions édifiées de toutes pièces avec de notions plus simples. Mais pourquoi avoir assemblé ces éléments de cette façon quand mille autres assemblages étaient possibles ? Est-ce par caprice ? Sinon, pourquoi cette combinaison avait-elle plus de droits à l'existence que toutes les autres ? A quel besoin répondait-elle ? Comment a-t-on prévu qu'elle jouerait dans le développement de la science un rôle important, qu'elle abrégerait nos raisonnements et nos calculs ? Y a-t-il dans la nature quelque objet familier, qui en est pour ainsi dire l'image indécise et grossière ?

Чаще всего математические определения, как это показал Лиар, суть целые построения, составленные при помощи простейших понятий. Но почему эти элементы соединены именно данным образом, когда возможна еще тысяча других способов соединения? Каприз ли это? А если нет, то почему данная комбинация имеет больше прав на существование, чем все прочие? Какой необходимости она отвечает? Как можно было предвидеть, что она сыграет важную роль в развитии науки, что она сократит наши суждения и наши вычисления? Существует ли в природе некоторый особый предмет, который является, так сказать, неясным и грубым прообразом такой комбинации?

Ce n'est pas tout ; si vous répondez à toutes ces questions d'une manière satisfaisante, nous verrons bien que le nouveau-né avait le droit d'être baptisé ; mais le choix du nom n'est pas non plus arbitraire : il faut expliquer par quelles analogies on a été guidé et que si l'on a donné des noms analogues à des choses différentes, ces choses du moins ne diffèrent que par la matière et se rapprochent par la forme ; que leurs propriétés sont analogues et pour ainsi dire parallèles.

Это не все. Если вы ответите на эти вопросы удовлетворительно, то мы увидим, что принятую комбинацию нужно окрестить каким-либо именем. Но выбор имени не является произвольным. Нужно объяснить, какими аналогиями руководились, избирая имя. Если же аналогичное имя присваивалось различным вещам, то нужно показать, что эти вещи отличаются между собой только материально, по форме же близки друг к другу, что их свойства подобны и, так сказать, параллельны.

C'est à ce prix qu'on pourra satisfaire toutes les tendances. Si l'énoncé est assez correct pour plaire an logicien, la justification contentera l'intuitif. Mais il y a mieux à faire encore ; toutes les fois que cela sera possible, la justification précédera l'énoncé et le préparera ; on sera conduit à l'énoncé général par l'étude de quelques exemples particuliers.

Вот какой ценой можно удовлетворить всем притязаниям. Если формулировка достаточно правильна, чтобы удовлетворить логика, то ее оправдание удовлетворит интуитивиста. Но лучше поступить иначе: необходимо, чтобы оправдание во всех случаях, когда это возможно, предшествовало формулировке и подготовляло ее; изучение нескольких частных примеров лучше всего приводит к общей формулировке.

Autre chose encore : chacune des parties de l'énoncé d'une définition a pour but de distinguer l'objet à définir d'une classe d'autres objets voisins. La définition ne sera comprise que quand vous aurez montré, non seulement l'objet défini, mais les objets voisins dont il convient de le distinguer, que vous aurez fait saisir la différence et que vous aurez ajouté explicitement : c'est pour cela qu'en énonçant la définition j'ai dit ceci ou cela.

Еще другое обстоятельство: каждая часть формулированного определения имеет целью установить отличие определяемого объекта от класса других близких предметов. Определение будет понято лишь тогда, когда вы покажете не только определяемый предмет, но и те соседние предметы, от которых его надобно отличать; когда вы сделаете явственным это отличие и при этом прибавите: "вот для чего я внес в определение то-то и то-то".

Mais il est temps de sortir des généralités et d'examiner comment les principes un peu abstraits que je viens d'exposer peuvent être appliqués en arithmétique, en géométrie, en analyse et en mécanique.

Теперь нам нужно перейти от общих суждений к исследованию вопроса, каким образом все изложенные мною несколько абстрактные принципы могут быть приложены в арифметике, геометрии, анализе и механике.

On n'a pas à définir le nombre entier ; en revanche, on définit d'ordinaire les opérations sur les nombres entiers ; je crois que les élèves apprennent ces définitions par cœur et qu'ils n'y attachent aucun sens. Il y a à cela deux raisons : d'abord on les leur fait apprendre trop tôt, quand leur esprit n'en éprouve encore aucun besoin ; puis ces définitions ne sont pas satisfaisantes au point de vue logique. Pour l'addition on ne saurait en trouver une bonne, tout simplement parce qu'il faut s'arrêter et qu'on ne saurait tout définir. Ce n'est pas définir l'addition que de dire qu'elle consiste à ajouter. Tout ce qu'on peut faire c'est de partir d'un certain nombre d'exemples concrets et de dire : l'opération que nous venons de faire s'appelle addition.

Нет нужды определять целое число; но зато обыкновенно определяют действия над целыми числами. Я предполагаю, что ученики выучивают определения наизусть и не связывают с ними никакого смысла. Для этого у меня есть два основания: во-первых, учеников заставляют заучивать определения слишком рано, когда их ум не чувствует в этом никакой потребности; во-вторых, даваемые им определения неудовлетворительны с логической точки зрения. Для сложения нельзя найти хорошее определение просто потому, что нельзя же все определить и необходимо где-нибудь остановиться. Сказать: "сложение заключается в прибавлении" - не значит дать определение. Все, что можно сделать, это взять за исходный пункт некоторое число конкретных примеров и сказать: "действие, которое мы сделали, называется сложением".

Pour la soustraction, c'est autre chose; on peut la définir logiquement comme l'opération inverse de l'addition ; mais est-ce par là qu'il faut commencer ? Là aussi il faut débuter par des exemples, montrer sur ces exemples la réciprocité des deux opérations ; la définition sera ainsi préparée et justifiée.

Иное дело при вычитании; его можно логически определить как действие, обратное сложению. Но следует ли с этого и начинать? И здесь надобно начать с примеров, выяснить на них взаимность этих двух действий; тогда определение будет и подготовлено и оправдано.

De même encore pour la multiplication ; on prendra un problème particulier ; on montrera qu'on peut le résoudre en additionnant plusieurs nombres égaux entre eux ; on fera voir ensuite qu'on arrive plus vite au résultat par une multiplication, l'opération que les élèves savent déjà faire par routine et la définition logique sortira de là tout naturellement.

То же самое нужно сказать об умножении. Надо взять частную задачу и показать на ней, что она может быть разрешена, если складывать между собой равные числа. Затем уже можно показать, что к такому же результату можно прийти посредством умножения, т. е. посредством действия, которое учениками уже усвоено, и тогда логическое определение выяснится само собой.

On définira la division comme l'opération inverse de la multiplication ; mais on commencera par un exemple emprunté à la notion familière de partage et on montrera sur cet exemple que la multiplication reproduit le dividende.

Деление необходимо определить как действие, обратное умножению; но начать нужно с примера, заимствованного из повседневного обихода, например с деления какого-нибудь предмета на равные доли, и на этом примере показать, что делимое получается посредством умножения.

Restent les opérations sur les fractions. Il n'y a de difficulté que pour la multiplication. Le mieux est d'exposer d'abord la théorie des proportions, c'est d'elle seulement que pourra sortir une définition logique ; mais pour faire accepter les définitions que l'on rencontre au début de cette théorie, il faut les préparer par de nombreux exemples, empruntés à des problèmes classiques de règles de trois, où l'on aura soin d'introduire des données fractionnaires. On ne craindra pas non plus de familiariser les élèves avec la notion de proportion par des images géométriques, soit en faisant appel à leurs souvenirs s'ils ont déjà fait de la géométrie, soit en ayant recours à l'intuition directe, s'ils n'en ont pas fait, ce qui les préparera d'ailleurs à en faire. J'ajouterai, enfin, qu'après avoir défini la multiplication des fractions, il faut justifier cette définition, en démontrant qu'elle est commutative, associative et distributive, et en faisant bien remarquer aux auditeurs qu'on fait cette constatation pour justifier la définition.

Остаются действия над дробями. Некоторые затруднения здесь представляет только умножение. Лучше изложить сначала теорию пропорций, так как только из нее можно извлечь логическое определение. Но для того, чтобы стали приемлемы те определения, которые встречаются в начале этой теории, необходимо предварительно воспользоваться многими примерами, заимствованными из классических задач на тройное правило, вводя в них дробные величины. Можно без боязни прибегать к геометрическим образам для ознакомления учеников с понятием о пропорции; для этого либо нужно вызвать в их памяти воспоминания, если они уже занимались геометрией, либо обращаться к их непосредственной интуиции, что, между прочим, подготовит их к занятию геометрией. Прибавлю, наконец, что, дав определение умножения дробей, необходимо оправдать это определение, показав, что умножение является действием переместительным, сочетательным и распределительным, а также указать при этом, что такое доказательство приводится для оправдания определения.

On voit quel rôle jouent dans tout ceci les images géométriques ; et ce rôle est justifié par la philosophie et l'histoire de la science. Si l'arithmétique était restée pure de tout mélange avec la géométrie, elle n'aurait connu que le nombre entier ; c'est pour s'adapter aux besoins de la géométrie qu'elle a inventé autre chose.

Отсюда видно, какую роль играют во всем этом геометрические образы, и эта роль оправдывается философией и историей науки. Если бы арифметика не имела никакой геометрической примеси, она знала бы только целые числа; для приспособления к нуждам геометрии она кроме них изобрела еще и нечто другое.

En géométrie nous rencontrons d'abord la notion de ligne droite. Peut-on définir la ligne droite ? La définition connue, le plus court chemin d'un point à un autre, ne me satisfait guère. Je partirais tout simplement de la règle et je montrerais d'abord à l'élève comment on peut vérifier une règle par retournement ; cette vérification est la vraie définition de la ligne droite ; la ligne droite est un axe de rotation. On lui montrerait ensuite à vérifier la règle par glissement et on aurait une des propriétés les plus importantes de la ligue droite. Quant à cette autre propriété d'être le plus court chemin d'un point à un autre, c'est un théorème qui peut être démontré apodictiquement, mais la démonstration est trop délicate pour pouvoir trouver place dans l'enseignement secondaire. Il vaudra mieux montrer qu'une règle préalablement vérifiée s'applique sur un fil tendu. Il ne faut pas redouter, en présence de difficultés analogues, de multiplier les axiomes, en les justifiant par des expériences grossières.

В геометрии мы встречаемся на первых же шагах с понятием о прямой линии. Можно ли определить прямую линию? Обычное определение ее как кратчайшего расстояния от одной точки до другой меня не удовлетворяет. Я исходил бы просто из линейки и показал бы ученику, как можно проверить линейку, повернув ее другой стороной, такая проверка есть истинное определение прямой линии: прямая линия - это ось вращения. Затем надобно ученику показать, что линейку можно проверить посредством скольжения, и при этом обнаружится одно из наиболее важных свойств прямой линии. Что же касается того свойства, что прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками, то это уже теорема, которая может быть доказана аподиктически (3), но это доказательство слишком тонко, чтобы найти себе место в курсе средней школы. Лучше было бы показать, что линейка, предварительно проверенная, налагается на натянутую проволоку. При всех затруднениях такого рода можно без опасений умножать число аксиом, оправдывая их даже на грубых примерах.

Ces axiomes, il faut bien en admettre, et si l'on en admet un peu plus qu'il n'est strictement nécessaire, le mal n'est pas bien grand ; l'essentiel est d'apprendre à raisonner juste sur les axiomes une fois admis. L'oncle Sarcey qui aimait à se répéter disait souvent qu'au théâtre le spectateur accepte volontiers tous les postulats qu'on lui impose au début, mais qu'une fois le rideau levé, il devient intransigeant sur la logique. Eh bien, c'est la même chose en mathématiques.

Некоторое число аксиом необходимо должно быть допущено, и если число их немного превосходит то, которое строго необходимо, то беда еще невелика. Главное - это научить правильно рассуждать при помощи раз допущенных аксиом. Дедушка Сарсей (4) часто говорил, что в театре зритель охотно принимает те постулаты, которые ему навязаны сначала, но раз занавес поднят, он становится неумолимым в своей логической требовательности. То же самое происходит в математике.

Pour le cercle, on peut partir du compas ; les élèves reconnaîtront du premier coup la courbe tracée ; on leur fera observer ensuite que la distance des deux pointes de l'instrument reste constante, que l'une de ces pointes est fixe et l'autre mobile, et on sera ainsi amené naturellement à la définition logique.

Для определения круга можно исходить из циркуля. Ученики с первого взгляда узнают начерченную кривую. Затем им покажут, что расстояние между двумя точками инструмента остается постоянным, что одна из этих точек неподвижна, а другая движется, и таким образом ученики естественно придут к логическому определению.

La définition du plan implique un axiome et il ne faut pas le dissimuler. Qu'on prenne une planche à dessin et que l'on fasse remarquer qu'une règle mobile s'applique constamment sur cette planche et cela en conservant trois degrés de liberté. On comparerait avec le cylindre et le cône, surfaces sur lesquelles on ne saurait appliquer une droite à moins de ne lui laisser que deux degrés de liberté ; puis, on prendrait trois planches à dessin ; on montrerait d'abord qu'elles peuvent glisser en restant appliquées l'une sur l'autre et cela avec 3 degrés de liberté ; et enfin pour distinguer le plan de la sphère, que deux de ces planches, applicables sur une troisième, sont applicables l'une sur l'autre.

Определение плоскости содержит в себе аксиому, этого не нужно скрывать. Возьмем рисовальную доску и покажем, что движущаяся линейка постоянно накладывается на эту плоскость, сохраняя при этом три степени свободы. Сравним затем плоскость с цилиндром и конусом, с поверхностями, на которые прямая может быть наложена только при сохранении двух степеней свободы. Возьмем далее три рисовальные доски и покажем сначала, что они, будучи наложены одна на другую, могут скользить при трех степенях свободы. И, наконец, чтобы установить различие между плоскостью и сферой, покажем, что две доски, накладывающиеся порознь на третью, накладываются также друг на друга.

Peut-être vous étonnerez-vous de cet incessant emploi d'instruments mobiles ; ce n'est pas là un grossier artifice, et c'est beaucoup plus philosophique qu'on ne le croit d'abord. Qu'est-ce que la géométrie pour le philosophe ? C'est l'étude d'un groupe, et quel groupe ? de celui des mouvements des corps solides. Comment alors définir ce groupe sans faire mouvoir quelques corps solides ?

Быть может, вас удивит это постоянное применение подвижных инструментов. Это не грубый прием, он более философский, чем это кажется с первого взгляда. Что такое геометрия для философа? Это изучение некоторой группы. Какой именно? Группы движений твердых тел. Каким же образом определить эту группу, не заставляя двигаться некоторые твердые тела?

Devons-nous conserver la définition classique des parallèles et dire qu'on appelle ainsi deux droites qui, situées dans le même plan, ne se rencontrent pas quelque loin qu'on les prolonge ? Non parce que cette définition est négative, parce qu'elle est invérifiable par l'expérience et ne saurait en conséquence être regardée comme une donnée immédiate de l'intuition. Non, surtout, parce qu'elle est totalement étrangère à la notion de groupe, à la considération du mouvement des corps solides qui est, comme je l'ai dit, la véritable source de la géométrie. Ne vaudrait-il pas mieux définir d'abord la translation rectiligne d'une figure invariable, comme un mouvement où tous les points de cette figure ont des trajectoires rectilignes ; montrer qu'une semblable translation est possible, en faisant glisser une équerre sur une règle ? De cette constatation expérimentale, érigée en axiome, il serait aisé de faire sortir la notion de parallèle et le postulatum d'Euclide lui-même.

Должны ли мы сохранить классическое определение параллельных линий и сказать, что параллельными называются такие прямые, которые расположены в одной плоскости и никогда не встречаются, сколько бы их ни продолжали? Нет, ибо это определение отрицательное, оно не может быть проверено опытом и не может быть, следовательно, рассматриваемо как непосредственное данное интуицией. Определение это не может быть сохранено особенно еще потому, что оно совершенно чуждо понятию о группе, чуждо идее о движении твердых тел, которая, как я уже сказал, является истинным источником геометрии. Не лучше ли определить сначала прямолинейное переносное движение какой-либо неизменяемой фигуры как такое движение, в котором все точки этой фигуры описывают прямолинейные траектории, показать, что подобное перемещение возможно, когда треугольник скользит по линейке? Из экспериментального констатирования этого факта, возведенного в аксиому, легко было бы вывести как понятие о параллельной прямой,так и сам евклидов постулат.

Je n'ai pas à revenir sur la définition de la vitesse, ou de l'accélération, ou des autres notions cinématiques ; on les rattachera avec avantage à celle de la dérivée.

Мне нет надобности останавливаться на определении скорости или ускорения, а также и других кинематических понятий; они с большим удобством могут быть отнесены к определению производной.

J'insisterai, au contraire, sur les notions dynamiques de force et de masse.

Я остановлюсь, напротив, на динамических понятиях о силе и массе.

Il y a une chose qui me frappe : c'est combien les jeunes gens qui ont reçu l'éducation secondaire sont éloignés d'appliquer au monde réel les lois mécaniques qu'on leur a enseignées. Ce n'est pas seulement qu'ils en soient incapables ; ils n'y pensent même pas. Pour eux le monde de la science et celui de la réalité sont séparés par une cloison étanche. Il n'est pas rare de voir un monsieur bien mis, probablement bachelier, assis dans une voiture et s'imaginant qu'il l'aide à avancer en poussant sur l'avant, et cela au mépris du principe de l'action et de la réaction.

Одна вещь меня поражает, а именно: сколь многие молодые люди, получившие среднее образование, далеки от того, чтобы применять к реальному миру те механические законы, которые им были преподаны. И это не только потому, что они к этому неспособны, но и потому, что об этом даже и не думают. Для них мир науки и мир реальности отделены друг от друга непроницаемой перегородкой. Нередко можно видеть господина, прилично одетого, вероятно, бакалавра, сидящего в карете и воображающего, что он помогает ей двигаться, толкая ее вперед, вопреки принципу действия и противодействия.

Si nous essayons d'analyser l'état d'âme de nos élèves, cela nous étonnera moins ; quelle est pour eux la véritable définition de la force ? non pas celle qu'ils récitent, mais celle qui, tapie dans un recoin de leur entendement, le dirige de là tout entier. Cette définition, la voici : les forces sont des flèches avec lesquelles on fait des parallélogrammes. Ces flèches sont des êtres imaginaires qui n'ont rien à faire avec rien de ce qui existe dans la nature. Cela n'arriverait pas, si on leur avait montré des forces dans la réalité avant de les représenter par des flèches.

Если мы попытаемся проанализировать душевное состояние наших учеников, то это нас менее удивит. Каково в их глазах настоящее определение силы? Не то определение, которое они произносят наизусть, но то скрытое в далеком углу их разума, которое из него всем управляет? Вот это определение: силы суть стрелы, при помощи которых составляются параллелограммы. Эти стрелы суть воображаемые существа, которые ничего общего не имеют с тем, что существует в природе. Но этого не случилось бы, если бы раньше, чем изображать силы при помощи стрелок, ученикам показали бы их в действительности.

Comment définir la force ? Une définition logique, il n'y en a pas de bonne, je crois l'avoir suffisamment montré ailleurs. Il y a la définition anthropomorphique, la sensation de l'effort musculaire ; celle-là est vraiment trop grossière et on n'en peut rien tirer d'utile.

Как же определить силу? Логическое определение, как я это показал в другом месте, вряд ли уместно. Есть определение антропоморфное: ощущение мускульного усилия, но оно поистине слишком грубо и ничего полезного из него извлечь нельзя.

Voici la marche qu'il faudra suivre : il faut d'abord, pour faire connaître le genre force, montrer l'une après l'autre toutes les espèces de ce genre ; elles sont bien nombreuses et elles sont bien diverses ; il y a la pression des fluides sur les parois des vases où ils sont enfermés ; la tension des fils ; l'élasticité d'un ressort ; la pesanteur qui agit sur toutes les molécules d'un corps ; les frottements ; l'action et la réaction mutuelle normale de deux solides au contact.

Вот тот путь, по которому нужно следовать. Для того чтобы познакомить с понятием силы, нужно показать в последовательном порядке все виды этого понятия. Эти виды очень многочисленны и разнообразны, както: давление жидкостей на стенки сосудов, в которых они заключаются; напряжение проволок; упругость пружины; тяжесть, которая действует на все молекулы тела; трение; взаимное нормальное действие и противодействие двух твердых тел, касающихся друг друга.

Ce n'est là qu'une définition qualitative ; il faut apprendre à mesurer la force. Pour cela on montrera d'abord que l'on peut remplacer une force par une autre sans troubler l'équilibre ; nous trouverons le premier exemple de cette substitution dans la balance et la double pesée de Borda. Nous montrerons ensuite qu'on peut remplacer un poids, non seulement par un autre poids, mais par des forces de nature différente : par exemple le frein de Prony nous permet de remplacer un poids par un frottement.

Это определение, конечно, только качественное. Нужно научиться измерять силу. Здесь надобно сначала показать, что можно одну силу заменить другой, не нарушая равновесия. Первый пример такой замены мы найдем в рычажных весах и в двойном взвешивании Борда (5). Мы покажем затем, что данный вес может быть заменен не только другим весом, но и силами, отличающимися по своей природе; например, нажим Прони (6) позволяет нам заменить вес трением.

De tout cela sort la notion de l'équivalence de deux forces.

Из всего этого вытекает понятие об эквивалентности двух сил.

Il faut définir la direction d'une force. Si une force F est équivalente à une autre force F' qui est appliquée au corps considéré par l'intermédiaire d'un fil tendu, de telle sorte que F puisse être remplacée par F' sans que l'équilibre soit troublé, alors le point d'attache du fil sera par définition le point d'application de la force F', et celui de la force équivalente F ; la direction du fil sera la direction de la force F' et celle de la force équivalente F.

Необходимо теперь определить направление силы. Если сила F эквивалентна другой силе F", приложенной к данному телу через посредство натянутой проволоки, так что сила F может быть заменена силой F" без всякого нарушения равновесия, то точка приложения проволоки будет, согласно определению, точкою приложения силы F" и, следовательно, эквивалентной силы F. Направление проволоки будет направлением силы F" и направлением эквивалентной силы F.

De là, on passera à la comparaison de la grandeur des forces. Si une force peut en remplacer deux autres de même direction, c'est qu'elle est égale à leur somme, on montrera par exemple qu'un poids de 20 grammes peut remplacer deux poids de 10 grammes.

Отсюда мы переходим к сравнению величины сил. Если одна сила может заместить две другие одного и того же направления, значит, она равна их сумме; показать это можно на примере с гирей в 20 граммов, замещавшей две гири по 10 граммов.

Est-ce suffisant ? Pas encore. Nous savons maintenant comparer l'intensité de deux forces qui ont même direction et même point d'application ; il faut apprendre à le faire quand les directions sont différentes. Pour cela, imaginons un fil tendu par un poids et passant sur une poulie ; nous dirons que la tension des deux brins du fil est la même et égale au poids tenseur.

Достаточно ли этого? Нет еще. Мы умеем сравнивать интенсивность двух сил, имеющих одно н то же направление и одну и ту же точку приложения. Нужно уметь производить сравнения и в том случае, когда направления различны. Для этого вообразим проволоку, перекинутую через блок и натянутую при помощи гири; мы скажем тогда, что натяжение обеих частей проволоки одинаково и равно весу натягивающего груза.

Voilà notre définition, elle nous permet de comparer les tensions de nos deux brins, et, en se servant des définitions précédentes, de comparer deux forces quelconques ayant même direction que ces deux brins. Il faut le justifier en montrant que la tension du dernier brin reste la même pour un même poids tenseur, quels que soient le nombre et la disposition des poulies de renvoi. Il faut la compléter ensuite en montrant que cela n'est vrai que si les poulies sont sans frottement.

Вот наше определение. Оно позволяет нам сравнить натяжение двух частей проволоки или нити и, пользуясь предыдущими определениями, сравнить любые две силы, имеющие то же направление, что и обе нити. Нужно оправдать его, показав, что натяжение второй части нити остается тем же при том же натягивающем весе, каковы бы ни были число и расположение направляющих блоков. Нужно дополнить еще это определение, указав, что оно верно лишь в тех случаях, когда блоки не производят трения.

Une fois maître de ces définitions, il faut faire voir que le point d'application, la direction et l'intensité suffisent pour déterminer une force ; que deux forces pour lesquelles ces trois éléments sont les mêmes sont toujours équivalentes et peuvent toujours être remplacées l'une par l'autre, soit dans l'équilibre, soit dans le mouvement, et cela quelles que soient les autres forces mises en jeu.

Дав эти определения, нужно показать, что точка приложения, направление и интенсивность достаточны для определения силы; что две силы, у коих эти три элемента одинаковы, всегда эквивалентны и всегда могут друг друга заменить как в состоянии равновесия, так и в состоянии движения, и притом независимо от других сил, привходящих в систему.

Il faut faire voir que deux forces concourantes peuvent toujours être remplacées par une résultante unique ; et que cette résultante reste la même, que le corps soit en repos ou en mouvement et quelles que soient les autres forces qui lui sont appliquées.

Нужно показать, что две сходящиеся силы всегда могут быть заменены одной равнодействующей и что эта равнодействующая остается одной и той же как в том случае, когда тело остается в покое, так и в случае его движения, и притом независимо от других приложенных к нему сил.

Il faut faire voir enfin que les forces définies comme nous venons de le faire satisfont au principe de l'égalité de l'action et de la réaction.

Нужно показать, наконец, что силы, определенные таким образом, как мы показали, удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия.

Tout cela, c'est l'expérience, et l'expérience seule qui peut nous l'apprendre.

Все это есть опыт, но только опыт и может нас этому научить.

Il suffira de citer quelques expériences vulgaires, que les élèves font tous les jours sans s'en douter, et d'exécuter devant eux un petit nombre d'expériences simples et bien choisies.

Достаточно привести несколько примеров из тех обычных действий, которые ученики без всяких колебаний производят ежедневно, и сделать на их глазах несколько простых и хорошо подобранных опытов.

C'est quand on aura passé par tous ces détours qu'on pourra représenter les forces par des flèches, et même je voudrais que, dans le développement des raisonnements, l'on revint de temps en temps du symbole à la réalité. Il ne serait pas difficile par exemple d'illustrer le parallélogramme des forces à l'aide d'un appareil formé de trois fils, passant sur des poulies, tendus par des poids et se faisant équilibre en tirant sur un même point.

Когда ученики прошли по всем этим обходным путям, можно перейти к изображению сил при помощи стрелок, но я считал бы желательным, чтобы воспитатели, развивая в учениках способность рассуждать, возвращались время от времени от символа к реальности. Не представит труда, например, иллюстрировать параллелограмм сил при помощи прибора, составленного из трех нитей, проходящих через блоки и натянутых посредством грузов, которые уравновешивают друг друга в одной и той же точке.

Connaissant la force, il est aisé de définir la masse ; cette fois la définition doit être empruntée à la dynamique ; il n'y a pas moyen de faire autrement, puisque le but à atteindre, c'est de faire comprendre la distinction entre la masse et le poids. Ici encore, la définition doit être préparée par des expériences ; il y a en effet une machine qui semble faite tout exprès pour montrer ce que c'est que la masse, c'est la machine d'Atwood ; on rappellera d'ailleurs les lois de la chute des corps, que l'accélération de la pesanteur est la même pour les corps lourds et pour les corps légers, et qu'elle varie avec la latitude, etc.

Зная силу, легко определить массу. На этот раз определение должно быть заимствовано из динамики. Иначе этого сделать нельзя, так как цель, которой здесь хотят достигнуть, заключается в уяснении различия между массой и весом. Здесь определение также должно быть подготовлено рядом опытов. У нас есть машина, которая, как будто, нарочно создана для того, чтобы показать, что такое масса, это - машина Атвуда. Затем следует напомнить о законах падения тел, о том, что ускорение тяжести остается одним и тем же для тяжелых и легких тел, что оно изменяется вместе с географической широтой и т. д.

Maintenant, si vous me dites que toutes les méthodes que je préconise sont depuis longtemps appliquées dans les lycées, je m'en réjouirai plus que je ne m'en étonnerai ; je sais que dans son ensemble notre enseignement mathématique est bon ; je ne désire pas qu'il soit bouleversé, j'en serais même désolé, je ne désire que des améliorations lentement progressives. Il ne faut pas que cet enseignement subisse de brusques oscillations au souffle capricieux de modes éphémères. Dans de pareilles tempêtes sombrerait bientôt sa haute valeur éducative. Une bonne et solide logique doit continuer à en faire le fond. La définition par l'exemple est toujours nécessaire, mais elle doit préparer la définition logique, elle ne doit pas la remplacer ; elle doit tout au moins la faire désirer, dans les cas où la véritable définition logique ne peut être donnée utilement que dans l'enseignement supérieur.

Если вы мне теперь скажете, что методы, которые я пропагандирую, давно уже применяются в лицеях, я буду более обрадован, чем удивлен. Я знаю, что в общем у нас обучение математике поставлено удовлетворительно. Я не хочу, чтобы оно было нарушено, это меня опечалило бы, я желаю лишь медленных прогрессивных улучшений. Это обучение не должно подвергаться крутым колебаниям и капризу преходящей моды. Его высокая воспитательная ценность померкла бы в такой буре. Здравая и прочная логика должна по-прежнему лежать в его основании. Определение, внушаемое при помощи примеров, всегда необходимо, но оно должно подготовлять определение, а не заменять его; оно должно по крайней мере выяснить желательность такого логического определения в тех случаях, когда это последнее с пользой для дела может быть дано лишь на ступени высшего обучения.

Vous avez bien compris que ce que j'ai dit aujourd'hui n'implique nullement l'abandon de ce que j'ai écrit ailleurs. J'ai eu souvent l'occasion de critiquer certaines définitions que je préconise aujourd'hui. Ces critiques subsistent tout entières. Ces définitions ne peuvent être que provisoires. Mais c'est par elles qu'il faut passer.

Вы, конечно, понимаете, что изложенными соображениями я отнюдь не отказываюсь от того, что писал раньше. Я часто имел случай критиковать некоторые определения, которые я теперь сам же предлагаю. Эта критика сохраняет всю свою силу. Определения, о которых идет речь, могут быть только предварительными. Но пройти через эти определения необходимо.

Les mathématiques peuvent-elles être réduites la logique sans avoir à faire appel à des principes qui leur soient propres ? Il y a toute une école, pleine d'ardeur et de foi, qui s'efforce de l'établir. Elle a son langage spécial où il n'y a plus de mots et où on ne fait usage que de signes. Ce langage n'est compris que de quelques initiés, de sorte que les profanes sont disposés à s'incliner devant les affirmations tranchantes des adeptes. Il n'est peut-être pas inutile d'examiner ces affirmations d'un peu près, afin de voir si elles justifient le ton péremptoire avec lequel elles sont présentées.

Можно ли математику свести к логике, не обращаясь предварительно к тем принципам, которые ей, математике, свойственны? Существует школа математиков, которая со всей страстью и верой в дело стремится доказать это. Она выработала специальный язык, в котором нет больше слов, а имеются одни только знаки. Этот язык понятен только немногим посвященным, так что профаны склонны преклоняться перед категорическими утверждениями горячих адептов. Небесполезно, однако, ближе исследовать эти утверждения, чтобы убедиться, насколько оправдывается тот категорический тон, с которым они высказываются.

Mais pour bien faire comprendre la nature de la question, il est nécessaire d'entrer dans quelques détails historiques et de rappeler en particulier le caractère des travaux de Cantor.

Но чтобы понять сущность вопроса, необходимо познакомиться с историческими деталями дела и в особенности вспомнить характер работ Кантора.

Depuis longtemps la notion d'infini avait été introduite en mathématiques ; mais cet infini était es que les philosophes appellent un devenir. L'infini mathématique n'était qu'une quantité susceptible de croître au delà de toute limite ; c'était une quantité variable dont on ne pouvait pas dire qu'elle avait dépassé toutes les limites, mais seulement qu'elle les dépasserait.

Понятие бесконечности уже давно было введено в математику. Но эта бесконечность была такой, какую философы называют потенциальной. В математике бесконечность обозначала количество, способное расти выше или ниже какого бы то ни было предела; это было изменяющееся количество, о котором можно было сказать, что оно перейдет все пределы, но нельзя было сказать, что оно их перешло.

Cantor a entrepris d'introduire en mathématiques un infini actuel, c'est-à-dire une quantité qui n'est pas seulement susceptible de dépasser toutes les limites, mais qui est regardée comme les ayant déjà dépassées. Il s'est posé des questions telles que celles-ci : Y a-t-il plus de points dans l'espace que de nombres entiers ? Y a-t-il plus de points dans l'espace que de points dans un plan ? etc.

Кантор решил ввести в математику актуальную бесконечность, т. е. количество, не только способное перейти все пределы, но уже перешедшее через них. Он поставил себе вопросы вроде следующих: существует ли больше точек в пространстве, чем целых чисел? Существует ли больше точек в пространстве, чем точек на плоскости? И так далее.

Et alors le nombre des nombres entiers, celui des points dans l'espace, etc., constitue ce qu'il appelle un nombre cardinal transfini, c'est-à-dire un nombre cardinal plus grand que tous les nombres cardinaux ordinaires. Et il s'est amusé à comparer ces nombres cardinaux transfinis ; en rangeant dans un ordre convenable les éléments d'un ensemble qui en contient une infinité, il a imaginé aussi ce qu'il appelle des nombres ordinaux transfinis sur lesquels je n'insisterai pas.

Число целых чисел, число точек в пространстве и т. д. составляет то, что Кантор назвал кардинальным трансфинитным числом, т. е. таким количественным числом, которое больше всех обыкновенных количественных чисел. Кантор затем занялся сравнением этих кардинальных трансфинитных чисел. Размещая в соответствующем порядке элементы в совокупности, составленной из бесконечного числа таких элементов, он изобрел так называемые порядковые трансфинитные числа, на которых я не буду здесь останавливаться.

De nombreux mathématiciens se sont lancés sur ses traces et se sont posé une série de questions de même genre. Ils se sont tellement familiarisés avec les nombres transfinis qu'ils en sont arrivés à faire dépendre la théorie des nombres finis de celle des nombres cardinaux de Cantor. A leurs yeux, pour enseigner l'arithmétique d'une façon vraiment logique, on devrait commencer par établir les propriétés générales des nombres cardinaux transfinis, puis distinguer parmi eux une toute petite classe, celle des nombres entiers ordinaires. Grâce à ce détour on pourrait arriver à démontrer toutes les propositions relatives à cette petite classe (c'est-à-dire toute notre arithmétique et notre algèbre) sans se servir d'aucun principe étranger à la logique.

Многие математики последовали за Кантором и поставили ряд аналогичных вопросов. Они в такой степени освоились с трансфинитными числами, что готовы поставить теорию конечных чисел в зависимость от теории кардинальных чисел Кантора. По их мнению, чтобы вести преподавание арифметики по действительно логическому методу, необходимо начать с установления общих свойств кардинальных трансфинитных целых чисел, а затем выделить из них очень небольшой класс обыкновенных целых чисел. Этим способом можно было бы достигнуть цели, т. е. доказать все предложения, относящиеся к этому небольшому классу (т. е. всю нашу арифметику и нашу алгебру), не прибегая ни к какому началу, лежащему вне логики.

Cette méthode est évidemment contraire à toute saine psychologie ; ce n'est certainement pas comme cela que l'esprit humain a procédé pour construire les mathématiques ; aussi ses auteurs ne songent-ils pas, je pense, à l'introduire dans l'enseignement secondaire. Mais est-elle du moins logique, ou pour mieux dire est-elle correcte ? Il est permis d'en douter.

Этот метод, очевидно, противоречит всякой здоровой психологии. Конечно, не этим путем шел человеческий ум, создавая математику; и адепты нового метода, я полагаю, не думают ввести его на ступени среднего образования. Но по крайней мере логичен ли этот метод или, лучше сказать, безошибочен ли он? В этом можно усомниться.

Les géomètres qui l'ont employée sont cependant fort nombreux. Ils ont accumulé les formules et ils ont cru s'affranchir de ce qui n'était pas la logique pure en écrivant des mémoires où les formules n'alternent plus avec le discours explicatif comme dans les livres de mathématiques ordinaires, mais où ce discours a complètement disparu.

Однако геометры, пользовавшиеся этим методом, очень многочисленны. Они собрали массу формул. Написав мемуары, в которых формулы не чередовались со словесными объяснениями, как это делается в обыкновенных математических книгах, а в которых, следовательно, такие объяснения совершенно отсутствуют, они вообразили, что освободились от всего того, что не представляет собой чистой логики.

Malheureusement, ils sont arrivés à des résultats contradictoires, c'est ce qu'on appelle les antinomies cantoriennes, sur lesquelles nous aurons l'occasion de revenir. Ces contradictions ne les ont pas découragés et ils se sont efforcés de modifier leurs règles de façon à faire disparaître celles qui s'étaient déjà manifestées, sans être assurés pour cela qu'il ne s'en manifesterait plus de nouvelles.

К несчастью, они пришли к противоречивым результатам. Это так называемые антиномии Кантора, к которым мы еще вернемся. Эти противоречия, однако, их не обескуражили, и они попытались внести такие изменения в свои правила, при которых обнаружившиеся уже противоречия исчезли; но мы при этом не приобрели уверенности в том, что не обнаружатся новые противоречия.

Il est temps de faire justice de ces exagérations. Je n'espère pas les convaincre ; car ils ont trop longtemps vécu dans cette atmosphère. D'ailleurs, quand on a réfuté une de leurs démonstrations, on est sûr de la voir renaître avec des changements insignifiants, et quelques-unes d'entre elles sont déjà ressorties plusieurs fois de leurs cendres. Telle autrefois l'hydre de Lerne avec ses fameuses têtes qui repoussaient toujours. Hercule s'en est tiré parce que son hydre n'avait que neuf têtes, à moins que ce ne soit onze ; mais ici il y en a trop, il y en a en Angleterre, en Allemagne, en Italie, en France, et il devrait renoncer à la partie. Je ne fais donc appel qu'aux hommes de bon sens sans parti pris.

Настало время для справедливой оценки этих преувеличений. Я не надеюсь убедить упомянутых математиков: слишком долго дышали они своей атмосферой. Да и, кроме того, если вы опровергли одно из их доказательств, вы можете быть уверены, что оно возродится лишь в слегка измененном виде. Некоторые из доказательств уже несколько раз возрождались из пепла, наподобие той лернейской гидры (1),y которой вырастали новые головы. Геркулес выпутался из затруднения, потому что его гидра имела девять голов, если не одиннадцать; но здесь слишком много голов: они имеются в Англии, в Германии, в Италии, во Франции, и Геркулес должен был бы отказаться от состязания. Я обращаюсь поэтому только к непредубежденным людям, обладающим здравым смыслом.

Dans ces dernières années de nombreux travaux ont été publiés sur les mathématiques pures et la philosophie des mathématiques, en vue de dégager et d'isoler les éléments logiques du raisonnement mathématique. Ces travaux ont été analysés et exposés très clairement ici-même par M. Couturat dans un ouvrage intitulé : les Principes des Mathématiques.

В последние годы появилось много трудов, посвященных чистой математике и философии математики, имевших своей задачей выделить и изолировать логические элементы математического рассуждения. Эти труды были ясно изложены и исследованы в работе Кутюра, озаглавленной: "Основания математических наук".

Pour M. Couturat, les travaux nouveaux, et en particulier de MM. Russell et Péano, ont définitivement tranché le débat, depuis si longtemps pendant entre Leibnitz et Kant. Ils ont montré qu'il n'y a pas de jugement synthétique a priori (comme disais Kant pour désigner les jugements qui ne peuvent être démontrés analytiquement), ils ont montré que les mathématiques sont entièrement réductibles à la logique et que l'intuition n'y joue aucun rôle.

По мнению Кутюра, новейшие труды, в особенности работы Рассела и Пеано, окончательно разрешили давний спор между Лейбницем и Кантом (2). Они показали, что не существует синтетического априорного суждения (этим именем Кант называл суждения, которые не могут быть ни доказаны аналитически, ни сведены к тождествам, ни установлены экспериментально); они показали, что математические науки целиком могут быть сведены к логике и что интуиция не играет в них никакой роли.

Все это Кутюра изложил в названном выше сочинении. Еще отчетливее высказал он это в речи, произнесенной на юбилее Канта, высказал так убедительно, что мой сосед сказал в полголоса: "мы видим ясно, что истекло столетие со дня смерти Канта".

Pouvons-nous souscrire à cette condamnation définitive ? Je ne le crois pas et je vais essayer de montrer pourquoi.

Можем ли мы подписаться под этим решительным приговором? Я этого не думаю и постараюсь ниже показать, почему я этого не думаю.

Ce qui nous frappe d'abord dans la nouvelle mathématique, c'est son caractère purement formel : " Pensons, dit Hilbert, trois sortes de choses que nous appellerons points, droites et plans, convenons qu'une droite sera déterminée par deux points et qu'au lieu de dire que cette droite est déterminée par ces deux points, nous pourrons dire qu'elle passe par ces deux points ou que ces deux points sont situés sur cette droite. " Que sont ces choses, non seulement nous n'en savons rien, mais nous ne devons pas chercher à le savoir. Nous n'en avons pas besoin, et quelqu'un, qui n'aurait jamais vu ni point, ni droite, ni plan pourrait faire de la géométrie tout aussi bien que nous. Que le mot passer par, ou le mot être situé sur ne provoquent en nous aucune image, le premier est simplement synonyme de être déterminé et le second de déterminer.

Что нам сразу бросается в глаза в новой математике, так это ее чисто формальный характер, "Вообразим, - говорит Гильберт, - три рода вещей, которые мы назовем точками, прямыми и плоскостями; условимся, что прямая будет определяться двумя точками, и вместо того, чтобы сказать, что данная прямая определяется данными двумя точками, мы будем говорить, что она проходит через эти две точки или что эти две точки расположены на этой прямой". Что это за вещи, мы не только не знаем, но и не должны стремиться узнать. Нам этого не нужно, и всякий, кто никогда не видел ни точки, ни прямой, ни плоскости, так же легко мог бы построить геометрию, как и мы. Слова "проходят через" или "расположены на" не должны вызывать у нас никакого образа, ибо первые являются синонимом слова "определяться", вторые - синонимом слова "определять".

Ainsi c'est bien entendu, pour démontrer un théorème, il n'est pas nécessaire ni même utile de savoir ce qu'il veut dire. On pourrait remplacer le géomètre par le piano à raisonner imaginé par Stanley Jevons ; ou, si l'on aime mieux, on pourrait imaginer une machine où l'on introduirait les axiomes par un bout pendant qu'on recueillerait les théorèmes à l'autre bout, comme cette machine légendaire de Chicago où les porcs entrent vivants et d'où ils sortent transformés en jambons et en saucisses. Pas plus que ces machines, le mathématicien n'a besoin de comprendre ce qu'il fait.

Таким образом, для доказательства теоремы не нужно и даже бесполезно знать, что она хочет сказать. Геометра можно было бы заменить "логической машиной", выдуманной Стенли Джевонсом. Или, если угодно, можно было бы выдумать машину, в которую через один конец были бы введены аксиомы, а в другом конце ее были бы собраны теоремы, наподобие той легендарной машины в Чикаго, в которую вкладывают живых поросят и из которой извлекают окорока и сосиски. Математик, как и эта машина, отнюдь не должен понимать, что он делает.

Ce caractère formel de sa géométrie, je n'en fais pas un reproche à Hilbert. C'était là qu'il devait tendre, étant donné le problème qu'il se posait. Il voulait réduire au minimum le nombre des axiomes fondamentaux de la géométrie et en faire l'énumération complète ; or dans les raisonnements où notre esprit reste actif, dans ceux où l'intuition joue encore un rôle, dans les raisonnements vivants, pour ainsi dire, il est difficile de ne pas introduire un axiome ou un postulat qui passe inaperçu. Ce n'est donc qu'après avoir ramené tous les raisonnements géométriques à une forme purement mécanique, qu'il a pu être certain d'avoir réussi dans son dessein et d'avoir achevé son œuvre.

Я не ставлю в вину Гильберту этот формальный характер его геометрии. Он должен был прийти к ней, разрешая ту проблему, которую он себе ставил. Он хотел довести до минимума число основных аксиом геометрии и перечислить их все без остатка. Но в тех суждениях, в которых наш ум обнаруживает активность, в которых интуиция еще играет роль, трудно отделаться от внесения постулата или аксиомы, которые незаметно входят в суждение. Лишь в случае, если бы все геометрические суждения приняли чисто механическую форму, Гильберт мог бы быть уверенным в том, что он исполнил свое намерение и успешно закончил свою задачу.

Ce que Hilbert avait fait pour la géométrie, d'autres ont voulu le faire pour l'arithmétique et pour l'analyse. Si même ils y avaient entièrement réussi, les Kantiens seraient-ils définitivement condamnés au silence ? Peut-être pas, car en réduisant la pensée mathématique à une forme vide, il est certain qu'on la mutile. Admettons même que l'on ait établi que tous les théorèmes peuvent se déduire par des procédés purement analytiques, par de simples combinaisons logiques d'un nombre fini d'axiomes, et que ces axiomes ne sont que des conventions. Le philosophe conserverait le droit de rechercher les origines de ces conventions, de voir pourquoi elles ont été jugées préférables aux conventions contraires.

То, что Гильберт сделал в геометрии, другие захотели сделать в арифметике и в анализе. Однако если бы они в этом даже и успели, то разве кантианцы были бы осуждены на полное молчание? Может быть, и нет, ибо когда мы сообщаем математической мысли пустую форму, эта мысль, конечно, подвергается искажению. Допустим даже, что удалось установить, что все теоремы могут быть выведены из конечного числа аксиом путем чисто аналитических приемов, путем простых логических комбинаций, и что эти аксиомы суть не что иное, как соглашения. Философ, однако, сохранил бы за собой право исследовать происхождение этих условий и определить, почему эти условия оказались предпочтительными перед противоположными им.

Et puis la correction logique des raisonnements qui mènent des axiomes aux théorèmes n'est pas la seule chose dont nous devions nous préoccuper. Les règles de la parfaite logique sont-elles toute la mathématique ? Autant dire que tout l'art du joueur d'échecs se réduit aux règles de la marche des pièces. Parmi toutes les constructions que l'on peut combiner avec les matériaux fournis par la logique, il faut faire un choix ; le vrai géomètre fait ce choix judicieusement parce qu'il est guidé par un sûr instinct, ou par quelque vague conscience de je ne sais quelle géométrie plus profonde, et plus cachée, qui seule fait le prix de l'édifice construit.

Кроме того, не одна только логическая правильность суждений, ведущих от аксиом к теоремам, должна нас занимать. Разве вся математика исчерпывается правилами совершенной логики? Это было бы все равно, как если бы мы сказали, что все искусство шахматного игрока сводится к правилам хода пешек. Из всех построений, которые могут быть скомбинированы из материалов, доставляемых логикой, нужно сделать выбор. Настоящий геометр и производит этот выбор здраво, руководствуясь верным инстинктом или же некоторым смутным сознанием о - я не знаю какой именно - более глубокой и более скрытой геометрии, которая одна и составляет ценность воздвигнутого здания.

Chercher l'origine de cet instinct, étudier les lois de cette géométrie profonde qui se sentent et ne s'énoncent pas, ce serait encore une belle tâche pour les philosophes qui ne veulent pas que la logique soit tout. Mais ce n'est pas à ce point de vue que je veux me placer, ce n'est pas ainsi que je veux poser la question. Cet instinct dont nous venons de parler est nécessaire à l'inventeur, mais il semble d'abord qu'on pourrait s'en passer pour étudier la science une fois créée. Eh bien, ce que je veux rechercher, c'est s'il est vrai qu'une fois admis les principes de la logique, on peut je ne dis pas découvrir, mais démontrer toutes les vérités mathématiques sans faire de nouveau appel à l'intuition.

Искать происхождение этого инстинкта, изучать законы этой глубокой геометрии, которые чувствуются, но словесно не форму лируются - вот прекрасная задача для философов, которые не допускают, что логикой исчерпывается все. Но не на эту точку зрения хочу я стать, не так хочу я ставить вопрос. Инстинкт о котором мы только что говорили, необходим изобретателю, но на первый взгляд кажется, будто при изучении уже созданной науки можно обойтись и без него. И вот я хочу исследовать, можно ли, приняв однажды принципы логики, я уж не говорю открыть, но даже доказать все математические истины, не прибегая снова к интуиции.

A cette question, j'avais autrefois répondu que non (Voir Science et Hypothèse, chapitre I^er) ; notre réponse doit-elle être modifiée par les travaux récents ? Si j'avais répondu non, c'est parce que " le principe d'induction complète " me paraissait à la fois nécessaire au mathématicien et irréductible à la logique. On sait quel est l'énoncé de ce principe :

На этот вопрос я однажды уже дал отрицательный ответ (см. "Наука и гипотеза", глава I). Должен ли я этот ответ изменить ввиду появившихся новых трудов? Если я в то время ответил отрицательно, то это потому, что "принцип совершенной индукции" казался мне, с одной стороны, необходимым для математика, а с другой стороны, не сводимым к логике. Известно, что этот принцип заключается в следующем.

" Si une propriété est vraie du nombre 1, et si l'on établit qu'elle est vraie de n + 1 pourvu qu'elle le soit de n, elle sera vraie de tous les nombres entiers. "

"Если какое-либо свойство справедливо относительно числа 1 и если установлено, что оно справедливо относительно числа n+1, коль скоро оно справедлво относительно числа n, то оно будет верно для всех целых чисел".

J'y voyais le raisonnement mathématique par excellence. Je ne voulais pas dire, comme on l'a cru, que tous les raisonnements mathématiques peuvent se réduire à une application de ce principe. En examinant ces raisonnements d'un peu près, on y verrait appliqués beaucoup d'autres principes analogues, présentant les mêmes caractères essentiels. Dans cette catégorie de principes, celui de l'induction complète est seulement le plus simple de tous et c'est pour cela que je l'ai choisi pour type.

В этом я по преимуществу видел математическое суждение. Я не хотел этим сказать, как некоторые это думали, что все математические суждения могут быть сведены к приложению этого принципа. Исследуя эти суждения ближе, можно заметить, что в них применяются многие другие аналогичные принципы, обладающие теми же существенными признаками. В их ряду принцип полной индукции является лишь простейшим, и вот почему я остановился на нем как на типичном.

Le nom de principe d'induction complète qui a prévalu n'est pas justifié. Ce mode de raisonnement n'en est pas moins une véritable induction mathématique qui ne diffère de l'induction ordinaire que par sa certitude.

Название принципа совершенной индукции, упрочившееся за этой формой суждения, не может быть признано правильным. Этот способ суждения представляет настоящую математическую индукцию, которая отличается от обыкновенной индукции только степенью своей достоверности.

L'existence de pareils principes est une difficulté pour les logiciens intransigeants ; comment prétendent-ils s'en tirer ? Le principe d'induction complète, disent-ils, n'est pas un axiome proprement dit ou un jugement synthétique a priori ; c'est tout simplement la définition du nombre entier. C'est donc une simple convention. Pour discuter cette manière de voir, il nous faut examiner d'un peu près les relations entre les définitions et les axiomes.

Существование подобных принципов ставит непримиримых логиков в затруднительное положение. Но как думают они выпутаться из него? Принцип полной индукции, говорят они, не есть аксиома в собственном смысле слова или априорное синтетическое суждение, он есть просто определение целого числа. Следовательно, этот принцип является простым соглашением. Чтобы разобраться в этой точке зрения, нужно подробнее исследовать отношения между определениями и аксиомами.

Reportons-nous d'abord à un article de M. Couturat sur les définitions mathématiques, qui a paru dans l'Enseignement mathématique, revue publiée chez Gauthier-Villars et chez Georg à Genève. Nous y verrons une distinction entre la définition directe et la définition par postulats.

Обратимся сначала к статье Кутюра о математических определениях, появившейся в выходящем в Женеве журнале "Математическое образование". Мы найдем здесь различие между прямым определением и определением при помощи постулатов.

" La définition par postulats, dit M. Couturat, s'applique, non à une seule notion, mais à un système de notions ; elle consiste à énumérer les relations fondamentales qui les unissent et qui permettent de démontrer toutes leurs autres propriétés ; ces relations sont des postulats... "

"Определение при помощи постулатов, - говорит Кутюра, - применяется не к одному понятию, а к системе понятий; оно заключается в перечислении основных соотношений, их связывающих и позволяющих доказать все прочие их свойства; эти соотношения и суть постулаты"...

Si l'on a défini préalablement toutes ces notions, sauf une, alors cette dernière sera par définition l'objet qui vérifie ces postulats.

Если предварительно были определены все эти понятия, за исключением одного, то это последнее и будет по определению тем объектом, который проверяет эти постулаты.

Ainsi certains axiomes indémontrables des mathématiques ne seraient que des définitions déguisées. Ce point de vue est souvent légitime ; et je l'ai admis moi-même en ce qui concerne par exemple le postulatum d'Euclide.

Итак, некоторые недоказуемые аксиомы математики суть лишь скрытые определения. Такая точка зрения часто правомерна, и я сам ее принял, когда шел вопрос, например, о постулате Евклида.

Les autres axiomes de la géométrie ne suffisent pas pour définir complètement la distance ; la distance sera alors, par définition, parmi toutes les grandeurs qui satisfont à ces autres axiomes, celle qui est telle que le postulatum d'Euclide soit vrai.

Другие аксиомы геометрии недостаточны для полного определения расстояния между двумя точками. Ввиду этого из всех величин, удовлетворяющих этим остальным аксиомам, расстояние будет по определению той именно величиной, которая удовлетворяет постулату Евклида.

Eh bien, les logiciens admettent pour le principe d'induction complète, ce que j'admets pour le postulatum d'Euclide, ils ne veulent y voir qu'une définition déguisée.

Так вот логики в применении к принципу совершенной индукции допускают то же самое, что я допускаю относительно постулата Евклида; они хотят видеть в этом принципе только скрытое определение.

Mais pour qu'on ait ce droit, il y a deux conditions à remplir. Stuart Mill disait que toute définition implique un axiome, celui par lequel on affirme l'existence de l'objet défini. A ce compte, ce ne serait plus l'axiome qui pourrait être une définition déguisée, ce serait au contraire la définition qui serait un axiome déguisé. Stuart Mill entendait le mot existence dans un sens matériel et empirique ; il voulait dire qu'en définissant le cercle, on affirme qu'il y a des choses rondes dans la nature.

Но они вправе это сделать лишь при двух условиях. Стюарт Милль сказал, что всякое определение заключает в себе одну аксиому, а именно ту, которая утверждает существование определяемого объекта. В таком случае не аксиома будет скрытым определением, а, напротив, определение будет скрытой аксиомой. Милль понимал слово "существование" в эмпирическом и материальном смысле слова. Он хотел сказать, что, определяя крут, утверждают тем самым, что в природе имеются круглые предметы.

Sous cette forme, son opinion est inadmissible. Les mathématiques sont indépendantes de l'existence des objets matériels ; en mathématiques le mot exister ne peut avoir qu'un sens, il signifie exempt de contradiction. Ainsi rectifiée, la pensée de Stuart Mill devient exacte ; en définissant un objet, on affirme que la définition n'implique pas contradiction.

В таком виде его мнение неприемлемо. Математика не зависит от существования материальных объектов. В математике слово "существующее" имеет только один смысл и обозначает: "свободное от противоречия". При такой поправке мысль Стюарта Милля становится точной; определяя какой-нибудь объект, мы утверждаем, что определение не заключает противоречия.

Si nous avons donc un système de postulats, et si nous pouvons démontrer que ces postulats n'impliquent pas contradiction, nous aurons le droit de les considérer comme représentant la définition de l'une des notions qui y figurent. Si nous ne pouvons pas démontrer cela, il faut que nous l'admettions sans démonstration et cela sera alors un axiome ; de sorte que si nous voulions chercher la définition sous le postulat, nous retrouverions encore l'axiome sous la définition.

Если, следовательно, мы имеем систему постулатов и если мы можем доказать, что эти постулаты не заключают противоречия, то мы вправе рассматривать их как определения одного из тех понятий, которые фигурируют в этой системе предложений. Если мы этого доказать не можем, то мы допускаем понятие без доказательства. Тогда мы имеем аксиюму; и если мы искали определение в постулатах, то мы обратно находим аксиому в определении.

Le plus souvent, pour démontrer qu'une définition n'implique pas contradiction, on procède par l'exemple, on cherche à former un exemple d'un objet satisfaisant à la définition. Prenons le cas d'une définition par postulats ; nous voulons définir une notion A, et nous disons que, par définition, un A, c'est tout objet pour lequel certains postulats sont vrais. Si nous pouvons démontrer directement que tous ces postulats sont vrais d'un certain objet B, la définition sera justifiée ; l'objet B sera un exemple d'un A. Nous serons certains que les postulats ne sont pas contradictoires, puisqu'il y a des cas où ils sont vrais tous à la fois.

Чаще всего, для того чтобы доказать, что определение не заключает противоречия, прибегают к методу примеров: пытаются создать пример предмета, удовлетворяющий определению. Возьмем определение, выражаемое при помощи постулатов. Мы хотим определить понятие А и говорим, что, согласно определению, А есть всякий предмет, для которого известные постулаты истинны. Если мы можем прямо доказать, что все эти постулаты истинны дли известного предмета В, то определение будет оправдано, и предмет В будет примером понятия А. Мы будем уверены, что постулаты непротиворечивы, так как имеются случаи, в которых все они оказываются истинными.

Mais une pareille démonstration directe par l'exemple n'est pas toujours possible.

Но такое прямое доказательство при помощи примера не всегда возможно.

Pour établir que les postulats n'impliquent pas contradiction, il faut alors envisager toutes les propositions que l'on peut dédire de ces postulats considérés comme prémisses et montrer que, parmi ces propositions, il n'y en a pas deux dont l'une soit la contradictoire de l'autre. Si ces propositions sont en nombre fini, une vérification directe est possible. Ce cas est peu fréquent et d'ailleurs peu intéressant.

Чтобы установить, что постулаты не содержат в себе противоречия, нужно рассмотреть все предложения, которые могут быть выведены из данных постулатов как посылок, и показать, что среди этих предложений нет двух, противоречащих друг другу. Если число этих предложений конечное, то прямая проверка возможна. Но такой случай и встречается редко, и интереса не представляет.

Si ces propositions sont en nombre infini, on ne peut plus faire cette vérification directe ; il faut recourir à des procédés de démonstration où en général on sera forcé d'invoquer ce principe d'induction complète qu'il s'agit précisément de vérifier.

Если же число этих предложений оказывается неограниченным, то прямая проверка уже невозможна. Тогда необходимо обратиться к таким способам доказательства, в которых вообще нельзя обойтись без принципа полной индукции, т. е. того принципа, кото-рый именно и надлежит проверить.

Nous venons d'expliquer l'une des conditions auxquelles les logiciens devaient satisfaire et nous verrons plus loin qu'ils ne l'ont pas fait.

Мы указали на одно условие, которому логики должны были удовлетворить, и мы увидим ниже, что они ему не удовлетворили.

Il y en a une seconde. Quand nous donnons une définition, c'est pour nous en servir.

Есть еще другое условие. Если мы даем определение, то мы делаем это для того, чтобы им пользоваться.

Nous retrouverons donc dans la suite du discours le mot défini ; avons-nous le droit d'affirmer, de l'objet représenté par ce mot, le postulat qui a servi de définition ? Oui, évidemment, si le mot a conservé son sens, si nous ne lui attribuons pas implicitement un sens différent. Or c'est ce qui arrive quelquefois et il est le plus souvent difficile de s'en apercevoir ; il faut voir comment ce mot s'est introduit dans notre discours, et si la porte par laquelle il est entré n'implique pas en réalité une autre définition que celle qu'on a énoncée.

В пределах некоторого рассуждения, например, мы неоднократно встречаемся с определяемым словом. Возникает вопрос: вправе ли мы в отношении к предмету, который мы в этом рассуждении называем нашим термином, утверждать тот постулат, который послужил для его определения? Очевидно, вправе, если термин сохранил свой смысл, если мы неявно (implicite) не приписали ему другого значения. Но иногда такое изменение смысла имеет место и при этом чаще всего остается незамеченным. Необходимо убедиться, каким путем это слово проникло в наше рассуждение, не вошло ли оно в другом определении, отличающемся от того, которое было формулировано первоначально.

Cette difficulté se présente dans toutes les applications des mathématiques. La notion mathématique a reçu une définition très épurée et très rigoureuse ; et pour le mathématicien pur toute hésitation a disparu ; mais si on veut l'appliquer aux sciences physiques par exemple, ce n'est plus à cette notion pure que l'on a affaire, mais à un objet concret qui n'en est souvent qu'une image grossière. Dire que cet objet satisfait, au moins approximativement, à la définition, c'est énoncer une vérité nouvelle, que l'expérience peut seule mettre hors de doute, et qui n'a plus le caractère d'un postulat conventionnel.

Это затруднение встречается во всех приложениях математического знания. Математическое понятие получило вполне чистое и строгое определение, которое не возбуждает никаких колебаний в чистой математике. Но, когда мы его применяем, например, к физическим наукам, тут мы уже имеем дело не с этим чистым понятием, но с конкретным предметом, который зачастую является лишь грубым образом этого понятия. Сказать, что этот предмет удовлетворяет, хотя бы приблизительно, определению, это значит высказать новую истину, которая может быть подтверждена только опытом и которая уже не имеет характера условного постулата.

Mais, sans sortir des mathématiques pures, on rencontre encore la même difficulté.

Но то же затруднение встречается и в пределах чистой математики.

Vous donnez du nombre une définition subtile ; puis, une fois cette définition donnée, vous n'y pensez plus ; parce qu'en réalité, ce n'est pas elle qui vous a appris ce que c'était que le nombre, vous le saviez depuis longtemps, et quand le mot nombre se retrouve plus loin sous votre plume, vous y attachez le même sens que le premier venu ; pour savoir quel est ce sens et s'il est bien le même dans telle phrase ou dans telle autre, il faut voir comment vous avez été amené à parler de nombre et à introduire ce mot dans ces deux phrases. Je ne m'explique pas davantage sur ce point pour le moment, car nous aurons l'occasion d'y revenir.

Вы даете тонкое определение числа. Но, однажды дав его, вы о нем больше не думаете, ибо в действительности не из этого определения вы узнали, что такое число, а вам это уже давно было известно; и когда в дальнейшем вы употребляете слово "число", вы приписываете ему такое же значение, какое ему дает первый встречный. Чтобы узнать, каково это значение и остается ли оно одним и тем же в той или другой фразе, необходимо проследить, что заставило вас заговорить о числе и ввести это слово в обе фразы. Я не буду больше здесь по этому поводу распространяться, так как нам еще представится случай вернуться к этому вопросу.

Ainsi voici un mot dont nous avons donné explicitement une définition A ; nous en faisons ensuite dans le discours un usage qui suppose implicitement une autre définition B. Il est possible que ces deux définitions désignent un même objet. Mais qu'il en soit ainsi, c'est une vérité nouvelle, qu'il faut, ou bien démontrer, ou bien admettre comme un axiome indépendant.

Итак, вот слово, которому мы явно (explicite) дали некоторое определение A; затем мы пользовались им в рассуждении таким образом, что неявно (implicite) внесли другое его определение В. Возможно, что оба определения обозначают одно и то же. Но самая эта возможность есть уже новая истина, которую нужно либо доказать, либо допустить как независимую аксиому.

Nous verrons plus loin que les logiciens n'ont pas mieux rempli la seconde condition que la première.

Мы увидим ниже, что логики столь же мало удовлетворили второму условию, сколько первому.

Les définitions du nombre sont très nombreuses et très diverses ; je renonce à énumérer même les noms de leurs auteurs. Nous ne devons pas nous étonner qu'il y en ait tant. Si l'une d'elles était satisfaisante, on n'en donnerait plus de nouvelle. Si chaque nouveau philosophe qui s'est occupé de cette question a cru devoir en inventer une autre, c'est qu'il n'était pas satisfait de celles de ses devanciers, et s'il n'en était pas satisfait, c'est qu'il croyait y apercevoir une pétition de principe.

Определения числа чрезвычайно многочисленны и разнообразны; я отказываюсь даже перечислить имена авторов, давших эти определения. В этом нет ничего удивительного. Если бы одно из них было удовлетворительно, не было бы нужды в прочих. Если всякий новый философ, занимавшийся этим вопросом, считал необходимым изобрести другое определение, то это потому, что определения предшественников его не удовлетворяли, а не удовлетворяли они его потому, что он усматривал в них petitio principii (3).

J'ai toujours éprouvé, en lisant les écrits consacrés à ce problème, un profond sentiment de malaise ; je m'attendais toujours à me heurter à une pétition de principe et, quand je ne l'apercevais pas tout de suite, j'avais la crainte d'avoir mal regardé.

Когда я читал труды, посвященные этой проблеме, я всегда испытывал чувство беспокойства; я ожидал, что натолкнусь на petitio principii, и если не встречал этой логической ошибки с самого начала, то всегда опасался, что просмотрел ее.

C'est qu'il est impossible de donner une définition sans énoncer une phrase, et difficile d'énoncer une phrase sans y mettre un nom de nombre, ou au moins le mot plusieurs, ou au moins un mot au pluriel. Et alors la pente est glissante et à chaque instant on risque de tomber dans la pétition de principe.

И это потому, что невозможно дать определение, не выражая его при помощи фразы; с другой стороны, трудно сказать фразу, не вводя в нее слова "число", или слова "несколько", или, наконец, какого-либо слова во множественном числе. И вот уже готова наклонная,плоскость; в каждое мгновение мы рискуем впасть в реtitio principii.

Je ne m'attacherai dans la suite qu'à celles de ces définitions où la pétition de principe est le plus habilement dissimulée.

В дальнейшем я остановлюсь только на тех определениях, в которых petitio principii наиболее искусно скрыто.

Le langage symbolique créé par M. Peano joue un très grand rôle dans ces nouvelles recherches. Il est susceptible de rendre de grands services, mais il me semble que M. Couturat y attache une importance exagérée et qui a dû étonner M. Peano lui-même.

Символический язык, который создал Пеано, играет большую роль в новых исследованиях. Этот язык может оказать некоторые услуги, но мне кажется, что Кутюра приписывает ему такое преувеличенное значение, которое удивило бы и самого Пеано.

L'élément essentiel de ce langage, ce sont certains signes algébriques qui représentent les différentes conjonctions : si, et, ou, donc. Que ces signes soient commodes, c'est possible ; mais qu'ils soient destinés à renouveler toute la philosophie, c'est une autre affaire. Il est difficile d'admettre que le mot si acquiert, quand on l'écrit , une vertu qu'il n'avait pas quand on l'écrivait si.

Существенным элементом в этом языке являются определенные алгебраические знаки, представляющие собой различные союзы; "если", "и", "или", "следовательно". Возможно, что эти знаки и удобны, но призваны ли они обновить всю философию - это совершенно другой вопрос. Трудно допустить, чтобы слово "если", изображенное при помощи знака Й , приобрело особенное свойство, которого оно не имело раньше.

Cette invention de M. Peano s'est appelée d'abord la pasigraphie, c'est-à-dire l'art d'écrire un traité de mathématiques sans employer un seul mot de la langue usuelle. Ce nom en définissait très exactement la portée. Depuis on l'a élevée à une dignité plus éminente, en lui conférant le titre de logistique. Ce mot est, paraît-il, employé à l'École de Guerre pour désigner l'art du maréchal des logis, l'art de faire marcher et de cantonner les troupes ; mais ici aucune confusion n'est à craindre et on voit tout de suite que ce nom nouveau implique le dessein de révolutionner la logique.

Это изобретение Пеано названо было сначала пасиграфией, т. е. искусством писать математические трактаты, не употребляя ни одного слова из житейского словаря. Это название очень точно определяет и меру важности самого искусства. Но позже изобретению Пеано было предписано более высокое достоинство, и ему дали название логистики. Последнее слово, кажется, употребляется в военных школах для обозначения искусства квартирмейстера, искусства передвижения и распределения войск; но здесь нет никакого основания опасаться смешения понятий, и сразу видно, что новое слово выражает намерение революционизировать логику.

Nous pouvons voir la nouvelle méthode à l'œuvre dans un mémoire mathématique de M. Burali-Forti, intitulé : Una Questione sui numeri transfiniti, et inséré dans le tome XI des Rendiconti del circolo matematico di Palermo.

Применение нового метода можно видеть в математическом мемуаре Бурали-Форти, озаглавленном: "Вопрос о трансфинитных числах" и помещенном в XI томе "Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo".

Je commence par dire que ce mémoire est très intéressant, et si je le prends ici pour exemple, c'est précisément parce qu'il est le plus important de tous ceux qui sont écrits dans le nouveau langage. D'ailleurs les profanes peuvent le lire grâce à une traduction interlinéaire italienne.

Я должен прежде всего сказать, что этот мсмуар чрезвычайно интересен, и потому именно беру его в качестве примера, что он является важнейшим из всех трудов, написанных на новом языке. К тому же и люди непосвященные легко могут его читать благодаря имеющемуся в нем междустрочному итальянскому переводу.

Ce qui fait l'importance de ce mémoire, c'est qu'il a donné le premier exemple de ces antinomies que l'on rencontre dans l'étude des nombres transfinis et qui font depuis quelques années le désespoir des mathématiciens. Le but de cette note, dit M. Burali-Forti, c'est de montrer qu'il peut y avoir deux nombres transfinis (ordinaux), a et b, tel que a ne soit ni égal à b, ni plus grand, ni plus petit.

Важность этого мемуара заключается в том, что в нем дан первый пример тех антиномий, которые встречаются в изучении трансфинитных чисел и которые на протяжении нескольких лет приводили в отчаяние математиков. Цель настоящего мемуара, говорит Бурали-Форти, это показать, что могут быть два трансфинитных числа (порядковых) a и b, причем a не будет ни равно, ни больше, ни меньше b.

Que le lecteur se rassure, pour comprendre les considérations qui vont suivre, il n'a pas besoin de savoir ce que c'est qu'un nombre ordinal transfini.

Пусть читатель будет спокоен; чтобы понять рассуждение, которое последует, ему нет необходимости знать, что такое порядковое трансфинитное число.

Or Cantor avait précisément démontré qu'entre deux nombres transfinis, il ne peut y avoir d'autre relation que l'égalité, ou l'inégalité dans un sens ou dans l'autre. Mais ce n'est pas du fond de ce mémoire que je veux parler ici ; cela m'entraînerait beaucoup trop loin de mon sujet ; je veux seulement m'occuper de la forme, et précisément je me demande si cette forme lui fait beaucoup gagner en rigueur et si elle compense par là les efforts qu'elle impose à l'écrivain et au lecteur.

Между тем Кантор точно показал, что между двумя трансфинитными числами, как и между двумя конечными числами, не может быть другого отношения, кроме равенства либо неравенства в ту или другую сторону. Но не о сути этого мемуара хочу я здесь говорить, это увлекло бы меня далеко от моего предмета. Я хочу лишь заняться формой и задаюсь вопросом, много ли выиграл автор в строгости положений, применяя эту форму, и вознаграждает ли она за те усилия, которые писатель и читатель должны употребить.

Nous voyons d'abord M. Burali-Forti définir le nombre 1 de la manière suivante :

Мы видим, что Бурали-Форти определяет число 1 следующим образом:

1 = iT '{KoЗ(u, h )e(ueUn)}

définition éminemment propre à donner une idée du nombre 1 aux personnes qui n'en auraient jamais entendu parler.

Это определение в высшей степени подходит для того, чтобы дать представление о числе 1 тем лицам, которые никогда о нем ничего не слышали!

J'entends trop mal le Péanien pour oser risquer une critique, mais je crains bien que cette définition ne contienne une pétition de principe, attendu que j'aperçois 1 en chiffre dans le premier membre et Un en toutes lettres dans le second.

Я слишком мало понимаю приверженцев Пеано, чтобы рискнуть его критиковать; но я опасаюсь, что это определение заключает petitio principii, так как я вижу цифру 1 в первой части и изображенное буквами слово "один" (Un) во второй части равенства.

Quoi qu'il en soit, M. Burali-Forti part de cette définition et, après un court calcul, il arrive à l'équation :

Как бы то ни было, Бурали-Форти исходит из этого определения и после коротких вычислений приходит к уравнению (27)

1eNO

qui nous apprend que Un est un nombre.

которое дает нам понять, что "один" есть число.

Et puisque nous en sommes à ces définitions des premiers nombres, rappelons que M. Couturat a défini également 0 et 1.

Так как нам теперь приходится иметь дело с определениями простых чисел, то мы напомним, что Кутюра также определил 0 и 1.

Qu'est-ce que zéro ? c'est le nombre des éléments de la classe nulle ; et qu'est-ce que la classe nulle ? c'est celle qui ne contient aucun élément.

Что такое нуль? Это число элементов нулевого класса. А что такое нулевой класс? Это класс, который не содержит никакого элемента.

Définir zéro par nul, et nul par aucun, c'est vraiment abuser de la richesse de la langue française ; aussi M. Couturat a-t-il introduit un perfectionnement dans sa définition, en écrivant :

Определять нуль при помощи нулевого класса, а нулевой класс при помощи термина "никакой" - это значит поистине злоупотреблять богатством языка; поэтому Кутюра ввел усовершенствование в свое определение, написав:

1 = iL:jx = L. Й . L = (xe jx),

ce qui veut dire en français : zéro est le nombre des objets qui satisfont à une condition qui n'est jamais remplie.

что обозначает: нуль есть число предметов, удовлетворяющих такому условию, которое никогда не выполняется.

Mais comme jamais signifie en aucun cas je ne vois pas que le progrès soit considérable.

Но так как "никогда" обозначает "ни в одном случае", то я не вижу значительного успеха в этой замене.

Je me hâte d'ajouter que la définition que M. Couturat donne du nombre 1 est plus satisfaisante.

Спешу прибавить, что определение, которое Кутюра дает числу 1, более удовлетворительно.

Un, dit-il en substance, est le nombre des éléments d'une classe dont deux éléments quelconques sont identiques.

"Один, - говорит он, - в сущности, есть число элементов класса, два любых элемента коего тождественны".

Elle est plus satisfaisante, ai-je dit, en ce sens que pour définir 1, il ne se sert pas du mot un ; en revanche, il se sert du mot deux. Mais j'ai peur que si on demandait à M. Couturat ce que c'est que deux, il ne soit obligé de se servir du mot un.

Это определение более удовлетворительно, как я сказал, в том смысле, что для определения понятия 1 автор не пользуется словом "один". Но зато он пользуется словом "два". И я боюсь, что если спросить у Кутюра, что такое "два", то он должен будет в ответе воспользоваться словом "один".

Mais revenons au mémoire de M. Burali-Forti ; j'ai dit que ses conclusions sont en opposition directe avec celles de Cantor. Or un jour, je reçus la visite de M. Hadamard et la conversation tomba sur cette antinomie.

Вернемся к мемуару Бурали-Форти. Я сказал, что его заключения прямо противоположны выводам Кантора. Но однажды меня посетил Адамар. Разговор коснулся этой антиномии.

" Le raisonnement de Burali-Forti, lui disais-je, ne vous semble-t-il pas irréprochable ?

- Не кажется ли вам, - сказал я, - что рассуждение Бурали-Форти безупречно?

- Non, et au contraire je ne trouve rien à objecter à celui de Cantor. D'ailleurs Burali-Forti n'avait pas le droit de parler de l'ensemble de tous les nombres ordinaux.

Нет, напротив, я не вижу в нем никаких возражений Кантору. Кроме того, Бурали-Форти не имел права говорить о совокупности всех порядковых чисел.

- Pardon, il avait ce droit, puisqu'il pouvait toujours poser

Простите, он имел это право, потому что всегда мог написать;

W = T '(No,e>).

Je voudrais bien savoir qui aurait pu l'en empêcher, et peut-on dire qu'un objet n'existe pas, quand on l'a appelé Ω ? "

- Я хотел бы знать, кто бы мог ему в этом воспрепятствовать, и можно ли сказать, что предмет не существует, если его назвали W?

Ce fut en vain, je ne pus le convaincre (ce qui d'ailleurs eût été fâcheux, puisqu'il avait raison). Était-ce seulement parce que je ne parlais pas le péanien avec assez d'éloquence ? peut-être ; mais entre nous je ne le crois pas.

Мои старания были тщетны, убедить Адамара я не мог (противоположное было бы, впрочем, очень прискорбно, так как он был прав). Потому ли это было, что я не говорил достаточно красноречиво на языке Пеано? Возможно; но, между нами говоря, я этого не думаю.

Ainsi, malgré tout cet appareil pasigraphique, la question n'était pas résolue. Qu'est-ce que cela prouve ? Tant qu'il s'agit seulement de démontrer que un est un nombre, la pasigraphie suffit, mais si une difficulté se présente, s'il y a une antinomie à résoudre, la pasigraphie devient impuissante.

Таким образом, несмотря на весь этот пасиграфический аппарат, вопрос не был разрешен. Что это доказывает? Когда вопрос идет только о том, чтобы доказать, что один есть число, пасиграфия достаточна; но если представляется затруднение, если возникает антиномия, требующая разрешения, то пасиграфия становится бессильной.

Pour justifier ses prétentions, la logique a dû se transformer. On a vu naître des logiques nouvelles dont la plus intéressante est celle de M. Russell. Il semble qu'il n'y ait rien à écrire de nouveau sur la logique formelle et qu'Aristote en ait vu le fond. Mais le champ que M. Russell attribue à la logique est infiniment plus étendu que celui de la logique classique et il a trouvé moyen d'émettre sur ce sujet des vues originales et parfois justes.

Чтобы оправдать свои притязания, логика должна была преобразоваться. Народились новые логики, среди которых наиболее интересной является логика Рассела. Казалось бы, что в области формальной логики ничего нового нельзя сказать и что Аристотель давно узрел ее основы. Но поле действия, которое Рассел отводит логике, бесконечно шире, чем поле классической логики, и Рассел сумел высказать в этом отношении оригинальные и часто правильные взгляды.

D'abord, tandis que la logique d'Aristote était avant tout la logique des classes et prenait pour point de départ la relation de sujet à prédicat, M. Russell subordonne la logique des classes à celle des propositions. Le syllogisme classique " Socrate est un homme ", etc., fait place au syllogisme hypothétique : Si A est vrai, B est vrai, or si B est vrai C est vrai, etc. Et c'est là, à mon sens, une idée des plus heureuses, car le syllogisme classique est facile à ramener au syllogisme hypothétique, tandis que la transformation inverse ne se fait pas sans difficulté.

Между тем как логика Аристотеля была преимущественно логикой классов и за исходную точку брала отношение субъекта к предикату, Рассел прежде всего подчиняет логику классов логике предложений. Классический силлогизм "Сократ - человек и т. д." уступает место гипотетическому силлогизму: если A истинно, то В истинно, но если В истинно, то С истинно и т. д.; и эта идея, на мой взгляд, одна из наиболее счастливых, ибо классический силлогизм легко свести к гипотетическому, тогда как обратное превращение представляет затруднение.

Et puis ce n'est pas tout : la logique des propositions de M. Russell est l'étude des lois suivant lesquelles se combinent les conjonctions si, et, ou, et la négation ne pas. C'est une extension considérable de l'ancienne logique. Les propriétés du syllogisme classique s'étendent sans peine au syllogisme hypothétique et, dans les formes de ce dernier, on reconnaît aisément les formes scolastiques; on retrouve ce qu'il y a d'essentiel dans la logique classique. Mais la théorie du syllogisme n'est encore que la syntaxe de la conjonction si et peut-être de la négation.

Но это не все: логика предложений Рассела есть этюд о законах, по которым комбинируются союзы "если", "и", "или" и отрицание "не". Это значительное расширение старой логики. Свой-тва классического силлогизма без труда распространяются на гипотетический силлогизм, и в формах последнего легко узнаются схоластические формы. Мы находим здесь то, что является существенным в классической логике. Но теория силлогизма есть еще не что иное, как синтаксис союза "если" и, быть может, отрицания.

En y adjoignant deux autres conjonctions et et ou, M. Russell ouvre à la logique un domaine nouveau. Les signes et, ou suivent les mêmes lois que les deux signes x et +, c'est-à-dire les lois commutative, associative et distributive. Ainsi et représente la multiplication logique, tandis que ou représente l'addition logique. Cela aussi est très intéressant.

Присоединяя два других союза - "и" и "или", - Рассел открывает логике новую область. Знаки "и", "или" подчиняются тем же законам, что и знаки * и +, т. е. переместительному, сочетательному и распределительному законам. Таким образом, "и" представляет логическое умножение, тогда как "или" представляет логическое сложение. Это также весьма интересно.

M. B. Russell arrive à cette conclusion qu'une proposition fausse quelconque implique toutes les autres propositions vraies ou fausses. M. Couturat dit que cette conclusion semblera paradoxale au premier abord. Il suffit cependant d'avoir corrigé une mauvaise thèse de mathématique, pour reconnaître combien M. Russell a vu juste. Le candidat se donne souvent beaucoup de mal pour trouver la première équation fausse ; mais dès qu'il l'a obtenue, ce n'est plus qu'un jeu pour lui d'accumuler les résultats les plus surprenants, dont quelques-uns même peuvent être exacts.

Рассел приходит к выводу, что какое-нибудь ложное предложение заключает в себе и все прочие истинные или ложные предложения. Кутюра говорит, что этот вывод покажется на первый взгляд парадоксальным. Но кто исправлял плохую кандидатскую математическую работу, тот мог заметить, насколько правильно смотрит на дело Рассел. Кандидат часто много трудится для того, чтобы найти первое ложное уравнение; но лишь только он его получил, для него уже не представляет никакого труда сделать из него самые неожиданные выводы, из которых иные могут оказаться и точными.

On voit combien la nouvelle logique est plus riche que la logique classique ; les symboles se sont multipliés et permettent des combinaisons variées qui ne sont plus en nombre limité. A-t-on le droit de donner cette extension au sens du mot logique ? Il serait oiseux d'examiner cette question, et de chercher à M. Russell une simple querelle de mots. Accordons-lui ce qu'il demande ; mais ne nous étonnons pas si certaines vérités, que l'on avait déclarées irréductibles à la logique, au sens ancien du mot, se trouvent être devenues réductibles à la logique, au sens nouveau, qui est tout différent.

Отсюда ясно, насколько новая логика богаче классической логики. Символы разрослись и сочетаются в разнообразные комбинации, число которых уже неограничено. Вправе ли мы так сильно расширять смысл слова "логика". Разбирать этот вопрос и вступать с Расселом в спор о слове - занятие бесцельное. Признаем то, чего требует Рассел, но не будем удивляться, если окажется, что некоторые истины, которые мы считали несводимыми к логике в старом смысле этого слова, теперь сводятся к новой логике, которая совершенно отличается от прежней.

Nous avons introduit un grand nombre de notions nouvelles ; et ce n'étaient pas de simples combinaisons des anciennes ; M. Russell ne s'y est d'ailleurs pas trompé, et non seulement au début du premier chapitre, c'est-à-dire de la logique des propositions, mais au début du second et du troisième, c'est-à-dire de la logique des classes et des relations, il introduit des mots nouveaux qu'il déclare indéfinissables.

Мы ввели большое число новых понятий, и эти понятия не были простыми комбинациями старых. Рассел на этот счет не обманывался; не только в начале первой главы, т. е. логики предложений, но в начале второй и третьей глав, т, е. логики классов и отношений, он вводит новые слова, которые принимает как определению не подлежащие.

Et ce n'est pas tout, il introduit également des principes qu'il déclare indémontrables. Mais ces principes indémontrables, ce sont des appels à l'intuition, des jugements synthétiques a priori. Nous les regardions comme intuitifs quand nous les rencontrions, plus ou moins explicitement énoncés, dans les traités de mathématiques ; ont-ils changé de caractère parce que le sens du mot logique s'est élargi et que nous les trouvons maintenant dans un livre intitulé Traité de logique ? Ils n'ont pas changé de nature ; ils ont seulement changé de place.

Но это не все, он вводит также принципы, которые признает недоказуемыми. Но эти недоказуемые принципы являются обращениями к интуиции, являются априорными синтетическими суждениями. Мы принимали их за интуитивные, когда встречали их в более или менее явной форме в математических трактатах. Но изменился ли их характер от того, что смысл слова "логика" расширился и что мы находим их теперь в книге, носящей заголовок "Трактат по логике"? Они не изменили своей природы, они изменили лишь свое место.

Ces principes pourraient-ils être considérés comme des définitions déguisées ?

Можно ли рассматривать эти принципы как скрытые определения?

Pour cela il faudrait que l'on eût le moyen de démontrer qu'ils n'impliquent pas contradiction. Il faudrait établir que, quelque loin qu'on poursuive la série des déductions, on ne sera jamais exposé à se contredire.

Чтобы дать положительный ответ на этот вопрос, нужно было бы быть в состоянии доказать, что они не заключают в себе противоречия. Нужно установить, что, как бы далеко мы ни проводили ряд дедукций, мы никогда не впадем в противоречие с собой.

On pourrait essayer de raisonner comme il suit : Nous pouvons vérifier que les opérations de la nouvelle logiques appliquées à des prémisses exemptes de contradiction ne peuvent donner que des conséquences également exemptes de contradiction. Si donc après n opérations, nous n'avons pas rencontré de contradictions, nous n'en rencontrerons pas non plus après la n + 1^ème. Il est donc impossible qu'il y ait un moment où la contradiction commence, ce qui montre que nous n'en rencontrerons jamais. Avons-nous le droit de raisonner ainsi ? Non, car ce serait faire de l'induction complète ; et, le principe d'induction complète, rappelons-le bien, nous ne le connaissons pas encore.

Можно было бы попытаться рассуждать таким образом. Мы можем проверить, что операции новой логики, будучи приложены к посылкам, не заключающим противоречия, приводят только к следствиям, также свободным от противоречия. Если, следовательно, после n операций мы не пришли к противоречию, то мы не придем к противоречию после n + 1 операций. Невозможно, следовательно, наступление такого момента, когда противоречие началось бы, а это доказывает, что мы никогда не можем к нему прийти. Вправе ли мы так рассуждать? Нет, ибо это значило бы прибегнуть к полной индукции; принцип же полной индукции, будем это помнить, еще нам неизвестен.

Nous n'avons donc pas le droit de regarder ces axiomes comme des définitions déguisées et il ne nous reste qu'une ressource, il faut pour chacun d'eux admettre un nouvel acte d'intuition. C'est bien d'ailleurs, à ce que je crois, la pensée de M. Russell et de M. Couturat.

Мы не вправе, следовательно, рассматривать эти аксиомы как скрытые определения, и нам остается только один исход: допустить для каждой из них новый акт интуиции. И такова именно, я думаю, мысль Рассела и Кутюра.

Ainsi, chacune des neuf notions indéfinissables et des vingt propositions indémontrables (je crois bien que si c'était moi qui avais compté, j'en aurais trouvé quelques-unes de plus) qui font le fondement de la logique nouvelle, de la logique au sens large, suppose un acte nouveau et indépendant de notre intuition et, pourquoi ne pas le dire, un véritable jugement synthétique a priori. Sur ce point tout le monde semble d'accord, mais ce que M. Russell prétend, et ce qui me paraît douteux, c'est qu'après ces appels à l'intuition, ce sera fini ; on n'aura plus à en faire d'autres et on pourra constituer la mathématique tout entière sans faire intervenir aucun élément nouveau.

Таким образом, каждое из девяти неопределяемых понятий и каждое из двадцати недоказуемых предложений (я думаю, что если бы я считал, то насчитал бы их несколько больше), которые составляют основу новой логики, логики в широком смысле слова, предполагают акт новый, независимый от нашей интуиции, предполагают - почему этого не сказать? - настоящее синтети ческое априорное суждение. В этом вопросе все, кажется, согласны. Но Рассел утверждает, что этими обращениями к интуиции дело и закончится, что в других обращениях не будет более нужды и можно будет построить всю математику, не вводя никакого нового элемента. Это мне и кажется сомнительным.

M. Couturat répète souvent que cette logique nouvelle est tout à fait indépendante de l'idée de nombre. Je ne m'amuserai pas à compter combien son exposé contient d'adjectifs numéraux, tant cardinaux qu'ordinaux, ou d'adjectifs indéfinis, tels que plusieurs. Citons cependant quelques exemples :

Кутюра часто повторяет, что эта новая логика совершенно не зависит от идеи о числе. Я не стану подсчитывать, как часто в его изложении встречаются числительные, как количественные, так и порядковые, или неопределенные прилагательные, как, например, "несколько". Процитируем, однако, некоторые примеры:

" Le produit logique de deux ou plusieurs propositions est " ;

"Логическое произведение двух или нескольких предложений есть...".

" Toutes les propositions sont susceptibles de deux valeurs seulement, le vrai et le faux " ;

"Все предложения допускают только двоякую оценку: как истинные или как ложные".

" Le produit relatif de deux relations est une relation " ;

"Относительное произведение двух отношений есть отношение".

" Une relation a lieu entre deux termes, " etc., etc.

"Отношение имеет место между двумя терминами" и т. д.

Quelquefois cet inconvénient ne serait pas impossible à éviter, mais quelquefois aussi il est essentiel. Une relation est incompréhensible sans deux termes ; il est impossible d'avoir l'intuition de la relation, sans avoir en même temps celle de ses deux termes, et sans remarquer qu'ils sont deux, car pour que la relation soit concevable, il faut qu'ils soient deux et deux seulement.

В некоторых случаях можно было бы избежать неудобства такого выражения, но иногда оно требуется существом дела. Отношение не может быть понято без двух терминов; нельзя иметь интуиции отношения, не имея в то же время интуиции двух его терминов; мало того, мы должны усмотреть, что есть два термина, ибо для того, чтобы можно было постигнуть отношение, необходимо, чтобы этих терминов было два и только два.

J'arrive à ce que M. Couturat appelle la théorie ordinale et qui est le fondement de l'arithmétique proprement dite. M. Couturat commence par énoncer les cinq axiomes de Peano, qui sont indépendants, comme l'ont démontré MM. Peano et Padoa.

Я подхожу к тому, что Кутюра называет теорией расположения (или порядка) и что является основанием арифметики в собственном смысле этого слова. Кутюра начинает с формулировки пяти аксиом Пеано, независимость которых доказали Пеано и Падоа.

1. Zéro est un nombre entier.

1. Нуль есть целое число.

2. Zéro n'est le suivant d'aucun nombre entier.

2. Нуль не следует ни за каким целым числом.

3. Le suivant d'un entier est un entier auquel il conviendrait d'ajouter tout entier a un suivant.

3. Следующее за целым числом есть целое число; к этому следовало бы прибавить: всякое целое число имеет следующее за ним число.

4. Deux nombres entiers sont égaux, si leurs suivants le sont.

4. Два целых числа равны, если равны следующие за ними числа.

Le 5^e axiome est le principe d'induction complète.

Пятая аксиома есть принцип полной индукции.

M. Couturat considère ces axiomes comme des définitions déguisées ; ils constituent la définition par postulats de zéro, du " suivant ", et du nombre entier.

Кутюра смотрит на эти аксиомы как на скрытые определения; они содержат выраженные при помощи постулатов определения нуля, целого числа и "следующего числа".

Mais nous avons vu que pour qu'une définition par postulats puisse être acceptée, il faut que l'on puisse établir qu'elle n'implique pas contradiction.

Но, как мы видели, для того чтобы основанное на постулах определение могло быть принято, необходимо установить, что оно не заключает противоречия.

Est-ce le cas ici ? Pas le moins du monde.

Имеем ли мы дело здесь с таким именно случаем? Нисколько.

La démonstration ne peut se faire par l'exemple. On ne peut choisir une partie des nombres entiers, par exemple les trois premiers, et démontrer qu'ils satisfont à la définition.

Доказательства этого нельзя дать с помощью примера. Нельзя выбрать часть всех целых чисел, например первые три числа, и доказать, что они удовлетворяют определению.

Si je prends la série 0, 1, 2, je vois bien qu'elle satisfait aux axiomes 1, 2, 4 et 5 ; mais, pour qu'elle satisfasse à l'axiome 3, il faut encore que 3 soit un entier, et par conséquent que la série 0, 1, 2, 3 satisfasse aux axiomes ; on vérifierait qu'elle satisfait aux axiomes 1, 2, 4, 5, mais l'axiome 3 exige en outre que soit un entier et que la série 0, 1, 2, 3, 4 satisfasse aux axiomes, et ainsi de suite.

Если я возьму ряд 0,1,2, то увижу, что он удовлетворяет аксиомам 1, 2, 4, 5. Но, для того чтобы он удовлетворял третьей аксиоме, необходимо еще, чтобы 3 было целым числом, следовательно, чтобы ряд 0, 1, 2, 3 удовлетворял всем аксиомам. При проверке окажется, что ряд 0,1, 2, 3 удовлетворяет аксиомам 1, 2, 4, 5, но третья аксиома требует, сверх того, чтобы 4 было целым числом и чтобы ряд 0, 1, 2, 3, 4 удовлетворял всем аксиомам, и т. д.

Il est donc impossible de démontrer les axiomes pour quelques nombres entiers sans les démontrer pour tous, il faut renoncer à la démonstration par l'exemple.

Нет, следовательно, возможности доказать аксиомы для нескольких целых чисел, не доказывая их для всех. Приходится отказаться от доказательства путем примера.

Il faut alors prendre toutes les conséquences de nos axiomes et voir si elles ne contiennent pas de contradiction. Si ces conséquences étaient en nombre fini, cela serait facile ; mais elles sont en nombre infini, c'est toutes les mathématiques, ou au moins toute l'arithmétique.

Остается собрать все выводы из наших аксиом и рассмотреть, не заключают ли они в себе противоречия. Если бы число этих выводов было конечное, то это было бы легко сделать; но число выводов бесконечно велико, они охватывают всю математику или по крайней мере всю арифметику.

Alors que faire ? Peut-être à la rigueur pourrait-on répéter le raisonnement du n№ 3.

Что же делать? Быть может, повторить рассуждение, указанное в разделе III.

Mais, nous l'avons dit, ce raisonnement, c'est de l'induction complète, et c'est précisément le principe d'induction complète qu'il s'agirait de justifier.

Но мы уже сказали, что это рассуждение основано на полной индукции, а между тем дело идет именно о том, чтобы оправдать принцип полной индукции.

J'arrive maintenant au travail capital de M. Hilbert qu'il a communiqué au Congrès des Mathématiciens à Heidelberg, et dont une traduction française due à M. Pierre Boutroux a paru dans l'Enseignement Mathématique, pendant qu'une traduction anglaise due à M. Halsted paraissait dans The Monist. Dans ce travail, où l'on trouvera les pensées les plus profondes, l'auteur poursuit un but analogue à celui de M. Russell, mais sur bien des points il s'écarte de son devancier.

Я перехожу теперь к тому капитальному труду Гильберта, о котором последний сделал сообщение на Математическом конгрессе в Гейдельберге. Французский перевод этого труда, сделанный Пьером Бутру, появился в "Математическом образовании"; английский перевод, сделанный Халстедом, появился в "The Monist". В этом труде, изобилующем самыми глубокими мыслями, автор преследует такую же цель, как и Рассел, но во многих случаях отклоняется от своего предшественника.

"Если мы присмотримся ближе, - говорит он, - то мы заметим, что логические принципы, в той форме, в какой их обыкновенно представляют, уже включают в себя известные арифметические понятия, как, например, понятие совокупности, а, в некоторой мере, и понятие о числе. Таким образом, мы находимся как бы в заколдованном круге, и вот почему, во избежание всякого парадокса, мне кажется необходимым развивать одновременно логику и принципы арифметики".

Nous avons vu plus haut, que ce que dit M. Hilbert des principes de la Logique tels qu'on a coutume de les présenter, s'applique également à la logique de M. Russell. Ainsi, pour M. Russell, la logique est antérieure à l'Arithmétique ; pour M. Hilbert, elles sont " simultanées ". Nous trouverons plus loin d'autres différences plus profondes encore. Mais nous les signalerons à mesure qu'elles se présenteront ; je préfère suivre pas à pas le développement de la pensée de Hilbert, en citant textuellement les passages les plus importants.

Как мы видели выше, то, что Гильберт говорит о принципах логики в той форме, в какой их себе обыкновенно представляют, одинаково приложимо и к логике Рассела. Для Рассела логика предшествует арифметике; для Гильберта они "одновременны". Мы встретимся ниже с другими, более глубокими различиями, но мы будем их отмечать по мере того, как они перед нами предстанут; я предпочитаю следить шаг за шагом за развитием мысли Гильберта и цитировать текстуально наиболее важные места его работы.

" Prenons tout d'abord en considération l'objet 1. " Remarquons qu'en agissant ainsi nous n'impliquons nullement la notion de nombre, car il est bien entendu que 1 n'est ici qu'un symbole et que nous ne nous préoccupons nullement d'en connaître la signification. " Les groupes formés avec cet objet, deux, trois ou plusieurs fois répété... " Ah, cette fois-ci, il n'en est plus de même, si nous introduisons les mots deux, trois et surtout plusieurs, nous introduisons la notion de nombre ; et alors la définition du nombre entier fini que nous trouverons tout à l'heure, arrivera bien tard. L'auteur était beaucoup trop avisé pour ne pas s'apercevoir de cette pétition de principe. Aussi, à la fin de son travail, cherche-t-il à procéder à un vrai replâtrage.

"Рассмотрим прежде всего предмет 1". Заметим, что в это рассмотрение мы отнюдь не включаем понятия о числе, ибо само собой разумеется, что 1 в данном случае является только символом и что мы не стремимся узнать его значение. "Группы, образованные этим предметом, повторенным два, три или несколько раз..." Ну, здесь уже дело меняется; если мы вводим слова "два", "три", и, в особенности, "несколько", мы вводим понятие числа, а в таком случае понятие конечного целого числа, к которому нас приведет это рассуждение, окажется запоздалым. Автор был слишком предусмотрителен, чтобы не заметить этого petitio principii. В конце своего труда он пытается загладить погрешность.

Hilbert introduit ensuite deux objets simples 1 et = et envisage toutes les combinaisons de ces deux objets, toutes les combinaisons de leurs combinaisons, etc. Il va sans dire qu'il faut oublier la signification habituelle de ces deux signes et ne leur en attribuer aucune. Il répartit ensuite ces combinaisons en deux classes, celle des êtres et celle des non-êtres et jusqu'à nouvel ordre cette répartition est entièrement arbitraire ; toute proposition affirmative nous apprend qu'une combinaison appartient à la classe des êtres ; toute proposition négative nous apprend qu'une certaine combinaison appartient a celle des non-êtres.

Гильберт вводит затем два простых предмета 1 и =, рассматривает все комбинации из этих двух предметов, затем комбинации этих комбинаций и т. д. Само собой разумеется, что при этом нужно забыть обычное значение этих двух знаков, не нужно приписывать им никакого значения. Затем Гильберт распределяет эти комбинации в два класса, в класс "сущего" и в класс "не сущего", и впредь до следующего соглашения это распределение совершенно произвольно. Всякое утвердительное предложение показывает нам, что комбинация принадлежит классу сущего; всякое отрицательное предложение показывает, что известная комбинация относится к классу не сущего.

Signalons maintenant une différence de la plus haute importance. Pour M. Russell un objet quelconque qu'il désigna par x c'est un objet absolument indéterminé ; pour Hilbert c'est l'une des combinaisons formées avec 1 et = ; il ne saurait concevoir qu'on introduise autre chose que des combinaisons des objets déjà définis. Hilbert formule d'ailleurs sa pensée de la façon la plus nette ; et je crois devoir reproduire in extenso son énoncé. " Les indéterminées qui figurent dans les axiomes (en place du quelconque ou du tous de la logique ordinaire) représentent exclusivement l'ensemble des objets et des combinaisons qui nous sont déjà acquis en l'état actuel de la théorie, ou que nous sommes en train d'introduire. Lors donc qu'on déduira des propositions des axiomes considérés, ce sont ces objets et ces combinaisons seules que l'on sera en droit de substituer aux indéterminées. Il ne faudra pas non plus oublier que, lorsque nous augmentons le nombre des objets fondamentaux, les axiomes acquièrent du même coup une extension nouvelle et doivent, par suite, être de nouveau mis à l'épreuve et au besoin modifiés. "

Отметим теперь некоторое различие, имеющее важное значение. Для Рассела какой- нибудь предмет, который он обозначает через x, есть предмет абсолютно неопределенный, относительно которого он не делает никаких предположений; для Гильберта этот предмет есть одна из комбинаций, составленных из символов 1 и = не нужно представлять, будто здесь вводится что-либо новое помимо комбинации уже определенных предметов. Гильберт, впрочем, формулирует свою мысль самым точным образом, и я считаю необходимым воспроизвести его слова полностью: "Неопределен- ные, которые фигурируют в аксиомах (вместо понятий "нечто" и "все" обыкновенной логики), представляют собой исключительно совокупность предметов и комбинаций, которыми мы уже владеем при данном состоянии теории или которые мы начинаем вводить. Как только мы из рассматриваемых аксиом начнем выводить предложения, мы получим право заменять упомянутые предметы только этими предметами и этими комбинациями. Но если мы увеличиваем число основных предметов, то не нужно забывать, что тем самым аксиомы также испытывают новое расширение, и они, следовательно, должны быть снова проверены и, в случае нужды, изменены".

Le contraste est complet avec la manière de voir de M. Russell. Pour ce dernier philosophe, nous pouvons substituer à la place de x non seulement des objets déjà connus, mais n'importe quoi. Russell est fidèle à son point de vue, qui est celui de la compréhension. Il part de l'idée générale d'être et l'enrichit de plus en plus tout en la restreignant, en y ajoutant des qualités nouvelles. Hilbert ne reconnaît au contraire comme êtres possibles que des combinaisons d'objets déjà connus ; de sorte que (en ne regardant qu'un des côtés de sa pensée) on pourrait dire qu'il se place au point de vue de l'extension.

Здесь мы имеем полный контраст с точкой зрения Рассела. В той постановке, в какой вопрос ставится у этого философа, мы можем на место х ставить не только известные нам, но и какие угодно предметы. Рассел остается верным своей точке зрения, именно точке зрения понятия. Он исходит из общей идеи существующего и обогащает ее, придавая ей новые качества. Напротив, Гильберт считает существенными одни только комбинации известных уже предметов, так что (имея в виду лишь одну сторону его идеи) можно сказать, что Гильберт стоит на точке зрения объема понятий.

Poursuivons l'exposé des idées de Hilbert. Il introduit deux axiomes qu'il énonce dans son langage symbolique mais qui signifient, dans le langage des profanes comme nous, que toute quantité cet égale à elle-même et que toute opération faite sur deux quantités identiques donnent des résultats identiques. Avec cet énoncé ils sont évidents, mais les présenter ainsi serait trahir la pensée de M. Hilbert. Pour lui les mathématiques n'ont à combiner que de purs symboles et un vrai mathématicien doit raisonner sur eux sans se préoccuper de leur sens. Aussi ses axiomes ne sont pas pour lui ce qu'ils sont pour le vulgaire.

Проследим за изложением идей Гильберта. Он вводит две аксиомы, которые формулирует на своем символическом языке, но которые на языке таких профанов, как мы, обозначают, что всякое количество равно самому себе и что всякая операция, произведенная над двумя тождественными количествами, дает тождественные результаты. В такой формулировке аксиомы очевидны, но выразить их в таком виде значило бы исказить мысль Гильберта. С точки зрения Гильберта, математика комбинирует только чистые символы, и настоящий математик должен рассуждать о них, не заботясь об их смысле. Его аксиомы не являются для него тем же, чем они являются для обыкновенного человека.

Il les considère comme représentant la définition par postulats du symbole = jusqu'ici vierge de toute signification. Mais pour justifier cette définition, il faut montrer que ces deux axiomes ne conduisent à aucune contradiction.

Он рассматривает эти аксиомы как выраженное при помощи постулатов определение символа =, не опороченного еще каким-либо значением. Но чтобы оправдать это определение, необходимо доказать, что эти две аксиомы не ведут ни к какому противоречию.

Pour cela M. Hilbert se sert du raisonnement du n№ III, sans paraître s'apercevoir qu'il fait de l'induction complète.

Для этого Гильберт пользуется рассуждением, изложенным у него в разделе III, не замечая, по-видимому, что он прибегает к полной индукции.

La fin du mémoire de M. Hilbert est tout à fait énigmatique et nous n'y insisterons pas. Les contradictions s'y accumulent ; on sent que l'auteur a vaguement conscience de la pétition de principe qu'il a commise, et qu'il cherche vainement à replâtrer les fissures de son raisonnement.

Конец мемуара Гильберта совершенно загадочен, и мы на нем не будем подробно останавливаться. Противоречия здесь умножаются; чувствуется, что автор сознает смутно petitio principii, в которое он впал, и что он напрасно старается замазать трещины своего рассуждения.

Qu'est-ce à dire ? Au moment de démontrer que la définition du nombre entier par l'axiome d'induction complète n'implique pas contradiction, M. Hilbert se dérobe comme se sont dérobés MM. Russell et Couturat, parce que la difficulté est trop grande.

Что же это значит? В тот момент, когда необходимо доказать, что определение целого числа при помощи аксиомы полной индукции не влечет противоречия, Гильберт от этого отделывается, как отделываются Рассел и Кутюра, ибо трудность слишком велика.

La géométrie, dit M. Couturat, est un vaste corps de doctrine où le principe d'induction complète n'intervient pas. Cela est vrai dans une certaine mesure, on ne peut pas dire qu'il n'intervient pas, mais il intervient peu. Si l'on se reporte à la Rational Geometry de M. Halsted (New-York, John Wiley and Sons, 1904) établie d'après les principes de M. Hilbert, on voit intervenir le principe d'induction pour la première fois à la page 114 (à moins que j'aie mal cherché, ce qui est bien possible).

Геометрия, говорит Кутюра, есть обширная область доктрин, в которой не фигурирует принцип полной индукции. В известной мере это верно; нельзя сказать, чтобы он совсем не входил, но он входит мало. Если обратиться к "Rational Geometry", написанной Халстедом (N. Y., John Wiley and Sons, 1904) и построенной на принципах Гильберта, то можно заметить, что принцип полной индукции появляется в первый раз на с. 114, если только я не пропустил его раньше, что очень возможно.

Ainsi la géométrie, qui, il y a quelques années à peine, semblait le domaine où le règne de l'intuition était incontesté, est aujourd'hui celui où les logisticiens semblent triompher. Rien ne saurait mieux faire mesurer l'importance des travaux géométriques de M. Hilbert et la profonde empreinte qu'ils ont laissée sur nos conceptions.

Таким образом, геометрия, которая, еще несколько лет тому назад казалась областью, в которой господство интуиции бесспорно, является теперь областью, в которой торжествует логистика. Этим лучше всего измеряется важность геометрических трудов Гильберта и тот глубокий отпечаток, который они оставили на наших понятиях.

Mais il ne faut pas s'y tromper. Quel est en somme le théorème fondamental de la Géométrie ? C'est que les axiomes de la Géométrie n'impliquent pas contradiction et, cela, on ne peut pas le démontrer sans le principe d'induction.

Но не нужно поддаваться обману. Какова в конце концов основная теорема геометрии? Она заключается в том, что аксиомы геометрии не заключают в себе противоречия, а это не может быть доказано без принципа индукции.

Comment Hilbert démontre-t-il ce point essentiel? C'est en s'appuyant sur l'Analyse et par elle sur l'Arithmétique, et par elle sur le principe d'induction.

Как же Гильберт доказывает этот существенный пункт? Опираясь на анализ, через анализ на арифметику и через арифметику на принцип индукции.

Et si jamais on invente une autre démonstration, il faudra encore s'appuyer sur ce principe, puisque les conséquences possibles des axiomes, dont il faut montrer qu'elles ne sont pas contradictoires, sont en nombre infini.

И если когда-нибудь изобретут другое доказательство, то придется все же опереться на этот принцип, потому что выводов из тех аксиом, логическую совместимость которых нужно доказать, может быть бесконечное множество.

Notre conclusion, c'est d'abord que le principe d'induction ne peut pas être regardé comme la définition déguisée du nombre entier.

Наш вывод заключается прежде всего в том, что на принцип индукции нельзя смотреть как на скрытое определение целого числа.

Voici trois vérités :

Вот три истины;

Le principe d'induction complète ;

принцип полной индукции;

Le postulatum d'Euclide ;

постулат Евклида;

La loi physique d'après laquelle le phosphore fond à 44№ (citée par M. Le Roy).

физический закон, согласно которому фосфор плавится при 44 (приводится у Леруа).

On dit : Ce sont trois définitions déguisées, la première, celle du nombre entier, la seconde, celle de la ligne droite, la troisième, celle du phosphore.

Говорят, что эти истины являются скрытыми определениями: первое есть определение целого числа, второе - прямой линии, третье - фосфора.

Je l'admets pour la seconde, je ne l'admets pas pour les deux autres, il faut que j'explique la raison de cette apparente inconséquence.

Я принимаю это для второй истины, но не принимаю для двух других. Объясню причину такой кажущейся непоследовательности.

D'abord nous avons vu qu'une définition n'est acceptable que s'il est établi qu'elle n'implique pas contradiction. Nous avons montré également que, pour la première définition, cette démonstration est impossible ; au contraire, nous venons de rappeler que pour la seconde Hilbert avait donné une démonstration complète.

Мы видели прежде всего, что определение приемлемо лишь в случае, если установлено, что оно не заключает в себе противоречия. Мы доказали также, что такое доказательство невозможно для первого определения; для второго, наоборот, Гильберт дал полное доказательство.

En ce qui concerne la troisième, il est clair qu'elle n'implique pas contradiction : mais cela veut-il dire que cette définition garantit, comme il le faudrait, l'existence de l'objet défini ? Nous ne sommes plus ici dans les sciences mathématiques, mais dans les sciences physiques, et le mot existence n'a plus le même sens, il ne signifie plus absence de contradiction, il signifie existence objective.

Что же касается третьего определения, то оно, очевидно, не заключает противоречия; но значит ли это, что определение, как это требовалось бы, с несомненностью свидетельствует о существовании определенного предмета? Мы выходим здесь из области математических наук и вступаем в область физических наук. Слово "существование" не имеет уже того смысла, что раньше, оно не обозначает отсутствия противоречия, а обозначает объективное существование.

Et voilà déjà une première raison de la distinction que je fais entre les trois cas ; il y en a une seconde. Dans les applications que nous avons à faire de ces trois notions, se présentent-elles à nous comme définies par ces trois postulats ?

Вот уже первое основание для различия, которое я делаю между вышеприведенными тремя случаями. Есть еще другое основание. Эти три понятия находят последующие применения; имеют ли эти понятия в применениях то значение, которое установлено этими тремя постулатами?

Les applications possibles du principe d'induction sont innombrables ; prenons pour exemple l'une de celles que nous avons exposées plus haut, et où on cherche à établir qu'un ensemble d'axiomes ne peut conduire à une contradiction. Pour cela on considère l'une des séries de syllogismes que l'on peut poursuivre en partant de ces axiomes comme prémisses.

Возможные применения принципа индукции бесчисленны. Возьмем для примера одно из указанных нами выше применений, где мы стремились установить, что некоторая совокупность аксиом не может вести к противоречию. Для этого следует рассмотреть один из рядов силлогизмов, которые можно построить, исходя из этих аксиом как посылок.

Quand on a fini le n^e syllogisme, on voit qu'on peut en faire encore un autre et c'est le n + 1^e ; ainsi le nombre n sert à compter une série d'opérations successives, c'est un nombre qui peut être obtenu par additions successives. C'est donc un nombre depuis lequel on peut remonter à l'unité par soustraction successives. On ne le pourrait évidemment pas si on avait n = n - 1, parce qu'alors par soustraction on retrouverait toujours le même nombre. Ainsi donc la façon dont nous avons été amenés à considérer ce nombre n implique une définition du nombre entier fini et cette définition est la suivant : un nombre entier fini est celui qui peut être obtenu par additions successives, c'est celui qui est tel que n n'est pas égal à n - 1.

Когда мы закончили n-й силлогизм, мы видим, что можно еще составить (n + 1)-й силлогизм. Таким образом, число n служит для счета ряда последовательных операций, это - число, которое может быть получено путем последовательных прибавлений. Другими словами, это есть число, исходя из которого, можно прийти к единице путем последовательных вычитаний. Этого, очевидно, нельзя было бы достигнуть, если бы мы имели равенство n = n - 1, потому что в таком случае мы при вычитании всегда получали бы то же самое число. Таким образом, способ, при помощи которого мы пришли к рассмотрению этого числа n, заключает в себе определение конечного целого числа, и это определение гласит: конечное целое число есть такое число, которое может быть получено путем последовательных сложений, это есть число n которое не равняется n - 1.

Cela posé, qu'est-ce que nous faisons ? Nous montrons que s'il n'y a pas eu de contradiction au n^e syllogisme, il n'y en aura pas davantage au n + 1^e et nous concluons qu'il n'y en aura jamais. Vous dites : j'ai le droit de conclure ainsi, parce que les nombres entiers sont par définition ceux pour lesquels un pareil raisonnement est légitime ; mais cela implique une autre définition du nombre entier et qui est la suivante : un nombre entier est celui sur lequel on peut raisonner par récurrence ; dans l'espèce c'est celui dont on peut dire que, si l'absence de contradiction au moment d'un syllogisme dont le numéro est un nombre entier entraîne l'absence de contradiction au moment d'un syllogisme dont le numéro est l'entier suivant, on n'aura à craindre aucune contradiction pour aucun des syllogismes dont le numéro est entier.

Приняв это, что делаем мы дальше? Мы показываем, что если нет противоречия с n-м силлогизмом, то не будет противоречия с (n + 1) -м и не будет такого противоречия никогда. Вы скажете: я вправе сделать такое заключение, потому что целые числа по определению представляют собой такие именно числа, для которых подобное рассуждение законно. Но это приводит к другому опре делению целого числа, а именно к следующему: целое число есть такое число, о котором можно рассуждать в рекуррентном порядке В данном случае это - число, о котором можно сказать следующее: если отсутствие противоречия в момент силлогизма, имеющего целый номер, влечет за собой отсутствие противоречия для силлогизма, имеющего следующий целый номер, то нет оснований опасаться противоречия для любого из силлогизмов, имеющего целый номер.

Les deux définitions ne sont pas identiques ; elles sont équivalentes sans doute, mais elles le sont en vertu d'un jugement synthétique a priori ; on ne peut pas passer de l'une à l'autre par des procédés purement logiques.

Оба определения не тождественны; они эквивалентны, без сомнения, но они таковы в силу априорного синтетического суждения: нельзя прийти от одного к другому путем чисто логических операций.

Par conséquent nous n'avons pas le droit d'adopter la seconde, après avoir introduit le nombre entier par un chemin qui suppose la première.

Мы не вправе, следовательно, принять второе определение, раз мы ввели целое число, следуя такому пути, который предполагает первое определение.

Nous n'avons pas, comme dans le cas précédent, deux définitions équivalentes irréductibles logiquement l'une à l'autre.

Посмотрим, напротив, как обстоит дело с прямой линией. Я так часто уже говорил об этом, что не решаюсь снова повторять то же самое.

Nous n'en avons qu'une, exprimable par des mots. Dira-ton qu'il y en a une autre que nous sentons sans pouvoir l'énoncer parce que nous avons l'intuition de la ligne droite ou parce que nous nous représentons la ligne droite. Tout d'abord, nous ne pouvons pas nous la représenter dans l'espace géométrique, mais seulement dans l'espace représentatif, et puis nous pouvons nous représenter tout aussi bien les objets qui possèdent les autres propriétés de la ligne droite, sauf celle de satisfaire au postulatum d'Euclide. Ces objets sont les " droites non-euclidiennes " qui à un certain point de vue ne sont pas des entités vides de sens, mais des cercles (de vrais cercles du vrai espace) orthogonaux à une certaine sphère. Si parmi ces objets également susceptibles de représentation, ce sont les premiers (les droites euclidiennes) que nous appelons droites, et non pas les derniers (les droites non-euclidiennes), c'est bien par définition.

Мы не имеем здесь, как это было в предыдущем случае, двух эквивалентных определений, логически друг к другу несводимых. Мы имеем только одно определение, выраженное словами. Могут сказать, что мы имеем еще другое определение, которое мы чувствуем, но не можем выразить, потому что мы имеем интуицию прямой линии, или потому, что мы представляем себе прямую линию. Но, прежде всего, мы не можем представить себе этой линии в геометрическом пространстве, а можем представить лишь в пространстве, имеющемся в нашем представлении; и затем мы легко можем представить себе объекты, которые обладают всеми другими свойствами прямой линии, кроме того свойства, которое удовлетворяет постулату Евклида. Эти объекты суть "неевклидовы прямые", которые с известной точки зрения отнюдь не являются чем-то, лишенным смысла, но представляют собой окружности (настоящие окружности в настоящем пространстве), ортогональные к определенной сфере. Если из этих объектов, которые мы также можем себе представить, мы считаем прямыми первые, т. е. евклидовы прямые, а не последние, т. е. неевклидовы прямые, то это обусловливается определением.

Et si nous arrivons enfin au troisième exemple, à la définition du phosphore, nous voyons que la vraie définition serait : Le phosphore, c'est ce morceau de matière que je vois là dans tel flacon.

Если мы, наконец, обратимся к третьему примеру, к определению фосфора, то мы увидим, что истинное определение будет таково: фосфор - это кусок вещества, который я вижу вот в этом флаконе.

Et puisque je suis sur ce sujet, encore un mot. Pour l'exemple du phosphore j'ai dit : " Cette proposition est une véritable loi physique vérifiable, car elle signifie : tous les corps qui possèdent toutes les autres propriétés du phosphore, sauf son point de fusion, fondent comme lui à 44№ ". Et on m'a répondu : " Non, cette loi n'est pas vérifiable, car si l'on venait à vérifier que deux corps ressemblant au phosphore fondent l'un à 44№ et l'autre à 50№, on pourrait toujours dire qu'il y a sans doute, outre le point de fusion, quelque autre propriété inconnue par laquelle ils diffèrent ".

Остановившись уже на этом примере, скажу еще несколько слов. Относительно истины, касающейся фосфора, я выше сказал: "это предложение есть настоящий физический закон, доступный проверке, так как оно обозначает: все тела, которые обладают всеми прочими свойствами фосфора, помимо точки его плавления, плавятся, как и фосфор, при 44 ". На это мне ответили: "нет, этот закон не может быть проверен, потому что, если бы после проверки оказалось, что два тела, похожие на фосфор, плавятся одно при 44 , а другое при 50 , то всегда можно было бы сказать, что, кроме точки плавления, наверное, имеется еще и другое неизвестное свойство, благодаря которому эти тела друг от друга отличаются".

Ce n'était pas tout à fait cela-que j'avais voulu dire ; j'aurais dû écrire : Tous les corps qui possèdent telles et telles propriétés en nombre fini (à savoir les propriétés du phosphore qui sont énoncées dans les traités de Chimie, le point de fusion excepté) fondent à 44№.

Это было не совсем то, что я хотел сказать. Я должен был бы написать: все тела, которые обладают такими-то и такими-то свойствами в конечном числе (а именно теми свойствами фосфора, которые перечислены в руководствах по химии, за исключением точки плавления), плавятся при 44 .

Et pour mettre mieux en évidence la différence entre le cas de la droite et celui du phosphore, faisons encore une remarque. La droite possède dans la nature plusieurs images plus ou moins imparfaites, dont les principales sont le rayon lumineux et l'axe de rotation d'un corps solide. Je suppose que l'on constate que le rayon lumineux ne satisfait pas au postulatum d'Euclide (par exemple en montrant qu'une étoile a une parallaxe négative), que ferons-nous ? Conclurons-nous que la droite étant par définition la trajectoire de la lumière ne satisfait pas au postulatum, ou bien au contraire que la droite satisfaisant par définition au postulatum, le rayon lumineux n'est pas rectiligne ?

Чтобы сделать более очевидной разницу между примером с прямой линией и примером с фосфором, сделаем еще одно замечание. Прямая линия имеет в природе несколько более или менее несовершенных образов, между которыми главные суть световой луч и ось вращении твердого тела. Я допускаю, что каким-нибудь образом было бы установлено, что световой луч не удовле творяет постулату Евклида (т. е. было бы, например, доказано, что звезда имеет отрицательный параллакс), что сделаем мы дальше? Заключим ли мы отсюда, что прямая, будучи по определению траекторией света, не удовлетворяет постулату или, наоборот, что раз прямая по определению удовлетворяет постулату, то световой луч не представляет собой прямой линии?

Assurément nous sommes libres d'adopter l'une ou l'autre définition et par conséquent l'une ou l'antre conclusion ; mais adopter la première ce serait stupide, parce que le rayon lumineux ne satisfait probablement que d'une façon imparfaite non seulement au postulatum d'Euclide, mais aux autres propriétés de la ligne droite ; que s'il s'écarte de la droite euclidienne, il ne s'écarte pas moins de l'axe de rotation des corps solides qui est une autre image imparfaite de la ligne droite ; qu'enfin il est sans doute sujet au changement, de sorte que telle ligne qui était droite hier, cessera de l'être demain si quelque circonstance physique a changé.

Конечно, мы свободны в выборе того или другого определения и, следовательно, того или иного заключения. Но принять первое заключение было бы нелепо, потому что световой луч удовлетворяет лишь несовершенным образом, вероятно, не только постулату Евклида, но и другим свойствам прямой линии; если он отклоняется от евклидовой прямой, то он также отклоняется и от оси вращения твердых тел, которая является другим несовершенным образом прямой линии; и, наконец, он, без сомнения, подвержен изменениям: будучи прямым вчера, он перестает быть таковым завтра, если какое-нибудь физическое условие изменилось.

Supposons, maintenant que l'on vienne à découvrir que le phosphore ne fond pas à 44№, mais à 43№,9. Conclurons-nous que le phosphore étant par définition ce qui fond à 44№, ce corps que nous appelions phosphore n'est pas du vrai phosphore, ou au contraire que le phosphore fond à 43№,9 ?

Предположим, что было бы найдено, что фосфор плавится не при 44 , а при 43,9 . Заключим ли мы отсюда, что это новое тело, которое мы назвали фосфором, не есть настоящий фосфор, ибо последний, согласно определению, есть тело, которое плавится при 44 или, напротив, мы заключим, что фосфор плавится при 43,9 ?

Ici encore nous sommes libres d'adopter l'une ou l'autre définition et par conséquent l'une ou l'autre conclusion ; mais adopter la première, ce serait stupide parce qu'on ne peut pas changer le nom d'un corps toutes les fois qu'on détermine une nouvelle décimale de son point de fusion.

В этом случае мы также свободны в выборе того или другого определения, а следовательно, того или другого заключения. Но было бы нелепо принять первое заключение, так как нельзя же менять наименование тела каждый раз, когда удается определить лишний десятичный знак в его температуре плавления.

En résumé, MM. Russell et Hilbert ont fait l'un et l'autre un vigoureux effort ; ils ont écrit l'un et l'autre un livre plein de vues originales, profondes et souvent très justes. Ces deux livres nous donneront beaucoup à réfléchir et nous avons beaucoup à y apprendre. Parmi leurs résultats, quelques-uns, beaucoup même, sont solides et destinés à demeurer.

В итоге Рассел и Гильберт сделали большие усилия. Тот и другой написали книги, изобилующие оригинальными, глубокими и часто очень правильными взглядами. Эти две книги дают нам большой материал для размышления; из них мы можем многому научиться. Некоторые и даже многие из выводов, к которым приходят авторы, прочны и будут жить.

Mais dire qu'ils ont définitivement tranché le débat entre Kant et Leibnitz et ruiné la théorie kantienne des mathématiques, c'est évidemment inexact. Je ne sais si réellement ils ont cru l'avoir fait, mais s'ils l'ont cru, ils se sont trompés.

Но, очевидно, было бы неправильно сказать, что они окончательно разрешили спор между Кантом и Лейбницем и разрушили кантову теорию математики. Я не знаю, стоят ли они сами на этой точке зрения, но если они это думают, то они ошибаются.

Les logisticiens ont cherché à répondre aux considérations qui précèdent. Pour cela il leur a fallu transformer la logistique, et M. Russell en particulier a modifié sur certains points ses vues primitives. Sans entrer dans les détails du débat, je voudrais revenir sur les deux questions les plus importantes à mon sens ; les règles de la logistique ont-elles fait leurs preuves de fécondité et d'infaillibilité ? Est-il vrai qu'elles permettent de démontrer le principe d'induction complète sans aucun appel à l'intuition.

Логистики пытались ответить на все приведенные выше соображения. Для такого ответа им надобно было преобразовать логистику (1), и Рассел в особенности видоизменил в некоторых отношениях первоначальные ее точки зрения. Не входя в детали дела, я хочу остановиться только на двух вопросах, на мой взгляд, наиболее важных. Дали ли правила логистики действительно доказательства своей плодотворности и непогрешимости? Верно ли, что они имеют возможность доказать принцип полной индукции, совершенно не обращаясь к интуиции?

En ce qui concerne la fécondité, il semble que M. Couturat se fasse de naïves illusions. La Logistique, d'après lui, prête à l'invention " des échasses et des ailes " et à la page suivante : " Il y a dix ans que M. Peano a publié la première édition de son Formulaire. "

Что касается плодотворности, то Кутюра, по-видимому, строит наивные иллюзии. Логистика, по его мнению, дает изобретательности в ее распоряжение "леса и крылья". А на следующей, странице он говорит: "десять лет тому назад Пеано опубликовал первое издание своего "Formulaire" (2).

Comment, voilà dix ans que vous avez des ailes, et vous n'avez pas encore volé !

Как, уже десять лет, как вы имеете крылья, и вы еще не полетели!

J'ai la plus grande estime pour M. Peano, qui a fait de très jolies choses (par exemple sa courbe qui remplit toute une aire) ; mais enfin il n'est allé ni plus loin, ni plus haut, ni plus vite que la plupart des mathématiciens aptères, et il aurait pu faire tout aussi bien avec ses jambes.

Я питаю величайшее уважение к Пеано, который сделал превосходные работы (например, его кривая, которая заполняет целую площадь), но в конце концов он не ушел ни дальше, ни выше, ни быстрее, чем большая часть бескрылых математиков, и этот путь он мог бы ведь проделать так же хорошо на своих ногах.

Je ne vois au contraire dans la logistique que des entraves pour l'inventeur ; elle ne nous fait pas gagner en concision, loin de là, et s'il faut 27 équations pour établir que 1 est un nombre, combien en faudra-t-il pour démontrer un vrai théorème. Si nous distinguons, avec M. Whitehead, l'individu x, la classe dont le seul membre est x et qui s'appellera ix, puis la classe dont le seul membre est la classe dont le seul membre est x et qui s'appellera iix, croit-on que ces distinctions, si utiles qu'elles soient, vont beaucoup alléger notre allure ?

Я, напротив, вижу в логистике только помеху для изобретателя; с ее помощью мы отнюдь не выигрываем в сжатости; если нужны 27 уравнений, для того чтобы установить, что 1 есть число, то сколько нужно будет уравнений, чтобы доказать настоящую теорему? Если мы различаем вместе с Уайтхедом индивид х, класс, единственный член коего есть х и который называется ix, затем - класс, единственный член которого есть класс с единственным членом x и который называется iix, то можно ли думать, что эти различия, как бы ни были они полезны, облегчат нам движение вперед?

La Logistique nous force à dire tout ce qu'on sous-entend d'ordinaire ; elle nous force à avancer pas à pas ; c'est peut-être plus sûr, mais ce n'est pas plus rapide.

Логистика заставляет нас сказать все то, что обыкновенно подразумевается; она заставляет нас двигаться шаг за шагом; это, быть может, делает движение более верным, но не более быстрым.

Ce ne sont pas des ailes que vous nous donnez, ce sont des lisières. Et alors nous avons le droit d'exiger que ces lisières nous empêchent de tomber. Ce sera leur seule excuse. Quand une valeur ne rapporte pas de gros intérêts, il faut au moins que ce soit un placement de père de famille.

Вы даете нам не крылья, а детские помочи. Но тогда мы имеем право требовать, чтобы эти помочи не давали нам падать В такой помощи - единственное их оправдание. Если ценное имущество не приносит крупных доходов, то нужно по крайней мере, чтобы оно было в надежных руках.

Doit-on suivre vos règles aveuglément ? Oui, sans quoi ce serait l'intuition seule qui nous permettrait de discerner entre elles ; mais alors il faut qu'elles soient infaillibles ; ce n'est que dans une autorité infaillible qu'on peut avoir une confiance aveugle. C'est donc une nécessité pour vous. Vous serez infaillibles ou vous ne serez pas.

Нужно ли следовать вашим правилам слепо? Конечно, да, иначе нам могла бы помочь разобраться в них одна только интуиция. Но в таком случае необходимо, чтобы эти правила были непогрешимы; слепое доверие можно питать только к непогрешимому авторитету. Для вас это необходимость. Вы должны быть непогрешимы, или вас не будет.

Vous n'avez pas le droit de nous dire : " Nous nous trompons, c'est vrai, mais vous vous trompez aussi ". Nous tromper, pour nous, c'est un malheur, un très grand malheur, pour vous c'est la mort.

Вы не вправе сказать нам: "мы ошибаемся - это правда, но вы также ошибаетесь". Но наша ошибка для нас - несчастье, большое несчастье, для вас - это смерть.

Ne dites pas non plus : est-ce que l'infaillibilité de l'arithmétique empêche les erreurs d'addition ; les règles du calcul sont infaillibles, et pourtant on voit se tromper ceux qui n'appliquent pas ces règles ; mais en revisant leur calcul, on verra tout de suite à quel moment ils s'en sont écartés. Ici ce n'est pas cela du tout ; les logisticiens ont appliqué leurs règles, et ils sont tombés dans la contradiction ; et cela est si vrai qu'ils s'apprêtent à changer ces règles et à " sacrifier la notion de classe ". Pourquoi les changer si elles étaient infaillibles ?

Еще менее вправе вы сказать: "Разве непогрешимость арифметики препятствует ошибкам сложения? Правила счета непогрешимы, и все же мы видим, как ошибаются те, которые их применяют". Однако, просматривая их переделки, легко заметить, в какой момент они уклонились от правил. Здесь же совсем не то; логистики применили свои правила и впали в противоречие. Это настолько верно, что они готовы изменить правила и "пожертвовать понятием класса". Зачем же изменять правила, если они были непогрешимы?

" Nous ne sommes pas obligés, dites-vous, de résoudre hic et nunc tous les problèmes possibles. " Oh, nous ne vous en demandons pas tant ; si en face d'un problème, vous ne donniez aucune solution, nous n'aurions rien à dire ; mais au contraire vous nous en donnez deux et qui sont contradictoires et dont par conséquent une au moins est fausse, et c'est cela qui est une faillite.

"Мы не обязаны, - говорите вы, - разрешать hic et nunc (3) все возможные проблемы". О, мы от вас не требуем столь многого; если бы вы, разрешая проблему, не давали никакого решения, мы ничего не сказали бы; но вы, напротив, даете нам два решения, которые друг другу противоречат и из которых, следовательно, по крайней мере одно ложно. А это банкротство.

M. Russell cherche à concilier ces contradictions, ce qu'on ne peut faire, d'après lui " qu'en restreignant ou même en sacrifiant la notion de classe. " Et M. Couturat, escomptant le succès de cette tentative, ajoute : " Si les logisticiens réussissent là où les autres ont échoué, M. Poincaré voudra bien se rappeler cette phrase, et faire honneur de la solution à la Logistique. "

Рассел старается примирить эти противоречия и признает, что для такого примирения необходимо "ограничить понятие класса или даже пожертвовать им". Кутюра же, учитывая успех этой попытки, прибавляет: "если логистики достигнут того, что не удавалось другим, Пуанкаре не откажется вспомнить эту фразу и воздать должное решению логистики".

Mais non : La Logistique existe, elle a son code qui a déjà eu quatre éditions ; ou plutôt c'est ce code qui est la Logistique elle-même. M. Russell s'apprête-t-il à montrer que l'un au moins des deux raisonnements contradictoires a transgressé ce code ? Pas le moins du monde, il s'apprête à changer ces lois, et à en abroger un certain nombre. S'il réussit, j'en ferai honneur à l'intuition de M. Russell et non à la Logistique péanienne qu'il aura détruite.

Но это не так: логистика существует, она имеет свое уложение, вышедшее уже в четырех изданиях; или, правильнее, это уложение и есть сама логистика. Готов ли Рассел показать, что по крайней мере одно из двух противоречивых суждений вышло за пределы уложения? Отнюдь нет; он готов изменить эти законы, а некоторые из них и уничтожить. Если он успешно выполнит свою попытку, то я воздам должное интуиции Рассела, но не логистике Пеано, которую он таким образом разрушит.

J'avais opposé dans l'article cité deux objections principales à la définition du nombre entier adoptée par les logisticiens. Que répond M. Couturat à la première de ces objections ?

Я привел выше два главных возражения против того определения целого числа, которое принято в логистике. Какой ответ дает Кутюра на первое возражение?

Que signifie en mathématiques le mot exister ; il signifie, avais-je dit, être exempt de contradiction. C'est ce que M. Couturat conteste ; " L'existence logique, dit-il, est tout autre chose que l'absence de contradiction. Elle consiste dans le fait qu'une classe n'est pas vide ; dire : Il existe des a, c'est, par définition, affirmer que la classe a n'est pas nulle ". Et sans doute, affirmer que la classe a n'est pas nulle, c'est par définition, affirmer qu'il existe des a. Mais l'une des deux affirmations est aussi dénuée de sens que l'autre, si elles ne signifient pas toutes deux, ou bien qu'on peut voir ou toucher des a, ce qui est le sens que leur donnent les physiciens ou les naturalistes, ou bien qu'on peut concevoir un a sans être entraîné à des contradictions, ce qui est le sens que leur donnent les logiciens et les mathématiciens.

Что обозначает в математике слово существовать? Оно обозначает, сказал я, отсутствие противоречия. Кутюра возражает против этого. Он говорит: "Логическое существование есть нечто отличное от отсутствия противоречия. Оно заключается в том факте, что некоторый класс не пуст; сказать: "элементы а существуют" - значит, согласно определению, утверждать, что класс не есть нулевой". И, само собой разумеется, утверждать, что класс а не есть нулевой, значит, согласно определению, утверждать, что элементы а существуют. Но одно из этих утверждений так же лишено смысла, как и другое, если только они оба не обозначают либо то, что можно это а видеть или осязать, либо то, что можно постигнуть а, не впадая в противоречие. Но в первом случае мы имеем дело с утверждением, которое принимают физики и натуралисты; во втором случае - с утверждением, которое выставляют логики и математики.

Pour M. Couturat ce n'est pas la non-contradiction qui prouve l'existence, c'est l'existence qui prouve la non-contradiction. Pour établir l'existence d'une classe, il faut donc établir, par un exemple, qu'il y a un individu appartenant à cette classe : " Mais, dira-t-on, comment démontre-t-on l'existence de cet individu ? Ne faut-il pas que cette existence soit établie, pour qu'on puisse en déduire l'existence de la classe dont il fait partie ? - Eh bien, non ; si paradoxale que paraisse cette assertion, on ne démontre jamais l'existence d'un individu. Les individus, par cela seul qu'ils sont des individus, sont toujours considérés comme existants. On n'a jamais à exprimer qu'un individu existe, absolument parlant, mais seulement qu'il existe dans une classe. " M. Couturat trouve sa propre assertion paradoxale, il ne sera certainement pas le seul. Elle doit, pourtant avoir un sens ; il veut dire sans doute que l'existence d'un individu, seul au monde, et dont on n'affirme rien, ne peut entraîner de contradiction ; tant qu'il sera tout seul, il est évident qu'il ne pourra gêner personne. Eh bien, soit, nous admettrons l'existence de l'individu, " absolument parlant " ; mais de celle-là nous n'avons que faire ; il vous restera à démontrer l'existence de l'individu " dans une classe " et pour cela il vous faudra toujours prouver que l'affirmation : tel individu appartient à telle classe, n'est contradictoire ni en elle-même, ni avec les autres postulats adoptés.

Для Кутюра не отсутствие противоречия доказывает бытие, а бытие доказывает отсутствие противоречия. Чтобы установить существование класса, нужно установить при помощи примера, что есть какой-нибудь индивид, принадлежащий к этому классу. "Но, - скажут, - как доказать существование такого индивида? Не надобно ли, чтобы это существование было установлено для того, чтобы мы из него могли вывести существование класса, к которому принадлежит индивид? Совсем нет. Как ни покажется парадоксальным такое утверждение, нужно сказать, что никогда не доказывают существования индивида. Индивиды уже по одному тому, что они индивиды, всегда рассматриваются как существующие. Абсолютно говоря, нет нужды высказывать, что индивид существует, а нужно лишь сказать, что он существует в классе". Кутюра находит свое собственное утверждение парадоксальным, и, конечно, не он один найдет его таковым. Это утверждение, однако, должно иметь свой смысл. Кутюра, без сомнения, хочет сказать, что существование индивида, который является единственным в мире и о котором ничего не утверждается, не может повлечь противоречия; пока он остается единственным, он, очевидно, никого не стесняет. Пусть так; допустим, "абсолютно говоря", существование индивида; но с этим существованием нам нечего делать; нам нужно будет доказать существование индивида "в классе", а для этого надобно будет доказать, что утверждение "такой-то индивид принадлежит к такому-то классу" не стоит в противоречии ни с самим собой, ни с другими принятыми постулатами.

" C'est donc émettre une exigence arbitraire et abusive que de prétendre qu'une définition n'est valable que si l'on prouve d'abord qu'elle n'est pas contradictoire. " On ne saurait revendiquer en termes plus énergiques et plus fiers la liberté de la contradiction. " En tout cas, l'onus probandi incombe à ceux qui croient que ces principes sont contradictoires. " Des postulats sont présumés compatibles jusqu'à preuve du contraire, de même qu'un accusé est présumé innocent.

"Утверждать, что определение лишь тогда имеет действительное значение, когда раньше доказано, что оно непротиворечиво, это значит, - продолжает Кутюра, - предъявлять произвольное и неправильное требование". Капитуляция в вопросе об отсутствии противоречия выражена здесь в словах как нельзя более энергичных и самонадеянных. "Во всяком случае onus probandi (4) падает на тех, кто полагает, что эти принципы противоречивы". Постулаты предполагаются совместимыми друг с другом до тех пор, пока не доказано противоположное, подобно тому, как обвиняемый по презумпции предполагается невиновным.

Inutile d'ajouter que je ne souscris pas à cette revendication. Mais, dites-vous, la démonstration que vous exigez de nous est impossible, et vous ne pouvez nous sommer de " prendre la lune avec les dents ". Pardon, cela est impossible pour vous, mais pas pour nous, qui admettons le principe d'induction comme un jugement synthétique a priori. Et cela serait nécessaire pour vous, comme pour nous.

Излишне говорить, что я не подписываюсь под этой капитуляцией. Но, говорите вы, доказательство, которого вы от нас требуете, невозможно, вы не должны от нас требовать, чтобы мы "схватили Луну зубами" (5). Простите, оно невозможно для вас, но не для нас, допускающих принцип индукции в качестве априорного синтетического суждения. И оно так же необходимо вам, как и нам.

Pour démontrer qu'un système de postulats n'implique pas contradiction, il faut appliquer le principe d'induction complète ; non seulement ce mode de raisonnement n'a rien de " bizarre ", mais c'est le seul correct. Il n'est pas " invraisemblable " qu'on l'ait jamais employé ; et il n'est pas difficile d'en trouver des " exemples et des précédents ". J'en ai cité deux dans mon article et qui étaient empruntés à la brochure de M. Hilbert. Il n'est pas le seul à en avoir fait usage et ceux qui ne l'ont pas fait ont eu tort. Ce que j'ai reproché à M. Hilbert, ce n'est pas d'y avoir eu recours (un mathématicien de race comme lui ne pouvait pas ne pas voir qu'il fallait une démonstration et que celle-là était la seule possible), mais d'y avoir eu recours sans y reconnaître le raisonnement par récurrence.

Чтобы доказать, что система постулатов не заключает противоречия, необходимо применить принцип полной индукции; этот способ суждения не только не "странный", но единственно правильный. Отнюдь нельзя считать "неправдоподобными" случаи его применения; и нетрудно найти соответствующие "примеры и прецеденты". Я цитировал в моей статье два таких примера, заимствованных из брошюры Гильберта. Но он не один применял такой способ; те же, которые его избегали, были неправы. Я упрекал Гильберта не в том, что он к нему прибегал (как настоящий математик, Гильберт не мог не увидеть, что здесь необходимо было доказательство и что данное им доказательство было единственно возможное), но в том, что, прибегая к нему, он не признавал в нем суждения по рекуррентному методу.

J'avais signalé une seconde erreur des logisticiens dans l'article de M. Hilbert ; aujourd'hui M. Hilbert est excommunié et M. Couturat ne le regarde plus comme un logisticien ; il va donc me demander si j'ai trouvé la même faute chez les logisticiens orthodoxes. Non, je ne l'ai pas vue dans les pages que j'ai lues ; je ne sais si je la trouverais dans les 300 pages qu'ils ont écrites et que je n'ai pas envie de lire.

Я отметил вторую ошибку логистиков в статье Гильберта. Теперь Гильберт отлучен, и Кутюра более не считает его логистиком. Он меня спросит, нашел ли я ту же самую ошибку у логистиков-ортодоксов. Нет, я не встречал ее на тех страницах, которые прочитал; но я не знаю, не встречу ли я ее на трехстах страницах, которые написаны ортодоксами и которые у меня нет желания читать.

Seulement il faudra bien qu'ils la commettent le jour où ils voudront tirer de la science mathématique une application quelconque. Cette science n'a pas uniquement pour objet de contempler éternellement son propre nombril ; elle touche à la nature et un jour ou l'autre elle prendra contact avec elle ; ce jour-là, il faudra secouer les définitions purement verbales et ne plus se payer de mots.

Но логистикам придется впасть в эту ошибку, как только они захотят сделать из математической науки какое-нибудь приложение. Эта наука не имеет единственной целью вечное созерцание своего собственного пупа; она приближается к природе, и раньше или позже она придет с ней в соприкосновение; в этот момент не обходимо будет отбросить чисто словесные определения, которыми нельзя будет более довольствоваться.

Revenons à l'exemple de M. Hilbert ; il s'agit toujours du raisonnement par récurrence, et de la question de savoir si un système de postulats n'est pas contradictoire. M. Couturat me dira sans aucun doute qu'alors cela ne le touche pas, mais cela intéressera peut-être ceux qui ne revendiquent pas comme lui la liberté de la contradiction.

Вернемся к примеру Гильберта. Дело идет все о том же рекуррентном суждении и о том, заключает ли система постулатов противоречие. Кутюра скажет, без сомнения, что это его не касается; но это заинтересует, быть может, тех, кто не отказывается, как он, от доказательства отсутствия противоречия.

Nous voulons établir comme plus haut que nous ne rencontrerons pas de contradiction après un nombre quelconque de raisonnements, aussi grand que l'on veut, pourvu que ce nombre soit fini. Pour cela il faut appliquer le principe d'induction. Devons-nous entendre ici par nombre fini, tout nombre auquel par définition le principe d'induction s'applique ? Évidemment non, sans quoi nous serions conduits aux conséquences les plus étranges.

Мы хотим установить, как мы говорили выше, что не встретим противоречия после сколь угодно большого числа суждений, раз это число будет конечным. Для этого необходимо применить принцип индукции. Должны ли мы под конечным числом понимать здесь всякое число, к которому по определению применим принцип индукции? Очевидно, нет, так как в противном случае мы пришли бы к следствиям, которые нас чрезвычайно затруднили бы.

Pour que nous ayons le droit de poser un système de postulats, il faut que nous soyons assurés qu'ils ne sont pas contradictoires. C'est là une vérité qui est admise par la plupart des savants, j'aurais écrit par tous avant d'avoir lu le dernier article de M. Couturat. Mais que signifie-t-elle ? Veut-elle dire : il faut que nous soyons sûrs de ne pas rencontrer de contradiction après un nombre fini de propositions, le nombre fini étant par définition celui qui jouit de toutes les propriétés de nature récurrente, de telle façon que si une de ces propriétés faisait défaut, si par exemple nous tombions sur une contradiction, nous conviendrions de dire que le nombre en question n'est pas fini ?

Для того чтобы мы имели право установить систему постулатов, мы должны быть уверены, что постулаты непротиворечивы. Это - истина, принятая большинством ученых, я бы сказал "всеми учеными" до того, как прочел последнюю статью Кутюра. Но что обозначает эта истина? Имеется ли в виду: необходимо, чтобы мы были уверены в том, что не встретим противоречия после конечного числа предложений, причем конечным по определению будет такое число, которое обладает всеми свойствами рекуррентного характера, так что, если одно из этих свойств отсутствует, если мы, например, натолкнемся на противоречие, то мы условимся говорить, что данное число не есть конечное?

En d'autres termes, voulons-nous dire : Il faut que nous soyons sûrs de ne pas rencontrer de contradiction à la condition de convenir de nous arrêter juste au moment où nous serions sur le point d'en rencontrer une ? Il suffit d'énoncer une pareille proposition pour la condamner.

Другими словами, хотим ли мы сказать: необходимо, чтобы мы были уверены в том, что мы не встретим противоречия при условии, что мы согласимся остановиться в тот момент, когда такое противоречие начнет обрисовываться? Достаточно сформулировать такое предложение, чтобы тут же его осудить.

Ainsi non seulement le raisonnement de M. Hilbert suppose le principe d'induction, mais il suppose que ce principe nous est donné, non comme une simple définition, mais comme un jugement synthétique a priori.

Таким образом, рассуждение Гильберта не только предполагает принцип индукции, но оно предполагает, что этот принцип нам дан не как простое определение, а как априорное синтетическое суждение.

En résumé :

Резюмируем:

Une démonstration est nécessaire.

доказательство необходимо;

La seule démonstration possible est la démonstration par récurrence.

единственно возможное доказательство есть рекуррентное доказательство;

Elle n'est légitime que si on admet le principe d'induction, et si ou le regarde non comme une définition, mais comme un jugement synthétique.

оно законно только тогда, когда допускают принцип индукции и когда его рассматривают не как определение, а как синтетическое суждение.

Je vais maintenant aborder l'examen de l'important mémoire de M. Russell. Ce mémoire a été écrit en vue de triompher des difficultés soulevées par ces antinomies cantoriennes auxquelles nous avons fait déjà de fréquentes allusions. Cantor avait cru pouvoir constituer une Science de l'Infini ; d'autres se sont avancés dans la voie qu'il avait ouverte, mais ils se sont bientôt heurtés à d'étranges contradictions. Ces antinomies sont déjà nombreuses, mais les plus célèbres sont :

Я обращаюсь теперь к рассмотрению нового мемуара Рассела. Этот мемуар был написан с целью преодолеть трудности, поднятые теми канторовскими антиномиями нa которые я неоднократно намекал выше. Кантор думал, что можно построить науку бесконечного; другие пошли по пути, открытому Кантором, но скоро натолкнулись на странные противоречия. Возникшие антиномии уже многочисленны, но наиболее известны следующие:

1№ L'antinomie Burali-Forti ;

1 Антиномия Бурали-Форти.

2№ L'antinomie Zermelo-König ;

2 Антиномия Цермело-Кённга.

3№ L'antinomie Richard.

3 Антиномия Ришара.

Cantor avait démontré que les nombres ordinaux (il s'agit des nombres ordinaux transfinis, notion nouvelle introduite par lui) peuvent être rangés en une série linéaire, c'est-à-dire que de deux nombres ordinaux inégaux, il y en a toujours un qui est plus petit que l'autre. Burali-Forti démontre le contraire ; et en effet, dit-il en substance, si on pouvait ranger tous les nombres ordinaux en une série linéaire, cette série définirait un nombre ordinal qui serait plus grand que tous les autres ; on pourrait ensuite y ajouter 1 et on obtiendrait encore un nombre ordinal qui serait encore plus grand, et cela est contradictoire.

Кантор доказал, что порядковые числа (речь идет о порядковых трансфинитных числах, т. е. о новом понятии введенном Кантором) могут быть размещены в один линейный ряд, т. е. доказал, что из двух неравных порядковых чисел одно число всегда меньше другого. Бурали-Форти доказывает противоположное. В самом деле, говорит он, если бы все порядковые числа можно было разместить в один ряд, то этот ряд определял бы порядковое число, которое было бы больше, чем все другие; но к нему можно было бы прибавить единицу, и тогда получилось бы порядковое число, которое было бы еще больше, а это приводит к противоречию. Мы вернемся позднее к антиномии Церкело - Кёнига, которая имеет несколько отличную природу.

Nous reviendrons plus loin sur l'antinomie Zermelo-König qui est d'une nature un peu différente ; voici ce que c'est que l'antinomie Richard. (Revue générale des Sciences, 30 juin 1905.) Considérons tous les nombres décimaux qu'on peut définir à l'aide d'un nombre fini de mots ; ces nombres décimaux forment un ensemble E, et il est aisé de voir que cet ensemble est dénombrable, c'est-à-dire qu'on peut numéroter les divers nombres décimaux de cet ensemble depuis 1 jusqu'à l'infini. Supposons le numérotage effectué, et définissons un nombre N de la façon suivante. Si la n^e décimale du n^e nombre de l'ensemble E est

Но вот антиномия Ришара (Revue Generale des Sciences, 30 juin, 1905). Рассмотрим все десятичные числа, которые можно определить при помощи конечного числа слов. Эти десятичные числа образуют совокупность E, и легко видеть, что это есть исчислимая совокупность, т, е. можно перенумеровать различные десятичные числа этой совокупности от 1 до бесконечности. Допустим, что это уже произведено, и определим число N следующим образом. Если n-я цифра n-го числа совокупности Е есть

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

la n^e décimale de N sera

то n-я цифра числа N будет соответственно

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1.

Comme on le voit, N n'est pas égal au n^e nombre de E et comme n est quelconque, N n'appartient pas à E et pourtant N devrait appartenir à cet ensemble puisque nous l'avons défini avec un nombre fini de mots.

Как мы видим, N не равно n-му числу совокупности Е, а так как n есть произвольное число, то N не принадлежит совокупности E; между тем N должно ей принадлежать, так как мы определили N при помощи конечного числа слов.

Nous verrons plus loin que M. Richard a donné lui-même, avec beaucoup de sagacité, l'explication de son paradoxe et que son explication peut s'étendre, mutatis mutandis, aux autres paradoxes analogues.

Мы увидим ниже, что Ришар сам дал объяснение своего парадокса, обнаружив при этом большую проницательность, и что его объяснение может быть mutatis mutandis (6) распространено на другие аналогичные парадоксы. Рассел цитирует еще другую довольно любопытную антиномию.

Quel est le plus petit nombre entier que l'on ne peut pas définir par une phrase formée de moins de cent mots français ?

К а к о в о то н а и м е н ь ш е е ц е л о е ч и с л о, к о т о р о е н е л ь з я о п р е д е л и т ь п р и п о м о щ и ф р а з ы, и м е ю щ е й м е н е е с т а ф р а н ц у з с к и х с л о в?

Ce nombre existe ; et en effet les nombres susceptibles d'être définis par une pareille phrase sont évidemment en nombre fini puisque les mots de la langue française ne sont pas en nombre infini. Donc, parmi eux, il y en aura un qui sera plus petit que tous les autres.

Такое число существует. И в самом деле, числа, которые могут быть определены такой фразой, имеются, очевидно, в конечном количестве, ибо слова французского языка имеются также в конечном количестве. Следовательно, между этими числами будет одно такое, которое меньше всех прочих.

Et, d'autre part, ce nombre n'existe pas, car sa définition implique contradiction. Ce nombre en effet se trouve défini par la phrase en italiques qui est formée de moins de cent mots français ; et par définition ce nombre ne doit pas pouvoir être défini par une semblable phrase.

Но, с другой стороны, это число не существует, так как определение его заключает противоречие. Действительно, это число определяется самой фразой, напечатанной выше в разрядку и состоящей менее, чем из ста слов, а по определению это число не может быть определено подобной фразой.

Quelle est l'attitude de M. Russell en présence de ces contradictions ? Après avoir analysé celles dont nous venons de parler et en avoir cité d'autres encore, après leur avoir donné une forme qui fait penser à l'Epiménide, il n'hésite pas à conclure :

Какую позицию занимает Рассел ввиду этих противоречий? Рассмотрев те, о которых мы только что говорили, указав еще на другие и придав им форму, которая заставляет вспомнить об Эпимениде, он без колебаний заключает:

" A propositional function of one variable does not always determine a class. " Une " propositional function " ou " norm " peut être " non prédicative ". Et cela ne veut pas dire que ces propositions non prédicatives déterminent une classe vide, une classe nulle ; cela ne veut pas dire qu'il n'y a aucune valeur de x qui satisfasse à la définition et qui puisse être l'un des éléments de la classe. Les éléments existent, mais ils n'ont pas le droit de se syndiquer pour former une classe.

"A prepositional function of one variable does not always deter mine a class". Пропозициональная функция (т. е. определение) одной переменной не всегда определяет класс. "Пропозициональная функция", или "норма", может быть "непредикативной". И это не значит, что такие непредикативные предложения определяют пустой класс, нулевой класс; это не значит, что нет такой величины х, которая удовлетворяла бы определению и могла бы быть одним из элементов класса. Элементы существуют, но они не могут соединяться для образования класса.

Mais cela n'est que le commencement et il faut savoir reconnaître si une définition est ou non prédicative ; pour résoudre ce problème, M. Russell hésite entre trois théories qu'il appelle

Но это только начало, нужно еще быть в состоянии узнать, является ли определение предикативным или нет. Разрешая эту проблему, Рассел колеблется между тремя теориями, которые он называет:

A. The zigzag theory ;

А. теория зигзага (the zigzag theory);

B. The theory of limitation of size ;

В. теория ограничения размера (the theory of limitation of size);

C. The no classes theory.

С. теория неклассов (the no classes theory).

D'après la zigzag theory : " les définitions (fonctions propositionnelles) déterminent une classe quand elles sont très simple et ne cessent de le faire que quand elles sont compliquées et obscures ". Qui décidera maintenant si une définition peut être regardée comme suffisamment simple pour être acceptable ? A cette question pas de réponse, sinon l'aveu loyal d'une complète impuissance : " les règles qui permettraient de reconnaître si ces définitions sont prédicatives seraient extrêmement compliquées et ne peuvent se recommander par aucune raison plausible. C'est un défaut auquel on pourrait remédier par plus d'ingéniosité ou en se servant de distinctions non encore signalées. Mais jusqu'ici, en cherchant ces règles, je n'ai pu trouver d'autre principe directeur que l'absence de contradiction ".

Согласно теории зигзагов "определения (пропозициональные функции) определяют класс, когда они очень просты, и перестают определять таковой, когда они становятся сложными и неясными". Кто же решит вопрос: можно ли рассматривать данное опреде- ление как достаточно простое, для того чтобы оно было приемлемо? На этот вопрос нет ответа, если не считать таковым форменное признание в полном бессилии: "правила, которые позволили бы распознавать, являются ли эти определения предикативными, были бы чрезвычайно сложны и рекомендовать их не было бы целесообразным ни с какой точки зрения. Это недостаток, который можно было бы исправить только при большой изобретательности или при помощи таких отличий, которые еще не намечены. Но до настоящего момента я в поисках этих правил не мог найти другого руководящего принципа, кроме отсутствия противоречия".

Cette théorie reste donc bien obscure ; dans cette nuit, une seule lueur ; c'est le mot zigzag. Ce que M. Russell appelle la " zigzag-giness " c'est sans doute ce caractère particulier qui distingue l'argument d'Epiménide.

Эта теория остается, таким образом, довольно темной. В этой ночи - единственный проблеск, и этот проблеск есть слово "зигзаг". То, что Рассел называет "zigzag-giness", является, без сомнения, тем особенным свойством, которым отличается аргумент Эпименида.

D'après la theory of limitation of size, une classe cesserait d'avoir droit à l'existence si elle était trop étendue. Peut-être pourrait-elle être infinie, mais il ne faudrait pas qu'elle le fût trop.

Согласно теории of limitation of size класс теряет право на существование, если он слишком обширен. Он может даже быть бесконечным, но не должен быть "чрезмерно" бесконечным.

Mais nous retrouvons toujours la même difficulté ; à quel moment précis commencera-t-elle à l'être trop ? Bien entendu, cette difficulté n'est pas résolue et M. Russell passe à la troisième théorie.

Мы и здесь встречаемся все с тем же затруднением: в какой же именно момент класс начинает становиться слишком бесконечным? Само собой разумеется, это затруднение не разрешено, и Рассел переходит к третьей теории.

Dans la no classes theory, il est interdit de prononcer le mot classe et on doit remplacer ce mot par des périphrases variées. Quel changement pour les logisticiens qui ne parlent que de classes et de classes de classes ! Il va falloir refaire toute la Logistique. Se figure-t-on quel sera l'aspect d'une page de Logistique quand on en aura supprimé toutes les propositions où il est question de classe ? Il n'y aura plus que quelques survivantes éparses au milieu d'une page blanche. Apparent rari nantes in gurgite vasto.

В no classes theory запрещено произносить слово "класс", Оно должно замещаться разнообразными перифразами. Какой это крупный переворот для логистиков, которые только и говорят о классах и о классах классов! Необходимо переделать всю логистику. Представляют ли себе эти авторы, какой вид примет страница логистики, если в ней будут уничтожены все предложения, в которых идет речь о классах? Кроме нескольких строк, переживших такую операцию, на белой странице ничего не останется.

Quoi qu'il en soit, on voit quelles sont les hésitations de M. Russell, les modifications qu'il va faire subir aux principes fondamentaux qu'il a adoptés jusqu'ici. Il va falloir des critères pour décider si une définition est trop compliquée ou trop étendue, et ces critères ne pourront être justifiés que par un appel à l'intuition.

Как бы то ни было, мы видим, каковы колебания Рассела, видим изменения, которым он подвергает принятые им же основные принципы. Необходимы были критерии, чтобы решить, является ли определение слишком сложным или слишком обширным, а эти критерии не могут быть оправданы иначе, как обращением к интуиции.

C'est vers la no classes theory que M. Russell incline finalement.

Рассел в конце концов склоняется к теории неклассов.

Quoi qu'il en soit, la Logistique est à refaire et on ne sait trop ce qu'on en pourra sauver. Inutile d'ajouter que le Cantorisme et la Logistique sont seuls en cause ; les vraies mathématiques, celles qui servent à quelque chose, pourront continuer à se développer d'après leurs principes propres sans se préoccuper des orages qui sévissent en dehors d'elles, et elles poursuivront pas à pas leurs conquêtes accoutumées qui sont définitives et qu'elles n'ont jamais à abandonner.

Как бы там ни было, логистика должна быть переделана, и неизвестно, что в ней может быть спасено. Бесполезно прибавлять, что на карту поставлены только канторизм и логистика. Истинные математические науки, т. е. те, которые чему-нибудь служат могут продолжать свое развитие согласно свойственным им принципам, не заботясь о тех бурях, которые бушуют вне их; они будут шаг за шагом делать свои завоевания, которые являются окончательными и от которых им никогда не будет нужды отказываться.

Quel choix devons-nous faire entre ces différentes théories ? Il me semble que la solution est contenue dans une lettre de M. Richard dont j'ai parlé plus haut et qu'on trouvera dans la Revue Générale des Sciences du 30 juin 1905. Après avoir exposé l'antinomie que nous avons appelée l'antinomie Richard, il en donne l'explication.

Какой же выбор должны мы сделать между этими различными теориями? Мне кажется, что решение заключается в письме Ришара, о котором я уже говорил и которое помещено в "Revue Generale des Sciences" от 30 июня 1905 г. Изложив антиномию, которую я назвал антиномией Ришара, последний дает ей и объяснение.

Reportons-nous à ce que nous avons dit de cette antinomie au ј VII ; E est l'ensemble de tous les nombres que l'on peut définir par un nombre fini de mots, sans introduire la notion de l'ensemble E lui-même. Sans quoi la définition de E contiendrait un cercle vicieux ; on ne peut pas définir E par l'ensemble E lui-même.

Вернемся к тому, что мы сказали об этой антиномии в разделе V. Пусть Е будет совокупностью всех чисел, которые можно определить при помощи конечного числа слов, не вводя при этом понятия о самой совокупности Е. В противном случае определение Е заключало бы ложный круг: нельзя определять Е при помощи самой же совокупности Е.

Or nous avons défini N, avec un nombre fini de mots il est vrai, mais en nous appuyant sur la notion de l'ensemble E. Et voilà pourquoi N ne fait pas partie de E.

Далее мы определили число N, правда, при помощи конечного числа слов, но мы опирались на понятие о совокупности Е. Вот почему N и не составляет части Е.

Dans l'exemple choisi par M. Richard, la conclusion se présente avec une entière évidence et l'évidence paraîtra encore plus grande quand on se reportera au texte même de sa lettre. Mais la même explication vaut pour les autres antinomies ainsi qu'il est aisé de le vérifier.

В примере, избранном Ришаром, вывод представляется с полной очевидностью, и очевидность эта станет еще более ясной, если обратиться к самому тексту письма. Но это же объяснение годится, как в том легко убедиться, и для других антиномий.

Ainsi les définitions qui doivent être regardées comme non prédicatives sont celles qui contiennent un cercle vicieux. Et les exemples qui précèdent montrent suffisamment ce que j'entends par là. Est-ce là ce que M. Russell appelle la " zigzagginess ? "

Итак, те определения, которые должны быть рассматриваемы как непредикативные, заключают ложный круг. Предшествовавшие примеры достаточно показали, что я под этим разумею. Не это ли Рассел обозначает названием "zigzag-giness"?

Je pose la question sans la résoudre.

Я ставлю вопрос, не разрешая его.

Examinons les prétendues démonstrations du principe d'induction et en particulier celle de M. Russell et celle de Burali-Forti.

Рассмотрим теперь мнимые доказательства принципа индукции и в особенности доказательства Уайтхеда и Бурали-Форти.

Et d'abord pour mieux faire comprendre la position de la question, profitons de quelques dénominations nouvelles heureusement introduites par M. Russell dans son récent mémoire.

Поговорим сначала о доказательстве Уайтхеда и воспользуемся некоторыми новыми и удачными обозначениями, которые Рассел ввел в своем последнем мемуаре.

Appelons classe récurrente toute classe de nombres qui contient zéro, et qui contient n+1 si elle contient n.

Назовем рекуррентным классом всякий класс чисел, который содержит 0 и который содержит n+l, если он содержит n.

Appelons nombre inductif tout nombre qui fait partie de toutes les classes récurrentes.

Назовем индуктивным числом всякое число, которое составляет часть всех рекуррентных классов.

Appelons nombre fini le nombre cardinal d'une classe qui n'est équivalente à aucune de ses parties.

При каком условии это последнее определение, играющее существенную роль в доказательстве Уайтхеда, будет "предикативным" и, следовательно, приемлемым?

Il faut entendre, d'après tout ce qui précède, par toutes les classes récurrentes, toutes celles dans la définition desquelles n'entre pas la notion de nombre inductif.

Согласно предшествующему изложению под всеми рекуррентными классами надо понимать все классы, в определение которых не входит понятие об индуктивном числе.

Sans cela on retombe dans le cercle vicieux qui a engendré les antinomies.

Без этого можно впасть в ложный круг, который и породил антиномии.

Or Whitehead n'a pas pris cette précaution.

Но Уайтхед не принял этой предосторожности.

Le raisonnement de Whitehead est donc vicieux ; c'est le même qui a conduit aux antinomies ; il était illégitime quand il donnait des résultats faux ; il reste illégitime quand il conduit par hasard à un résultat vrai.

Его рассуждение ложно; именно оно и повело к антиномиям; оно было незаконным, когда давало ложные результаты, и остается незаконным, когда приводит случайно к правильному результату.

Une définition qui contient un cercle vicieux ne définit rien. Il ne sert à rien de dire, nous sommes sûrs, quelque sens que nous donnions à notre définition, qu'il y a au moins zéro qui appartient à la classe des nombres inductifs ; il ne s'agit pas de savoir si cette classe est vide, mais si on peut rigoureusement la délimiter. Une classe " non prédicative " ce n'est pas une classe vide, c'est une classe dont la frontière est indécise.

Определение, которое содержит заколдованный круг, ничего не определяет. Не к чему говорить: мы уверены, что, какой бы смысл ни был дан нашему определению, все же существует по крайней мере нуль, который принадлежит классу индуктивных чисел. Дело не в том, чтобы узнать, пуст ли этот класс, а в том, чтобы его строго отграничить. "Непредикативный" класс - это не пустой класс, а класс, в котором граница оказывается неопределенной.

Inutile d'ajouter que cette objection particulière laisse subsister les objections générales qui s'appliquent à toutes les démonstrations.

Излишне прибавлять, что это частное возражение оставляет в силе те общие возражения, которые приложимы ко всем доказательствам.

M. Burali-Forti a donné une autre démonstration dans son article Le Classi finite (Atti di Torino, t. XXXII). Mais il est obligé d'admettre deux postulats :

Бурали-Форти представил другое доказательство в своей статье "Конечные классы" {Atti di Torino, t. XXXII), но он вынужден допустить два постулата.

Le premier, c'est qu'il existe toujours au moins une classe infinie.

Первый утверждает, что существует по крайней мере один бесконечный класс.

Le second s'énonce ainsi :

Второй гласит

ueK(K - iL). Й.u<v'u.

Le premier postulat n'est pas plus évident que le principe à démontrer ; le second non seulement n'est pas évident, mais il est faux; comme l'a montré M. Whitehead, comme d'ailleurs le moindre taupin s'en serait aperçu du premier coup, si l'axiome avait été énoncé dans un langage intelligible, puisqu'il signifie : le nombre des combinaisons qu'on peut former avec plusieurs objets est plus petit que le nombre de ces objets.

Первый постулат не более очевиден, чем принцип, подлежащий доказательству. Второй не только не очевиден, но и ложен, как это показал Уайтхед и как это, впрочем, заметил бы любой лицеист математического класса, если бы аксиома была выражена на понятном языке. Ибо эта аксиома означает: число комбинаций, которые можно образовать из нескольких предметов, менее числа этих предметов.

Dans sa démonstration célèbre, M. Zermelo s'appuie sur l'axiome suivant :

В известном доказательстве Цермело опирается на следующую аксиому:

Dans un ensemble quelconque (ou même dans chacun des ensembles d'un ensemble d'ensembles) nous pouvons toujours choisir au hasard un élément (quand même cet ensemble d'ensembles comprendrait une infinité d'ensembles). On avait appliqué mille fois cet axiome sans l'énoncer, mais dès qu'il fut énoncé, il souleva des doutes. Quelques mathématiciens, comme M. Borel, le rejetèrent résolument ; d'autres l'admirent. Voyons ce qu'en pense M. Russell, d'après son dernier article.

В какой-либо совокупности (или даже в каждой из совокупностей некоторой совокупности совокупностей) мы можем всегда выбрать наудачу один элемент (даже тогда, когда эта совокупность совокупностей обнимает бесконечно много совокупностей). Тысячу раз применяли эту аксиому, не высказывая ее. Но лишь только она была высказана, как появились сомнения. Одни математики, как Борель, ее отвергают, другие восхищаются ею. Посмотрим, что об этом думает Рассел в своей последней статье.

Il ne se prononce pas, mais les considérations auxquelles il se livre sont très suggestives.

Он не высказывается, но те размышления, которым он предается, очень знаменательны.

Et d'abord un exemple pittoresque ; supposons que nous ayons autant de paires de bottes que de nombres entiers, de telle façon que nous puissions numéroter les paires depuis 1 jusqu'à l'infini ; combien aurons-nous de bottes ? le nombre des bottes sera-t-il égal au nombre des paires. Oui, si dans chaque paire, la botte droite se distingue de la botte gauche ; il suffira de donner le numéro 2n-1 à la botte droite de la n^e paire et le numéro 2n à la botte gauche de la n^e paire. Non, si la botte droite est pareille à la botte gauche, parce qu'une pareille opération deviendra impossible. A moins que l'on n'admette l'axiome de Zermelo, parce qu'alors on pourra choisir au hasard dans chaque paire la botte que l'on regardera comme droite.

Однако сначала один наглядный пример. Допустим, что мы имеем столько пар сапог, сколько есть целых чисел, так что мы можем нумеровать пары от 1 до бесконечности. Сколько мы будем иметь сапог? Будет ли число сапог равно числу пар? Да, если в каждой паре правый сапог отличается от левого, ибо в таком случае достаточно будет обозначить номером 2n - 1 правый сапог n-й пары, а номером 2n - левый сапог n-й пары. Нет, если правый сапог подобен левому, так как в этом случае такая операция будет невозможна. Иначе придется допустить аксиому Цермело, потому что тогда можно в каждой паре выбрать наудачу сапог, который будет рассматриваться как правый.

Une démonstration vraiment fondée sur les principes de la Logique Analytique se composera d'une suite de propositions ; les unes, qui serviront de prémisses, seront des identités ou des définitions ; les autres se déduiront des premières de proche en proche ; mais bien que le lien entre chaque proposition et la suivante s'aperçoive immédiatement, on ne verra pas du premier coup comment on a pu passer de la première à la dernière, que l'on pourra être tenté de regarder comme une vérité nouvelle. Mais si l'on remplace successivement les diverses expressions qui y figurent par leur définition et si l'on poursuit cette opération aussi loin qu'on le peut, il ne restera plus à la fin que des identités, de sorte que tout se réduira à une immense tautologie. La Logique reste donc stérile, à moins d'être fécondée par l'intuition.

Доказательство, действительно основанное на принципах аналитической логики, будет составляться из ряда предложений. Одни из них, которые служат посылками, будут тождествами или определениями; другие будут последовательно выведены из первых. Но, хотя связь между каждым предложением н последующим замечается непосредственно, трудно будет с первого взгляда увидеть, как мог совершиться переход от первого предложения к последнему, и явится соблазн рассматривать это последнее как новую истину. Но если последовательно заменить фигурирующие в нем различные выражения их определениями, если провести эту операцию насколько можно далеко, то в итоге останутся только тождества, так что все сведется к бесконечной тавтологии. Логика, следовательно, окажется бесплодной, если не будет оплодотворена интуицией.

Voilà ce que j'ai écrit autrefois ; les logisticiens professent le contraire et croient l'avoir prouvé en démontrant effectivement des vérités nouvelles. Par quel mécanisme ?

Вот что я уже писал давно. Логистики исповедуют противоположную точку зрения и думают, что доказали ее, показав действительно новые истины. Но каким образом?

Pourquoi, en appliquant à leurs raisonnements le procédé que je viens de décrire, c'est-à-dire en remplaçant les termes définis par leurs définitions, ne les voit-on pas se fondre en identités comme les raisonnements ordinaires ? C'est que ce procédé ne leur est pas applicable. Et pourquoi ? parce que leurs définitions sont non prédicatives et présentent cette sorte de cercle vicieux caché que j'ai signalé plus haut ; les définitions non prédicatives ne peuvent pas être substituées au terme défini. Dans ces conditions, la Logistique n'est plus stérile, elle engendre l'antinomie.

Почему, применяя к их рассуждениям описанный только что прием, т. е. заменяя определенные термины их определениями, мы не видим, чтобы они сливались в тождества, как это бывает с обыкновенными рассуждениями? Значит, этот прием к ним неприменим. А почему? Потому что их определения непредикативные и дают тот заколдованный круг, который я отметил выше; непредикативные определения не могут стать на место определяемого термина. В этих условиях логистика является уже не бесплодной, она родит антиномию.

C'est la croyance à l'existence de l'infini actuel qui a donné naissance à ces définitions non prédicatives. Je m'explique : dans ces définitions figure le mot tous, ainsi qu'on le voit dans les exemples cités plus haut. Le mot tous a un sens bien net quand il s'agit d'un nombre fini d'objets ; pour qu'il en eût encore un, quand les objets sont en nombre infini, il faudrait qu'il y eût un infini actuel. Autrement tous ces objets ne pourront pas être conçus comme posés antérieurement à leur définition et alors si la définition d'une notion N dépend de tous les objets A, elle peut être entachée de cercle vicieux, si parmi les objets A il y en a qu'on ne peut définir sans faire intervenir la notion N elle-même.

Вера в существование актуальной бесконечности дала начало этим непредикативным определениям. Я объяснюсь. В этих определениях фигурирует слово "все", как это видно из приведенных выше примеров. Слово "все" имеет достаточно точный смысл, когда речь идет о бесконечном (7) числе предметов; для того чтобы оно имело также смысл, когда предметов имеется бесчисленное множество, необходимо, чтобы существовало актуально бесконечное. В противном случае на все эти предметы нельзя было бы смотреть как на данные до их определения; вместе с тем определение понятия N, если оно зависит от всех предметов А, может страдать пороком заколдованного круга, раз между предметами А имеются такие, которые нельзя определить без помощи самого понятия N.

Les règles de la logique formelle expriment simplement les propriétés de toutes les classifications possibles. Mais pour qu'elles soient applicables, il faut que ces classifications soient immuables et qu'on n'ait pas à les modifier dans le cours du raisonnement. Si l'on a à classer qu'un nombre fini d'objets, il est facile de conserver ses classifications ses classifications sans changement. Si les objets sont en nombre indéfini, c'est-à-dire si on est sans cesse exposé à voir surgir des objets nouveaux et imprévus, il peut arriver que l'apparition d'un objet nouveau oblige à modifier la classification, et c'est ainsi qu'on est exposé aux antinomies.

Правила формальной логики выражают просто свойства всех возможных классификаций. Но для того, чтобы эти правила были приложимы, необходимо, чтобы классификации оставались неизменными, чтобы их не приходилось изменять на протяжении рассуждений. Если приходится распределять конечное число предметов, то легко сохранить эти классификации без изменения. Если же предметы имеются в неопределенном количестве, т. е. если имеется возможность постоянного и внезапного появления новых предметов, то может случиться, что такое появление обяжет к изменению классификации. Отсюда опасность антиномий.

Il n'y a pas d'infini actuel ; les Cantoriens l'ont oublié, et ils sont tombés dans la contradiction. Il est vrai que le Cantorisme a rendu des services, mais c'était quand on l'appliquait à un vrai problème, dont les termes étaient nettement définis, et alors on pouvait marcher sans crainte.

Нет актуальной бесконечности. Канторианцы забыли это и впали в противоречие. Верно то, что теория Кантора оказала услуги, но это было тогда, когда она применялась к истинной проблеме, термины которой были отчетливо определены; тогда можно было подвигаться вперед без опасений.

Les logisticiens l'ont oublié comme les Cantoriens et ils ont rencontré les mêmes difficultés. Mais il s'agit de savoir s'ils se sont engagés dans cette voie par accident, ou si c'était pour eux une nécessité.

И логистики, подобно канторианцам, забыли об этом и встретились с теми же затруднениями. Но нужно знать, попали ли они на этот путь случайно или по необходимости.

Pour moi, la question n'est pas douteuse ; la croyance à l'infini actuel est essentielle dans la logistique russelienne. C'est justement ce qui la distingue de la logistique hilbertienne. Hilbert se place au point de vue de l'extension, précisément afin d'éviter les antinomies cantoriennes ; Russell se place au point de vue de la compréhension. Par conséquent le genre est pour lui antérieur à l'espèce, et le summum genus est antérieur à tout. Cela n'aurait pas d'inconvénient si le summum genus était fini ; mais s'il est infini, il faut poser l'infini avant le fini, c'est-à-dire regarder l'infini comme actuel.

Для меня вопрос не представляет сомнений. Вера в актуально бесконечное является существенной в логике Рассела. Этим она отличается от логистики Гильберта. Гильберт становится на точку зрения объема именно для того, чтобы избежать канторовских антиномий; Рассел становится на точку зрения содержания. Для него, следовательно, род предшествует виду и summum genus (8) предшествует всему. Это не представляло бы неудобства, если бы summum genus был конечным; но если он бесконечен, то приходится бесконечное ставить перед конечным, т. е. рассматривать бесконечное как актуальное.

Et nous n'avons pas seulement des classes infinies ; quand nous passons du genre à l'espèce en restreignant le concept par des conditions nouvelles, ces conditions sont encore en nombre infini. Car elles expriment généralement que l'objet envisagé présente telle ou telle relation avec tous les objets d'une classe infinie.

Но мы имеем не только бесконечные классы. Когда мы переходим от рода к виду, суживая понятие введением новых условий, то эти условия тоже появляются в бесконечном числе. Ибо они вообще выражают, что рассматриваемый предмет находится в том или ином отношении ко всем предметам бесконечного класса.

Mais cela, c'est de l'histoire ancienne. M. Russell a aperçu le péril et il va aviser. Il va tout changer ; et qu'on s'entende bien : il ne s'apprête pas seulement à introduire de nouveaux principes qui permettront des opérations autrefois interdites ; il s'apprête à interdire des opérations qu'il jugeait autrefois légitimes. Il ne se contente pas d'adorer ce qu'il a brûlé ; il va brûler ce qu'il a adoré, ce qui est plus grave. Il n'ajoute pas une nouvelle aile au bâtiment, il en sape les fondations.

Однако все это уже устаревшая история. Рассел заметил опасность. Он ее обдумает. Он все изменит. Он готов, запомним это, не только ввести новые принципы, которые позволяют производить не разрешенные никогда операции, но готов запретить операции, которые считал некогда законными. Он не довольствуется поклонением тому, что сжигал; он готов сжечь то, чему поклонялся, что еще тяжелее. Он не прибавляет нового крыла к зданию, он подрывает его основание.

L'ancienne Logistique est morte, si bien que la zigzag-theory et la no classes theory se disputent déjà sa succession. Pour juger la nouvelle, nous attendrons qu'elle existe.

Старая логистика умерла, a zigzag-theory и no classes theory оспаривают друг у друга преемственность. Чтобы судить о новой логистике, мы подождем, когда она образуется.

Ce que j'ai cherché à expliquer dans les pages qui précédent, c'est comment le savant doit s'y prendre pour choisir entre les faits innombrables qui s'offrent à sa curiosité, puisque aussi bien la naturelle infirmité de son esprit l'oblige à faire un choix, bien qu'un choix soit toujours un sacrifice. Je l'ai expliqué d'abord par des considérations générales, en rappelant d'une part la nature du problème à résoudre et d'autre part en cherchant à mieux comprendre celle de l'esprit humain, qui est le principal instrument de la solution. Je l'ai expliqué ensuite par des exemples ; je ne les ai pas multipliés à l'infini ; moi aussi, j'ai dû faire un choix, et j'ai choisi naturellement les questions que j'avais le plus étudiées. D'autres que moi auraient sans doute fait un choix différent ; mais peu importe, car je crois qu'ils seraient arrivés aux mêmes conclusions.

На предыдущих страницах я старался объяснить, каким образом ученый должен производить выбор между бесчисленными фактами, раскрывающимися перед ним; ведь уже одна естественная немощность ума заставляет его делать такой выбор, хотя бы этот выбор и всегда представлял собой жертву. Сначала я искал оснований для этого в общих соображениях, указывая, с одной стороны, природу проблемы, подлежащей разрешению, с другой, - выясняя причину человеческого ума, этого главного орудия для разрешения. Затем я привел ряд пояснительных примеров. Я не умножал их до бесконечности; я сам должен был произвести между ними выбор и, естественно, выбрал вопросы, мною наиболее изученные. Другие на моем месте, без сомнения, сделали бы другой выбор; но это не имеет значения, потому что они пришли бы, я думаю, к тем же выводам.

Il y a une hiérarchie des faits ; les uns sont sans portée ; ils ne nous enseignent rien qu'eux-mêmes. Le savant qui les a constatés n'a rien appris qu'un fait, et n'est pas devenu plus capable de prévoir des faits nouveaux. Ces faits-là, semble-t-il se produisent une fois, mais ne sont pas destinés à se renouveler.

Существует иерархия фактов. Одни факты не имеют значения; все то, чему они нас учат, касается их одних. Ученый, который констатировал их, не познал ничего более, как один факт, и не сделался способным предвидеть новые. Эти факты как бы происходят однажды, и повториться им не суждено.

Il y a, d'autre part, des faits à grand rendement, chacun d'eux nous enseigne une loi nouvelle. Et puisqu'il faut faire un choix, c'est à ceux-ci que le savant doit s'attacher.

С другой стороны, существуют факты большого значения. Каждый из них учит нас новому закону. И так как ученому предстоит сделать выбор, то именно к такого рода фактам он должен обратиться.

Sans doute cette classification est relative et dépend de la faiblesse de notre esprit. Les faits à petit rendement, ce sont les faits complexes, sur lesquels des circonstances multiples peuvent exercer une influence sensible, circonstances trop nombreuses et trop diverses, pour que nous puissions toutes les discerner. Mais je devrais dire plutôt que ce sont les faits que nous jugeons complexes, parce que l'enchevêtrement de ces circonstances dépasse la portée de notre esprit. Sans doute un esprit plus vaste et plus fin que le nôtre en jugerait-il différemment. Mais peu importe ; ce n'est pas de cet esprit supérieur que nous pouvons nous servir, c'est du nôtre.

Без сомнения, такая классификация относительна и зависит от слабости нашего ума. Факты малого значения суть факты сложные, на которые могут оказывать очень чувствительное влияние различные обстоятельства, слишком многочисленные и многообразные, для того чтобы мы были способны уловить их. Но я должен прибавить, что эти факты мы считаем сложными потому, что запутанная связь влияющих обстоятельств превосходит пределы нашего ума. Без сомнения, ум более обширный и тонкий, чем наш, судил бы об этом иначе. Но все это несущественно; пользоваться мы можем не этим высшим умом, а нашим собственным.

Les faits à grand rendement, ce sont ceux que nous jugeons simples ; soit qu'ils le soient réellement, parce qu'ils ne sont influencés que par un petit nombre de circonstances bien définies, soit qu'ils prennent une apparence de simplicité, parce que les circonstances multiples dont ils dépendent obéissent aux lois du hasard et arrivent ainsi à se compenser mutuellement. Et c'est là ce qui arrive le plus souvent. Et c'est ce qui nous a obligés à examiner d'un peu près ce que c'est que le hasard. Les faits où les lois du hasard s'appliquent, deviennent accessibles au savant, qui se découragerait devant l'extraordinaire complication des problèmes où ces lois ne sont pas applicables.

Факты большого значения - это те, которые мы считаем простыми, потому ли, что они таковы в действительности, что на них, следовательно, оказывает влияние небольшое число вполне определенных обстоятельств, или же потому, что они кажутся простыми, и, следовательно, те многочисленные обстоятельства, от которых они зависят, подчиняются законам случая и таким образом друг друга компенсируют. Так, собственно, чаще всего и бывает. Вот почему мы должны были несколько ближе исследовать вопрос о том, что представляет собой случай. Факты, к которым приложимы законы случая, становятся доступны ученому, отступающему в унынии перед чрезвычайной сложностью тех проблем, к которым эти законы неприложимы.

Nous avons vu que ces considérations s'appliquent non seulement aux sciences physiques, mais aux sciences mathématiques. La méthode de démonstration n'est pas la même pour le physicien et pour le mathématicien. Mais les méthodes d'invention se ressemblent beaucoup. Dans un cas comme dans l'autre, elles consistent à remonter du fait à la loi, et à rechercher les faits susceptibles de conduire à une loi.

Мы видели, что эти соображения приложимы не только к физическим, но и к математическим наукам. Метод доказательства не один и тот же для физика и для математика. Но методы открытия истины чрезвычайно сходны. В том и в другом случае они заключаются в восхождении от факта к закону и к разысканию фактов, способных вести к закону.

Pour mettre ce point en évidence, j'ai montré à l'œuvre l'esprit du mathématicien, et sous trois formes ; l'esprit du mathématicien inventeur et créateur ; celui du géomètre inconscient qui chez nos lointains ancêtres, ou dans les brumeuses années de notre enfance, nous a construit notre notion instinctive de l'espace ; celui de l'adolescent à qui les maîtres de l'enseignement secondaire dévoilent les premiers principes de la science et cherchent à faire comprendre les définitions fondamentales. Partout nous avons vu le rôle de l'intuition et de l'esprit de généralisation sans lequel ces trois étages de mathématiciens, si j'ose m'exprimer ainsi, seraient réduits à une égale impuissance.

Чтобы сделать это пункт очевидным, я проследил за творческой деятельностью математика и притом в трех ее формах: за деятельностью математика-изобретателя и творца; за умственным процессом бессознательного геометра, который у наших далеких предков или в смутные годы нашего детства строил наше инстинктивное понятие пространства; за умом юноши, перед которым наставники средней школы раскрывают первые основы науки и которому они стараются объяснить основные определения. Везде мы видели роль интуиции и обобщающего ума, без которых эти, если мне позволено будет так выразиться, три вида математиков были бы осуждены на одинаковое бессилие.

Et dans la démonstration elle-même, la logique n'est pas tout ; le vrai raisonnement mathématique est une véritable induction, différente à bien des égards de l'induction physique, mais procédant comme elle du particulier au général. Tous les efforts qu'on a faits pour renverser cet ordre et pour ramener l'induction mathématique aux actes de la logique n'ont abouti qu'à des insuccès, mal dissimulés par l'emploi d'un langage inaccessible au profane.

Но и в области доказательств логика еще не составляет всего. Настоящее математическое рассуждение есть настоящая индукция, во многих отношениях отличная от индукции физической, но, как и она, идущая от частного к общему. Все усилия, направленные на то, чтобы опрокинуть этот порядок и свести математическую индукцию к правилам логики, закончились без успеха, и эту неудачу трудно было скрыть под маской особого языка, недоступного профанам.

Les exemples que j'ai empruntés aux sciences physiques nous ont montré des cas très divers de faits à grand rendement. Une expérience de Kaufmann sur les rayons du radium révolutionne à la foi la Mécanique, l'optique et l'Astronomie. Pourquoi ? C'est parce qu'à mesure que ces sciences se sont développées, nous avons mieux reconnu les liens qui les unissaient, et alors nous avons aperçu une espèce de dessin général de la carte de la science universelle. Il y a des faits communs à plusieurs sciences, qui semblent la source commune de cours d'eau divergeant dans toutes les directions et qui sont comparables à ce nœud du Saint-Gothard d'où sortent des eaux qui alimentent quatre bassins différents.

Примеры, которые я заимствовал из физических наук, ознакомили нас с разнообразными фактами большого значения. Опыт Кауфмана над лучами радия революционизирует сразу механику, оптику и астрономию. Почему? Потому что по мере того, как эти науки развивались, мы лучше познали соединяющие их связи; и тогда мы подметили нечто вроде общей схемы, представляющей собой карту универсальной науки. Существуют факты, общие и нескольким наукам, которые напоминают общие источники вод, направляющихся во все стороны; их можно сравнить с тем Сен-Готардским узлом, откуда выходят воды, питающие четыре различных бассейна.

Et alors nous pouvons faire le choix des faits avec plus de discernement que nos devanciers qui regardaient ces bassins comme distincts et séparés par des barrières infranchissables.

Но мы можем произвести выбор между фактами с большим сознанием, чем наши предшественники, которые смотрели на эти бассейны как на обособленные и отделенные друг от друга непроходимыми преградами.

Ce sont toujours des faits simples qu'il faut choisir, mais parmi ces faits simples nous devons préférer ceux qui sont placés à ces espèces de nœuds du Saint-Gothard dont je viens de parler.

Мы должны избирать всегда простые факты; но из массы этих простых фактов мы должны отдавать предпочтение тем, которые уподобляются, по месту своего положения, упомянутым выше узлам Сен-Готарда.

Et quand les sciences n'ont pas de lien direct, elles s'éclairent encore mutuellement par l'analogie. Quand on a étudié les lois auxquelles obéissent les gaz, on savait qu'on s'attaquait à un fait de grand rendement ; et pourtant on estimait encore ce rendement au-dessous de sa valeur, puisque les gaz sont, à un certain point de vue, l'image de la Voie Lactée, et que ces faits qui ne semblaient intéressants que pour le physicien, ouvriront bientôt des horizons nouveaux à l'Astronomie qui ne s'y attendait guère.

Если науки и не имеют непосредственной связи, то они взаимно освещают друг друга путем аналогии. Когда изучили законы, которым подчиняются газы, стало очевидным, что мы подошли к факту крупного значения; однако размер этого значения оценивался ниже действительного; между тем с известной точки зрения в газах мы имели прообраз Млечного пути, а факты, которые могли, как казалось, интересовать только физиков, должны открыть новые горизонты в астрономии, сверх ее ожидания.

Et enfin quand le géodésien voit qu'il faut déplacer sa lunette de quelques secondes pour viser un signal qu'il a planté à grand'peine, c'est là un bien petit fait ; mais c'est un fait à grand rendement, non seulement parce que cela lui révèle l'existence d'une petite bosse sur le géoïde terrestre, cette petite bosse serait par elle-même sans grand intérêt, mais parce que cette bosse lui donne des indications sur la distribution de la matière à l'intérieur du globe et par là sur le passé de notre planète, sur son avenir, sur les lois de son développement.