Перед чтением этой статьи весьма желательно хотя бы бегло ознакомиться с книгой автора [1], также с более поздней публикацией [2] и с вводной частью статьи [6] ? все это необходимо, поскольку именно там приведено подробное описание алгоритма построения алгебраических моделей конструктивной логики (АМКЛ, моделей творческого сознания) и пояснения к практическому использованию этого алгоритма.
Статья предназначена для психологов, физиков и специалистов в области математической логики.
Опыты по исследованию квантовых корреляций во многом оказались возможными потому, что физики научились создавать или, как они выражаются, приготавливать "запутанные" состояния некоторых квантовых объектов с известными характеристиками [8]. В этой статье будет показан информационный объект, включающий в себя при его конструктивной (вычислительной) реализации подобные состояния такой "запутанности".
1. Обычно источником потоков запутанных фотонов служит определённый нелинейный материал, на который направляется лазерный поток определённой частоты и интенсивности. В результате спонтанного параметрического рассеяния на выходе получаются два конуса поляризации, несущие пары фотонов в запутанном квантовом состоянии.
- Аналогом исходного лазерного потока фотонов является массив данных Х, строки которого (состояния исследуемого объекта) являются функцией времени, т. е. Х является отображением некоторого потока информации. Источником потока запутанных (связанных в единое целое) некоторых "квантов" информации (импликаций К) является алгоритм вычисления АМКЛ из массива Х, каждая строка которого имеет свое булево значение цели Z, 0 или 1. Два конуса поляризации здесь - это два списка тупиковых дизъюнктивных форм АМКЛ, один для Z = 0, другой для Z = 1. Связность ("запутанность") этих двух форм АМКЛ выявляется при активном (управляющем) воздействии на объект исследования. Пусть, например, мы желаем сделать наш объект более оптимальным. Полагая, что в дальнейшем он будет стационарным, мы выбираем ("выставляем") управляющее воздействие из той импликации К, где был соответствующий оптимум, остальные все параметры оставляем прежними - их можно найти также в контексте этой импликации (контекст здесь это список замкнутых интервалов для всех переменных, не вошедших в К). При дальнейшей регистрации нового массива Х2 обычно оказывается, что объект не стационарен, он в принципе связан со всем Миром - изменяется список многих импликаций для Х2, где прежний оптимум может и не соблюдаться ("нелокальность" нашего управляющего воздействия на объект исследования).
2. Волновая функция (ВФ).
- Приведем некоторые ссылки на алгоритм вычисления АМКЛ, которые отображают ВФ как вычислительный процесс. Пусть, например, итоговая логическая модель М (тупиковая форма) записана в виде дизъюнкций малого числа импликаций К, каждая из которых отображается некоторым множеством вещественных чисел в виде обобщенного ряда Эрмита [5] с дальнейшим его преобразованием Фурье (здесь возникает переход к комплексным числам).
--
Нормировка. (Напомним, что Г это число импликаций К определенного вида в М). Пусть Г состояний исследуемой системы ("Целого") для каждой К покрывают лишь "свои" строки массива Х ("Г при условии своего К, Г|К"). Сумму (по всем К) таких чисел Г|К делим на число строк m в Х, далее умножаем "свои" числа Г|К по всем К на эту свою долю. В распределении таких своих вероятностей р (их сумма равна 1) будет столько, сколько импликаций в итоговой М. Однако обычно в этой модели каждая К может частично покрывать состояния (строки) другой К ("суперпозиции", "пересечения" различных К). В этом случае все такие пересечения объявляются новыми К, опять строится тупиковая форма АМКЛ, далее вычисляется новое распределение вероятностей состояний новых К исследуемой системы Х. Каждая система как нечто реально Целое во времени из-за своей большой сложности является случайным процессом. Для заданного массива Х, именно это отображается вычисленным распределением вероятностей р, характеризующим смешанное состояние системы (модели М).
--
Условию конечности ВФ соответствует минимальное конечное число К в тупиковой форме АМКЛ - для любых конечных массивов Х.
3) Условие однозначности ВФ - вычисленные тупиковые формы АМКЛ (для краткости М) однозначны после нормировки для каждого момента времени (для каждой строки-состояния Х).
4) Условие непрерывности ВФ. - Формально здесь достаточно вычислить соответствующие обобщенные ряды Эрмита и затем сделать преобразование Фурье. Однако в конструктивном смысле реализовать это и, главное, интерпретировать (понять) результаты из-за большого числа параметров этих рядов будет трудно.
Вначале полагаем, что исследуемая система стационарна, выберем К с наибольшей оценкой Г для Z = 0, то же и для Z = 1. Используем наши априорные знания, что точкой разбиения вещественной функции У является медиана всех ее значений. Пусть открытым концам интервалов значений всех переменных для выбранных двух К соответствуют медиана значений У (практически это задаваемая точка разбиения У0) - для дальнейшей статистики дополнительно приобретаем пару степеней свободы. Задаем приемлемый для исследователя уровень значимости такой сравнительно простой модели и оцениваем ее, например, с помощью критерия Фишера. Модель может быть улучшена за счет введения следующего по сложности члена ряда Фурье или при введении следующей по величинам Г пары импликаций К. В этом процессе уточнения модели обычно быстро растет число ее параметров, а число степеней свободы (новых состояний, т. е. К) растет медленно. Процесс такого уточнения модели в аналитическом виде обычно быстро заканчивается, итоговая модель в этом случае отображает в основном стационарное поведение системы. Здесь вероятность достоверности модели М будет соответствовать изначально заданному уровню ее значимости.
5) Коллапс ВФ. - Соответствует определенной стадии алгоритма построения АМКЛ. При сравнении целевой строки с ближайшей окрестностью нецелевых строк происходит уменьшение отрытого многомерного целевого интервала dx, в итоге он обнуляется, "схлопывается", формула К (аналог ВФ) здесь не реализуется - много нецелевых строк противоречит постепенно формируемой гипотезе "если dx, то Z имеет целевое значение". Далее эта гипотеза усложняется (восстанавливается предыдущее состояние перед "схлопыванием"), ранг конъюнкции К увеличивается и т.д. до истинности К в большом, но всегда ограниченном массиве Х.
6) О случайности вычисленной модели М как расширения понятия ВФ (тоже как вычислительной модели поведения квантовых частиц). Импликации К большого ранга (с большим числом переменных) при Г = 1 являются явным признаком "почти" случайного поведения исследуемой системы. Предположим, что в итоге вычислена М системы с очень большим числом переменных и для большого массива Х. Далее с помощью обобщенных рядов Эрмита и их преобразования Фурье пусть будет вычислена волновая модель исследуемой системы. В пределе для указанных выше одиночных К их ранг r был бы почти равен n (общему числу переменных в Х), т.е. такая высокочастотная часть модели в аналитическом виде имела бы почти планковскую длину волны ("квантовая рябь"). Однако в этом случае громадный рост числа параметров в процессе аппроксимации исходных данных и существующие статистические правила не позволяют исследователю получать информацию (модель) о таких высокочастотных, реально существующих состояниях системы Х (т.е. для ее микрочастиц).
Для иллюстрации приведем весьма наглядный пример из области возрастной физиологии человека, изменения с возрастом внешнего вида кожи. Пусть в Х отображены все необходимые здесь данные для населения некоторого города. Известно распределение людей по возрасту - старых людей становится всё меньше, в исходной логической модели им будут чаще соответствовать оценки Г = 1, а у младенцев будут большие Г. При обычной аппроксимации данных Х вначале используются первые члены ряда Фурье, отображающие сравнительно "гладкие" волны, т.е. в нашей задаче - гладкую кожу у молодых, для них Г, число степеней свободы, велико. Статистический критерий для волновой модели здесь почти сразу показывает приемлемую достоверность этой модели. Совсем старых людей мало, соответственно, Г малы, ранги таких К велики. Аппроксимация этих многомерных точек-состояний по идее может продолжаться за счет следующих членов ряда Фурье, но статистический критерий останавливает дальнейшие расчеты волн с большими частотами, т.е. в пределе этой "квантовой ряби" на коже старца. Для вычисления приемлемой модели здесь потребовалась бы информация о динамике всей его жизни. - Нет доступной для нас информации из этой предельной области реальности, хотя в принципе она существует также и для макрообъектов. В вычислительном смысле случайность заложена в самой сущности Системы ("Целого").
7) Нелокальность ВФ - этому явлению соответствуют К-классы эквивалентности всех их многомерных "точек" (состояний системы). Каждый такой класс эквивалентности это "своя" импликация К, r-мерный куб, образованный из открытых интервалов dx(см. описание алгоритма). В аналитических моделях нелокальность имеет другой смысл. Это не только эквивалентность многомерных "точек" (на своих абсциссах), но также и возможных точек в будущем в промежутках между ними и на открытых концах "своих" интервалов. Это также класс эквивалентности для всточек, попавших внутрь многомерного изогнутого цилиндра, отображающего приемлемый разброс значений У. Внутри такого цилиндра, проходит вычисленное уравнение регрессии. Диаметр цилиндра соответствует уровню приемлемости аналитической модели.
8) Медиана и задание точки У0 разбиения значений функции У. Для обычной, "гладкой" системы в некоторой окрестности У0 ее состояния очень близки, К имеют большие ранги и малые оценки Г. Одна из возможных интерпретаций такой окрестности около У0 - это высокочастотная область модели в виде обобщенных рядов Фурье, где длина волн стремится к планковскому пределу. Окрестность У0 такой системы в ее динамике во времени можно представить в виде как бы своеобразной "квантовой ряби".
В области исследования высшей нервной деятельности (ВНД) это явление очень похоже на процесс "дифференцировки" (по терминологии И.П. Павлова). По мере сближения частот двух сигналов, которые необходимо различать, испытуемый либо отказывается их различать, либо, при жизненной необходимости такого различения у него происходит "срыв" ВНД.
Вычисление медианы, задание точки разбиения У0 множества значений функции У и дальнейшее построение логических (АМКЛ) моделей означает построение пространства Хаусдорфа (топологического отделимого пространства).
Алгоритм вычисления алгебраических моделей конструктивной (интуиционистской) логики (АМКЛ) с последующей аппроксимацией, если это необходимо, подмножеств точек из Х, включенных в конечное множество К (в тупиковую форму), является обобщением алгоритмов вычисления волновых функций квантовых частиц. Алгоритм вычисления АМКЛ удобен для моделирования также и макросистем. Все возможные переменные могут быть закодированы натуральными числами.
2. Щеглов В.Н. Творческое сознание: интерпретация алгоритма построения алгебраических моделей конструктивной (интуиционистской) логики, 2007. - 12 с.
3. Драгалин А. Г. Математический интуиционизм. - М.: "Наука", 1979. - 256 с.
4. Шанин Н.А. Об иерархии способов понимания суждений в конструктивной математике// Труды математического института имени В. А. Стеклова, CXXIX // Проблемы конструктивного направления в математике, 6. - Л.: "Наука", 1973. - С. 203 - 266.
5. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. - М.: Мир, 1976. - 312 с.
6. Щеглов В. Н. Темная энергия: алгоритмическая интерпретация, 2014. -- 5 с.
7. Щеглов В. Н. Глубинная психология: основы алгоритмической интерпретации, 2018. - 4 с.