Глава 4.
Преобразования Лорентца

Если происходит событие - прибытие корабля в порт, то это значит, что корабль и порт находятся в одной и той же точке пространства в одно и то же время. А коль уж она одна и та же, то работники космодрома и пилоты корабля могут договориться пометить её одинаковым моментом времени и одинаковыми координатами в своих ИСО.

То есть, если когда корабль прибывает на космодром, и его часы показывают t_p, а часы космодрома T_p, то от времени событий, зафиксированных в журнале корабля надо отнимать величину t_p, а от времени событий космодрома - величину T_p.

Тогда и в журнале космодрома, и в журнале корабля, событие прибытия корабля на космодром будет соответствовать моменту времени 0 (нуль).

Если ещё условиться, что часы космодрома и корабля считают время в одну и ту же сторону, например, в положительном направлении. Ведь по идее на нашем приборе мы можем отсчитывать время назад. Например, если считать - сколько времени отнимается от нашей жизни с каждым атомным переходом.

Но мы условимся, что время будем отсчитывать вперёд и на корабле и в космодроме. То есть считать, не сколько времени отнялось от нашего будущего, а сколько прибавилось к нашему прошлому. Тогда отрицательное время будет соответствовать событиям, произошедшим до прибытия корабля на космодром⁽⁵⁾.

И вот самый интересный вопрос: зачем все эти фокусы с часами? Разве они не должны показывать одно и то же время для одних и тех же событий? Давайте разбираться дальше.

В первом случае, когда наше взаимодействие распространялось со скоростью звука, и мы рассматривали всё происходящее только в одной ИСО - связанной с портом, мы никак не учитывали, что скорость распространения звука должна быть равна какой-то конкретной величине во всех ИСО. Относительно порта звук двигался с одной скоростью, относительно корабля - уже с другой (о чём мы не упоминали).

В данном случае, такое однобокое рассмотрение не даст нам полной картины происходящего. Чтобы получить правильные формулы, нам надо учитывать, что сигнал движется относительно корабля с той же скоростью, что и относительно космодрома. И этот факт можно скомпенсировать только в том случае, если учесть, что в ИСО корабля и в ИСО космодрома одно и то же событие может происходить в разные моменты времени. В голове не укладывается, и представить такое трудно, поэтому единственный способ разобраться в происходящем - прибегнуть к логике и математике.

Напрашивается вопрос - о какой логике может идти речь? Как пишут различные популяризаторы науки, это не укладывается в рамки "Здравого Смысла" (кто не ленится, берёт слово "Здравый Смысл" в кавычки). Другие же, считают что Здравый Смысл нам вообще не товарищ и ставить кавычки не считают нужным.

Но мы не будем принебрегать здравым смыслом. Мы подумаем так:

Под равноправностью подразумевается то, что физические законы выполняются не зависимо от того, вдоль какого направления, в какой точке пространства и в какой момент времени мы их рассматриваем, и уравнения, описывающие эти законы, имеют одинаковый вид, а мировые константы - одинаковую величину. Переменные, входящие в уравнения (координаты, время, масса, энергия и т.п. могут быть разными в разных точках пространства, в разные моменты времени и в разных направлениях, поскольку их значения не являются законами природы).

Как и в перовом случае, нам удобнее будет проводить рассмотрение, если корабль и космодром лежат на одной прямой. Но прежде чем перейти к этому простому случаю, следует сказать следующее: Если корабль и космодром друг относительно друга в пространстве расположены произвольно, то скорости придётся рассматривать как вектора с несолькими компонентами (рис. 5)

Рис. 5. Корабль пролетает мимо космодрома

Каждая компонента вектора скорости распространения сигнала может быть равна произвольной величине (модуль которой не превышает скорости света!). Но модуль вектора скорости распространения сигнала всегда будет равен величене c.

Мы для простоты будем рассматривать движение, когда корабль и космодром лежат на одной прямой. Конечно, формул для общего случая мы таким образом не получим, но в рамках данной статьи ставится задача рассмотрения явления лишь на качественном уровне, чтобы понять суть происходящего.

На рисунке 6 показана рассматриваемая ситуация.

Рис. 6. Космодром лежит на пути корабля

Обозначения

Большими буквами (X, T) будем обозначать координату и время, отсчитываемые в ИСО космодрома, а маленькими буквами (x, t) координату и время, отсчитываемые в ИСО корабля.

ИСО корабля и ИСО космодрома включают такие компоненты, как начало координат, некую точку, которую обозначим для космодрома O, а для корабля o. Так же они содержат часы, и последний компонент - измеритеьлная шкала (линейка). Будем считать, что оси обеих ИСО и вектор скорости сонапаравлены (Рис. 7).

Рис. 7. ИСО для корабля (показана красным цветом, координаты в ней отмечены снизу) и для космодрома (показана синим цветом, координаты в ней отмечены сверху)

И как было оговорено ранее, условимся, что прибытию корабля в порт соответствует нулевой момент времени: t = 0 и T = 0.

Формулы, по которым можно пересчитывать время происшествия события и координату, в которой это событие произошло, называются преобразованиями Лорентца. Вот их мы и будем выводить.

Преобразования Лорентца (одномерный случай)

1. Коэффициент для пересчёта

Сначала мы будем рассматривать только соотношение между моментами времени отправки сигнала из одного пункта и его приёма в другом пункте. Нашими пунктами будут космодром и корабль, а

В силу принятых нами условий, связь между координатамиT, X и t, x должна быть линейной, то есть

t = k_t·T + b_t

x = k_x·X + b_x

Тогда все формулы, описывающие физические законы, будут иметь один и тот же вид и отличаться друг от друга лишь коэффициентами k_t, k_x и b_t, b_x. То есть, синусоида при этом не превращается в логарифмическую функцию, или многочлен второй степени при этом не станет многочленом третьей степени.

Можно выбрать начала отсчёта обеих систем так, чтобы они совмещались в нулевой момент времени (оговорено выше), тогда наши формулы упрощаются:

t = k_t·T

x = k_x·Х

То есть, почему уходят из формул свободные члены (b_t, b_x)? Когда дело касается уравнения прямой, а мы сейчас рассматриваем именно такие уравнения, то свободные члены в функции отвечает за сдвиг прямой вдоль оси абссцисс. Такая прямая не проходит через нуль координат. Наши же прямые все проходят через нуль координат - мы поставили такие условия для простоты. Стало быть, когда корабль движется относительно космодрома, точка o перемещается относительно O по линейному закону, то есть перемещение между этими точками линейно изменяется со временем и равно:

s =T·v = t·v.

Здесь перемещение может быть как отрицательным (при отрицательном времени (обратный отсчёт)), так и положительным. Напомним, что перемещение - это не длина отрезка, на который сместился объект, а в общем случае вектор. Поскольку у нас случай одномерный, вектор имеет лишь одну компоненту.

Пусть в момент времени T₁ (по часам космодрома) из точки O вылетает световой сигнал. Когда этот сигнал придёт в точку o, часы корабля (надо смотреть по часам, расположенным в точке o), будут показывать момент времени t. Тогда ввиду линейности связи между координатами и временем в наших системах, время t должно выражаться линейно черезT₁. При этом, если бы наше T₁ было бы равно нулю, то и t должно было быть нулевым - мы приняли такое условие, см. выше.

Таким образом:

t = k_t·T₁

В силу изотропности прострнатства (см. условия выше) коэффициент k_t может зависеть только от абсолютного значения скорости v, но не от её направления.

Далее, в точке o наш световой сигнал сразу отражается и возвращается в точку O в момент времени T₂ по часам космодрома.

T₂ = k_t·t

Подставим сюда t из предыдущей формулы и получим:

T₂ = k_t²·T₁

Из правила синхронизации часов следует, что момент времени по часам космодрома, когда наш свет отражался от точки o:

где T₁ - момент отправки сигнала, T₂ - момент возвращения отразившегося сигнала.

Чему равно t₁ и t₂, мы уже написали, осталось подставить эти выражения в данную формулу и получить после некоторых математических преобразований:

Далее обратим внимание на то, что за время |T| (которое отмеряется от нулевого момента времени), точка o переместится на |X_o| =v·|T|. Здесь не даром взяты модули. Потому что само по себе T - момент времени, который может иметь как положительную (удаление корабля от космодрома, прямой отсчёт) так и отрицательную (приближение корабля к космодрому, обратный отсчёт) величину. X_o - координата, а |X_o| - расстояние от точки с координатой X_o до начала отсчёта.

Такое же самое расстояние свет проходит за время T - T₁ (с момента T₁, когда он отправился до момента T, когда он пришёл): X_o = c·(T - T₁).

Таким образом:

v·T = c·(T - T₁)

Подставив сюда значение T из предыдущей формулы, получим:

v·(k_t² + 1)·T₁/2 = c·((k_t² - 1)·T₁/2)

модули можно в данном случае расписать так:

v·(k_t² + 1)|·|T₁/2 = c·(k_t² - 1)·T₁/2

и далее сократить:

v·(k_t² + 1) = c·(k_t² - 1)

Отсюда:

Извлекая из этого выражения квадратный корень, найдём k_t.

Сразу видно, что если бы у нас скорость v превышала скорость света, коэффициент получился бы мнимым. И что бы эта мнимость означала? Как бы следовало её понимать? Оставим выяснение этого вопроса на потом.

Преобразования для времени и координаты

Вы, наверное, уже устали. Но это ещё не всё! Мы нашли только коэффициент для пересчёта моментов времени получения/отправки одних и тех же сигналов между точками O и o. А нам надо ещё найти формулы для преобразования координат и времени между любыми точками ИСО космодрома и корабля.

Чтобы найти эти формулы, будем считать что в точке координатами X в ИСО космодрома и x в ИСО корабля происходит событие A. По часам корабля этому событию соответствует момент времени t, а по часам космодрома - T. Сигналом о событии А может служить свет, отразившийся от сцены события А.

Сигнал о событии А придёт в точку o в момент времени:

t₂ = t + x/c

А в точку O:

T₂ = T + X/c

Поскольку связь между моментами получения сигнала о событии А линейна, то:

t₂ = k_t·T₂

И подставив сюда T₂ и t₂, выраженные через T и t - получаеам уравнение:

(t + x/c) = k_t·(T + Х/c)

С другой стороны, через координату и скорость света мы можем вычислить, в какой момент времени нужно выслать световые сигнаы из точек o и O, чтобы эти сигналы встретились с этим событием, то есть прибыли в точку его происшествия в момент его происшествия.

И эти моменты времени вычисляются так:

t₁ = t - x/c

T₁ = T -X/c

Эти моменты времени тоже связаны линейно, через найденный нами коэффициент:

t₁ = k_t·T₁

Подставив сюда выражения для T₁ и t₁ - получаеам:

(t - x/c) = k_t·(T - X/c)

Таким образом, получилось два уравнения, связывающих моменты времени и координаты для наших систем t, x, T,X.

Чтобы не подниматься вверх, приведём здесь их ещё раз:

(t + x/c) = k_t·(T + x/c)

(t - x/c) = k_t·(T - x/c)

Расписывать здесь, как они решаются - не будем. Отметим только, что надо выразить координату и время одной системы через кординату и время другой. Итак, можно решить эти уравнения относительно X иT, либо относительно x и t, таким образом мы сможем получить как прямые, так и обратные преобразования:

Следует обратить внимание, что мы получили преобразования не для времени, когда наблюдатели в точках o и O с некоторым опозданием узнают о событиях, а для истинных моментов времени. То есть, если бы в точках x и X, где происходит событие А, стояли часы, связанные с соответствующими системами отсчёта, и по этим часам прямо в месте события было бы зафиксировано время происшествия этого события, то показания этих часов не совпали бы.

И ещё надо обратить внимание на тот факт, что данные преобразования исключают эффект Доплера. То моменты времени, фигурирующие в формулах - это не моменты получения сигнала о событии, а правильное время происшествия события.