ЭПР-подобные феномены являются, по-видимому, индетерминистскими, но их существование приводит к мысли о кажущихся странными "парадоксах".‡ Теория ветвящихся пространств-времен предлагает, не прибегая к сложной математике, два явно различных пути выхода ЭПР-подобных парадоксов за рамки простого индетерминизма. (1) Первый путь - модальный вариант Белл-подобной корреляции: совокупности исходов двух пространственноподобно разделенных индетерминированных начальных событий могут оказаться модально коррелирующими. По отдельности может наступить любой из возможных исходов каждого из двух пространственноподобно разделенных начальных событий, но совместное наступление некоторых их сочетаний (по одному для каждого события) оказывается невозможным. (2) Второй путь можно назвать "сверхсветовой причинностью": некоторое начальное событие может оказаться причиноподобно связанным с некоторым результирующим событием, не находясь при этом в его причинном прошлом. Далее доказывается эквивалентность этих двух представлений, что свидетельствует об их успешности для отделения простого индетерминизма от ЭПР-подобных парадоксов.
Строгий язык теории ветвящихся пространств-времен1 в том виде, в каком он изложен в [1], затрагивает лишь причинный порядок возможных точечных событий нашего мира2 и не использует какие-либо представления о вероятностях.3 Такая строгость позволяет четко и просто обрисовать три способа существования нашего мира, избегая при этом обращения к сложному языку квантовой механики.
Мир может быть строго и повсюду детерминированным: результат любого данного начального события однозначно предопределен, то есть существует единственный возможный результат.
Мир может быть индетерминированным (начальные события могут иметь множество несовместимых результатов в будущем), не имея при этом таких особенностей, как ЭПР-подобные феномены. (К таким событиям обоснованно можно отнести распад радия.)
Мир может быть не просто индетерминированным, но и проявлять такие особенности, как ЭПР-подобные феномены.4
Цель данного исследования - внести вклад в интерпретацию различий между этими способами существования, в частности, внести ясность в запутанное понятие ЭПР-подобного парадокса. Источники такого вида вкладов могут быть самыми разными - историческими, теоретическими, экспериментальными, метафорическими и т.д.5 Думается, что можно получить дополнительную пользу, действуя в рамках дофизического и даже дометрического языка теории ветвящихся пространств-времен (BST-92)6, единственными примитивами которого являются (1) понятие точечного события и (2) отношение причинного порядка на их множестве. На этом языке можно дать определение понятий и отношений, проливающих свет как на индетерминизм, так и на пространство-время. Идея состоит в том, чтобы попытаться сделать различия между детерминизмом, индетерминизмом и ЭПР-подобными парадоксами четкими (абсолютная строгость), простыми (использование всего лишь двух простых примитивов; отсутствие сложной математики) и интуитивно понятными (разумеется, это чисто субъективное мнение).
Попытка будет предпринята не сразу: вначале мы рассмотрим варианты, удачные в лучшем случае лишь частично (так как возможны парадоксы, не укладывающиеся в эти варианты.) Цель данного исследования - прийти к концепциям, которые могут или не могут быть окончательными, но которые, во всяком случае, успешнее рассмотренных вначале. Я представлю две концепции, которые, надеюсь, можно считать приемлемыми:
Парадокс причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом.
Каждая из концепций, определенная строго через примитивы теории BST-92, призвана выразить фундаментальную особенность одного из удивительных аспектов квантовой механики.7 Доказывается эквивалентность, в определенном смысле, этих двух концепций, что можно считать свидетельством их непротиворечивости и пригодности для достижения намеченной цели. Какова же эта цель? Я думаю, что теория BST-92, хотя она и является "дофизической"8, а не физической, по-настоящему полезна для всеобъемлющего физического понимания мира, не будучи ограниченной чисто метафорическими рассуждениями о его индетерминированности и парадоксах.
Начнем с беглого обзора некоторых фундаментальных определений, постулатов и фактов. Затем будут изложены две концепции парадоксов и доказана их эквивалентность.
Причинная структура мира идеализируется в теории BST-92 всего лишь через два примитива: множество всех возможных точечных событий (каждое из которых рассматривается как полностью совершенное, как всякое точечное событие в действительно состоявшемся прошлом), которое я называю Миром (сокращенно OW), и причинного порядка ≤ на этом множестве. Определим обычным путем e1 < e2 как e1 ≤ e2 & e1 ≠ e2. Тогда e1 < e2 можно равнозначно толковать как "e1 лежит в причинном прошлом e2" и как "e2 лежит в будущем возможностей для e1".
Все положения BST-92, кроме одного - обычные теоретико-порядковые постулаты. Каждый из них играет определенную роль при рассмотрении ветвления историй (индетерминизма); ни один не вводится по чисто пространственно-временным соображениям. Поэтому их немного.
OW есть непустое множество; его элементы называются точечными событиями и обозначаются буквой e и иногда p. ≤ есть отношение частичного порядка на OW (рефлексивное, транзитивное и антисимметричное). В OW не существует максимальных элементов (для любого e1 ∈ OW найдется e2 ∈ OW такое, что e1 < e2). Строгий порядок < является плотным в OW (e1 < e3 → ∃e2 [e1 < e2 < e3]). Цепь E определяется как связное подмножество OW (∀e1, e2 ∈ E → (e1 ≤ e2 или e2 ≤ e1)).
Результирующая цепь, обозначаемая O, есть непустая ограниченная снизу цепь, причем всякая результирующая цепь имеет точную нижнюю грань, обозначаемую inf(O).
Истории, обозначаемые h, есть максимальные подмножества OW, содержащие общую верхнюю грань для всякой пары своих элементов.9 Факты: всякое точечное событие является (по лемме Цорна) элементом (а всякая цепь - подмножеством) некоторой истории; всякая история замкнута вниз; никакая история не содержит элемент, максимальный в этой истории.
Начальная цепь, обозначаемая как I, есть непустая ограниченная сверху цепь, причем всякая начальная цепь имеет точную верхнюю грань во всякой истории, подмножеством которой она является; точная верхняя грань цепи I в истории h обозначается как suph(I).
Истории h1 и h2 расходятся (или разделяются, или разветвляются) в точке e, что пишется как h1 ⊥eh2, если e максимально в h1 ∩ h2.
Точка e1, предшествующая e или совпадающая с ней, принадлежит обеим историям; относительно такой точки они одинаково возможны. Однако после e, что бы далее ни произошло, по меньшей мере об одной из историй h1 и h2 можно сказать, что она была возможна, но более стала невозможной. Ветвление в точке естественным образом распространяется на множества историй. (Здесь и далее обозначение e1 < O означает, что e1 < e2 для всех e2 ∈ O; аналогично истолковываются обозначения I < e и I < O.)
h1 ⊥eH, если h1 ⊥eh2 для всякой истории h2 ∈ H. Аналогично, H1 ⊥eH2 означает, что h1 ⊥eH2 для всякой истории h1 ∈ H1.
Понятие ветвления задействуется в формулировке последнего из используемых здесь постулатов:10 Принцип предшествующего выбора. Для любых историй h1 и h2 и любой результирующей цепи O ⊆ (h1 − h2), найдется точка e < O такая, что h1 ⊥eh2. Важным частным случаем является одноэлементная цепь O = e0 (т.е. O = {e0}).
Постулат предшествующего выбора утверждает, что в прошлом всякой результирующей цепи O, принадлежащей истории h1, но не принадлежащей завершившейся истории h2, найдется точка e такая, что происшедшее в ней сохраняет возможность h1 за счет того, что h2 становится более невозможной. Если провести назад "мировую линию" из той точки, где мы находимся в O (такая линия будет полностью лежать в h1), то e будет как раз той точкой, где мировая линия покидает историю h2. До точки e возможный ход событий в будущем представляли обе истории, но в точке e, заведомо лежащей в прошлом O, состоялся выбор, сохранивший возможность истории h1 за счет того, что h2 стала более невозможной.11
Язык BST-92 позволяет построить хорошо организованную и интуитивно понятную теорию высказываний о наступлении событий.
Высказывание, или пропозиция, есть множество историй H, по определению истинное в каждом из своих элементов.
Множество H(e) = {h: e ∈ h} есть высказывание о том, что точечное событие e произошло. Множество H[I] = {h: I ⊆ h} есть высказывание о том, что I, рассматриваемое как начальное событие, наступило в том смысле, что оно окончательно произошло. Множество H〈O〉 = {h: O ∩ h ≠ ∅} есть высказывание о том, что O, рассматриваемое как результирующее событие, наступило в том смысле, что оно начало происходить.12
BST-92 позволяет ввести строгие и естественные понятия совместимости (или непротиворечивости). Причина их введения - интерпретация связи между событиями и высказываниями: понятие непротиворечивости, если не дается ее расширенное толкование, применимо только к высказываниям, однако теория BST-92 дает возможность трактовать непротиворечивость применительно к событиям, увязывая ее с непротиворечивостью высказываний о наступлении этих событий.
Высказывание Hнепротиворечиво (противоречиво), если множество H непусто (пусто). Высказывание H1 совместимо (несовместимо) с H2, если H1 ∩ H2 непротиворечиво (противоречиво). В общем случае, высказывания, образующие множество H, совместно непротиворечивы, если их пересечение непусто: ∩ H ≠∅.
Непротиворечивость (противоречивость) применительно к точечным событиям или их множествам всегда опосредуется через множества историй, соответствующие высказываниям о совершении событий. Постулаты обеспечивают непротиворечивость I и O (всякую непустую цепь можно продолжить до истории, так что H[I] и H〈O〉 будут заведомо непустыми), поэтому до введения в разделах 4.2 и 4.4 более сложных понятий начальных и результирующих событий нам потребуется обращать внимание лишь на совместную непротиворечивость событий:
Два или более событий, каждое из которых рассматривается как начальное или как результирующее, совместно непротиворечивы, если непротиворечивы высказывания об их совместном наступлении. Важный пример: e1 совместно непротиворечиво с e2 тогда и только тогда, когда H(e1) ∩ H(e2) ≠ ∅, то есть тогда и только тогда, когда найдется история h, содержащая оба этих точечных события.
Чтобы представить парадоксы в возможно более ясном свете, приведем вначале взятые из [7] понятия переходов и продолжений. Их изложение довольно громоздко, но они упрощают понимание.
Цепной переход определяется как упорядоченная пара, состоящая из начальной цепи I (или единственного начального точечного события e) и результирующей цепи O, в которой I < O. Цепной переход обозначается как I ↣ O. Подразумевается, что переход совершается в духе расселовского описания движения стрелы. Значительная часть загадок индетерминизма вызвана пренебрежением теорией переходов.13 Более глубокое рассмотрение вопроса см. в [3].
Цепное продолжение определяется как такая упорядоченная пара, состоящая из начальной цепи I и множества Ω результирующих цепей, что (1) всякая пара, состоящая из I и цепи O ∈ Ω, является цепным переходом, и (2) во всякой истории, содержащей I, содержится в точности один элемент Ω. Цепное продолжение обозначается как I ↣ Ω. Продолжение является в нашей теории аналогом локальной индетерминированной ситуации, такой как квантовомеханическое измерение или выбор, осуществляемый экспериментатором.
В [7] допускалось, что результирующая цепь O перехода I1 ↣ O может начинаться в удаленном будущем после завершения начальной цепи I1. С нынешней точки зрения, узким местом такого толкования перехода является наличие времениподобного интервала между I1 и O. Существование интервала оставляет место для возможности влияния со стороны некоторой внешней начальной цепи I2; влияние выражается в том, что мировая линия может протянуться из I2 в O. Я привел определения из [7] лишь для того, подчеркнуть различие между ними и определениями непосредственных переходов и продолжений.
Цепной переход I ↣ O называется непосредственным, если нельзя найти точку e такую, что I < e и e < O.
Цепное продолжение I ↣ Ω называется непосредственным, если для всякой цепи O ∈ Ω цепной переход I ↣ O является непосредственным.
Из постулата плотности следует, что для всякого непосредственного цепного перехода I ↣ OлибоI содержит последний элемент e и O бесконечно продолжается вниз, имея точную нижнюю грань inf(O) = e, либо O содержит первый элемент p и I бесконечно продолжается вверх, имея точную верхнюю грань suph(I) = p в некоторой истории h ∈ H[I]. Во всех целях данного исследования можно считать, что первый случай имеет вид e ↣ O (при inf(O) = e), а второй - вид I ↣ p (при suph(I) = p в некоторой истории h).14 Оба случая важны, но в корне различаются своими причинными свойствами. По следующим соображениям переход e ↣ O является простым и подходящим кандидатом на роль первопричины, или "начальной причины". Допустим, что некоторая начальная цепь I в причинном прошлом O, отдельная и независимая от e, может являться начальной цепью продолжения, "влияющего" на наступление O. Но тогда, поскольку inf(O) = e, всякая "линия влияния" из I в O должна пройти через e, и поэтому не может быть отдельной и независимой. Если переход e ↣ O является непосредственным, то "не остается места для возможности внешнего влияния из прошлого".15 Другими словами, нигде в прошлом O нет такой точки, что происходящее в ней значимо для перехода из e в O, кроме самой точки e.
В отличие от этого, в случае перехода вида I1 ↣ p, несмотря на то, что это тоже непосредственный переход, некоторая начальная цепь I2 вполне может влиять на наступление p: остается "зазор" для прохождения "линии влияния", или "мировой линии" из I2 в p в обход I1. Именно по этой причине переходы вида I1 ↣ p по своему причинному поведению куда более похожи на переходы, не являющиеся непосредственными, чем на переходы e ↣ O. Только в случае переходов последнего вида все пути в O из начальных цепей, лежащих в собственном прошлом O, обязательно проходят через e.
Назовем переходы вида e ↣ Oпервичными, чтобы подчеркнуть их теоретическую значимость как первопричин.
e ↣ O называется первичным цепным переходом, если это непосредственный цепной переход, начальной цепью является точечное событие.16
Факт: переход e ↣ O является первичным цепным переходом тогда и только тогда, когда e < O и inf(O) = e.
e ↣ Ω называется первичным цепным продолжением, если это непосредственное цепное продолжение, начальной цепью которого является точечное событие.
Факт: Если e ↣ Ω является первичным цепным продолжением, то для всякой истории h ∈ H(e) существует в точности одна цепь O ∈ Ω такая, что h ∈ H〈O〉. Другими словами, {H〈O〉: O ∈ Ω} является разбиением H(e). В самом деле, ниже определяется, что разбиение Πe есть {H〈O〉: O ∈ Ω}.
Часто бывает неудобно рассматривать непосредственные результаты e как цепи: их можно естественным образом интерпретировать и как события, и как высказывания. Интуитивно ясно, что если e ↣ O - непосредственный переход, то e ↣ H〈O〉 - непосредственное продолжение. Но что означает "непосредственный" применительно к пропозициональному результату (множеству историй)? Что есть H〈O〉 как непосредственный пропозициональный результат? [1] предлагает следующий подход. Рассмотрим некоторую совокупность историй, содержащих событие e. Если какие-либо две такие истории h1 и h2 содержат также некоторую точку e1, лежащую в собственном будущем e, то расходиться они могут не раньше чем в e1. Истории h1 и h2 нераздельны в e и должны оставаться таковыми на некотором протяжении после e. Следовательно, пока происходят непосредственные результаты e, истории h1 и h2 должны оставаться нераздельными как часть одного и того же непосредственного результата, поскольку они расходятся не ранее, чем в e1.
Подобные рассуждения приводят к следующим определениям и фактам.
h1 и h2 называются нераздельными в e, что обозначается как h1 ≡eh2, если e принадлежит пересечению h1 ∩ h2, но не максимально в нем.
Как в случае нераздельности (h1 ≡eh2), так и в случае расхождения (h1 ⊥eh2) историй точка e принадлежит h1 ∩ h2, однако высказывания о нераздельности в точке и о расхождении в точке должны иметь противоположные истинностные значения.
Факт: при наличии постулатов BST-92 отношение нераздельности в точке транзитивно. Доказательство, использующее почти все постулаты, см. в [1]. Вследствие этого отношение нераздельности в точке есть отношение эквивалентности на H(e), так как легко видеть его рефлексивность (доказательство см. в [1]) и симметричность (в доказательстве не нуждается).
То, что нераздельность в e является отношением эквивалентности, дает возможность перейти к определениям первичных пропозициональных результатов, переходов и продолжений.
Множество историй H называется первичным пропозициональным результатом точечного события e, если в H найдется такая история h1, что всякая история h2 нераздельна с h1 в e тогда и только тогда, когда h2 ∈ H.
Множество первичных пропозициональных результатов точечного события e обозначается как Πe. Πe является разбиением H(e).
Через Πe 〈h〉 (для e ∈ h) обозначается элемент Πe, которому принадлежит история h. Πe 〈h〉 - первичный пропозициональный результат точечного события e, и всякий первичный пропозициональный результат точечного события e можно выразить в виде Πe 〈h〉 для некоторой h ∈ H(e).
e ↣ H называется первичным пропозициональным переходом, если H есть первичный пропозициональный результат точечного события e.
e ↣ H называется первичным пропозициональным продолжением, если H есть множество всех первичных пропозициональных результатов точечного события e, то есть H = Πe.
Таким образом, e ↣ Πe есть первичное пропозициональное продолжение. Выражение "продолжение" оправдывает себя тем, что в каждой истории, в которой наступает e, истинным является в точности один элемент Πe.17
Введение понятий двух видов (цепных и пропозициональных) первичных переходов и продолжений дает возможность перехода между ними в обоих направлениях.
Если e ↣ O - первичный цепной переход, то H〈O〉 - первичный пропозициональный результат точечного события e, так что e ↣ H〈O〉 есть первичный пропозициональный переход.
И наоборот, если H - первичный пропозициональный результат точечного события e, так что e ↣ H есть первичный пропозициональный переход, то найдется O такое, что H = H〈O〉 и e ↣ O есть первичный цепной переход.
Подробнее, если e ∈ h, то найдется результирующая цепь O такая, что e < O, O ⊆ h и inf(O) = e. Иначе говоря, если e ∈ h, то существует такой первичный цепной переход e ↣ O, что O ⊆ h. Далее, если указанные три условия выполняются, то H〈O〉 = Πe 〈h〉.
Если e ↣ Ω есть первичное цепное продолжение, то Πe = {H〈O〉: O ∈ Ω}.
И наоборот, для данного первичного пропозиционального продолжения e ↣ Πe найдется такое множество Ω результирующих цепей, что e ↣ Πe = e ↣ {H〈O〉: O ∈ Ω}.
Такой естественный переход между понятиями цепных и пропозициональных переходов и продолжений в дальнейшем не будет сопровождаться пояснениями.
В начале данного подраздела были даны определения понятий переходов и продолжений применительно к цепям, но определения, которые охватывали бы и цепи, и высказывания, мы пока не дали.
I ↣ H называется цепно-пропозициональным переходом, если H ⊆ H[I]. Если H есть собственное подмножество H[I], то переход является зависимым.
I ↣ H называется цепно-пропозициональным продолжением, если H есть разбиение H[I].
Два последних понятия слишком общие и будут использоваться здесь редко. Заметим, что даже такое весьма абстрактное понятие продолжения требует некоторого рода местоопределения в ветвящихся пространства-временах через местоположение I.18
Что такое модальная корреляция и когда она образует ЭПР-подобный парадокс? Если есть два продолжения, каждый с собственным набором возможных результатов, то "корреляция" означает, что знание того, что произошло в одном продолжении, дает некоторую информацию о том, что произошло в другом.19 Корреляция называется модальной, если эта информация выражается в терминах непротиворечивости или совместимости.
Дадим определение модальной корреляции для наиболее общего случая. Пусть имеются два цепно-пропозициональных продолжения I1 ↣ H1 и I2 ↣ H2.
Продолжения I1 ↣ H1 и I2 ↣ H2 модально коррелируют, если найдутся такие H1 ∈ H1 и H2 ↣ H2, что H1 ∩ H2 = ∅.20
Мы получаем модальную корреляцию, указав два продолжения и пару несовместимых результирующих событий (по одному для каждого из продолжений).
Сама используемая нами система обозначений подразумевает, что по отдельности возможны как любой результат H1 первого перехода, так и любой результат H2 второго. Вопрос в том, найдется ли такая история, в которой были бы истинными как H1, так и H2? Если имеет место модальная корреляция, то ответ отрицательный. Отсутствие же корреляции означает, что да, найдется (коррелировать должны именно продолжения; расплывчатое понятие "переменной" здесь неприменимо.)
Общий случай корреляции между продолжениями I1 ↣ H1 и I2 ↣ H2, модальной или вероятностной, сама по себе не представляет интереса: он встречается слишком часто. Изучая литературу, посвященную различным явлениям квантовомеханического "запутывания", таким как феномен ЭПР, можно понять, что ключевой особенностью интересных случаев является корреляция между пространственноподобно связанными измерениями. Идеализируя измерение как первичное продолжение, мы получаем возможность сделать вывод о значимости пространственноподобной связанности. Чтобы представить себе это, приведем вначале определение пространственноподобной связанности из BST-92.
Точечные события e1 и e2 пространственноподобно связаны, что обозначается как e1SLRe2, если они (1) совместимы, (2) различны (e1 ≠ e2), и (3) не связаны причинным отношением < (e1 ≮ e2 & e2 ≮ e1).
Это фактически то же самое определение пространственноподобной связанности, что и в пространстве-времени Минковского, с единственным дополнением, требуемым BST-92: должна существовать по меньшей мере одна история, содержащая оба точечных события. Они не могут быть несовместимыми.
Случай двух пространственноподобно разделенных, но тем не менее коррелирующих первичных продолжений представляет естественный научный интерес, и нижеследующее не затрагивает вопрос о том, достаточно ли пространственноподобного разнесения продолжений для того, чтобы их корреляция представляла интерес. Я просто покажу, что если два первичных продолжения не связаны пространственноподобно, их модальная корреляция не представляет интереса.
Рассмотрим два первичных продолжения e1 ↣ Πe1 и e2 ↣ Πe2. Их начальные события не связаны пространственноподобно, если нарушается одно из трех вышеуказанных условий (1) - (3). Для каждого из трех случаев покажем, почему модальная корреляция в этих случаях не представляет интереса.
Если начальные события e1 и e2 несовместимы, то модальная корреляция неизбежна, так каждый член всякого множества H1 ∈ Πe1 должен содержать e1, тогда как никакой член любого множества H2 ∈ Πe2 не может содержать его в силу несовместимости e1 и e2. Так что в этом случае модальная корреляция попросту неизбежна. Так как существование несовместимых пар точечных событий свойственно даже простому индетерминизму без парадоксов (это следует из существования более чем одной истории), такие модальные корреляции не заслуживают интереса.
Если e1 = e2, то интутивно ясно, что ни о какой корреляции говорить не приходится. Но для наглядности стоит сказать, что в BST-92 в случае e1 = e2 можно привести следующие доводы. Возможны два случая. Случай (a). Пусть Πe1 (или, что то же самое, Πe2) содержит более одного члена, скажем, H1 ≠ H2. Так как e1 ↣ Πe1 = e2 ↣ Πe2 есть продолжения, пересечение высказываний об их различных результатах пусто: H1 ∩ H2 = ∅, и модальная корреляция неизбежна. Случай (b). Если Πe1 тривиально (содержит лишь один член, а именно H(e1)), то говорить о модальной корреляции попросту нет смысла.
Если e1 лежит в причинном прошлом e2, то согласно теории BST-9221 наступление e2 совместимо с одним и только одним первичным результатом точечного события e1 (членом Πe1). Возможны два случая. Случай (a). Единственным возможным первичным результатом e1 является H(e1). Это очевидный неинтересный случай отсутствия модальной корреляции. Случай (b). e1 имеет более одного возможного первичного результата. Известно, что e2 совместимо только с одним из них, так что всякие другие результаты e1 несовместимы ни с каким результатом e2, что в равной мере не представляет интереса. Таким образом, если e1 < e2, то модальная корреляция не представляет интереса в обоих случаях. Те же рассуждения применимы и к случаю, когда e2 лежит в причинном прошлом e1.
Что получится, если исключить эти три случая? В BST-92 это означает ровным счетом то, что e1 и e2 пространственноподобно связаны. Модальная корреляция между первичными продолжениями e1 ↣ Πe1 и e2 ↣ Πe2 представляет интерес лишь в том случае, когда e1 пространственноподобно связано с e2. Такие корреляции представляют интерес точно в том же отношении, что и ЭПР-подобные явления, и именно поэтому я называю модальные корреляции "парадоксом", что отражено в формулировке следующего определения.
Два первичных продолжения e1 ↣ Πe1 и e2 ↣ Πe2пространственноподобно модально коррелируют, если e1SLRe2 и найдутся такие истории h1 и h2, что e1 ∈ h1, e2 ∈ h2 и Πe1 〈h1〉 ∩ Πe2 〈h2〉 = ∅.
Два первичных продолжения e1 ↣ Πe1 и e2 ↣ Πe2 в совокупности с определяющими историями h1 и h2 образуют случай парадокса пространственноподобно связанной модальной корреляции простейшего вида, если:
e1SLRe2 и
e1 ∈ h1 и e2 ∈ h2 и
Πe1 〈h1〉 ∩ Πe2 〈h2〉 = ∅.22
Простейшими случаями пространственноподобно связанной модальной корреляции являются ЭПР-подобные парадоксы. На рис.1 показана схема парадокса ЭПР в BST-92.23 Парадокс ЭПР сильнее пространственноподобно связанной модальной корреляции в двух отношениях: (1) e1 и e2 не только совместимы, но и происходят в точности в одних и тех же историях; (2) существует более одного невозможного совместного результата: как Πe1 〈h1〉 ∩ Πe2 〈h2〉 = ∅, так и Πe1 〈h2〉 ∩ Πe2 〈h1〉 = ∅. Неформально это можно выразить следующим образом: непосредственно после e1 мы точно знаем, что обнаружим, что в e2 имел место противоположный знак. Чтобы видеть, каким образом парадокс ЭПР выходит за пределы пространственноподобно связанной модальной корреляции слабейшего вида, обратимся к рис. 2. Видя непосредственно после e1, что имел место "-", мы определенно знаем, какой результат e2 обнаружим в конечном счете в нашем прошлом; однако если мы видим, что имел место "+", нельзя ничего сказать относительного того, какой результат e2 будет обнаружен в прошлом. Это связано с тем, что имеет место единственный невозможный совместный результат.24 Но по существу это то же самое, что и в случае парадокса ЭПР. "По существу" означает, что должен быть по меньшей мере один невозможный совместный результат.
Если два первичных перехода e1 ↣ Πe1 и e2 ↣ Πe2 пространственноподобно модально коррелируют, то из этого следует, что по меньшей мере одно из множеств Πe1 и Πe2 нетривиально, то есть его начальное событие не предопределяет результат.25 Один из переходов e1 ↣ Πe1 и e2 ↣ Πe2 может, согласно определению, быть тривиальным продолжением, однако отложим в сторону такой случай, предполагая, что оба перехода нетривиальны. Тогда ситуация описывается следующим образом: хотя первичные продолжения, начинающиеся в e1 и e2 соответственно, пространственноподобно разделены, а результат в каждом случае не предопределен, можно, тем не менее, заведомо знать, что определенное сочетание исходов не будет иметь места.26 Таково отвлеченное описание ЭПР-подобного парадокса. Оказавшись в ситуации, когда осуществляются два процесса измерения, к которым применима данная идеализация, мы обнаруживаем нечто такое, что по своей причинной структуре относится к семейству ЭПР-подобных парадоксов.
Обратное неверно: есть парадоксы, которые нельзя отнести к пространственноподобно связанной модальной корреляции простейшего вида. Такие парадоксы иллюстрируют рисунки 3 и 4. Рассмотрим рисунок 3. Если мы хотим представить изображенное на рисунке как модальную корреляцию при единичных точечных начальных событиях, как в простейшем ее виде, нам придется иметь дело с тремя, а не двумя пространственноподобно разделенными начальными событиями. Мы обнаружим, что каждое из трех начальных событий имеет собственные исходы, но определенное сочетание исходов, по одному для каждого начального события, невозможно (а именно, сочетание + + +).
Есть способ сохранить бинарность первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции, что даст возможность по-прежнему рассматривать данный случай как корреляцию между двумя продолжениями.27 Пусть одно из начальных событий состоит не из одного, а из двух точечных событий; для этого определим начальные события как множества совместимых точечных событий:
Множество I называется начальным событием, если оно непусто и существует содержащая его история: I ≠ ∅ и ∃h [I ⊆ h].28
Пусть I пробегает произвольное множество начальных событий; I всегда есть непустое множество точечных событий, совместимых в том смысле, что они происходят совместно по меньшей мере в одной истории. Пусть на рисунке 3 I1 = {e1} и I2 = {e2, e3}. Очевидно, согласно предыдущим определениям ΠI1 〈h2〉 = Πe1 〈h2〉 = {h2, h3, h4}. Нам нужно выяснить, что следует подразумевать под ΠI, когда начальное событие I состоит более чем из одного точечного события. В данном контексте оправданной оказывается следующая тактика: определим понятие обобщенного первичного пропозиционального результата начального события, используя понятие нераздельности историй.29
Рисунок 3: Парадокс с семью историями.
Для всякого начального события I, h1не расходится вI с h2, что обозначается как h1 ≡Ih2, если h1 ≡eh2 для всякой точки e ∈ I; это отношение с очевидностью является отношением эквивалентности на H[I].
H называется обобщенным первичным пропозициональным результатомI, если найдется такая история h1 ∈ H[I], что H = {h2: h1 ≡Ih2}.
ΠI есть множество обобщенных первичных пропозициональных результатов I; ΠI является разбиением H[I].
ΠI 〈h1〉, определяемый для I ⊆ h1 как ΠI 〈h1〉 = {h2: h1 ≡Ih2}, является обобщенным первичным пропозициональным результатом I, содержащим историю h1.
Если I является начальным событием, то I ↣ H называется обобщенным первичным пропозициональным переходом, если H ∈ ΠI; тогда обобщенным первичным пропозициональным продолжением называется продолжение, имеющее вид I ↣ ΠI.
При этих определениях ΠI2 〈h5〉 = {h5} на рисунке 3 есть обобщенный первичный пропозициональный результат I, и мы с очевидностью имеем модальную корреляцию:
ΠI1 〈h2〉 ∩ ΠI2 〈h5〉 = ∅.
Более того, и это существенно, каждый элемент I1 пространственноподобно связан с каждым элементом I2, так что мы имеем не просто модальную корреляцию, а пространственноподобно связанную модальную корреляцию. Преобразуем это обстоятельство в определение.
I1SLRI2 (I1 пространственноподобно связана с I2), если пространственноподобно связаны всякие точечные события e1 ∈ I1 и e2 ∈ I2.
Таким образом, пространственноподобная связанность двух начальных событий означает пространственноподобную связанность любых их элементов.30 Теперь, когда все понятия строго определены, можно расширить определение пространственноподобно связанной модальной корреляции:
Два обобщенных первичных пропозициональных продолжения I1 ↣ ΠI1 и I2 ↣ ΠI2пространственноподобно модально коррелируют, если I1SLRI2 и найдутся такие истории h1 и h2, что I1 ⊆ h1, I2 ⊆ h2 и ΠI1 〈h1〉 ∩ ΠI2 〈h2〉 = ∅.
Легко видеть, что парадокс, показанный на рисунке 3, отвечает этим определениям. Теперь его нельзя считать опровержением того, что все ситуации, в которых обнаруживается ЭПР-подобный парадокс, попадают в категорию пространственноподобно связанных модальных корреляций в том виде, в каком такая корреляция определяется на языке BST-92. Может оказаться, что пространственноподобно связанной модальной корреляции простейшего вида для этого недостаточно, но есть смысл предположить, что достаточным окажется обобщенное понятие такой корреляции. Выразим это в виде следующего определения.
Два обобщенных первичных пропозициональных продолжения I1 ↣ ΠI1 и I2 ↣ ΠI2 в совокупности с двумя такими определяющими историями h1 и h2, что I1 ⊆ h1 и I2 ⊆ h2, образуют случай обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции, если I1SLRI2 и ΠI1 〈h1〉 ∩ ΠI2 〈h2〉 = ∅.31
Можно отчасти проверить эту гипотезу, обратившись к рисунку 4. Легко видеть, что для всякой пары пространственноподобно связанных точечных событий, имеющих более одного первичного результата, оказывается возможным наступление любого сочетания результатов. Чтобы обнаружить, что рисунок 4 тем не менее содержит парадокс, будем рассматривать всю бесконечную цепь слева как одно начальное событие I1; другим начальным событием пусть будет e0. Эти два начальных события пространственноподобно связаны в определенном выше смысле: каждый элемент I1 пространственноподобно связан с e0. Парадокс на рисунке 4 наблюдается в том, что если нам известно, что каждый элемент I1 продолжился плюсом, а не минусом, то мы знаем, что e0 не продолжилось минусом. И наоборот, если нам известно, что e0 продолжилось минусом, то мы знаем, что не каждый элемент I1 продолжился плюсом; и все это имеет место несмотря на пространственноподобную связанность e0 и всякого элемента I1. Несомненно, все это явно носит характер ЭПР-подобного парадокса.32
Рисунок 4: Парадокс, который нельзя отнести к пространственноподобно связанной модальной корреляции простейшего вида.
Нетрудно видеть, что к этому случаю применимы обобщенные понятия. Рисунок 4 показывает, что I1 имеет единственный обобщенный элементарный результат {hω}, и этот результат несовместим с результатом Πe0 〈h2〉 события e0. Так как пространственноподобная связанность I1 и e0 проверена, налицо случай обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции.
Не занимаясь дальше выборочной проверкой гипотезы о том, что парадокс обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции охватывает все ЭПР-подобные явления настолько, насколько это позволяет делать язык BST-92, перейдем к другому представлению парадоксов. Затем будет дано доказательство того, что оба подхода приводят к одному и тому же, что свидетельствует в пользу их непротиворечивости.
К другому представлению парадоксов подталкивает тот факт, что причинное объяснение именно такого, а не иного хода вещей мы всегда ищем в прошлом. Похожая мысль проходит во многих работах, посвященных исследованию принципа общей причины Райхенбаха, например, в [5] или в [7], и стоит также за принципом предшествующего выбора в BST-92.
Подход ко второму представлению парадоксов начнем с сравнительного наблюдения: модальная корреляция обращается к идее нераздельности историй в точке, тогда как формулировка принципа предшествующего выбора опирается на идею расхождения в точке. Расхождение историй играет столь же важную роль, как и нераздельность, если не большую. Я выдвигаю предположение, что расхождение проявляет причиноподобный характер. Начнем с принципа предшествующего выбора, утверждающего, что если некоторая история несовместима с началом результирующего события O (т.е. если h ∩ O = ∅), то в прошлом O существует такое точечное событие e, что h ⊥eH〈O〉. Эта точка является начальным событием первопричины - первичного, или порождающего перехода, объективно объясняющего тот факт, что мы находимся в результирующем событииO только в силу того, что не находимся в истории h. Переход от события e к первичному пропозициональному результату e, который определяется результирующим событием O (можно доказать, что с O будет совместим в точности один такой результат33; назовем его Πe 〈O〉), можно обоснованно рассматривать как своего рода частичную "причину" O. Этот переход e ↣ Πe 〈O〉, сам по себе являясь условным, т.е. зависимым, оставляет O возможным, так как, если бы переход произошел от O к h, O после этого стало бы невозможным.
Будем говорить, что тогда e является причиноподобным локусом для O. Это означает следующее: e есть начало нетривиального первичного пропозиционального продолжения, по меньшей мере один результат которого делает O невозможным и по меньшей мере один результат оставляет O возможным, хотя бы в непосредственном будущем e. Можно определить понятие причиноподобного локуса и не вдаваясь в вопрос о том, что является причиной чего.
e является причиноподобным локусом простейшего вида для события O по отношению к истории h, если h ⊥eH〈O〉.
Почему употреблено выражение "причиноподобный", а не "причинный"? Тому есть три причины. Первая - это просто желание преждевременно не связывать себя теорией причинности.34 Вторая и более важная причина обусловлена тем, что определение причиноподобного локуса не содержит утверждения о том, что e лежит в прошлом O. Разумеется, мы знаем, что на основании принципа предшествующего выбора по меньшей мере один причиноподобный локус для O лежит в его прошлом. Суть в следующем: принцип предшествующего выбора утверждает, что в прошлом O лежит нечто причиноподобное, но в определении причиноподобного локуса нигде не говорится, что оно действительно лежит в прошлом. Ввиду этого имеет смысл выяснить, лежит или нет в прошлом тот или иной причиноподобный локус. Инстинктивное побужение - объявить, что причина, какова бы она ни была, должна лежать в прошлом; но уточнение, содержащееся в выражении "причиноподобный", позволяет принять во внимание третью, решающую причину: ни определение причиноподобного локуса, ни принцип предшествующего выбора не связывают нас предположением, что все причиноподобные локусы для события O лежат в прошлом O. И действительно, во многих ЭПР-подобных ситуациях, хотя некоторые причиноподобные локусы заведомо лежат в прошлом, для какого-то из них это не так. Ввиду этого скоропалительные интуитивные выводы могут оказаться ложными. К примеру, принцип предшествующего выбора утверждает, казалось бы, что "причины лежат в прошлом", и мы интуитивно оправдываем это тем, что в поисках объяснения того, почему вещи происходят именно так, а не иначе, мы всегда обращаемся к прошлому. Это мешает понять следующее: принцип утверждает всего лишь то, что в прошлом всегда существует по меньшей мере один причиноподобный локус; он не говорит, что все причиноподобные локусы лежат в прошлом.
Эти соображения наводят на мысль: существование причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом, само по себе есть проявление странности в ЭПР-подобных явлениях. Если в Мире есть некоторое место, где определяется, остается ли начало некоторого результирующего события возможным или же становится невозможным, естественно было бы полагать, что это место находится в прошлом.35 Итак:
История h, результирующая цепь O и точечное событие e образуют простейший вид парадокса причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом, если h ⊥eH〈O〉, но e ≮ O.
Это определение требует обобщения, причем в двух отношениях: во-первых, необходимо перейти от единичного точечного события к более сложному событию I, представляющему собой множество точечных событий; во-вторых, необходимо перейти от результирующей цепи к понятию результирующего события, которое охватывает события, слишком сложные для представления в виде единичной результирующей цепи.
Необходимость обобщения понятия причиноподобного локуса от точечного события e до начального события I видна из двух предыдущих примеров. Заметим, что на рисунке 4 hω несовместимо с O2. Здесь нельзя найти простейший парадокс причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом; причина в том, что никакое точечное событие, за исключением e0, не является точкой отделения hω от H〈O2〉, а e0 лежит в прошлом O2. Перейдем к обобщению. Пусть I = {e1, e2, ...}. Заметим, что взятое в целом I (и только оно) с необходимостью разделяет hω и H〈O2〉: для всякой истории h из H〈O2〉 найдется такая точка e из I, что h ⊥ehω. Для разделения hω и H〈O2〉 не обязательно нужна точка e0: для каждой истории, в которой происходит O2, найдется точка из I, в которой эта история отделяется от hω. Парадокс здесь в том, что I является полноценным причиноподобным локусом для O2, но никакая его часть не лежит в причинном прошлом O2. Таким образом, этот факт есть одно из проявлений парадоксальности причинной структуры, показанной на рисунке 4. Что касается рисунка 3, то для отделения, например, h5 от H〈O1〉 не обязательно нужна точка e1; достаточным причиноподобным локусом является также множество I = {e2, e3}, причем никакая часть I не лежит в причинном прошлом O1.
Эти примеры наводят на мысль, что понятие расхождения историй, сформулированное вначале для точки (h1 ⊥eh2), нуждается в обобщении, и мы отчасти уже сделали это, определив h1 ⊥eH через квантор всеобщности: h1 ⊥eH, если h1 ⊥eh2 для всякой истории h2 ∈ H. Дальнейшее обобщение носит существенный характер. Мы хотим иметь возможность сказать, что h отделяется от H во множестве точечных событий I, имея в виду, что необходимый для разделения элемент I может зависеть от того, какой член H должен быть отделен от h. Понятие должно быть не универсальным, а экзистенциальным:
h1 отделяется в I от H, что обозначается как h1 ⊥IH, если ∀h2 [h2 ∈ H → ∃e [e ∈ I и h1 ⊥eh2]].
Иначе говоря, h1 отделяется в I от H, если для всякой истории h2 из H найдется точка e из I такая, что h1 отделяется в ней от h2. Обратите внимание на чередование кванторов.
Прежде чем дать строгие определения обобщенных понятий причиноподобного локуса и парадокса причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом, нужно учесть один фактор, который вступает в игру лишь после обобщения разделения в точке до разделения в начальном событии. Описание парадокса неявно использует то, что hω от H〈O2〉 должно отделять лишьI. Каким же образом? Если I достаточно велико, оно может содержать части, не участвующие в разделении историй. Суть в том, что поскольку отношение h ⊥IH〈O〉 носит экзистенциальный на I характер, разделение сохранится, если добавить в I несущественные точки. Эти "лишние" точки - единственно не участвующие в разделении - могут располагаться где угодно, не влияя при этом на истинность отношения h ⊥IH〈O〉. Поэтому то, что некоторые из этих "лишних" точек не оказались в прошлом O, несомненно, не должно быть основанием для утверждения о существовании парадокса. Так что здесь требуется уточнение. Нам нужно, чтобы каждый элемент I был значим для отделения h от H〈O〉. Я имею в виду, что I целиком существенно в том смысле, что всякая его часть может быть задействована для разделения. Для всякой точки e из I должна найтись такая история h1 из H〈O〉, что h ⊥eh1, то есть ∀e [e ∈I → ∃h1 [h1 ∈ H〈O〉 и h ⊥eh1]].36 Эти соображения ведут к следующим важным определениям, хотя еще и не принявшим окончательный вид.
h значимо отделяется от H вI, что обозначается как h⊥IH, если h отделяется от H в I и для всякой точки e из I найдется такая история h1 из H, что h ⊥eh1.
I называется причиноподобным локусом для O по отношению к h, если h⊥IH〈O〉.
Начальное событие I, история h и результирующая цепь O образуют парадокс (простого вида) причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом, если I является причиноподобным локусом для O по отношению к h, но никакой элемент I не лежит в причинном прошлом O.
Теперь, имея определение причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом, мы можем обнаружить парадокс в примере на рисунке 3. Пусть I = {e2, e3}. Тогда I является причиноподобным локусом для O1 по отношению к h5 (h5⊥IH〈O1〉), но никакая часть I не лежит в прошлом O1.
Чтобы получить окончательное обобщение парадокса причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом, требуется понять, что представление результирующих событий в виде результирующих цепей слишком узко. Точно так же, как мы обобщили понятие начального события от единичного точечного события e до множества совместимых точечных событий I, обобщим теперь и понятие результирующего события от единичной результирующей цепи O до множества результирующих цепей O. После этого будет можно доказать, что утверждения о существовании парадокса обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции и о существовании парадокса причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом, эквивалентны.
Как простой пример, требующий более общего понятия результата, рассмотрим опять рисунок 3. Результирующее событие O = {O2, O3} происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события O2 и O3, то есть в h5 и ни в какой другой истории. Обозначая через H〈O〉 высказывание о наступлении O, можно написать, что H〈O〉 = H〈O2〉 ∩ H〈O3〉 = {h5}. В силу этого O не происходит в h2. Несомненно, e3 - вполне приемлемый причиноподобный локус для O, возможность которого сохраняется за счет h2 (h2⊥e3H〈O〉), причем e3 лежит в прошлом элемента O, то есть e3 < O3; здесь нет никакого парадокса. Парадокс в том, что причиноподобным локусом для O по отношению к h2 (h2⊥e1H〈O〉) является также и e1, хотя e1 не лежит в прошлом никакого элемента O и поэтому не может быть источником "влияния", действующего вдоль мировой линии от e1 к элементу O. Это уже несомненный парадокс. Заметим, что одно лишь O2 не образует парадокс, так как O2 происходит в h2; не образует парадокса и само по себе O3. Причина в том, что хотя O3 не происходит в h2, ни e1, ни e2, ни даже I = {e1, e2} не могут служить причиноподобным локусом для O3 по отношению к h2, так как определенное таким образом I не отделяет h2 от H〈O3〉. Чтобы проявился парадокс причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом, необходимо совместное наступление O2 и O3.
Выведем из этих рассуждений следующие строгие определения.
O есть результирующее событие, если O является непустым множеством результирующих цепей, совместимых в том смысле, что ∩ {H〈O〉: O ∈ O} ≠ ∅.37
Так что результирующее событие может иметь несвязные части, и утверждать, что оно происходит, означает сказать, что начинает происходить каждая из частей.38
H〈O〉 определяется как ∩ {H〈O〉: O ∈ O}.
Iявляется причиноподобным локусом дляOпо отношению к h, если h⊥IH〈O〉.
Утверждение о том, начальное событие I не лежит в причинном прошлом результирующего событияO, носит вдвойне всеобщий характер: e ≮ O для всякого e ∈ I и для всякого O ∈ O (никакой элемент начального события не лежит в прошлом никакого элемента результирующего события).
Начальное событие I, история h и результирующее событиеO образуют парадокс причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом, если I есть причиноподобный локус для O по отношению к h, но никакой элемент I не лежит в причинном прошлом никакого элемента O.
Таково окончательное представление парадокса причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом. Возникает вопрос: не может ли он оказаться адекватным всем случаям ЭПР-подобных парадоксов, по меньшей мере, не могут ли быть адекватными их определения на языке BST-92? Положительный ответ на этот вопрос дает доказываемое ниже утверждение о том, что парадокс причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом, имеет место тогда и только тогда, когда имеет место парадокс обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции.
Еще раз приведем определения парадоксов.
5-1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (Два представления парадоксов)
Два обобщенных первичных пропозициональных продолжения I1 ↣ ΠI1 и I2 ↣ ΠI2 в совокупности с двумя такими определяющими историями h1 и h2, что I1 ⊆ h1 и I2 ⊆ h2, образуют случай обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции, если I1SLRI2 и ΠI1 〈h1〉 ∩ ΠI2 〈h2〉 = ∅.
Начальное событие I, история h и результирующее событие O образуют парадокс причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом, если I есть причиноподобный локус для O по отношению к h, но никакой элемент I не лежит в причинном прошлом никакого элемента O.
Мы собираемся показать эквивалентность этих двух представлений.
5-2 ТЕОРЕМА. (Эквивалентность двух представлений парадоксов)
Парадокс обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции имеет место тогда и только тогда, когда имеет место парадокс причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом.
Доказательство следует из лемм 5-3 и 5-4.
5-3 ЛЕММА. (Слева направо)
Пусть продолжения IL ↣ ΠIL и IR ↣ ΠIR в совокупности с определяющими историями hL и hR образуют парадокс обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции.39 Тогда имеет место и парадокс причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оставив IL как есть и используя IL, IR и hR, построим IL' и OR такие, что hL⊥IL'H〈OR〉 и для ∀e ∈ IL' и ∀O ∈ ORe не лежит в причинном прошлом O (e ≮ O).
OR построим следующим образом: для каждого eR ∈ IR выберем такое OR, чтобы hR ∩ OR ≠ ∅, eR < OR и inf(OR) = eR; пусть OR содержит только такие результирующие цепи, которые отвечают этим условиям. Выше (см. подраздел 2.3) было установлено, что при таком выборе H〈OR〉 = ΠeR 〈hR〉.
Несколько сложнее построить IL'. Пусть hR' ∈ ΠIR 〈hR〉. Для построения IL' нужно найти точечные события, отделяющие hR' от hL.
Допустим, что IL ∈ hR'. hL ≡ILhR' противоречило бы тому, что никакая история не принадлежит одновременно ΠIL 〈hL〉 и ΠIR 〈hR〉 (так как последнее есть H〈OR〉), так что в IL должна существовать точка, в которой нераздельность нарушается. Выберем одну из таких точек, обозначив ее eL', и заметим, что, поскольку eL' ∈ (hL ∩ hR'), не просто нарушается нераздельность, но и hL ⊥eL'hR'. Сделаем eL' элементом IL'. ILSLRIR гарантирует, что eL' не находится в прошлом никакого элемента OR события OR: если eL' < OR, то eL' ≤ inf(OR) → eR ∈ IR, что противоречило бы пространственноподобной связанности IL и IR.
Если же IL ⊈ hR', то найдется такая точка eL, что eL ∈ (IL - hR'), из чего следует, что eL ∈ hL - hR'. Тогда, согласно принципу предшествующего выбора, существует точка eL' такая, что eL' < eL и hL ⊥eL'hR'. Сделаем eL' элементом IL'. Методом от противного покажем, что eL' ≮ OR (для всех OR ∈ OR). Предположим, что eL' < OR. Пусть eR = inf(OR), тогда eL' ≤ eR. Тождественность исключается ввиду eL' < eL и пространственноподобной связанности IL и IR, так что, по предположению от противного, eL' < eR. Возьмем теперь какую-либо историю h0, подтверждающую пространственноподобную связанность eL и eR. Мы утверждаем, что hL ≡eL'h0 (так как eL' < eL и eL ∈ hL ∩ h0) и h0 ≡eL'hR' (так как eL' < eR и eR ∈ h0 ∩ hR', последнее следует из того, что eR ∈ IR ⊆ hR'), так что hL ≡eL'hR' вследствие транзитивности отношения нераздельности. Это противоречит hL ⊥eL'hR', что завершает доказательство от противного.
Очевидно, построенное таким образом событие IL' отделяет hL от всякой истории hR', причем выполняется также условие значимости, так как мы не добавляем в IL' ничего такого, что не отвечало бы условию hL⊥IL'H〈OR〉. Столь же очевидно, что никакой элемент IL' не лежит в прошлом никакого элемента OR. Тем самым завершено доказательство того, что всякий случай парадокса обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции влечет за собой и парадокс причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом.
5-4 ЛЕММА. (Справа налево)
Пусть имеет место случай парадокса причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом. Тогда имеет место и случай парадокса обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть IL, hL и OR образуют случай парадокса причиноподобного локуса, не лежащего в прошлом:40 (a) hL⊥ILH〈OR〉,
(b) ∀e ∈ IL найдется hR ∈ H〈OR〉 такое, что hL ⊥ehR, и
(c) Для ∀e ∈ IL и ∀O ∈ OR, e ≮ O.
Выберем такое hR, что (d) hR ∈ H〈OR〉. Используя аксиому выбора, определим три функции выбора. Первая из них определена на всех множествах историй и такова, что Ξ1(H) ∈ H (если H ≠ ∅). Вторая функция определена на всех множествах O результирующих цепей и такова, что Ξ2(O) ∈ O (если O ≠ ∅). Третья функция определена на всех подмножествах OW и такова, что Ξ3(E) ∈ E (если E ≠ ∅). Построим последовательности начальных событий, историй, результирующих цепей и точечных событий таким образом, чтобы в конечном счете получить такую их совокупность, которая проявляет свойства обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции:41 (e) Iα = {eγ: γ < α}.
(f) h0 = hL. Для 0 < α положим hα = Ξ1(ΠIL 〈hL〉 ∩ ΠIα 〈hR〉), если ΠIL 〈hL〉 ∩ ΠIα 〈hR〉 ≠ ∅. В противном случае примем hα = hL.
(g) Oα = Ξ2({O: (O ∈ OR & hα ∩ O = ∅)}).
(h) eα = Ξ3({e: (e < Oα & hα ⊥eH〈Oα〉)}).
Тогда при условиях (a)-(h) для любого α выполняется следующее:
hα ∈ ΠIL 〈hL〉.
hα⊥ILH〈OR〉.
Oα ∈ OR и hα ∩ Oα = ∅.
eα < Oα.
hα ⊥eαH〈Oα〉.
hR ∈ H〈Oα〉.
hα ⊥eαhR.
IL ⊆ hL и Iα ⊆ hR.
Если 0 < α, то ILSLRIα.
Если 0 < α, а IL ↣ ΠIL и Iα ↣ ΠIα в совокупности с определяющими историями hL и hR не образуют парадокс обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции, то hα ∈ ΠIα 〈hR〉.
Справедливость (1)-(10) проверяется без труда. (1) выполняется непосредственно ввиду (f). (1) в совокупности с (a) и транзитивностью нераздельности влечет за собой (2). Из этого следует, что hα ∩ O = ∅ для некоторого Oα ∈ OR, что, в свою очередь, вместе с (g) дает (3). Из принципа предшествующего выбора следует, что {e: (e < Oα & hα ⊥eH〈Oα〉)} ≠ ∅, так что (4) и (5) получаются из определения eα согласно (h). Первая часть (3) вместе с (d) влечет за собой (6), из чего с учетом (5) следует (7).
Первая часть (8) есть следствие (b), а вторая часть следует из (4), (3) и (d) (истории замкнуты вниз).
Для доказательства (9) покажем, что eL ∈ IL и eγ ∈ Iα связаны пространственноподобно. То, что они различны, следует из (c), (3) и (4). Необходимо проверить, что eL и eγ совместимы (принадлежат по меньшей мере одной общей истории) и причинно не связаны. Достаточно найти две истории, раcходящиеся в точках eL и eγ, так как точки, в которых две истории расходятся, должны принадлежать обеим историям (и поэтому должны быть совместимы), причем эти точки должны быть также максимальными в пересечении двух историй (так что ни одна из них не может лежать в причинном прошлом другой).
Поступим следующим образом. На основании (b), выберем hR' ∈ H〈OR〉 (и, следовательно, (i) hR' ∈ H〈Oγ〉) такое, что (j) hL ⊥eLhR', и заметим, что из (1) следует, что hγ ∈ ΠeL 〈hL〉. Применение транзитивности нераздельности к последнему и к (j) дает hγ ⊥eLhR'; hγ и hR' как раз и есть требуемые истории. Сочетание (5) с (i) влечет за собой hγ ⊥eγhR';, что завершает доказательство того, что всякий элемент IL пространственноподобно связан с любым элементом Iα.
Перейдем к доказательству (10): пусть 0 < α, а IL ↣ ΠIL и Iα ↣ ΠIα в совокупности с определяющими историями hL и hR не образуют парадокс обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции. Заметим, что согласно (8) и (9) мы имеем два по отдельности непротиворечивых пространственноподобно связанных начальных события IL и Iα такие, что IL ⊆ hL и Iα ⊆ hR, так что из отсутствия парадокса обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции вытекает, что множество, из которого функция Ξ1 выбирает историю hα, непусто, поэтому hα должна принадлежать ΠIα 〈hR〉, что и требовалось доказать.
Наконец, воспользуемся тем, что Мир является множеством. Тогда начиная с некоторого номера последовательность eα должна содержать повторы. Пусть β - наименьший номер, для которого eβ = eγ при некотором γ < β; отсюда следует, что eβ ∈ Iβ. Заметим, что для всех α из (7) и (10) следует, что если IL ↣ ΠIL и Iα ↣ ΠIα в совокупности с определяющими историями hL и hR не образуют парадокс обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции, то eα ≠ Iα. Так как eβ ∈ Iβ, то IL ↣ ΠIL и Iβ ↣ ΠIβ в совокупности с определяющими историями hL и hR должны образовывать парадокс обобщенной первичной пространственноподобно связанной модальной корреляции. На этом доказательство леммы 5-4 завершается.
Эквивалентность двух представлений парадоксов говорит в пользу неявно подразумеваемой в данной статье гипотезы о том, что теория BST-92 и постулат отсутствия парадоксов образуют приемлемую идеализацию мира, который индетерминирован и даже содержит Белл-подобные вероятностные корреляции, но тем не менее лишен ЭПР-подобных парадоксов.42
1. Belnap, N. 1992, "Branching space-time", Synthese92, 385-434.
2. Belnap, N. 1999, "Concrete transitions", in G. Meggle, ed., Actions, norms, values: Discussions with Georg Henrik von Wright, Walter de Gruyter, Berlin, pp. 227-236.
3. Belnap, N., Perloff, M. and Xu, M. 2001, Facing the future: Agents and choices in our indeterminist world, Oxford University Press, Oxford.
4. McCall, S. 1994, A model of the universe:-time, probability, and decision, Oxford University Press, Oxford.
5. Placek, T. 2000, Is nature deterministic?, Jagiellonian University Press, Kraków.
6. Rakić, N. 1997, Common-sense time and special relativity, Ph. d. thesis, University of Amsterdam.
7. Szabo, L. and Belnap, N. 1996, "Branching space-time analysis of the GHZ theorem", Foundations of physics26(8), 989-1002.
8. von Kutschera, F. 1993, "Causation", Journal of philosophical logic22, 563-588.
9. Xu, M. 1997, "Causation in branching time (I): transitions, events and causes", Synthese112, 137-192.
![[]](/img/s/shajmardanow_r_g/epr-like_funny_business/fig1.gif)
![[]](/img/s/shajmardanow_r_g/epr-like_funny_business/fig2.gif)
![[]](/img/s/shajmardanow_r_g/epr-like_funny_business/fig3.gif)
![[]](/img/s/shajmardanow_r_g/epr-like_funny_business/fig4.gif)