Рыжков Александр : другие произведения.

Диплом по электронике 2раздел

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:


 Ваша оценка:


2 Применение математического программирования к решению задачи максимизации степени устойчивости

2.1 Максимизация степени устойчивости в стационарных САУ

  
   В [6] рассматривается семейство задач математического программирования, условия связи в которых являются комплексными функциями, аналитическими относительно переменной S. И для таких задач находятся необходимые условия оптимальности с учетом сведений из теории функции комплексной переменной. Кроме того, показывается, что задача о достижении в линейной динамической системе предельной степени устойчивости может быть формализована аналогичным образом, что позволяет в ряде простейших практически важных случаев получить аналитические выражения, которые могут быть использованы при параметрическом синтезе робастных и адаптивных систем управления.
   Методы математического, в частности линейного программирования, широко используются при решении ряда важных прикладных задач [7]. Одна из таких задач - параметрический синтез динамических систем при ограничениях, налагаемых на расположение корней характеристического уравнения. Вопрос о выборе оптимальных параметров динамической системы, исходя из заданных критериев, привлекает значительное внимание исследователей [8,9 и др.]. Ниже покажем, что постановка задачи нелинейного программирования с условиями - связями, включающими функции комплексного переменного, позволяет получить необходимые условия оптимальности, которые могут быть использованы при решении задач параметрического синтеза динамических систем по критерию предельной (максимальной) степени устойчивости и ряда других задач.
  

2.1.1 Формализация задачи оптимизации

  
   Рассмотрим класс задач математического программирования, в которых ограничения включают в себя функцию комплексной переменной: S=+j. Постановка задачи:
  
   f0(x)max (2.1)
  
   при условиях: 1) F(x,S)=0, 2) xVxRn, 3) SVx, j2=-1.
   В постановке (2.1) f0(x) - вещественная функция, зависящая от вещественного вектора x, функция F(), вошедшая в уравнение связи (1), является комплексной. Будем считать, что обе эти функции непрерывны и непрерывно-дифференцируемы по x, и F() при каждом x - аналитическая функция относительно S.
   Отметим, что постановка задачи (2.1) в общем случае может включать связи вида fi(x)=0, однако их наличие никак не сказывается на особенностях задачи, поэтому для простоты выкладок такие условия рассматривать не будем. Задача (2.1) относится к задачам нелинейного программирования [7], однако имеет специфический характер, обусловленный наличием комплексной переменной и функциями от нее. Ниже показано, что к подобному виду приводит формализация некоторых важных прикладных задач из области синтеза систем управления.
   Специфический характер задачи состоит в том, что при записи уравнения связи в форме равенства нулю вещественной и мнимой составляющих функции F, эти два равенства независимы и их левые части связаны друг с другом уравнениями Коши-Риммана.
   Приведем необходимые условия оптимальности и расчетные соотношения, необходимые для формализации задачи. Для этого представим комплексную функцию F(x,S) в традиционной форме в виде суммы вещественной R(x,,) и мнимой I(x,,) составляющих:
  
   F(x,S)= R(x,,)+ jI(x,,) (2.2)
  
   Условие (1) в таком случае распадается на два:
  
   R(x,,)=0 (2.3)
  
   I(x,,)=0 (2.4)
  
   Отметим, что условия (2.2), (2.3) не являются независимыми. Кроме того, R() - четная, а I() - нечетная функция относительно аргумента .
   Для решения задачи (2.1) с условиями в форме (2.3),(2.4), следует составить функцию Лагранжа [7]:
  
   L=0f0(x)+1 R(x,,)+ 2I(x,,), (2.5)
  
   где 0,1 и 2 - множители Лагранжа. Применение теорем Куна-Таккера позволяет записать необходимые условия оптимальности рассматриваемой задачи:
  
  
   dL/dx=0 0f0(x)/x+1R()/x+2I()/x; (2.6)
  
   dL/d=0 1R()/=-2I()/; (2.7)
  
   dL/d=0 1R()/=-2I()/; (2.8)
  
   Специфичность поставленной задачи позволяет отказаться от традиционной схемы решения. Вместо этого целесообразно получить дополнительные условия, не содержащие - множителей, и затем добавить эти условия в исходную постановку.
   С этой целью рассмотрим условия (2.3), (2.4). Вид вошедших в (2.3), (2.4) уравнений дает основания для вывода об инвариантности оптимального решения к знаку . Другими словами, если (2.3), (2.4) выполняются при *=0, то они должны выполняться и при *= -0. Действительно, выражение (2.3) при изменении знака не изменяется, а в (2.4) только знак, что не нарушает этого равенства.
   Рассмотрим выражение (2.8). Сразу можно отметить, что R()/ - - нечетная, а I()/ - четная функции от . Условие (2.8) позволяет сделать следующий вывод:
   Утверждение 1: На оптимальном решении выполнены условия вида:
  
   R()/=0 (2.9)
  
   I()/=0 (2.10)
  
   Доказать это утверждение можно следующим образом:
   Предположим, что при =0
  
   R()/=М0 I()/=КМ0
  
   где К=-2/10 - коэффициент пропорциональности между R()/ и I()/ из(2.7). Тогда при =-0 R()/=-М в силу нечетности R()/ и I()/=КМ в силу четности I()/. Таким образом получаем, что на оптимальном решении М=-М, откуда следует, что М должно быть равным нулю. Тем самым утверждение доказано.
   Теперь воспользуемся теоремой Коши - Римана [10] связывающей между собой частные производные от аналитической функции комплексной переменной по вещественному и мнимому аргументам:
  
   R(x,,)/=-I(x,,)/; (2.11)
  
   R(x,,)/=I(x,,)/; (2.12)
   Объединяя (2.9) и (2.12) получаем:
  
   R(x,,)/=0; (2.13)
  
   I(x,,)/=0. (2.14)
  
   Выражения (2.13), (2.14) представляют собой дополнительные условия, которые следует добавить в исходную постановку задачи (2.1). В зависимости от размерности x может оказаться, что полученная система уравнений (2.3),(2.4),(2.13),(2.14) позволит сразу определить решение задачи, т.е. значения *, *, x*. В противном случае для вновь получившейся задачи с добавленными ограничениями:
  
   f0(x)maxx,, (2.15)
  
   при условиях (2.3),(2.4),(2.12),(2.13) следует вновь выписать необходимые условия оптимальности. При этом полезно учесть, что производные R()/, I()/, R()/, I()/ также связаны уравнениями Коши-Римана. После несложных математических выкладок получаем:
  
   2R(x,,)/2=0; (2.16)
  
   2I(x,,)/2=0. (2.17)
  
   Условия (2.16), (2.17) следует также добавить в постановку задачи. Подобная процедура должна быть продолжена до тех пор, пока полученная система уравнений вида:
  
   R(x,,)=0; I(x,,)=0;
  
   R(x,,)/=0; I(x,,)/=0;
   (2.18)
   2R(x,,)/2=0; 2I(x,,)/2=0.
  
   ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
  
   не позволит определить *, * и x*. Для решения системы потребуется (n+2) уравнения из (2.18). Отметим, что аналитическое решение системы уравнений (2.18) возможно лишь для некоторых простейших случаев. Вообще же решение следует получать численными методами, при этом полезно использовать особенности уравнений, входящих в (2.18), для конкретных задач.
  

2.1.2 Задача о предельной степени устойчивости линейной стационарной динамической системы

  
  
   Как пример практического применения полученных в разделе 2.1.1 рассмотрим задачу о достижении максимально возможной (предельной) степени устойчивости * в линейной динамической системе с передаточной функцией:
  
   W(x,S)=A(x,S)/B(x,S) (2.19)
  
   где S - комплексная переменная Лапласа, x - вектор параметров (коэффициентов) системы, доступных для изменения, А() и В() - некоторые функции от S и x.
   Известно, что устойчивость системы (2.19) (как и другие собственные свойства) полностью определяется видом корней ее характеристического уравнения:
  
   B(x,,)=0 (2.20)
  
   после подстановки S=-+j. Геометрически и можно интерпретировать как мнимую и вещественную координаты ближайшего к мнимой оси корня (2.20) на комплексной плоскости корней.
   Для рассматриваемой системы важной задачей является выбор таких значений составляющих x, при которых =*. Кроме того, определение представляет самостоятельный интерес, так как дает возможность получить оценки скорости затухания переходных процессов в системе.
   Задача о расчете системы (2.20) из условия достижения в ней * может быть представлена в форме:
  
   maxx,,; (2.21)
  
   -™0; (2.22)
  
   R(x,,)=0 (2.23)
  
   I(x,,)=0 (2.24)
  
   т.е. как задача о максимизации скаляра , не превосходящего , при заданных ограничениях на расположение корней характеристического уравнения (2.20).
  
  
   Постановка задачи в форме (2.19) - (2.24) позволяет использовать для решения результаты, полученные в разделе 2.1.1, в частности - -систему уравнений (2.18).
  

2.2 Пример решения задачи максимизации степени устойчивости в стационарной САУ

  
   Система регулирования (рисунок 2.1), состоит из объекта с передаточной функцией:
  
   Wo(S)=K/S- Kexp(-S)/S,
  
   и ПИ-регулятора с передаточной функцией:
  
   WПИ(S)=z1-z0/S.
  
   0x08 graphic
0x08 graphic
h(t)
   0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
   0x08 graphic
1,0
   0x08 graphic
0x08 graphic
t t
   0x08 graphic
0x08 graphic
   0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
   -
  
   0x08 graphic
   0x08 graphic
0x08 graphic
  
  
   Рисунок 2.1 Система регулирования
  
   Требуется выбрать z1 и z0 обеспечивающие достижение * в замкнутой системе и апериодический характер переходного процесса. Последнее требование соответствует вещественности ближайшего к мнимой оси корня характеристического уравнения системы, т.е. выполнение условий *=0 и I()0. Поэтому необходимые условия оптимальности в данном случае примут форму:
  
   R()=z0(K-Kexp())+z1(Kexp()-K)+2=0;
  
   R()/=z0(-Kexp())+z1(Kexp()-K+Kexp())+2=0;
   2R()/2=z0(-K2exp())+z1(2Kexp()+K2exp())+2=0.
  
   Полученная система уравнений линейна относительно z0 и z1, поэтому решение может быть сведено к решению одного нелинейного уравнения относительно . Подобное уравнение может быть решено численно на ЭВМ. После определения минимального положительного * удобно применить известные формулы Крамера [10]. В результате для данной системы с К=0,5 и =4 получаем: *=0.7715; z0*=0.1273; z1*=0.0911.
   При расчете * для типовых законов регулирования на первый взгляд кажется, что величина * для ПИД-закона больше чем для ПД- или П-регуляторов, т.к. WПИД(S)=z0/p+z1+z2p и ПИД-регулятор при z0=0 превращается в ПД, при z0=0 и z2=0 в П-регулятор. Расширение же множества допустимых решений задачи может только увеличить *. Однако если к системе предъявляется требование астатизма, т.е. z0>0, то достижимая степень устойчивости для ПИ-регулятора оказывается, как правило, меньше, чем для П-регулятора, а * для ПИД- регулятора меньше, чем для ПД. Поясним причину этого факта.
   Для объекта регулирования с передаточной функцией:
  
   Wo(S)=Kexp(-S)/(b0+b1S+...+bnSn)=Kexp(-S)/B(S) (2.25)
  
   при введении в закон регулирования интегральной составляющей z0/S степень устойчивости для малых значений z0 близка к нулю, а затем с ростом z0 увеличивается до некоторого предела, определяемого условиями (2.23), (2.24). Действительно, перепишем условие R()=0 для объекта (2.22) и ПИД-регулятора в форме:
  
   z1=-B(-)/Kexp()+z0/+z2. (2.26)
  
   При малых корень этого уравнения приблизительно равен:
  
   1—z0/(z1+b0K).
  
   Таким образом, степень устойчивости системы, а она равна минимальному из корней уравнения (2.26), при малых значениях z0 сколь угодно близка к 1. Если z1 и z2 найдены из условия предельной степени устойчивости для системы с ПД-регулятором, то введение астатизма в систему сначала (при малых z0) скачком уменьшает степень устойчивости до 1, в дальнейшем она возрастает до * (рисунок 2.2).
  
  
  
   0x08 graphic
   0x08 graphic
0x08 graphic
*ПД
  
   0x08 graphic
0x08 graphic
*ПИД
  
  
  
  
   0x08 graphic
   z0* z0
  
   Рисунок 2.2 Влияние астатизма на * в типовых системах
  
   Аналогично могут быть заданы другие условия на расположение корней характеристического уравнения, например, требование нахождения корней в заданной области D (рисунок 2.3), характеризующейся параметрами m=tg() и .
  
  
   0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
jIm
   0x08 graphic
  
   0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
D Re
   0x08 graphic
0x08 graphic
  
  
  
  
   Рисунок 2.3 Ограничения налагаемые на расположение корней характеристического уравнения системы
  
   Один из этих параметров может быть фиксирован, другой подлежать оптимизации. В качестве критерия может быть выбран и интегриральный функционал, зависящий от вектора x, экстремум которого требуется найти при заданном расположении корней.
  
  
  
  
   20
  
  
  

W0(S)

  

WПИ(S)

  
  
  
 Ваша оценка:

Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"