L35a1  Функция  min(x,y)

(детектив)

   В работе речь идёт не о математике. Речь идет о пути познания, о том, как постепенно человек переходит от незнания к знанию. Текст представляет собой более или менее точный снимок движения и мысли, и восприятия, обеспечивающего переход от незнания к знанию. Этот процесс характеризуется отношением  взаимоопределения двух полушарий и может рассматриваться как выражающий их взаимодействие.  Поэтому будем помнить, что мы занимаемся не математикой, не физиологией или психологией, мы занимаемся философией.
    В тексте присутствуют два слоя: один слой первоначальный и второй слой редакторский, когда автор шел уже по написанному и делал добавления, вводящие понимание написанного. Первичный текст имеет черный цвет шрифта. За вторичным текстом уследить сложно, и это тем более справедливо, что он и сам многослоен. Там, где имеем дело со вторичным текстом, наложенным на первичный, шрифт имеет другой цвет

    Функция min(x,y) имеет вид  min(x,y)=[|(x+y)-|x-y||]/2  (1). Что такое min(x,y) я не понимаю изначально. Что, принимаются минимальные значения х, у? То есть есть функция z=f(x,у), и в качестве значения функции принимаются минимальные значения аргументов х, у? или же имеются ввиду минимальные значения функции для множества пар а,b из области определения х, у? На то, что имеется ввиду второе, больше похоже. И так как в этом деле у меня определенности нет, я оставляю этот вопрос на будущее и сосредоточиваюсь на функции.
    Продолжим то, что начали в L35, а начали там мы вот что: ."... Там же мы пришли к слову вввавввваааввааввсввавва." (2)
 

Поступлю-ка я вот каким образом. Стану делать вставочки в таблицу с одной строкой и столбцом. Такая таблица будет отражаться как обычный текст, но благодаря этому это  будет текст четко выделенный.     Есть еще одна мысль: в качестве кого я выступаю в тексте? Я - инженер по профессии и по натуре. Посему и изложение носит инженерный характер, имеющий целью-  как что-то сделать и как что-то сделать так или иначе.     И поэтому очередная мысль состоит в следующем: Есть слово вввавввваааввааавсввавва. Поскольку я знаю содержание этого слова, я легко выделяю в нем части. Но ведь это слово можно представить и в качестве предложения, а в предложении одни слова от других отделяются пробелами. В связи с этим можно было бы заняться построением грамматики, определяющей способы построения "правильного" предложения, однако мы находимся не на такой стадии, чтобы можно было это сделать, поскольку для того, чтобы описывать законы объекта, нужно иметь сам объект, а такого объекта у нас нет. А поэтому займемся вопросами построения объекта.     При этом тут же возникает вопрос: какого черта: ты же сам говорил, что вводишь сложное слово ради обеспечения возможности единства восприятия. И что то же самое, представленное в виде предложения, есть штука аналитическая, поскольку восприятие имеет дело со множеством объектов, которые в предложении как-то связываются, но эту связь нужно осознать. И поэтому предложение хотя и рассматривается как представляющее что-то целое, то это - только представление, в чувственности оно выступает как множество различных, хотя и определенным образом упорядоченных объектов. В этом случае оно, правда, всё-таки лучше рядоположенных объектов, не высказывающих никакой мысли, в отличие от предложения, но, разумеется, хуже чувственно воспринимаемого единства. Но начинаем-то мы именно с рядоположенных объектов, от них переходим к предложению, которым выражается мысль, связывающая это множество рядоположенных объектов в единство, и уже от предложения мы переходим к сложному слову, которым представляется целое в непосредственно данном чувственном виде. И так как мы занимаемся не абсолютизацией объектов, а переходом объектов из одних форм в другие, то мы должны иметь ввиду также и переходы одних форм содержаний в другие.     Но если уж у нас родилась такая идея и начали мы не с рядоположенных объектов, в которые привносится какая-то мысль, а, напротив, с чувственно данной мысли, и связано это со страхом перед тем, что эта чувственно данная мысль может быть прочитана превратно, но мы пойдем "обратным" путем: от результата к его предпосылкам. Как это можно сделать для начала? Сложное слово можно сначала просто разложить на составляющие его простые слова. В этом случае получаем предложение: ввв авв вв аа ав ва авв вв ав ва. Со структурой этого слова мы определились в L35, и она заключается в применении слева направо внешних операторов к внутренним. Поэтому предложение мы прочитываем без труда: Делится на 2 результат абсолютизации разности суммы переменных х,у и абсолютизации их разности. Теперь, когда мы знаем предложение, то есть знаем последовательность применяемых слов, мы сворачиваем предложение в сложное слово и получаем чувственно данный целостный объект и тем самым чувственно данное целостное восприятие. Потому что сложное слово и это же слово, развернутое в предложение, представляют собой, при всём их тождестве, разные реальности: в одном случае объект, в другом случае - части объекта и связь между ними. И, значит, по-хорошему, мы должны иметь дело с этими двумя вещами. И мы приходим к заключению: мысль - это не рефлекс и не стереотип. Мысль устанавливает связь между рядоположенными вещами, но эта связь не полагается, а предполагается, и поэтому связь объектов, превращающая множество объектов в некоторый качественно другой объект, выражается не в форме предложения, а в форме сложного слова, которое уже по необходимости есть рефлекс, стереотип.

   Второй, но не последний по значению, смысл введения слов состоит в том, что слова представляют алгоритм действий с объектом и тем самым определяют собой схему стереотипных действий, позволяющую уже не думать о том, как действовать, поскольку вся схема действий в слове задана. Так, в слове (2) вввавввваааввааввсввавва задана вся схема действий, относительно которой уже не нужно думать, как действовать, поскольку вся схема действий уже задана. Обратим внимание в нём на следующее обстоятельство: станем  читать слово с конца, то есть справа налево. В результате получим:  выполнить вычитание переменных х, у и затем применить к полученному результату операцию абсолютизации. Затем необходимо  выполнить сложение  переменных х,у, после чего  получить разность результатов, полученных от сложения и абсолютизации вычитания, после чего по отношению к полученному результату снова применить операцию абсолютизации и, наконец, полученный результат разделить на 2.
    Если мы теперь схему, прочитанную справа налево, запишем слева направо и тем самым получим возможность читать её привычным для нас способом, то есть слева направо, то обнаружим, что особенность полученной схемы состоит в том, что вначале записываются переменные, к которым затем применяются действия. Однако мы не можем просто обернуть эту схему, поскольку  для разности и деления, в отличие от сложения и умножения, имеет значение последовательность расположения элементов в форме, правило, согласно которому ранее осуществленная операция выступает в качестве первого члена для этих форм операций. Тогда в слове нам потребуется переставить местами формы х+у и |x-y|. В результате этого будет получено слово: авваааавваввавввваввввв (2₁) 
    Мы должны знать, какого рода модификация формы (2) применяется, тем самым у нас будет задана установки относительно объекта, то есть форма способа, образа его мышления. Итак, мы имеем три модификации формы (2) Модификация 1: форма строится в соответствии с принципом обратной последовательности  операций, при котором операции, которые выполняются позже, встречаются раньше. Модификация читается слева направо. Модификация 2 равносильна модификации 1, но читается справа налево, при этом имеется ввиду структура операций модификации 1. Модификация 3 в качестве своего принципа принимает начальную запись переменных и лишь за ними - операций, которые к ним применяются. При этом операции, выполненные раньше, выполняют роль первых членов форм  _∆_=_ арифметических бинарных операций, где ∆=↓(+,-,*,/), где "↓"-логический оператор "либо...либо...". Т.о., словом  (2₁)  с переходом к значениям входящих в него слово задается схема действий: +(х,у), -(х,у), |-(х,у)|, -(+(х,у), |-(х,у)|), |-(+(х,у), |-(х,у)|)| ,  |-(+(х,у), |-(х,у)|)| /2

     Рассмотрим функцию z=[|(x+y)-|x-y||]/2 (1) Будем говорить об исследовании функции, ставя в основу её исследования рассуждения. То, что нас во всякой функции может интересовать, это - каким образом она строится, как из элементарных операций строится что-то более сложное.  Но в этом случае мы не можем замыкаться только на данной функции, мы с необходимостью должны выходить за её пределы, так как лишь сравнение с иным позволяет получить понимание функции в качестве вида относительно её родовых признаков.  Самое первое впечатление при взгляде на функцию состоит в том, что в ней применяется операция абсолютизации. Операция абсолютизации применяется там, где нужно перейти от отрицательных величин к положительным. Хотя, если по-хорошему подходить к этому делу, то необходимо должна существовать также и противоположная операция, преобразующая положительные величины в отрицательные. С одной стороны. И, с другой,  должно ли двойное применение операции абсолютизации

давать исходное выражение? Практическое применение операции абсолютизации как раз и построено на отрицании этого предположения. Тогда возникает вопрос: почему? Самый первый ответ состоит в том, что этим обеспечивалась бы симметричность операций и построенных на их основе систем. И эта проблема - отношения симметрии и асимметрии в математике является ключевой и неразрешенной. Да, пожалуй, этот вопрос в ней и не ставился на уровне понятия. Асимметрия водится уже операцией вычитания. Ведь невозможно из меньшего положительного числа вычесть большее положительное число, то есть если а,в>0 и а>в, то мы можем записать а+в=в+а, но можем ли мы записать, что а-в=в-а? Если мы имеем дело только с положительными числами, то мы вообще не имеем права на запись в-а. Но если мы имеем дело также и с отрицательными числами, то мы получим: а-в=-(в-а), например, 5-3=-(3-5), то есть для получения равенства  разностей двух чисел мы должны к результату одного из них приписать знак отрицательного числа, и тогда, двойное применение этого знака к числу даёт положительный знак. Однако, если следовать при этом из логики симметрии, также и двойное применение положительного знака должно давать отрицательный. Однако этого нет, и на этом зиждется асимметрия в математике. Но если это так, то это говорит о том, что математикой отражается реальность, которой противостоит противоположная реальность, но это - такая реальность, которая, как призрак, исчезает, как только к ней пытаются приблизиться, а это возможно только при условии, если при приближении к ней эта противоположная реальность принимает вид существующей реальности и, т.о., будучи противоположна существующей реальности, она в то же самое время тождественна ей.       Т.о., с одной стороны, знаком "-" мы обозначаем отрицательное число, знаком плюс - положительное. Но этими же самыми знаками обозначаются операции сложения и вычитания. Значит, эти два способа применения одних и тех же знаков отождествляются. А если они отождествляются, то они могут и интерпретироваться одинаково. То есть мы можем сказать, что -1 - это отрицательное число, и можем сказать, что -1 - это результат применения к числу 1 операции вычитания. И поэтому можем записать: -1=-1, но в этом тождестве нет тавтологии, поскольку в левой части уравнения речь идет о применении операции вычитания к 1, а во втором случае - о результате этого вычитания. Но форма вычитания -1 есть редуцированная форма, поскольку в ней нет уменьшаемого, и сама по себе она не имеет смысла, поскольку нужно знать, относительно чего осуществляется вычитание. Очевидно, вычитание осуществляется относительно ноля. И если мы по отношению к  этой положительной +1 применяем операцию вычитания, а вычитаем единицу мы из ноля, то есть из ничего, то получаем в результате уже иной объект, качественно противоположный исходному - отрицательную единицу, то есть -1. Редуцированная же форма -1 вместо 0-1 применяется просто потому, что, скажите, а какой смысл записывать "ничто"? И если бы мы сказали, что не имеем права пользоваться редуцированной формой, то в этом случае мы точно также не имели бы  права записать и  форму +1=+1, а обязаны были бы записывать 0+1=+1, и никак иначе, и это должно было бы относиться к любому положительному числу.  Но когда мы записывали -1=-1, и говорили, что в левой части уравнения речь идет о применении операции вычитания 1, то и в этом случае мы применяли редукцию, потому что не существует 1 вообще, а существует одна из её форм: -1 и +1, и, значит, мы должны были бы записать -+1=-1.  Но ведь существует также и обратная операция: -(-1)=+1.  То есть если мы из 0 вычтем -1, то получим +1! А что это, как не проявление именно симметрии положительных и отрицательных чисел.  Но если бы мы решились проводить симметрию до конца, то есть если бы мы сказали, что, поскольку  имеем дело с противоположностями, то эти противоположности должны  быть расширены также и на противоположность операций сложения и вычитания,  и тогда вместо выражения -(-1)=+1 мы должны были бы записать +(-1)=+1, так как с отрицательными числами должны быть связаны и противоположные сравнительно с положительными числами операции сложения и вычитания, а этого нет. То есть при всей противоположности положительных и отрицательных чисел смысл операций сложения и вычитания для них остается общим, а никак не противоположным. И этим обусловливается принцип асимметрии в математике относительно противоположных объектов.     Как выглядит определение операции абсолютизации: |-a|=a,  |a|=a.  Очевидно, что операция абсолютизации принципиально асимметрична., именно в силу того, что в ней не действует закон двойного применения относительно плюса, и она специально построена для выделения особой роли положительный чисел, их положенности. Фактически, операция абсолютизации представляет собой выражение двойного применения знака "-":  -(-а)=|-a|=a. То есть двойное применение знака "-" даёт противоположный знак, "+". Если бы выполнялся и противоположный закон, согласно которому двойное применение знака "+" давало бы знак "-",  то мы имели бы дело с симметрией. Но двойное применение знака "+" порождает "+". Следовательно, применение знаков "+" и "-" асимметрично.     Но совершенно очевидно, что если дана система асимметрии применительно к положительным числам, то точно такая же система асимметрии может быть построена и относительно отрицательных чисел, и тогда естественно возник бы вопрос о характере отношения этих двух систем. Так как эта мысль лежит на поверхности и так как она не была реализована,  то только потому, что в этом не было потребности, так как, очевидно, что при всей своей противоположности эти системы были бы тождественны, то есть обладали бы одинаковым набором функциональных возможностей.     Что же, предположительно, дает принцип асимметрии? Разве не то, что благодаря ему обеспечивается возможность противопоставления - положительного и отрицательного, своего и чужого, друга и врага и т.д., то есть противопоставления объектов друг другу и противоположному счету относительно них, то есть принятия общего знаменателя для противоположностей, который заключается в том, что чем более истинным является увеличение количества в системе, принятой в качестве положительной, тем более то же самое является ложным в противоположной системе. И, разумеется, такого рода математика существует и развивается единственно потому, что она является отражением  способа человеческого природного бытия. Но всё это - "философия", лирика. потому что всё это должно быть просчитано и т.о.  доказано или опровергнуто.

  Математика путём  построения противоположных исчислений, построенных на основе введения в них  различных, противоположных относительно друг друга  операций абсолютизации |-а|=а и   |а|=а, с одной стороны, и  |а|=-а и    |-а|=-а,   а  также исследование влияния асимметрии знаков плюса и минуса на вычисления относительно их двойного применения, то есть применения наряду с правилами --а=+а и ++а=а в одних исчислениях   в противоположных исчислениях правил ++а=-а и --а=а   позволил бы более придти к более тонкому и точному отражения характера отношений между противоположностями.
    Так как эта мысль лежит на поверхности, то возникает вопрос: почему она до сих пор не была реализована? А не реализована она была по той же причине, по которой  существуют правши и левши, по которой существует специализация между правым и левым полушарием головного мозга и в целом левой и правой половинами тела человека и животных.  Почему? Потому что если бы не было подчинения одной стороны противоположности другой, то стороны противоположности распались бы на две автономные, независимые части. Здесь мы вообще сталкиваемся с такого рода законом отношений между элементами, в соответствии с которым автономные элементы образуют сложные системы  на основе подчинения одних элементов другим элементам,  то есть на основе возникновения асимметрии между ними.  Как только отношения подчинения между элементами ослабляются, как только элементы становятся симметричными друг другу, они становятся независимыми по отношению друг к другу. Асимметрия, т.о., представляет собой условие создания целостностей из ранее автономных систем, причем, это - общий закон природы, что, в частности, доказывает последнее открытие значения закона асимметрии в кристаллах Поэтому и логику мы имеем одну, а не две противоположных. Однако это совершенно не означает, что ей не противостоит вытесненная противоположная логика  и, более того, имея дело с тем или иным человеком, следует определить, какого логику он использует: положенную или снятую, вытесненную. Например, возьмём закон логики  А→А=и. Но разве мы не можем принять противоположный закон: А→А=л, откуда -(А→А)=и. Действительно, не только любое А со временем переходит в -А: зерно превращается в растение,  день - в ночь и т.д. Но также и в одно и то же время А есть в то же самое время и -А, так как иначе как бы оно могло  превратиться во что-то другое? И Поэтому мы должны говорить, что истинно А&-A вместо того, чтобы утверждать, что истинно -(А&-A).  Но утверждают, что  для того, чтобы что-то высказать, нужно определиться с терминами, и поэтому А есть либо А, либо -А, и третьего не дано. Но почему, собственно? Если я утверждаю А, то это означает лишь то, что я в А выделяю А, беру сторону А, и если я говорю -А, то это означает, что я в А выделяю противоположную его сторону, представляющую -А. Обычно считают, что когда говорят А, то имеют ввиду объект А, когда говорят -А, то имеют ввиду какой угодно другой объект, только не объект А. Что принципиально неверно. Когда я говорю, что  учитель  не является учителем, я говорю об учителе, и о его отрицательном свойстве - не быть учителем. То есть я говорю о форме и содержании  понятия. Например, "учитель Иванов не является учителем"  есть соотнесение формы и содержания объекта Иванова.
    Весь вопрос сводится к тому, что  рассматривается в качестве истинного отношения, и именно, что  принимается в качестве критерия истины. Пусть А→А. Это выражение представляет собой отношение между чувственной реальностью и её отражением. При этом в качестве критерия может быть принята как чувственная реальность, так и отражение. Если это так, то истина заключается в приведении одной стороны к другой. Здесь заключается одна противоположность.  Но ведь в реальности действует и противоположная закономерность, когда дано именно тождество и именно оно-то и должно быть разведено на противоположности. То есть сначала есть отношение "не муж, не жена", и заканчивается это отношением "муж и жена". В другом есть отношение "муж и жена" и заканчивается это отношение "не муж и не жена"  Во всем этом, конечно, действуют два противоположные закона: как стремления к тождеству, так и стремления к различию. И одно, и другое стремление обусловливает переходы от различия к тождественному и от тождественного к различному. И то, и другое определяется противоположными целями: преобразованием тождественного в различное либо преобразованием различного в тождественное. 
    Пусть дано А=+а+(-а). Если я принимаю А=+а, то я отрицаю -а: А=+а-(-а)=2(+а).
    Какую-то из сторон противоположности я должен принять в качестве истинной? Я могу, разумеется, сказать, что истинно и то, и другое, истинно и +а, и -а. Однако дело в том, что относительно друг друга они находятся в отношении отрицания. И, с этой точки зрения, что представляет собой синусоида, проявление работы какого механизма? Объективность состоит в том, что если я принимаю +а, то это - факт феноменологии, обусловленный феноменологической реальностью, которая, в свою очередь, обусловлена существующими инстинктивно-рефлекторными схемами. Принятие +а обеспечивает соответствующее движение, связанное с процессами отрицания другой стороны противоположности, то есть с перекачиванием энергии одной стороны противоположности в другую. Сам этот процесс перекачивания возможен либо при условии, что потенциал противоположной стороны до сих пор был выше, либо же положенная сторона представляет собой насос, закачивающий энергию противоположной стороны. Рано или поздно возникает истощение противоположной стороны, с одной стороны, и перенасыщение энергией - с другой. И тогда система опрокидывается, отношения переворачиваются, и начинается противоположный процесс. Т.о., всё то, что было истинным до сих пор, превращается в ложное, и, напротив, до сих пор рассматриваемое как ложное, становится истинным, становится стремлением реализации противоположной истины.
    Т.о., если сегодня у нас А=+а, и это - истина, и, следовательно, -А=-а, и это - ложь, то завтра у нас А=-а, и это истина, и -А=+а - это ложь. Но и в одном, и в другом случае на деле мы имеем дело не с +а и не с -а, в обоих случаях мы имеем дело с текущей формой их единства, с системой А, в которой А принимает противоположные значения. Теперь рассмотрим А с точки зрения предыдущего цикла.  Тогда мы с точки зрения предыдущего цикла А имеем  А последующего цикла  ложное, хотя самое это ложное А рассматривает себя в качестве истинного. Т.о., то, что у одного А есть истина, то же самое у другого А есть ложь. Пусть А противоположного цикла рассматривается как истина,  тогда А следующего цикла будет -А. И, в свою очередь, мы можем рассматривать А предыдущего цикла с точки зрения последующего. И тогда получим всё с точностью до наоборот. Т.о. мы получаем, что, рассматриваемые во времени и А и -А по отношению ко своему времени являются истинными, по отношению к соседним временным циклам - ложными. Значит, по отношению к данному, актуальному времени и А и -А истинны, но эти циклы по отношению друг другу находятся в отношении отрицания. Что из этого следует? То, что субъект в своих временных циклах оперирует прямо противоположными логиками. Точнее, логика-то остается той же самой, однако критерии истины высказываний являются противоположными, и сами логики оперируют  противоположными критериями истины. И поэтому, если мы условно принимаем А и -А , причем, А и -А как  оба истинные, то с тем же успехом мы можем сказать, что А и -А оба являются ложными. И, если мы с этой точки зрения взглянем на истинностную таблицу операторов, то увидим в ней параллельное сосуществование обеих противоположных логических систем с соответствующими им законами,  и относительно любого цикла мы можем обнаружить борьбу в нём  двух противоположных логик.
    Как должна выглядеть противоположность логик? Рассмотрим  таблицу 1. Истинностная таблица понятна, когда  в системе знак "и" отождествляется  с понятием истины. В противоположной логике с понятием истины отождествляется знак "л" Тогда импликация будет иметь значение  "ложь"=знаку "и" в третьей строке, остальные строки примут значение "истина"= знаку "л". Вместо приведенного  рассуждения мы можем придать всем элементам выражения А→В, то есть переменным и оператору,  отрицания и получим таблицу истинностных значений оператора импликации в противоположной логике.  Отсюда получаем возможность  перевода высказываний в одной логике  на языке противоположной.
    Т.о., какого рода высказывания мы получаем в противоположных системах?  Пусть в системе истины "и" мы получаем  высказывание "если А, то В".  Ему в противоположной системе истины "л"соответствует  высказывание: "Неверно, что А, если В". В каком отношении находятся эти высказывания? Если исходить из того, что импликацией отражаются причинно-следственные отношения, то для системы "и" имеем: А есть причина В, или В есть следствие А. То есть если имеет место А, то имеет место В.  В системе "л": событие -А  является причиной события -В. Другими словами, в обоих высказываниях речь идет об отношении двух событий А и В, однако в содержании этих двух событий выделяются противоположные аспекты, и при этом относительно каждого из них утверждается, что именно оно является  причиной последующего.  Перевод в системе "и" высказывания в системе "л" выглядит как "неверно, что А является следствием из В", или, иначе, "неверно, что В является причиной А". Т.о., мы видим, что та мысль, которая высказывается в одной системе, имеет весьма мало общего с той мыслью, которая высказывается в другой. То, что в одной системе выглядит как А→В, в противоположной системе выглядит как отрицание того, что В является причиной А, то есть что В→А. Но другой системой это и не утверждается. на деле, реальности каждой из систем - это различные, не пересекающиеся друг с другом реальности. 

Таблица 1.

Љ

А

В

А→В

-(-А→-В)

-А

-В

-А→-В

А←В

-(А←В)

1

и

и

и

л

л

л

и

и

л

2

и

л

л

л

л

и

и

и

л

3

л

и

и

и

и

л

л

л

и

4

л

л

и

л

и

и

и

и

л

    Но всё это - если мы рассматриваем систему А, существующую во времени. Пусть существует в пространстве множество субъектов. Естественно, что они, сталкиваясь друг с другом, применяют различные логики, и при этом каждая логика в другой отражается в превращенной, неадекватной форме  
   

Нда. Что по отношению к высказанной цепочке рассуждений я могу сказать? То, что она, несмотря на все её недостатки,  мне нравится. И особенно хочу подчеркнуть, что она мне нравится потому, что нежданно - негаданно, и, однако, с точки зрения теории ассоциаций, закономерно, произошел переход от обсуждений проблем исходных арифметических операций к логике и именно на почве вопросов противоположностей, которые обнаруживаются при построении математических объектов, а переход к логике привел уже к совершенно четкому выражению отношений противоположных логик на основе перевода высказываний логики в высказывания логики, противоположной ей. Это - вещь не простая, трудная для понимания и, что самое главное, исчезающая для восприятия, как только мы приближаемся к тому, чтобы увидеть истину там, где, с точки зрения используемой нами логики, вообще ничего нет, потому что такой реальности вообще не существует. Сама по себе подобного рода ситуация связана с законом вытеснения из сознания всего, что так или иначе не принадлежит его реальности.  И это значит, что от сознания неотделима его реальность, и содержание и логика сознания обусловливаются его реальностью. Всё, что находится за пределами этой реальности, сознанием вытесняется, объявляется не существующим.
    Словом,  мы получили очень неплохой результат, и на этом можем остановиться потому, что нами переработано соответствующее содержание бессознательного и теперь наступило время для работы бессознательного, перерабатывающего полученные нами результаты сознания.  А потому мы, как говорится, записали всё сказанное в подкорку и можем продолжить заниматься нашей темой. А наша тема, как, может быть, еще помнит читатель, это исследование функции (1) z=|(x+y)-|x-y||/2. Напомню, что в L35 был уже поставлен вопрос об её исследовании и даже исследованию было положено начало:

      Каковы её свойства? Если х=у, то получим х или, что то же, у, так как уменьшаемое 2х, вычитаемое 0, 2х/2=х. Понятия бесконечно малой и бесконечно большой величин будем рассматривать как относительные друг к другу. У нас есть исходная единица измерения, которая дальше не делится. Тогда бесконечность может рассматриваться по отношению к ней как то, что "трудно сосчитать", то есть что характеризуется неопределенностью, размытостью, тем, до чего "счет не дошел" и что принуждает рассматривать множество единиц е как обладающее  неопределенно большой мощностью. Если е -единица измерения и а - величина, бесконечно большая  по отношению к ней, то и, напротив, единица е есть бесконечно малая по отношению к а. Пусть ь-бесконечно малая величина, ъ - бесконечно большая. "х→"читается "х стремится к ..."  Тогда если х→ъ, у→ь то (1)=0, так как если  х сравнительно с у величина бесконечно большая, то у может не рассматриваться, и в этом случае получаем х-х=0, так как в уменьшаемом х берется абсолютная величина.  Если у→ъ, х→ь, то х может не рассматриваться,  получаем у-у=0

 
Человеку свойственно во всём искать чудо. Чудо - это высшая степень удивления, которая влечет человека в его действиях. Ожидание чуда - это высшая форма проявления ориентировочной реакции.  Человек ищет то, что представляется ему чудом. С другой стороны, чудо - это форма проявления потребности. 
    Рассмотрение чего-то как чуда есть аванс, который дает надежда человека объекту, который якобы способен удовлетворить его потребности. В конечном счете чудо - это стремление человека что-то получать, не расплачиваясь за это. 
    Чудо неотделимо от веры. Иногда может сложиться впечатление, что в качестве чуда для человека выступает то, с чем он сталкивается впервые и что в силу этого ему это неизвестно. Однако это не совсем так. И именно потому, что с понятием чуда связана вера. Вера - это установка. У моего приятеля была жена, которая поехала в командировку. И когда она возвратилась из командировки, ездившие с ней сотрудники доложили ему, что в командировке его жена вела себя неприлично. Мой приятель расстроился и рассказал об этом своей матери. Мать ему сказала: "А ты - не верь." Верить в то, что твоя жена рада раздвинуть ноги перед первым встречным-поперечным, неприятно, и мой приятель стал не верить. И это избавило его от неприятных мыслей. Эта его "не вера" есть та же вера, только вера в то, что то, что есть, этого нет. Моя жена тоже поехала в командировку и, зная, что о её поведении донесут, опережая, рассказала мне о своей невинности и заговоре сотрудников против неё. И так как я, подобно моему приятелю, человек веры, и так как я по натуре своей собственник, то я расстался с женой, и для меня не имело значения, как она вела себя на самом деле, важно было только то, во что я поверил, и в этом заключалась для меня истина, а всё остальное, в том числе и реальность, не имело значения. 
    И уж, конечно, в качестве необыкновенных, чудесных выступают все те вещи, которых мы не понимаем, а не понимаем потому, что ими не занимались. Мы этого не умеем делать, или не хотим делать, или не хотим ничего знать о том, как это делается, или нам просто лень получать знание об этом, и тогда мы создаем установку на чудо. И вот именно такая установка на чудо и была создана мной относительно функции min(x,y). И дальше начались вещи поистине необыкновенные, если хотите, чудесные. Это вполне аналогично тем представлениям, которыми мы руководствуемся, будучи влюбленными. Каким только ухищрениям мы не предаемся с одной единственной  целью - не видеть того, что есть в реальности. Ведь если есть чудесный объект, то он также должен и обладать чудесными свойствами. А что такое чудесное свойство, как не неизвестность, как  не не "пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что"?! То есть все усилия оказываются направлены на то,  чтобы не увидеть истины. И в этом заключается причина  совершенно поразительных ошибок, которые мы делаем. Так как была создана установка на чудо, то была тем самым создана установка на непознаваемость объекта.  Как могла быть реализована эта установка? Естественно, путем введения ошибок. И вот я составляют программу для вычисления значений  функции min(x,y), но при этом  чудесным образом в неё затесывается  уму непостижимая строка, которую я написал, но не имел никакого представления об этом и при проверке программы её не видел (!) у-х*у, и т.о. в реальности я вычислял функцию [(|x+x*y)-|x-x*y|]/2 .
    И, однако, вся прелесть владением  чуда заключается в том, чтобы его  разрушить. И когда возникает это стремление, тогда потихоньку начинаются включаться мозги и чудо очень медленно, шаг за шагом разрушается, и всё дело в конце концов оканчивается даже не чем-то умным, а какой-нибудь обыденнностью. Сначала я рассуждал т.о.,  что значение функции - это третья координата и, значит, на поле значений целых чисел нами должна быть получена сеточная поверхность в трех координатах. Следующей мыслью было начать с одинаковых значений х и у, а затем взять два противоположных отношения, что и было выражено в отрывке:
 "Каковы её свойства? Если х=у, то получим х. Понятия бесконечно малой и бесконечно большой величин будем рассматривать как относительные друг к другу. У нас есть исходная единица измерения, которая дальше не делится. Тогда бесконечность может рассматриваться по отношению к ней как то, что "трудно сосчитать", то есть что характеризуется неопределенностью, размытостью, тем, до чего счет не дошел и что рассматриваться как множество с неопределенно большой мощностью. Если е -единица, и а - величина, бесконечно большая по отношению к ней, то и, напротив, единица е есть бесконечно малая по отношению к а. Пусть ь-бесконечно малая величина, ъ - бесконечно большая. "х→" читается "х стремится к ..." Если х→ъ, у→ь то (1)=0. Если у→ъ, х→ь, то (1)=у
 
    Итак, я начал задавать одинаковые значения для х и у, а затем значения х на порядки большие у и обратно. В результате этого начали выявляться закономерности, которые, однако, никак не цеплялись за "чудо", за специфическое ощущение, что нечто - это "то", что "попал в точку". Иначе и не могло быть, так как исследовалась мной на самом деле совсем другая функция. Возникла дезоринетация: вроде бы что-то похожее на неизвестное "то", и в то же время налицо было ощущение несовместимости с ним. Дальше двигаться было некуда. Снова возвратился к min(x,y). Мозолили глаза знаки абсолютизации и пришлось задать себе вопрос, какую роль они выполняют в функции. И вот, чтобы выяснить это, я рисую то, что вы видите на рис. 1. Фантазия, которой я руководствовался при этом, заключалась в следующем: есть  координатный луч, по которому движутся две точки, разность между которыми остаётся постоянной, что означает, что они обладают одинаковой скоростью. Обобщая это положение, можно определить соотносительные значения движущихся точек, то есть задать зависимость скорости движения одной точки по отношению к другой. Отсюда получаем дальнейшие понятия: 1. простая фиксация законов соотносительного движения точек. 2. Зависимость скорости движения одной из точек от другой. Сюда же можно ввести зависимости скоростей точек от пройденного ими расстояния и т.д. Словом, получаем обширное чувственное поле. Но в данном случае у нас есть такое вот ограничение: скорости точек одинаковы, поэтому расстояние между ними постоянно и изменяются только соотносительные значения х и у. И для того, чтобы всё видеть на пальцах, задаем х=3, у=7. Тогда их сумма будет равна 10, а разность - 4. 10-4=6, а 6/2=3. Так как я имею дело с чудом, то я и воспринимаю всё как необыкновенное и чудесное, и я задаю себе вопрос: "А почему так?". Мы уже видели, как в программу затесалась ошибка. Но случайных ошибок не бывает. Все дело можно представить себе т.о., что мы имеем дело с отношением сознания и бессознательного, и реальность, которая открывается сознанию, это та реальность, которая задается ему бессознательным, которое решает свои  проблемы.  И поэтому дальше непонятным образом возникает следующая "ошибка": сознанию бессознательным снова подсовывается не та реальность, с которой сознание имеет дело. Именно, вместо  формы 2 возникает еще одна  форма, 1:
   

Форма 1
+	х	+	у	=	а
	х	-	у	=	в
			2х	=	а+в
			х	=	(а+в)/2

Форма 2
-	х	+	у	=	а
	х	-	у	=	в
			2у	=	а-в
			у	=	(а-в)/2

    Так как, очевидно, применение операции абсолютизации рассчитано на устранение отрицательных величин, то примем х>y и забудем о знаках абсолютизации. Тогда форма 1 даёт х=(а+в)/2, форма 2 - у=(а-в)/2. Мы можем определить х, если нам даны у и а и в;  можем определить у, если даны х и а и в: а/2=(х-в)/2, а/2=(у+в)/2, откуда х=у+в. Сравнение форм 1, 2   даёт примечательные результаты: формой 1 определяется независимость х от у, формой 2 - независимость у от х. Это означает, что в первом случае мы можем брать любое значение у, на результат он влияния не окажет. Во втором случае можем брать любое значение х, влияния на результат он также не окажет. С какого рода логическим отношением мы в данном случае имеем дело?  Со случаем независимости одной переменной от другой. Но это всё -логика, рассуждение, а как же обстоит дело с практикой, с конкретикой?
    После приключений, которые мы пережили, весь флер чуда, который первоначально окутывал функцию, развеялся, и осталась самая что ни на есть  обыденность. Посмотрим на формулу формы 2, соответствующей функции min(x,y) не влюбленными  глазами. И что же мы видим? Мы видим, что в ней из х вычитается х, а у удваивается, и поэтому деление  на 2 даёт у. Т.о., в ответе мы получаем у. Что имели на входе, то же самое получили и на выходе: (x+y-x+y)/2=y.
    И так как мы, не осознавая этого, ищем приключений, то мы делаем то, что изначально делать нам запрещено: мы придаем значениями х,у также и отрицательные значения с тем, чтоб посмотреть, что из этого получится.
    Пусть х=-3, у=-5. Получаем: -3+-5=-8, -3--5=-3+(--5)=-3+5=2,  |2|=2  -8 - 2 =-6, |-6|=6, 6/2=3. И тут невольно возникает вопрос: в ответе нами получено число 3. И, значит, мы не получили -3. И вот возникает вопрос: 3 и -5 - какое из этих чисел больше? Или вопрос еще лучше: -3 и +3 - какое из них больше. Может возникнуть желание сказать, что 3, разумеется, больше -3. Но этому можно возразить: а чем это, интересно, -3 хуже +3. Они равны. Но противоположны. это - тождество противоположностей. Во всяком случае, можно рассуждать двояко: можно считать, что иметь три рубля лучше, чем иметь долг в три рубля. Но это уже относится к сфере интерпретации, а возможных пониманий возможно три: одно понимание: всякое положительное число больше отрицательного. И тогда всякое меньшее отрицательное число больше большего отрицательного числа. Можем рассмотреть отношение между числами с противоположной точки отсчета - отрицательных чисел. И тогда -5 будет больше -3, а -3 - больше =2. Это понятно: мы можем закрепиться на одной из сторон противоположности и тем самым нами будет определено направление отношения "больше". Но мы можем также рассматривать положительные и отрицательные числа как противоположные системы, начинающиеся в точке ноль. И тогда отношение между положительными и отрицательными числами будут рассматриваться  как качественное отношение - тождества противоположностей, так и количественное, относительно которого арифметические операции сложения и вычитания  начинают приобретать несколько странноватый вид. Так, с этой точки зрения -3+3=0,  а -3-3=-6.
     Но всё-таки вав (элементарные арифметические функции) имеет ввиду только целые не отрицательные числа, следовательно, х, у могут быть только положительными числами или нолем. Тогда для исследования  остается два варианта: x>y, y>x  Первый вариант рассмотрен.  Пусть теперь  х=3, у=5, тогда  а+в=8, а-в=-2, |-2|=2, 8-2=6, 6/2=3 
    Итак, мы получили, что функция min(x,y) определяет меньшее значение переменных х,у.
    Рассмотрим функцию, которая соответствует форме 1: |(а+в)+|a-в||/2 Пусть х=5, у=3. Отсюда: получаем результаты действий: 8, 2, 10, 5. х=5. Определили большее значение из двух переменных. Пусть х=3, у=5. Тогда: 8, -2, 2, 10, у=5. Снова получили большую из переменных. Т.о., функция, соответствующая форме 1, есть функция max(x,y)=  |(а+в)+|a-в||/2
    Но есть во всем этом движении еще одна вещь, о которой до сих пор не было сказано ни слова. Именно, сочинить, вообще говоря, можно "любую формулу", но не любая формула обладает смыслом. А смыслом формулы является то, для чего она создается. Другими словами, критерием истины формулы должны быть требования, которым она должна отвечать. Эти требования могут быть многоразличными, однако именно они являются критерием истины, той целью, которая должна быть реализована. Разумеется, всё это может быть и перевернуто: мы сочинили какую угодно формулу, исследовали её поведение, и затем отношения перевернули и заявили, что мы создавали формулу для того, чтобы она реализовала этого рода поведение, которое и было нашей целью. Словом, в конечном счете важно не то, что делает функция. Важно совсем другое: как, в соответствии с какими принципами строится функция с заданными свойствами. Допустим, предлагается задача: построить функцию, которая определяет меньшую из двух заданных переменных. Из чего мы должны исходить при построении такой функции? Кажется, что мы должны исходить из значений двух переменных. Затем нужно найти способ сравнения функций. Сравнение вообще осуществляется посредством операции вычитания. Мы можем сравнивать х с у или у с х, то есть взять их разность. В результате сравнения мы получим выражение с минусом или с плюсом, и, во всяком случае, величину разности между ними.
   
    1. То есть функция в качестве своего результата должна дать либо большее, либо меньшее из двух чисел.
    2. Если сложим два числа и разделим, то получим как раз половину их суммы. Причем, эти два числа будут различаться от исходных на одинаковую величину, только меньшее с недостатком, большее с избытком.
    3. Можно  также взять разность двух чисел и разделить её пополам. Тогда, отняв от большего числа эту половину и прибавив её к меньшему, получим два равные числа.
    4. Если мы из суммы двух чисел отнимем их разность, то получим удвоенное произведение меньшего из них.
    5. Произведем обратную операцию. Допустим, у нас есть меньшее  число х=4. Умножим его на 2. Получим 8. Допустим, что у на 2 больше х. Тогда к 8 мы должны будем прибавить два и т.о.  получим сумму двух чисел х+у..
    6. Допустим, что число  х меньше на единицу числа z:  x=z-1, а число у больше числа z на два: y=z+2. Тогда z=x+1=y-3, x=y-3, y=x+3, x+y=2x+3=2y-3. Пусть z=4. Тогда х=3, у=6, х+у=3+6=2*3+3=2*у-3=9.
    7. Если меньшее число умножим на два и прибавим к нему разность, то получим сумму двух чисел. Если мы большее число умножаем на 2, то в результате появится  лишняя разность сверх суммы двух чисел.. Пусть а - меньшее число, в- большее, и с=в-а, тогда  а+в=2а+с=2в-с. Пусть а=3, в=5, тогда с=2, а+в=8, 2а+с=2*3+2=8, 2в-с=2*5-2=8. Поэтому нужно знать сумму двух чисел и их разность. То, что нам дано, это а и в. Т.о., мы берем сумму, от суммы отнимаем разность, полученный результат делим на 2 и получаем меньшее число.
   8. В чем состоит логика этой функции? В том, что сумма двух чисел равна 2, умноженному на меньшее число, плюс разность этих двух чисел. Тогда, зная сумму и разность этих двух чисел, мы можем найти удвоенное произведение меньшего числа. Разделив на два, получаем меньшее число.
    9. Тогда если min(x,1) и х=0, то сумма равна 1, разность равна -1, абсолютное значение разности равно 1, 1-1=0. Если же х имеет какое-то другое значение, например, 10, то сумма будет 11, разность 9, 11-9=2, 2/2=1. Т.о., для любого положительного числа, не равного нолю, функция будет принимать значение 1.
   10. Если большее число умножим на 2, то в нём будет двойная разность, поэтому, если мы знаем разность, то, вычтя из полученного числа двойную разность, получим удвоенное меньшее число, разделив его на два , получим меньшее число.
    11. Поэтому, соответственно, для определения большего числа нужно взять сумму двух чисел, прибавить разность и разделить на два. Получим большее число: 5+3=8,+2=10,:2=5.
   12. Сравниваем сумму и разность. Если от суммы отнять разность, получим удвоенное меньшее число, если прибавим разность, получим удвоенное большее число.
    13. В вопросе о числах важнейшим является вопрос об отношении между числами.
   

  

Посмотрим на другие варианты. 2. х=-5, у=3:  -2, -8, 6/2=3; теперь то же самое с учетом абсолютизации: -2, -8, 8,  х=-3, у=5, -3+5=2, -3-5=-3+(-5)=-8. 2-(-8)=2+(- -8)=2+8=10, 5  Пусть теперь   х=5, у=-3, 2,8,-6, -3. Но если применим внешнюю абсолютизацию, то получим число три. И тут перед нами возникает по-видимому совершенно посторонний, но важный вопрос: а что, разве что -3, что 3 - эти числа меньше -5?- я имею ввиду, с точки зрения положенности отрицательных чисел?

Здесь вообще возникает сложная ситуация, связанная с  неустойчивостью в отношениях "правого" и "левого", обусловленная психофизиологией человека и отвечающая на многие коренные вопросы, относящимся к способам отражения человеком внешней среды, связанным со способностью либо неспособностью человека рассматривать объект со всевозможных сторон, что возможно только при способности человека становиться на противоположные точки зрения. Это связано не только с особенностями духовного поведения человека, но и физического, так как им вообще характеризуется, с одной стороны, способность человека сохранять устойчивость в системе множества воздействующих на человека сил на основе его его способности противостоять этим воздействиям. Чем сильнее у человека выражена однозначность (доминанта) левого либо правого полушария,  тем в большей степени он является "упертым на определенной точке", и, напротив, чем более человек чувствителен к левому и правому, что соответствует лабильности отношений между полушариями,  тем более он способен к отражению противоположных сторон предмета, так как  тем в большей степени он способен становиться на противоположные точки зрения.     За отношением левого и правого стоит характер отношений между большими полушариями головного мозга: при доминировании одного из полушарий второе полушарие оказывается подчинено ему. Отношение между полушариями оказывается односторонним и сам человек при этом является односторонним, подобно диоду, который пропускает ток только в одном направлении. В случае равновесия правое и левое полушария взаимно определяют друг друга, и функционирование человека с внешней средой основывается не на одностороннем её восприятии, а на учете противоположных её аспектов, учетом которых обеспечивается поддержание человеком своего равновесия  в ней. Однако, при всём при том, если у человека сохраняется доминирование одного из полушарий, поведение человек сохраняет доминанту левого или правого, в противном случае человек оказывается подвержен воздействиям внешней среды и приобретает свойства бильярдного шара, движения которого определяются ударами кия по нему.

 Разумеется, они меньше абсолютного значения -5. И тогда получается, что функция сравнивает абсолютные значения чисел? Словом, возникают вопросы.  И в одном, и в другом случае мы получили значение у, но в первом случае 3, очевидно, меньше -5,  если рассматривать отрицательный ряд целых чисел как зеркало натуральному ряду, которому он себя противопоставляет.

Но это является точкой, которая даёт выход уже в следующую тему, связанную, разумеется, с рассматриваемой, однако имеющую более общий характер. Поэтому раньше, чем перейти к ней, закончим с тем, что начали. Пусть дан отрицательный ряд чисел. Для отрицательного ряда чисел -5>-3, как и вообще, всякий элемент, более удаленный от ноля влево, будет больше элемента, менее удаленного от него.  Тогда -5+-3=-3+-5=-8,  -5- -3= -2, -3- -5 = 2.  Выражение -3 - -5 замечательно в том отношении, что оно  указывает на симметричный характер отношения положительных и отрицательных чисел. Мы уже привыкли к тому, что 3-5 =-2, рассматривая -2 как недостачу трёх до пяти. Мы можем как-то содержательно это понять. Например, можно заплатить за товар часть его стоимости,  другая же часть стоимости товара станет нашим долгом. Но при этом сама по себе схема 3-5 ничего не говорит о том, что этим схема не оканчивается, поскольку  долг требует своего погашения. Однако если мы рассматриваем  -3 - -5 =2,  то каким образом мы можем, вычитая из одного долга другой долг получить что-то положительное? Возможно ли здесь какая-то интерпретация? Скажем, я должен 3 рубля. Мне должны 5 рублей и отдали долг. Тогда я могу отдать долг в 3 рубля и у меня еще останется в кармане 2 рубля.  Т.о., оказывается, что за выражением -3 - -5 лежит сложная система отношений, поскольку, с одной стороны, я должен, с другой - мне должны. Т.о., есть три объекта А,В,С, где А должен В 3 рубля, и С должен А 5 рублей.   Минусом обозначается долг, суммирование долгов обозначается плюсом, отдача долга обозначается минусом. Однако как должны различаться отношения "я должен", "мне должны"? Как всё это вообще может разделяться? Я занял три рубля. В результате у меня в кармане оказалось три рубля. Это - материальная сторона дела. Но ей соответствует идеальная сторона - мой долг. На противоположном полюсе отношение противоположное:  там были материальные три рубля. После того, как эти три рубля оказались заняты, они перестали существовать материально, но - идеально. В результате материального перемещения денег из одного кармана в другой возникли два неразрывно связанные друг с другои идеальные отношения  между противоположными объектами "я должен, мне должны" Возникает вопрос: как математически может быть отражено это обстоятельство? Мы имеем дело с двумя качественно различными уровнями реальности: идеальной и материальной. Если станем рассматривать идеальную сторону и если будем исходить из определения субъективных отношений, то если мне должны, то это - плюс для меня, если я должен, то это для меня минус.  Поэтому моё существование - это  множество идеальных плюсов и идеальных минусов, и, соответственно, как формирование долга так и его отдача - это преобразование материального в идеальное и обратно. Т.о., существует параллелизм этих двух сфер и их взаимоотношения. Но идеальное не есть материальное, оно изначально по отношению к материальному есть вещь отрицательное.  Поэтому если у меня есть долг в три рубля, то это - идеальные -3, и если мне должны 5 рублей, то это также отрицательность, и поэтому также -5.Однако этими двумя минусами определяются противоположные направления движения денег: для пяти рублей это их движение ко мне, для случая -3 - их движение от меня. Что происходит, когда я получаю долг? Происходит удаление долга, то есть его вычитание. Идеальные 5 рублей для меня превращаются в материальные. Что происходит, когда я отдаю долг? - я осуществляю операцию сложения с долгом, и при этом мои материальные три рубля для меня перестают существовать, но при этом перестает существовать и идеальное - мой долг втри рубля. Налицо процесс превращений материального в идеальное, такое, что идеальное начинает определять моё последующее материальное поведение.

    Мы, т.о., плавно перешли от отрицательных чисел к положительным, либо же мы должны запретить вычитать из меньшего числа большее. Теперь то же самое для положительных чисел: 5+3=3+5=8, 5-3=2, 3-5=-2. Мы плавно перешли от положительной системы чисел к отрицательной. Однако мы при этом нигде не смешивали отрицательных чисел с положительными и логика перехода от одних чисел к другим остается прозрачно ясной, соответствующей инстинкту очевидности.  Теперь займёмся их смешением.
    -5+3=-2.  Переставим местами 3 и -5, получим 3+-5 =-2. Теперь запишем 3-5, то есть от числа 3 отнять число 5. От меньшего числа отнимаем большее, получаем -2. Получается "долг" в две единицы, -2. Что мы имеем: выражение 3+(-5) представляется прозрачно ясным - но в каком смысле? в смысле сравнения двух параллельных рядов чисел, положительного и отрицательного и определения разницы между ними. (рис.4)


Эта разница составляет -2 элемента. Что в результате всего этого у нас на пальцах крутиться? - мысль, что операции сложения и вычитания, примененные к одинаковым в качественном отношении числам, то есть только к положительным или только отрицательным, меняются на противоположные, как только мы применяем их к противоположным числам.

Но, в то же самое время, 3+5=8. Но если мы сравниваем 3 и 5, то мы снова получаем разницу, однако теперь разница не в два отрицательных, а в два положительных элемента. Но благодаря чему мы получили этот результат? Благодаря тому, что из 5 вычли 3. А если бы мы из трех вычли 5, получили бы разницы в два отрицательных элемента. В обоих случаях разницу мы получили посредством применения операции вычитания, причем, в зависимости от того, что с чем сравнивали, то есть что брали в качестве уменьшаемого, и что - в качестве вычитаемого, мы получили в количественном отношении одинаковые, а в качественном - противоположные значения. И, в то же самое время, -3+5=2. Мы применили операцию сложения и что, получили различение двух множеств? Если судить по форме, то да. Если судить по сути, то нет. Потому что сложение имеет ввиду сложение элементов. Мы взяли -3{-1,-1,-1}+5{1,1,1,1,1,}, всего получилось 8 элементов, то есть получили множество {-1,-1,-1,1,1,1,1,1,}. Это - операция сложения в чистом виде. Для того, чтобы получить в качестве результата множество 2{1,1}, нужно еще кое-что, а именно, необходимо правило, согласно которому противоположные элементы не могут сосуществовать в одном множестве, они уничтожают (компенсируют) друг друга. То есть -1+1=0. И отсюда следует, что, во-первых, непосредственный контакт сторон противоположностей уничтожает саму противоположность. Например, что такое война, как не непосредственный контакт между противоположностями, которые взаимно уничтожают друг друга? Т.о., операция сложения может рассматриваться в качестве не только выражающей количества суммирующихся тождественных элементов, но и разность элементов противоположных. Значит, если мы имеем множество с противоположными элементами, то если к этим элементам применить операцию сложения, то все противоположные элементы в множестве взаимно уничтожат друг друга. Теперь представим себе, что к элементам множества, содержащего положительные и отрицательные элементы, применена операция вычитания. Тогда получим такие вещи: +1- +1=..., +1- -1=..., -1 - +1=..., -1- -1=.... Вы понимаете, как можно отнять из единицы единицу? Я - нет. Другое дело, что я могу их сравнить. Я могу сравнить +1 и +1 и сказать, что они равны друг другу: 1=1. Я могу переписать это выражение в виде 1-1=0. Я понимаю, что сравнение единицы с единицей не видит различия между ними. Но саму по себе операцию вычитания из единицы единицы я понять не могу. Потому что из меня можно отнять только меня, и в результате мы получим ноль, но невозможно осуществить операцию вычитания двух объектов.  Это бессмыслица. Невозможно из ведра вычесть ведро. Правда, из ведра, содержащего 5 литров воды, можно отлить три литра, но в этом случае мы имеем множество (контейнер) и его элементы. В результате вычитания части элементов из множества мы получили другое множество. Но в этом случае речь идет отнюдь не о вычитании элемента из элемента, а о вычитании элементов из множества, и речь идет не об элементах, а об изменении мощности множества. Перепишем уравнение подробно: +1 - +1 = 0. Допустим, что -+ = + - и запишем +1 + -1. Переставив знаки "+" и "-", мы изменили качество второй единицы на противоположное и, соответственно, вместо операции вычитания получили операцию сложения. Я знаю, что противоположные элементы компенсируют друг друга, где под компенсацией элементов понимается их взаимное уничтожение, которое дает ничто, обозначаемое нолем. И поскольку такое правило существует, мне остается согласиться с ним и записать: +1 +-1 = 0. Переходим к записи +1 - -1. Возникает вопрос: как можно отнять от +1 -1? Допустим, у меня в кармане есть рубль, и от него я должен отнять -1, то есть долг в 1 рубль. Тогда у меня появляется два варианта. Один вариант: не я должен, а мне должны. Тогда вычитание должна означает превращение -1 в +1, и у меня в кармане оказывается два рубля: +1 - -1 = +1+ +1=2. На самом деле, как видим, мы имеем не одну операцию, а две. Одна операция заключается в получении долга и тем самым превращении идеальной -1 в материальную +1, И вторая операция означает сложение рубля, который у меня был, с рублем, который я получил. Т.о., мы получили, что совместное употребление знаков -- превращает их в знаки ++. Следующий вариант -1 - +1. - + = + -, поэтому переписываем разность -1 и +1 в сумму -1 и -1. Получаем -1 +-1 =-2 Здесь действует правило, согласно которому элементы одного знака складываются. Наконец, -1 - - 1. Это мы тоже уже прошли: - - = + + Переписываем разность двух отрицательных чисел в сумму отрицательного и положительного и получаем ноль: -1 - -1=-1 + +1 = 0.

Представим себе, что представляет собой операция сложения: есть по крайней мере два множества элементов, из которых образуется новое множество, содержащее элементы исходных. Что такое с этой точки зрения обратная сложению  операция вычитания? - это образование из элементов множества двух других множеств, одно из которых называется уменьшаемым, а второе - вычитаемым, и при этом безразлично, какое из множеств как мы назовём. Вся операция вычитания состоит в том, что мы берем какое-то исходное множество А, из него вычитаем (забираем) множество элементов, которые обозначаем как В, и в результате получим в остатке множество опять-таки А, но уже с меньшим числом элементов. Все это мы можем записать в виде А-В=А`. Нам снова понадобилось обозначение отношения включения множества в множество, а так как с этим знаком в редакторах могут возникать проблемы, то попробуем обозначить отношение включения значком "‹", потому что он напоминает принятый символ включения множества в множество. Итак, будем считать, что выражение А‹В обозначает включение множества А в множество В. Очевидно, что для того, чтобы мы могли вычесть из В множество А, оно не должно быть больше В. Но такое ограничение нас, конечно, устроить не может. Пусть А‹В‹I? где I - универсальный класс относительно множеств А и В Чему будет равна разность В-А? Она будет содержать элементы А, являющиеся элементами В, и элементы -А, являющиеся элементами В. Поэтому, если операция сложения представляет собой сравнение двух элементов в каком-то отношении, то это - отношение отождествления либо различения. Тогда  рассматривается их разница, если сравниваются качественно противоположные элементы, положительные и отрицательные, например, множества -3 и 5  различаются 2 положительными элементами. Что из этого следует относительно самой операции сравнения? - то, что операция сравнения отождествления может применяться только к различному, и, соответственно, операция сравнения различения - к тождественному. А это означает, что для операции сравнения должно быть определено качество объектов, а результатом сравнения является их количество. Поэтому если элементы множеств А и В противоположны, то их сравнение дает количественное различие множеств, то есть их разность. Если же сравниваются между собой  тождественные элементы, то операция их отождествления даёт множество, в которое входят все элементы. Например, если мы сравниваем это животное с лошадью и устанавливаем, что оно - лошадь, то получаем множество уже из двух лошадей. Поэтому операция сравнения есть операция, определяющая разность количества качественно противоположных  элементов  и их тождество, если рассматриваются одинаковые в качественном отношении элементы, положительные либо отрицательные.      Однако  можно подойти к вопросу иначе. Можно утверждать,  что в выражении 3+5, как и в выражении -3+ -5 речь идет не о сравнении элементов, а об их счете, и именно, о подсчете элементов двух множеств: 3(1,2,3)+5(1,2,3,4,5)=8(1,2.3,4,5.6,7,8), и то же самое относительно отрицательных элементов. Но в таком случае получается, что знаком "+" обозначаются две разные операции:  одна операция устанавливает величину разности двух множеств с противоположными элементами,  и вторая операция устанавливает  общее число элементов двух множеств с элементами одного качества.  Но по самому своему смыслу операция сложения есть вычисление общего количества элементов, тогда как качественное различие между элементами устанавливается посредством операции вычитания.  Весь вопрос, следовательно, сводится к тому, из какого рода определений мы исходим: занимаемся ли мы просто подсчетом элементов, как бы они ни назывались, или же мы занимаемся сравнением элементов. Как мы помним, элементы у нас сравниваются посредством оператора вычитания, тогда как подсчет элементов осуществляется посредством операции сложения.  Если мы будем исходить из этих определений знаков "-", "+", то получим   5+3=-5+3=-3+5=-3+-5=8`, где штрих при 8 означает множество, которое не различает противоположных элементов. Но если мы сравниваем элементы,  то получаем данные таблицы 4.:

Таблица 4
Љ											Љ
1	+5-+3=2		5{	1,	2,	3,	4,	5	}		2	+3-+5=-2		3{	1,	2,	3			}
		-	3{	1,	2,	3			}				-	5{	1,	2,	3,	4,	5
							4,	5										-4	-5
		=				2{	1,	1	}				=				-2{	-1,	-1	}
3	-5- +3= -8		-5{	-1,	-2,	-3,	-4,	-5	}		4	-5+ -3=-8		-5{	-1,	-2,	-3,	-4,	-5	}
		-	3{	1,	2,	3			}				+	-3{	-1,	-2,	-3			}
		+	-3{	-1	-2	-3			}				=	-8{	-2,	-2,	-2	-1	-1	}
		=	-8{	-2	-2	-2	-1	-1	}
5	-3-5=-8		-3{	-1,	-2,	-3			}
		-	5{	1	2,	3,	4,	5	}
		+	-5{	-1	-2	-3	-4	-5	}
		=	-8{	-2	-2	-2	-1	-1	}

В номерах 1,2 все элементы одного, положительного  типа. В Љ2 не хватает элементов в положительном ряде, поэтому происходит заём из отрицательного. О чем говорит сравнение ЉЉ1,2 - на то, что знаки "+" и"-", полученные перед результатом 2, указывают на взаимное расположение  элементов 3, 5 относительно друг друга: указывает на опережение либо отставание на данное количество единиц. Поэтому естественно, что если один элемент опережает другой на какое-то число единиц, то другой элемент, соответственно, будет отставать от него на такое же количество единиц.
    Результат сравнения номеров 3, 4 , которые различаются противоположностью качества элементов и   последовательностью применяемых знаков -+ и +- и одинаковым результатом, если это верно для всех случаев, говорит о том, что применение операции вычитания из числа положительного элемента дает тот же результат, что и применение операции сложения числа с отрицательным элементом:  
    а+(-а)=0, а- (+а)=0, тогда а+(-а)=а-(+а)  [1]].  То есть сумма положительного и отрицательного элементов равна разности элементов одинаковой валентности.
    Затем, правило дополнения: Если в результате вычитания в вычитаемом не хватает элементов, то возникает "долг" из противоположных элементов.
    При сложении элементы одинаковой валентности складываются, противоположной обнуляются.Для  перехода от операции вычитания двух чисел к операции сложения  необходимо  заменить знак вычитания на знак сложения и знак уменьшаемого изменить на противоположный .


   Итак, переходим к следующей теме. Переход к ней был связан со следующим предложением:  И в одном, и в другом случае мы получили значение у, но в первом случае 3, очевидно, меньше -5, если рассматривать отрицательный ряд целых чисел как точку отсчёта и зеркало натуральному ряду. В этом случае точка отсчета принадлежит нолю, и отсчет осуществляется в две противоположные стороны. Например, мы можем рассматривать степени моральности и аморальности как два параллельных противоположных ряда, имеющих начало в одной общей точке. Но мы можем рассматривать также непрерывный ряд движения от меньшего к большему из отрицательной бесконечности в положительную бесконечность , и это направление пересчета элементов можно назвать положительным, либо обратное направление счета из положительного в отрицательное, и такое направление счета можно назвать отрицательным. Предпочтительным, "на первый взгляд", представляется первый взгляд, явно очерчивающий противоположность двух сторон - отрицательной и положительной. Но для этих  случаев нам нужно договориться, что под чем понимать. Ведь если 0 - это точка отсчета, то -5 будет больше -3: долг в пять рублей больше долга в три рубля, но если то же самое рассматривать с положительной стороны, то -3 - величина гораздо более положительная, чем величина -5. Для меня как должника предпочтительнее иметь долг в три рубля, чем в пять. И, т.о., -3 оказывается больше -5. Можно утверждать относительно положительной и отрицательной сторон зеркала противоположностей, что с точки зрения положительной половины  -3 больше -5, с точки зрения отрицательной половины 3 больше 5, но это только при условии непрерывности, а не противоположности положительного и отрицательного рядов. Если нами предполагается противоположность положительных и отрицательных чисел, то весь смысл их состоит в том, что они  взаимно не только дополняют, но и  уничтожают друг друга. Поэтому можно говорить о соответствующих друг другу элементах двух рядов, но эти элементы, при равенстве их абсолютных величин, друг другу не равны в том смысле, что их сложение дает ноль. Если мы возьмём логический закон тождества а=а, то а-а=0, и именно это обстоятельство указывает на тождество, или равенство двух объектов. Итак, знак вычитания двух объектов определяет их равенство, если в результате вычитания от объектов ничего не остается. Можно также говорить о сравнении объектов друг с другом. Например, если объект А обладает свойствами абвг, объект В обладает свойствами бвгд, то А(абвг)-В(бвгд)=С(а) и, соответственно, В(бвгд)-А(абвг)=Д(г), то есть А от В отличается С, В от А отличается Д. В этом смысле ноль может рассматриваться в качестве объекта, производящего тождество противоположностей: 0=а-а, откуда а=а. И с этой точки зрения операция вычитания является первичной по отношению к операции сложения. В ней самой по себе утверждается лишь тождество (равенство) двух объектов. Операция вычитания утверждает тождество, она лишь сравнивает два объекта и выявляет их тождество или различие. Если а-в=с, то с характеризует различие между двумя объектами. Если а-в=с, то а=с+в. Если дано а=а, то мы можем разложить а на составляющие его части в и с: а=в+с. Т.о., то, что называют суммой, есть выявление частей, из которых состоит целое. Например, 0=4-4 Ⱶ 4=4 Ⱶ1+3=2+2.  Если а-а=0, то что в этом случае должна означать запись а+(-а)=0?  Очевидно, что в этом случае речь идет уже не о тождестве объекта а самому себе, как это имеет место в выражении а-а=0, а о том, что это - противоположные друг другу объекты, объекты, обладающие противоположными качествами, и эта противоположность качеств состоит в том, что  то, чем обладает один из объектов, не обладает другой, как и обратно. С точки зрения логики этому выражению должен соответствовать закон противоречия.
    Переведем теперь всё это на практические рельсы.  Если мы имеем два противоположных  ряда чисел, то сумма соответствующих элементов чисел двух рядов будет равна нолю.  Теперь подойдем к вопросу с другой стороны. запишем число ноль и от него запустим две параллельные  линии, представляющие два параллельных  одинаковых ряда целых чисел. Получим  1,2,3,..., , одинаковым элементам чисел будут соответствовать точно такие же числа и мы можем записать, что 1=1, 2=2, и вообще всякое число а=а. На основе этих двух параллельных рядов мы можем построить канторовский счетный ряд рациональных чисел, ставя в соответствие каждому элементу одного ряда все элементы второго ряда. А если обобщить этот приём на n таких рядов, то полученные результаты могут быть поставлены в соответствие элементам третьего ряда и т.д.
   Представим себе операции в двойном ряде одинаковых чисел.    Если  теперь из одних чисел будем вычитать соответствующие им, то  получим ноли. Вычитая друг из друга разные числа, мы будем получать положительные или отрицательные числа, которыми отражается их положение опережения или отставания относительно друг друга.
      Понятия больше и меньше в двух противоположных - положенное положительной и отрицательной системах чисел выглядят совершенно однозначно, поскольку нами отрицательная и положительная части ряда натуральных чисел противопоставляются друг другу.  В этих случаях в отрицательной системе  -5>-3, 3>5, в положительной части 5>3, -3>-5. Понятия  больше-меньше противоположны в двух системах.
    Не возникает также вопросов,  когда отрицательная и положительная стороны противопоставляются  друг другу. В этом случае вступает в действие принцип компенсации, согласно которому противоположности уничтожают друг друга.  В этом случае достаточно наложить друг на друга отрицательное и положительное множество и вычеркнуть  из них соответствующие, то есть одинаковые по абсолютной величине,  члены. Оставшиеся члены дадут результат суммы. Например, -3+5=2.
    Однако возникает вопрос: почему отрицательная и положительная стороны противопоставляются друг другу. Скажут, что существует общая точка отсчета для обоих сторон в виде ноля. Например, если я занял 5 рублей, то у меня в руках оказываются 5 рублей, вещь вполне положительная. Но совершенно одновременно с ней возникает и мой долг в пять рублей, вещь отрицательная. Если я отдам 5 рублей заёмщику, то я лишусь этих пяти рублей, но одновременно лишусь и долга, и возникнет, т.о., ноль. В этом смысле,  ноль есть точка, из которой разворачивается противоположность положительного и отрицательного, причем, эти две стороны оказываются неразрывно связаны друг с другом., то есть одна сторона невозможна без другой. Если я занял 5 рублей, я могу сделать с ними, что хочу, могу их подарить, могу потерять, всё, что угодно. В результате у меня не окажется 5 рублей. Но при этом другая сторона, отрицательная, мой долг в пять рублей. останется, и чтобы избавиться от него, я должен буду найти где-то пять рублей. Т.о., однажды созданное отношение долга остается.   
    С другой стороны, между положительной и отрицательной сторонами существует непрерывный переход от 1 к минус единице и т.д. и обратно.
    Специальный объект "0" оказывается своеобразным тупиком, дальше которого не существует уже ничего и относительно  чего берут начало две параллельные противоположные линии чисел. Но  мы начинаем счет с единицы, а не с ноля, потому что ноль - это ничто. С одной стороны. Но, с другой стороны, ноль - это баланс, это равенство противоположностей.  Действительно,  если а=в, то а-в=0. То есть ноль выражает собой равенство любых двух вещей, и в этом смысле  ноль представляет собой исход любых противоположностей. Ноль есть точка отсчета: Пусть есть уровень моря, принятый за ноль. Тогда подъем на гору выразится положительными значениями, спуск на дно морское - отрицательными относительно ноля. При этом ноль - это вещь, которая не занимает места. Это - просто точка, относительно которой осуществляется счет.  Если у нас есть отрицательный счет 5,4,3,2,1, мы отняли 1, а дальше идут -1, -2, -3 и т.д. и т.о. в целом счет оказывается непрерывным. И, однако, при всей его непрерывности существует ноль, точка, относительно которой осуществляется  счет. Пусть имеем упорядоченный ряд единиц, может быть, бесконечный в обе стороны. Тогда мы можем провести черту между любыми двумя единицами, и начинать счет в одну и противоположную стороны. Аналогично, если имеет место поименованный ряд единиц, то эту же операцию мы можем осуществить и по отношению к нему, определив ноль и осуществив счет в противоположные стороны. Например, пусть у нас есть упорядоченное множество элементов 1,2,3,4,5,6,7,8,9, Проведем черту между двумя какими-то элементами, скажем, между 5 и шестым, и определим её как ноль. Тогда получим счет влево: 6=-1, 5=-2,4=-3, 3=-4. 2=-5, 1=-6, и, соответственно, счет вправо: 7=1, 8=2,9=3.  Т.о., в упорядоченном ряду чисел мы можем выбрать любой ноль, породив относительно него отрицательные и положительные числа.  В приведенном примере  мы получили последовательность чисел -6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2.3, и при этом мы имеем обычный последовательный ряд элементов, в котором противоположность может не учитываться, хотя она, очевидно, и положена.
    Но если мы имеем противоположности, то на них определена и операция сложения как для одновалентных выражений, так и двухвалентных: -3+-5=-8, 3+5=8. Если мы теперь сложим -3+3, то ведь мы должны получить 6 элементов. Кто не верит, может посчитать. Мы складываем элементы -3,-2,-1, 1,2,3. Пересчитайте элементы. Сколько их получилось? Очевидно, 6. А нам говорят, что ноль, потому что положительные и отрицательные элементы де уничтожили друг друга. Но ведь это уничтожение противоположных элементов - это уже другая операция, которая не относится к подсчету элементов. Возьмём теперь разность -5- -3 = -2. Операции сложения и вычитания на положительных и отрицательных числах должны обладать свойством симметрии, что позволяет определять значения выполнения этих операций на основе рассмотрения тех же операций на противоположной системе чисел.    Поэтому мы можем взять числа 5-3=2, и на основе этого заключить, что -5- -3=-2. Мы можем проверить полученный результат, применив обратную операцию: 3+2=5 и найти ей соответствие в отрицательной системе чисел: -3+-2=-5.Другими словами, мы имеем дело с одной и той же формой, в которую подставляются объекты противоположного рода.   
      -3{-3,-2,-1}, 3{3,2,1}. Назовем равные по мощности множества, содержащие противоположные элементы, противоположными множествами. Тогда приписывание множеству операции отрицания, или дополнения, превращает множество в противоположное. Соответственно, двойное отрицание дает исходное множество.  Можем ли мы связать операцию вычитания с операцией отрицания? Но тогда мы должны дать определение отрицания применительно к множествам. В логике операция отрицания преобразует истинностное значение высказывания в противоположное. Применительно к множествам, оно должно означать преобразование элементов множества в противоположные и т.о. получить также и противоположное множество. При вычитании мы берем какое-то множество, например, множества 5 или 3, и вычитаем из него элементы множества 3 или 5 соответственно. Пусть нами рассматривается операция 5-3=2. Если у меня было 5 рублей и я потратил 3 рубля, то у меня осталось два рубля и плюс то, что я купил. Т.о., в общем то, стоимость, которой я обладаю, не изменилась. Однако в операции 5-3=2 фиксируется только одна форма стоимости - денег, и изменение количества денег. То же, что в результате операции вычитания я приобрел другую форму стоимости, об этом операция 5-3=2 ничего не говорит. Этот факт остается за скобками.  Теперь то же самое вычитание определим как отрицание. Тогда множество 3{1,2,3}окажется преобразовано в множество -3{-1,-2,-3}, и объединение  множеств 5, -3 даст множество 2{1,2} при условии, что нами принята ,  аксиома, что противоположные элементы в одном множестве сосуществовать не могут, то есть они взаимно уничтожают друг друга. Применительно к числам, объединение двух множество есть их сложение. Т.о., получаем 5+ -3=2.
   В результате вычитания соответствующие элементы двух множеств уничтожаются. Другими словами, если у нас есть положительные сами по себе множества 5, 3, то, определив операцию вычитания на них, мы тем самым противопоставляем множеству 5 множество 3, превращая тем самым его в противоположность множества 5, т.о., 5-3=5+ -3. Как и обратно, мы можем противопоставить множество 3 множеству 5, тем самым превратив множество 5 в противоположное множеству 3: 3-5=3+ -5. Таким образом, операция вычитания есть способ превращения тождественных по качестве множеств в противоположные. Как, очевидно, и обратно: посредством всё той же операции вычитания мы противоположные множества превращаем в тождественные:  5 - -3 = 5++3=5, 3. Итак, множества сами по себе не являются ни положительными, ни отрицательными. Они становятся таковыми в результате применения к ним операций сложения либо вычитания. Иначе говоря, мы приходим к выводу о качестве множеств лишь тогда, когда начинаем их соотносить друг с другом, и в этом соотношении они проявляют себя как тождественные либо отрицательные друг к другу. И буржуй, и рабочий - люди, и в этом отношении они тождественны друг другу ровно до тех пор, пока мы видим в них людей. Но как только мы соотнесем их друг с другом как рабочего и буржуя,  в них возникает противоположность рабочего и буржуя. Т.о., мы видим, что двойное  вычитание, точно также, как двойное отрицание, дает исходное выражение: 5-3=2, 5-2=3. Это выражение можно переписать так: 5 - - 3 = 3.

    Когда мы складываем множества, мы можем складывать множества положительные и отрицательные. Например, -3(-3,-2,-1)+ +3(3,2,1)=0. Из какого принципа мы можем здесь исходить? Из закона тождества. а=а. Но закон тождества имеет по крайней мере две модификации. Одна модификация: а/а=1, вторая модификация а-а=0, . или в теоретико-множественной терминологии, если а=а, то а-а=ø, где знак ø обозначает пустое множество. Теперь запишем ложное выражение: -3=+3. Допустим, мы не знаем, что оно - ложное. Тогда -3/+3=+3/-3=-1; тогда как +3/+3=-3/-3=+1. Т.о., мы получаем любопытную вещь: +/- = -/+ = - . То есть приравнивание противоположностей дает -, и так как "-" соответствует  отрицанию, то оно должно преобразовывать истину в ложь, что и соответствует действительности, поскольку мы имеем дело с ложным высказыванием. И, напротив, - /- = +/+ = +, это - утверждение, оно утверждает истинность высказывания, что также соответствует реальности. А это означает, что мы имеем  право приравнивать друг другу тождественные множества  и не имеем права приравнивать друг к другу противоположные множества. Это обстоятельство представляет собой не что иное, как выражение основного закона логики.

    Пусть даны два  объекта. Два  объекта мы можем рассматривать как два множества с единственным элементом. Допустим, мы складываем эти объекты Для этого мы должны либо элемент  одного множества перенести в другое, и тогда получим одно пустое множество и второе множество с двумя элементами, либо перенести элементы из исходных множеств и образовать новое с двумя элементами, и тогда получим три множества, из которых два пустых. Математики обычно пустое множество легко превращают в то, что не существует, и, с другой стороны, свободно образуют пустое множество из ничего. Однако что такое пустое множество и чем оно отличается от множества, содержащего элементы?  Что изменяется в множестве, когда оно лишается своих элементов?  И вообще - в чем заключается отношение между множеством и его элементами? Множество - это идея. Элемент - это материализованная идея. Поэтому множество, содержащее элементы, это идея, у которой есть её материализации в виде элементов.  Если эти элементы из идеи убрать, то  множество в качестве идеи от этого никуда не исчезнет, оно продолжит существовать. Поэтому если мы имеем два множества, содержащие по одному элементу,  и элемент из одного множества перенесём в другое, то это на деле будет означать, что элемент, обладавший свойствами одной идеи, перестал ими обладать и приобрел свойства другой идеи. И, точно также, перенесение элементов двух множество в одно новое множество может либо обозначать образование качественно новой идеи, либо же образование идеи, совмещающей признаки элементов исходных идей и в этом смысле образование сложной, или производной идеи. 

    Мы с вами кое-что узнали относительно операций над числовыми множествами. Теперь , возвратимся в прошлое и посмотрим, с какими мыслями мы тогда имели дело. Речь пойдет о взаимодействии множеств.
    Если у нас есть множество с одним элементом, то мы можем вычесть из него этот элемент, и в результате получим пустое множество, что соответствует, очевидно, нолю. Пусть  мы можем добавлять элементы в множества и удалять их из множеств. Это понятно. Мы можем иметь ведро (множество)  и складывать в него яйца (элементы)  и забирать их из него. Но скажите пожалуйста, как можно из одного элемента вычесть другой элемент, как можно из одного яйца вычесть другое яйцо? Из множества можно вычесть элемент или прибавить. Но невозможно из элемента вычесть элемент. Поэтому невозможно вычесть из трех элементов два элемента. Это нонсенс. И это нельзя сделать по причине существования неявно только что высказанной аксиомы, что невозможно из элемента вычесть элемент. Пусть мы имеем множество, состоящее из трех элементов. Мы можем удалить из множества  два элемента и включить их в другое множество или образовать на их основе новое множество. Подобно закону сохранения в физике,  мы можем сказать, что элементы не возникают и не уничтожаются, они лишь переходят из одних множеств в другие. Но это означает, что понятия элемента и множества не разделимы друг от друга. С понятием элемента мы всегда связываем понятие множества, которое является контейнером для  элемента. Тогда получаем: Выражение 3-2 в его непосредственно данном виде не имеет смысла. Но мы можем приписать ему смысл, если примем, что  3{3,2,1} -2{-2,-1}, где {-2,-1} - это своего рода отрицательность, негативность, потребность, которой притягиваются положительные элементы. Тогда взаимодействие двух множеств, а это взаимодействие можно обозначить знаком "+", приведет к тому, что положительные элементы из множества 3 переместятся в множество 2. Тогда можно говорить о том, что,  обозначая элементы в качестве отрицательных, мы тем самым определяем места во множестве, которые требуют своего заполнения. Но так как удовлетворенная потребность уничтожает себя посредством уничтожения предметов своей потребности, то соответствующее отрицательное множество исчезает, и мы  результате получаем одно множество: 3{3,2,1}+-2{-2,-1} даст в результате  1{1}=3{_,_,1}  Отсюда получаем правило: любое множество может быть представлено в виде числа элементов, ему присущих, и бесконечного числа возможных мест, обозначаемых нижней чертой. Любое множество может как угодно расширяться и как угодно суживаться. идеально оно содержит бесконечное множество мест, которое может быть заполнено элементами. Но эти самые места, с другой стороны, могут рассматриваться как потребности множеств. Тогда мы должны разделить потенциальный характер место множеств, которые  могут быть заполнены, и обозначать эти места. знаком "-",  и, соответственно, пустые места, превращенные в потребность, обозначать знаком "_".  Соответственно, операции сложения и вычитания могут применяться только к актуализированным местам множеств. Т.о., в результате взаимодействия множеств получили: 3{3,2,1}+ -2{-2,-1}=3{_,_,1}=3{-,-,1}= 1{1}
    Но тогда, точно также,  и для множеств с одинаковой валентностью мы можем  получить аналогичную схему. Пусть даны два множества 3(3,2,1),  2(2,1). Между этими двумя множествами не может быть взаимодействия до тех пор, пока в одном из множеств не возникнет соответствующая потребность:  3{3,2,1}= 3{3,2,1,-,-}=3{3,2,1,_,_}. либо же  2{2,1}=2{2,1, -,-,-}=2{2,1,_,_,_}.  Если даны множества 3{3,2,1,_,_} и 2{2,1}, то результат возможного взаимодействия этих множество  выльется в возникновение множества 5{5,4,3,2,1}. Но всякий процесс двусторонен. Для того, чтобы множество 3 могло захватить элементы множества два, необходимо, чтобы также и множество 2 в конечном счете готово было отдать свои элементы множеству 3, то есть чтобы множество два по отношению к себе стало отрицательным, подобно тому, как становится отрицательным по отношению к самому себе самоубийца, причем, причиной перехода в это состояние может заключаться воздействие множества 3 на множество 2 под влиянием своей потребности. Т.о., мы получаем во всяком процессе две противоположные стороны, обеспечивающие этот процесс. Множество 2, если оно сможет противостоять множеству 3, сохранит себя. Но всегда потребность на одной стороне требует существования антипотребности на другой. Человека могут убить потому, что он своим поведение допускает убийство себя.
    Естественно, что между множествами могут вожникнуть взаимные потребности: каждое из множеств может нуждаться в элементах другого множества. В этом случае потребность каждого из множеств будет дополняться антипотребностью, то есть выработкой элементов, которые специально предназначены для отчуждения. Тогда между двумя множествами возникнет обмен элементами

        -5{-5,-4,-3,-2,-1}+3{1,2,3}=-2{1,2}. Но ведь полученный ответ неправильный: пересчитайте элементы, и получите число  8`{-5,-4,-3,-2,-1, 1,2,3}. Здесь штрих при цифре 8 означает множество, включающее противоположные элементы.  Особенность этого множества состоит только в том, что в нем точка отсчета 0 смещена относительно своего крайнего положения - правого для отрицательных и левого для положительных чисел. Переместим  её в крайнее левое положение, и получим множество  8{1,2,3,4,5,6,7,8}, переместим в крайнее правое положение, и получим множество -8{-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8}. У нас существуют элементы, качество которых определяется нашей точкой зрения на них: один и тот же элемент в зависимости от точки зрения на него может определяться как положительный, так и как отрицательный. С другой стороны, сами по себе элементы множеств рассматриваются как тождественные друг с другом. Это мы, придавая им наименования, вносим различение их относительно друг друга, а придавая им качество, противопоставляем друг другу.

    Итак, нами выявлены следующие различения при рассмотрении элементов. Различение первое состоит в направлении счета элементов слева направо либо справа налево. Понятия "больше", "меньше" определяются направлением счета, причем, а>в в одном направлении имеет место тогда и только тогда, если в противоположном направлении а<в, и это - на всем интервале чисел. Например, при положительном направлении счета 5-(-3)=8, то есть 8`{-3,-2,-1,1,2,3,4,5}. Следует определить, что значит "больше на..."  5-3=2. 5 больше трёх на 2. Что это значит? Это значит, что нами берутся множества 5(1,2,3,4,5)=5(1,1,1,1,1,), 3(1,2,3)=3(1,1,1). Здесь замена именованных единиц неименованными ничего не меняет в сути дела. Будем параллельно вычеркивать единицы слева направо в множествах, пока не исчерпаем одно из них. Число элементов в оставшемся множестве  и будет представлять собой ответ "больше на..." (или, соответственно, в противоположном отношении "меньше на..." Или иначе: мы берем два числа: 3, 5.  После трёх у нас идет счет: 4,5. Пересчитали элементы 4, 5 и получили два элемента.  Они-то и означают  "5 больше 3 на 2". Посредством каких операций устанавливается "больше на...",  "меньше на..." 
    Очевидно, делается это посредством операции вычитания. Если мы вычитаем из большего числа меньшее, получаем в ответе "больше на...", если меньшее из большего - получаем "меньше на...". Мы пишем: 5-3=2. Проверяем:  2+3=5.  3-5=-2. Проверяем: 5+-2=3. В первом случае знак + перед  2 означает избыток, во втором случае знак минус перед 3 означает недостаток. Т.о., в разности, помимо абстрактного значения "на сколько" содержится также и дополнительная информация "больше", а больше - это и есть избыток относительно чего-то, либо "меньше", а это и есть недостаток относительно чего-то. 

    Возвращаемся еще дальше в прошлое, к функции min(x,y).
    х=-5, у=-3, -8, -2, 2, -6, 6 y=3;  х=-3, у=-5, -8, 2, 2,  -6, 6, x=3 Повторим опыт, но с применением операции абсолютизации для отрицательных чисел \а\=-а, \-а\=-а. Получим: х=-5, у=-3, -8, -2, -2, -6, -6 y=-3;  х=-3, у=-5, -8, 2, -2,  -6, -6, x=-3 Опыт  показывает, что операция абсолютизации обеспечивает достижение симметрии относительно получаемых результатов, если  функция применяется к положительным либо отрицательным  числам с соответствующей им операцией абсолютизации. Возьмём положительные и отрицательные числа. Уже изначально понятно, что к ним невозможно применить ни положительную, ни отрицательную абсолютизацию.  Примем положительную. Если для неё функция выполняться не будет, то вследствие симметричности положительных и отрицательных чисел она не будет выполняться и для отрицательной абсолютизации.   х=-5, у=3, -2, -8, 8, -10, 10, 5;  х=-3, у=5,  2, -8, 8,-6, 6, 3 Функция не срабатывает. Еще опыт. х=5, у=-3, 2, 8, -6, 6, 3; х=3, у=-5, -2, 8, -6, 6, 3. Как и  следовало ожидать, функция не выполняется в случае различного качества переменных х,у. Также она выполняется только при условии, что применяемая форма абсолютизации соответствует качеству чисел, к которым она применяется. поэтому справедливо, что она применима только к вав, определение которых звучит так: "Элементарными называются арифметические функции,  получающиеся из неотрицательных целых чисел и переменных..."[1]c.457. Обобщая, можем сказать, что  функция min(x,y) работает и на отрицательных, и на положительных значениях переменных, при условии применения к ним соответствующей им операции абсолютизации.

    Мы приняли операцию абсолютизации для отрицательных значений чисел, обозначив её обратным флешем \а\=-а, \-а\=-а, соответственно, функцию min перепишем в виде: min^- (x,y)=\(x+y)-\x-y\\/2 и посмотрим, что из этого получится. Естественно, что мы ожидаем, что функция будет работать и в этом случае.  х=-5, у=-3, -8, -2, -2, -6, -6, у-3; х=-3, у=-5, -8, 2, -2, -6, х-3. Всё работает. Но если зададим противоположные качества х, у, функция работать не будет:  х=-5, у=3, -2, -8, -8, 6, -6, -3; х=-3, у=5, 2, -8, -8, 10, -10, -5. Сбой. х=5, у=3, 8, 2, -2, 10, -10, -5; Сбой. х=3, у=5, 8, -2, -2, 10, -10, -5. Мы получили точно такую же картину, что и для положительных чисел с положительной абсолютизацией. При различном качестве х, у функция min(x,y) не работает. Возникает вопрос: почему? Операция вычитания относительно  отрицательных чисел должна быть противоположна операции вычитания относительно положительных чисел, что и проявляется  при переходе через ноль? В основании противоположности операций вычитания лежит противоположность понятий "больше" и "меньше" в положительной и отрицательной системах исчисления. Для положительных значений -5 меньше -3, для отрицательных значений 5 меньше трех. Поэтому получаем в положительной системе 5-3=2. В отрицательной системе получаем 5-3=-2. Не получается ли так, что если мы берем разные валентности х, у, то возникает вопрос: а в какой системе чисел мы должны будем выполнять операции: в положительной или отрицательной? Ответа на этот вопрос нет.

   . В положительной системе исчисления: 5-3=2, то есть 5 больше 3 на две единицы.  В отрицательной  5-3=-2, то есть 5 меньше 3 на две единицы.
    Аналогично, в положительной системе -5 - -3=-2 означает, что -5 меньше -3 на две единицы. Тогда, согласно той же логике должно быть верно: -5 - -3 =2, то есть -5 больше -3 на две единицы. Тогда возникает вопрос о содержании арифметических операций в двух противоположных системах исчисления. Либо они должны различаться т.о., что будут в каком-то отношении симметричны друг другу, либо же они будут иметь один и тот же вид, но различный смысл. Самое первое различие при этом должно заключаться в том, что если в положительной системе исчислений -- = ++ =+, то в отрицательной системе должно быть, согласно закону симметрии -- = ++ = - . С какими вещами в данном случае мы имеем дело? с противоположностью  большего и меньшего в противоположных системах. В содержательном отношении здесь всё понятно. Целью же нашей является преобразование содержания в форму, в операции, которые отражают соответствующее содержание. Операции для положительной системы исчисления у нас есть. Как они же будут выглядеть в отрицательной системе исчисления? Весь фокус заключается в одном единственном: то, что является большим в одной  системе исчисления, то должно быть меньше в другой системе исчисления. Категории "больше - меньше должны отражаться применяемыми правилами. Если мы в положительной системе исчисления говорим о большем или меньшем, то это отражается в результатах операции вычитания. 5-3=2. 2- положительное число, и признак положительности является указателем на то, что число 5 больше числа 3. Соответственно, 3-5=-2. -2 - отрицательное число, и оно показывает, что число три меньше числа 5 на две едиицы. Также -5 - -3= -2 говорит нам о том, что число -5 меньше числа -3 на две единицы. Соответственно, -3 - -5 =2 говорит о том, что число -3 больше числа -5 на две единицы.
    С точки зрения отрицательной системы исчисления всё должно быть наоборот, то есть кажется, что смысл соответствующих знаков должен меняться на противоположный, то есть знак "минус" должен иметь значение знака "плюс", и обратно. Однако знаки плюс и минус связаны не только с валентностью чисел, но и с операциями сложения и вычитания. Так что же, соответственно, сложение (вычитание) в одной системе является вычитанием (сложением) в другой? Полагаю, что это было бы слишком просто. Например, 5+3=8, -5+ -3 = -8, -5 + 3= -2, 5+-3=2. Операция сложения в обеих системах счисления для чисел одинаковой валентности даёт одинаковые результат, и характерной её особенностью является то, что она ничего утверждает о признаках "больше", "меньше" порядка чисел и именно в силу равноправности слагаемых. И даже для случае, когда числа характеризуются разной валентностью, ничего не изменяется, потому что при перемене мест слагаемых сумма чисел не изменяется и поэтому невозможно непосредственно утверждать,  какое из двух    чисел больше и какое - меньше. Это наводит на мысль относительно операций сложения и вычитания и операции сравнения,  заставляя нас  полагать, что операции сравнения различения и  отождествления непосредственно соотносятся с операцией вычитания, тогда как операцию сложения можно вообще противопоставить операции отождествления. Во всяком случае, они оказываются неразрывно связаны друг с другом. Если мы пишем 5-3=2, то мы тем самым устанавливаем отношение порядка между 5 и 3. Но от этого равенства мы можем перейти к другому 5=3+2. Но ведь операцию вычитания можно вообще устранить, и тогда получим 5-3=5+(-3)=2. Но в этом случае мы имеем дело уже с иной системой чисел, именно, с системой двух противоположных чисел, имеющих начало в ноле и каждому  из чисел соответствует противоположное ему.  А здесь мы имеем дело уже с совершенно иной операцией: операцией непосредственного сравнения двух чисел, которой устанавливается их различие. Например, мы сравниваем числа 5 и -3 и заключаем, что между ними существует рассогласование в две единицы, при этом, в зависимости от того, какое число с каким мы сравниваем, мы делаем утверждение относительно большего либо меньшего числа.  Здесь по сути нет ни сложения, ни вычитания  чисел, однако обозначается она как сложение. Но так как здесь налицо сравнение двух чисел, а мы до сих пор сравнивали числа посредством операции вычитания, то, кажется, что здесь имеет место вычитание.
   Если мы говорим, что 5-3 в положительной системе = 2, то в отрицательной системе мы должны будем получить -2, а это значит, что обозначения операций сложения и вычитания мы должны отделить от соответствующих обозначений положительных и отрицательных чисел, если считать, что знаками плюс и минус может обозначаться порядок чисел относительно друг друга. Но ведь порядок чисел и числа сами по себе - это одно и то же или это всё же различные вещи?

1. Когда мы имеем множество А в каком-то универсальном классе I, то мы имеем в нём как элементы А, так и элементы -А. причем, количественное соотношение этих противоположных элементов может быть какое угодно, может изменяться. Мы можем представлять элементы, обладающие свойством А, посредством их упорядочивания положительными числами, а не обладающие свойством А - отрицательными. Если мы имеем элементы множества, то эти элементы мы можем упорядочить. Тогда, если мы упорядочим элементы множества А в I, то мы можем расположить их в линию, в которой есть нулевая точка, от которой в одну сторону расположены положительные, в противоположную - отрицательные элементы множества А в I. Но множество элементов может быть упорядочена возможными способами в соответствии с формулой декартова произведения. Пока упорядочивание не произведено, всё множество возможных упорядочиваний существует идеально, но после того, как упорядочивание осуществлено, оно становится единственным для множества.         2.. Если мы поменяем местами положительную и отрицательную системы и будем рассматривать положительную систему как отрицательную и отрицательную как положительную, то ничего не изменится. С другой стороны, если мы под знаком плюс в отрицательной системе будем понимать знак минус, и под минусом - плюс...     3. Если мы от 3 отнимаем 5, то получаем -2. Это говорит о том, что три отстает от 5 на две единицы. Соответственно, если мы от -5 отнимаем минус три, то получаем -2. Это говорит о том, что -5 отстает от -3 на две единицы. Если мы от большего числа отнимаем меньшее, то получаем положительное число, тогда 5-3=2, 3-1=2, 1 - -1=2, -1- -3 =2, -3 - -5=2 и т.д. Т.о., отношение порядка "больше" сохраняется. И, соответственно, если мы будем брать разности относительно меньших чисел, получим -5 - -3=-2, -3 - -1=-2, -1 -1=-2, 1- 3=1-+3=1+-3=-2, 3-5=3-+5=3+-5=-2. Здесь используется правило -+=+-, то есть -+а=+-а. Но - -а=++а, ++а=++а Теперь, при тех же самых операциях, допустим, что знак минус у нас будет обозначать не отставание, а, наоборот, опережение, и, соответственно, знак плюс будет обозначать отставание. В этом случае у нас в двух противоположных системах счисления - положительной и отрицательной, всё останется без изменений, за исключением одного - нашего понимания знака числа, рассматриваемого как выражение отношения порядка чисел "больше", "меньше".     4. В данном случае знак при числе означает не число, а качественное  отношение между числами с его количественной характеристикой. Но в случае, когда мы придаем противоположный смысл знаку минус как обозначающего отношение порядка между числами, мы тем самым определяем два противоположных подхода, таких, что с точки зрения одного подхода нечто является больше, а с точки зрения противоположного подхода меньше другого. И всё это одновременно. То есть противоположными установками, которыми определяются противоположные точки отсчета,  определяется также и противоположное отношение порядка между объектами. И т.о. мы получаем то, что называют живым противоречием.         5. Если мы рассматриваем отношения знаков -+а=+-а и - -а=++а, ++а=++а, то, в соответствии с принципом симметрии (зеркальности левого и правого) относительно знаков должны, соответственно, выполнятся правила +-а=-+а. Так как мы имеем дело с эквивалентностью, то  противоположных системах противоположность знаков -+ никак не проявляет себя, тогда как относительно применения одинаковых знаков должно выполняться отношение ++=--, --=--, то есть ++а=--а, - -а=--а. Для одинаковых знаков мы уже имеем дело с не эквивалентностью. Для разных знаков её тоже нет, однако на практике она никак себя не проявляет. Тогда как для одинаковых знаков это проявление несимметричности противоположностей налицо. Что представляют собой все эти формулы с двойными знаками перед числом? - ими устанавливается связь между валентностью числа и операциями сложения и вычитания. О чем говорят эти правила связи? В случае разных знаков это правило утверждает, что при изменении операций сложения либо вычитания на противоположную, если при этом изменить также валентность числа, то результат применения операции не изменится. Например, -3 - +4=-3 + -4=7; 3 - + 4 =3 + -4 =-1. В обоих примерах осуществляется переход от операции вычитания к операции сложения, и в этом смысле можно говорить о том, что правила, связанные с противоположными знаками, имеют своей целью замену операции вычитания операцией сложения. В результате этой замены в первом примере мы получили числа одинаковой валентности, и складываем их. Само по себе сложение может рассматриваться как простой последовательный пересчет всех элементов исходных множеств и образование на этой основе нового множества. Во втором случае мы имеем дело со слагаемыми противоположной валентности, и операция представляет собой вычитание абсолютных  значений элементов одного множества из элементов другого множества. Мы могли бы задать вопрос: а как можно вычесть элементы одного множества из другого, если они сами по себе являются разными. Тогда это становится вопросом, который относится к самому понятию множеств. В этом случае мы получаем уже более сложную идеализацию, которая состоит в том, что разные множества могут быть определены на одних и тех же элементах. Эта идея основывается  на том, что идея множеств и идея элементов, представляя собой единство на чувственном уровне, на рациональном уровне характеризуется поляризацией, противопоставлением одной стороны идеи другой, поляризацией содержания и форм его реализации на элементах, что приводит к тому, что возникает возможность на рациональном уровне произвольного приписывания элементам свойств. Т.о., если есть множества А, В, то если они не пересекаются, то А\В=А, если частично пересекаются, то А\В=А&-B, если А = В, то А\В=0, как и если А входит в В, то А\В=0. Но если нами А и -А упорядочены и представлены в виде положительных и отрицательных чисел, то мы должны будем указывать явно на то, что неявно уже предполагается операцией вычитания. Если А и В не пересекаются, то можем записать А - +В = А + -В =А&-B, если частично пересекаются, то А\В=А&-В, Если А=В, тоА\В= -А&-B, если А входит в В, то -А&B. Значение подобного толкования операции вычитания состоит в том, что оно объединяет в одну систему положительные и отрицательные множества, потому что множество -А в универсальном классе I есть то же самое, что множество отрицательных чисел относительно А, которое отождествляется с положительными числами.     6. Теперь обратимся к правилу -- = ++, ++=++. О чем говорит это правило? - о том, что если применяется операция вычитания, и уменьшаемое отрицательно, то мы можем эту операцию заменить на операцию сложения, изменив, соответственно, отрицательную валентность уменьшаемого на положительную. Например, 5 - - 3 = 5 + +3 = 8. Аналогично, 5 ++3 = 8. Также -5 - -3=-5++3=-2. Также 3 - -5 = 3 ++5 =8. Как и в предыдущем случае, мы заменяем операцию вычитания операцией сложения и, точно также, как и в предыдущем случае, изменяем валентность числа на противоположную. Что же касается знака "+", то, так как целью, как видим, является переход от вычитания к сложению, то относительно плюса операция не применяется. В связи с этим следует также заметить, что и к набору знаков +- операция также не применяется, потому что уже имеет место операция сложения. Итак, правила применения знаков "+", "-" имеют целью замену операции вычитания операцией сложения.     7. Но если так, то в этом случае должен существовать и противоположный приём, связанный с выражением операции сложения через операцию вычитания. В этом случае должны заменяться +- на -+ и, соответственно, ++ на --, при этом -- =--. 5++3=5--3 В этом переходе мы ничего нового не получаем. 5+-3=5-+3. Для того, чтобы что-то из чего-то вычесть, нужно иметь то, что вычитается и то, из чего осуществляется вычитание. Например, если я частично уплатил налог, то не уплаченная его часть остается за мной в качестве долга. Это - отрицательная часть. А если я мыслю, исходя из принципа отрицательности?     8. Примем следующую модель относительно положительных и отрицательных чисел. Принимаем, что они имеют начало в ноле и расположенны параллельно друг другу т.о., что соответствующие элементы положительных и отрицательных чисел расположены напротив друг друга, где под соответствующими понимаются положительные и отрицательные числа, имеющие одинаковую абсолютную величину. С положительными числами соотнесем положительные, материальные факты, существующие объективно материальные отношения. С отрицательными числами соотнесем идеальное, под которым понимается образ желаемого, цели, а само идеальное рассматривается как источник силы, как движущая сила изменений. Тогда значениями идеального и материального определяется соотношение между желаемым, целью и реальностью. Рассогласованием между идеальным и реальным определяется вектор процесса, вектор деятельности, направленный на установление соответствия идеального и материального. Например, если мы имеем отношение между -3 и 5, то значение идеального меньше материального, и это идеальное стремится привести материальное в соответствие с собой. Если мы имеем дело с -5 и 3, то налицо рассогласование, указывающее на более развитую форму идеального сравнительно с материальным и стремление идеального привести материальное в соответствие с собой, то есть получить его более развитую форму, равную 5. Это - одна сторона отношения, связанная с определением между идеальным материальным. Другая сторона дела характеризуется противоположным отношением, при котором, напротив, идеальное определяется материальным. В этом случае, если дано отношение -3, 5, то требование более развитой формы материального заключается в приведении идеального в соответствие с собой, именно, если х - идеальное, у - материальное, то требуется преобразование значения х=-3 в значение -5. Соответственно, если х=-5, у=3, то требование к х заключается в приведении его в соответствие с материальным, то есть перехода его от значения -5 к значению -3.

     ААбсолютные величины в обоих системах остаются теми же самыми, но различаются знаками.
    Соответственно, в  отрицательном: 3-5=2, в положительном 3-5=-2.
    Выше  речь уже шла о том, что знак показывает направление. Например, в плюсе 5-3=2 показывает  положительное направление, 3-5=-2 показывает отрицательное направление. В минусе: 5-3=-2 показывает отрицательное направление. 3-5=2 показывает положительное направление.

Различие в результатах вычитания в положительной и отрицательной системах исчисления иллюстрируются рис.2.
   Мы можем всё дело представить себе  т.о., что существуют два вида объектов: объекты +а и объекты -а. Они характеризуются тем свойством, что равные объекты компенсируют, или взаимно уничтожают друг друга, так что если |+а|=|-a|, то +а + -а =0. Тогда, если мы имеем объекты +5, -3, то их компенсация даст объект +2, если имеем объекты -,+3, то компенсация дает объекты -2. Соответственно, невозможно назвать компенсацией объекты +5,+3, так как в этом случае речь идет о суммировании двух объектов +5+3 = +8, и, соответственно,  объекты -5,-3, если имеется ввиду их сумма, равная -8. Все объекты относительно друг друга характеризуются свойством "больше", "меньше", то есть объекты упорядочены относительно друг друга, и этим же определяется направление относительно свойств "больше" "меньше" относительно ноля влево либо вправо. Можно также говорить о направлении пересчета объектов влево либо вправо. Тогда, если относительно ноля подсчет объектов осуществляется справа налево, будем говорить, что имеем дело с отрицательной, или левой системой исчисления (ли) Если вправо - то с положительной или правой (пи). Соответственно, появляется возможность говорить о том, насколько некоторая  величина больше или меньше другой. Например, если даны объекты -3, +3, то разность между ними равна 6 либо -6 в зависимости от того, какое из чисел берется в качестве уменьшаемого, и какое - в качестве вычитаемого. В ли объект -3 на шесть единиц больше объекта +3, в пи объект +3 на 6 единиц больше -3. Компенсация объектов -3, +3 дает ноль. Но мы можем говорить не только об отдельных объектах, но и об их множествах.  Тогда получаем два разных подхода. Один подход: мы пересчитываем объекты и говорим, что один объект на столько-то больше другого. Например, мы считаем -3,-2,-1,0,+1,+2+3. Число "0" - это нулевой объект, или отсутствие объекта, и поэтому он в счет не входит. Выражение  "больше на"  требует уточнения. Например, мы говорим: 6-2=4, то есть объект 6 больше объекта 2 на четыре объекта потому, что в объект 2 входят два объекта А=1,2, в объект 6 входят объекты В=1,2,3,4,5,6. Т.о., мы имеем  дело с двумя множествами, и слово "больше" употребляем для множества, получающегося путем вычитания (устранения) из множества В элементов множества А. Аналогично,  если у нас есть объект АА={-3,-2,-1, 0,1,2,3}, то если возьмём множество В= {-3}, то можем сказать, что объект А больше объекта В на 5 элементов. Т.о., во всём этом присутствует двойственность: с одной стороны, целые числа представляют собой  элементы счета, то есть они обозначают единичные объекты и представляют собой адреса каждого из объектов в их очереди. С другой стороны, каждый из объектов оказывается множеством, которое включает в себя все предшествующие объекты, включая последний.
    Еще момент. Пусть даны объекты -5,+5. Если переход через ноль справа налево порождает минус, то также и обратный переход через ноль слева направо должен порождать минус. Например, если дано -5, то соответствующий элемент в зеркале должен иметь вид -(-5), что равно +5. Наконец, можно говорить и об относительности минуса и плюса и о прямой и обратной операциях, имея ввиду операции сложения и вычитания.
    Итак, самое начало состоит в том, какую из двух сторон противоположностей мы принимаем в качестве первичной, то есть понятие "больше"  определяется в ли либо в пи. В столбце 1 таблицы принято пи, 2 - ли.

Таблица 2
	1		2
	а>-a		-a>a
1	5+3=8		5+3=8
2	5+-3=2		5-3=5+-3=2
3	-5+3=-2		-5+3=-2
4	-5+-3=-8		-5+-3=-8
5	3-5=3+-5=-2		3-5=3+-5=-2
6	-3+5=2		-3+5=2
7	-3-5=-8		-3+-5=-8

 Ячейка 11. Два множества  5{1,2,3,4,5}, 3{1,2,3} Пересчитываем элементы обоих множеств, получаем множество  и представляющее его число 8.
    Ячейка 12. То же самое, что и в ячейке 1 потому, что в данном случае не применяется категория "больше".
    Ячейка 31. 5{1,2,3.4,5}, -3{-3,-2,-1}. В соответствии с принципом компенсации, противоположные элементы множеств 5,-3: 1,-1; 2,-2; 3,-3 уничтожают друг друга, от множества 5 остаются элементы 4,5. Это - множество с мощностью 2, поэтому получаем множество 2{1,2}
    Рассуждения для ячеек строк 3,4 аналогичны предшествующим.
   Ячейка 51.  В результате компенсаций остаются элементы -4,-5, откуда -2{-1,-2}. Сам по себе этот переход возможен потому, что мы имеем дело с элементами, которым всё равно, как их называют. Важным является только их объективное содержание.
    Из таблицы 2 видно, что применение принципа компенсации для противоположных валентностей чисел и операции сложения для одинаковый  безразлично для применяемой системы исчисления. Всюду мы имели дело с операцией сложения, принцип которой заключался в том, что противоположные элементы, входящие в множества, уничтожаются, а тождественные и различные того же типа - складываются (суммируются).   В случае принципа компенсации положительные  и отрицательные числа противопоставляются, "не терпят" друг друга. Но мы знаем, что в одном объекте  присутствуют как положительные. так и отрицательные атрибуты, которые могут быть обозначены, соответственно, положительными и отрицательными числами, и при этом они не уничтожают, а обусловливают друг друга. С другой стороны, также и в случае противопоставления системы, содержащие в себе противоречие, существуют устойчиво, без того, чтобы они взаимно уничтожили друг друга. Противопоставление выражается в том, что в системе противостоят друг другу различные объекты.  А это уже - ситуация, которая не очень вяжется с принципом компенсации. 
    Обратим внимание на рис. 3. Исходя из рисунка, можно записать: -3{-3,-2,-1}, 5{1,2,3,4,5}. Но это же самое множество можно записать и в виде -3{-3,-2,-1,1,2,3,4,5} или 5{5,4,3,2,1,-1,-2,-3}. Суммируя множества -3,5, мы применяем принцип компенсации и получаем множество {1,2}. При этом вот ведь какая особенность:  мы применяем формулу: а-в=а+(-в).  Пусть теперь мы применили операцию -3-5. Это выражение мы преобразуем в -3+(-5). Кажется, чем это выражение отличается от выражения ячейки 41 табл. 2 ? Чем? А тем, что мы множество 5{1,2,3,4,5} произвольно превратили в противоположное множество -5{-1,-2,-3,-4,-5}, то есть в совершенно другое множество, потому что очевидно, что элементы -а и а - это противоположные элементы. Что это значит? Это значит, что независимо от того, складываем мы множества или вычитаем, мы должны фиксировать, что именно мы складываем или вычитаем. Когда мы занимаемся сложением множеств с элементами одного вида, то для них принцип компенсации выполняется, потому что четко фиксируется тип множеств. Так, в выражении -3{-3,-2,-1}+5{1,2,3,4,5} =2{1,2} элементы обоих множеств определены, и результат справедлив. А чем же, собственно, он справедлив? мы имеем одно множество с тремя элементами отрицательного типа и второе множество с пятью элементами положительного типа. Следовательно, в результате сложения двух множеств мы должны получить новое множество, содержащее все элементы исходных множеств.  И так как все элементы представляют собой один непрерывный упорядоченный ряд, такой, относительно каждого элемента которого можно утверждать, какому элементу он предшествует и за каким следует, то, по большому счету,  все эти элементы ничем не отличаются друг от друга. И тогда причем же здесь принцип компенсации? Какая особенность здесь присутствует? Та, что элементы противоположных типов, естественно, не пересекаются, тогда как все элементы одного типа пересекаются друг с другом. И в связи с этим возникает естественный вопрос:  Пусть мы берем сумму 3+5=8. Но множество три является частью множества 5. Почему же мы по два раза пересчитываем одинаковые  элементы? Чем это можно объяснить? Разве что тем, что если мы имеем два кошелька, и в одном кошельке три рубля, в другом 5, то в обоих кошельках будет 8 рублей. И, соответственно, это относится к ситуации, когда мы имеем дело  с разными экземплярами одной и той же "абстрактной" единицы. Но тогда как можно осуществить вычитание? Разумеется, мы можем из кошелька с 5 рублями взять три рубля. Но в этом случае во втором кошельке количество денег не изменится. А вот если в обычном понимании из множества 5 вычесть множество 3, то будет получено множество 2. Но пусть теперь мы складываем множество 2 и множество 3, тогда   в результате, если не считать одинаковые элементы по два раза, мы должны получить множество три, но никак не множество 5. Здесь также не сходится.
    Представим себе множество чисел как слоеный пирог (таблица 3 Љ1)

 и перенумеруем полученные строки. Тогда получим для любого из чисел количество содержащихся в числе общих элементов, начиная с единицы.  Именно, в числе n будет содержаться n единиц, n-1 двоек, n-2 троек, n-3 четверок, n-4 пятерок,  и т.д. и в конце одно число, обозначающее соответствующее множество. При этом каждое число n представляет собой множество, такое, что оно равно числу (n-1) плюс единица. Должны ли мы в этом случае с каждым числом соотносить характеризующее его множество элементов, в то же самое время рассматривая элементы каждого из чисел как образующие отдельные, самостоятельные множества, и поэтому при пересчете должны пересчитываться все элементы одного типа: все элементы типа 1, все элементы типа 2 и т.д., поскольку они принадлежат различным множествам?  Похоже на то. С этой точки зрения, допустим, мы из 7  вычитаем 6 (Љ2) Очевидно, что цифры в столбце 2 обозначают порядковые номера элементов, то есть элементы соответствующих множеств, а не множества, в столбце 1 цифры обозначают множества. Тогда вычитание элементов одного множества из элементов другого множества даст 1. При сложении (Љ3) соответствующие элементы  двух множеств складываются. Последующее суммирование элементов даёт новое множество.
    Но если мы имеем дело с положительными элементами, то почему, спрашивается, мы не можем иметь дело с противоположными элементами? Тогда в таблице 3 в Љ1 мы можем всем элементам приписать знак "-" и мы получим систему множеств еще с одним типом элементов, который связан в предыдущим отношением "больше", "меньше" непрерывным образом. Эти элементы опосредованы относительно положительных  знаком "0". Но вопрос: считается ли ноль при пересчете, то есть непосредственно осуществляется переход при счете от 1 к -1 и обратно, или же через ноль: 1, 0, -1 и т.д. Дело в том, что если мы считаем ноль, то он в этом случае должен выступать в качестве элемента, а ноль как раз указывает на отсутствие элементов. И второй вопрос: насколько принципиально указание или не указание ноля в процессе пересчета. Точно также для ЉЉ2,3 таблицы 3 для результатов сложения и вычитания ничего не изменится, если к цифрам мы припишем спереди знак отрицательного числа. Рассмотрим вычитание из большего числа меньшего (Љ4). Множество 7 с необходимостью дает смещение влево на одну клетку, и так как ноль - это отсутствие элементов, то следующим оказывается элемент -1. Т.о., если у нас есть два положительных множества А, В, таких, что А<B, то в результате операции вычитания А-В множество В претерпит смещение на соответствующее число клеток. То же самое справедливо и для множеств с отрицательными элементами.  Представим себе, что мы вычитаем из -6 -7. В результате вычитания у нас останется элемент -7, который сместится вправо, и т.о. будет получен результат +1. И в одном, и в другом случае мы вынуждены занимать элементы


Однако ситуация изменяется, когда когда мы от записи -3-5 переходим к записи -3+(-5), и именно потому, что переходим к другим элементам. Действительно, в качестве исходных мы имели два множества  -3{-3,-2,-1}, 5{1,2,3,4,5}. После применения операции смены качества множества мы получили -3{-3,-2,-1}, -5{-5,-4,-3,-2,-1}

     231111
    1. Правила.
    1. Элементы устанавливаются по ниткам в соответствии с их знаком.2. Двойное отрицание заменяется плюсом. Вот эти два правила. И третье - принцип антисимметрии. Ведь если бы была симметрия, то двойной плюс должен был бы давать минус. А этого нет. Тогда, очевидно, можно построить противоположную систему исчисления, основанную на отрицательных числах, в которых, соответственно, два плюса будут давать минус. Что здесь важно: важно установить соответствие между результатами операций с плюсом и результатами операций с минусом. Что мы получим, какого рода соответствие данных?
   2. Пусть два числа 3,5. 3+5=8. Мы получаем одну операцию с плюсом и две операции с минусом. 3-5=3,-5=-2; 5-3=5,-3=2.
   3. -3, -5. -3+-5 =-8, -3- -5=-3,5=2; -5 - -3=-5, 3 =-2;
   4. -3, 5 -3+5=-3,5=2; -3, - 5+-3=-8; 5- -3=5,3=8;
   5. 3,-5 3+-5=-2, 3 - -5=3,5=8, -5-+3=-5+-3=8,
   6. Тогда в противоположной системе счисления у нас два плюса должны давать минус.
   7. Рассмотрим вопрос об обратных операциях. Операцией, обратной вычитанию, является операция сложения, и наоборот. Если два плюса дают плюс и два минуса дают плюс, то в противоположной системе два минуса должны давать минус, и два плюса должны давать минус.
    8. В противоположной системе минус выполняет функции плюса, а плюс - функции минуса. Например, одинаковые количества трусости и смелости - это ноль. А их разные количества - это, соответственно, их разность.
 
    9. Дано: 1. операция над двумя числами а,в: аΔв., где а, в - целые числа, Δ- операция сложения или вычитания. 2. Преобразовать выражение в пару чисел, приписав знак операции второму числу, образовав пару чисел (а, Δв). Эту операцию назовем операцией получения пары чисел. 3. При втором числе  появилась пара знаков Δ+ или Δ-. Если оба знака + или оба знака минус, то они заменяются на плюс. Если знаки имеют вид +,- или -,+, то они заменяются на противоположные. Эту операцию назовем операцией определения знака числа. 4. Отнести каждое из полученных чисел к ниткам с соответствующим знаком, где под нитками понимаются ряды положительных и отрицательных чисел , начинающиеся в точке 0. Другая формулировка: операция отождествления чисел а,в с элементами ряда целых чисел. 5. Применить к полученным точкам операцию компенсации, если а и в имеют противоположные знаки, и сложить, если одинаковые. Если 1=аа, 2=ав,3=ва, 4=вв, 5=ава то получаем слово ааавваввава  

Литература.   1. М.А. Айзерман и другие. Логика. Автоматы. Алгоритмы. ГИФМЛ М. 1963