Путенихин Петр Васильевич. Показательная функция для 2м-диаграммы Пенроуза

Оглавление

Диаграмма Пенроуза для вечной Черной дыры

Преобразование уравнения геодезической для показательной шкалы

Нелинейность времени на диаграмме Пенроуза для Черной дыры

Построение мировой линии произвольной функции

Уравнения преобразования для точки

Пример использования диаграммы "Вечной черной дыры"

Демонстрация: секундомеры на 2М-диаграмме Пенроуза

Литература

Диаграмма Пенроуза для вечной Черной дыры

В литературе можно встретить наглядные графические иллюстрации процесса коллапса нейтронной звезды - так называемые диаграммы Пенроуза для вечной черной дыры. Можно заметить, что на этих диаграммах не всегда есть подпись, обозначающая горизонт событий r = 2М. Это либо скрещивающиеся линии в центре диаграммы, либо её левые ограничивающие горизонты. Смысл этих горизонтов понятен - это предельные расстояния, до которых могут дойти геодезические, после чего они падают на сингулярность. Здесь мы не будем рассматривать эти сингулярные процессы, а рассмотрим лишь саму возможность создания таких диаграмм, поскольку есть сомнения в возможности сочетать приписываемые им свойства, обозначения.

Весьма красочно и наглядно такая диаграмма изображена на рисунке

Рис.1 Диаграмма Пенроуза для Черной дыры [1]. Диаграмма соответствует традиционному изображению диаграммы шварцшильдовской Черной дыре.

На рисунке горизонты событий Черной дыры - скрещенные линии в центре - помечены текстовыми обозначениями "Горизонт событий" и подобные. Значение координаты этих горизонтов должны быть обозначены как r = 2M.

Рассмотрим эти горизонты внимательнее. Первый вопрос, который они вызывают, а чему равна координата центра правого ромба (квадрата)? Вряд ли удастся найти в литературе и интернете эту информацию. Но для реалистичных построений без неё невозможно обойтись. Действительно, слева координаты нам точно известны - это 2M. Справа - бесконечность. Отсюда с неизбежностью следует, что мы определенно можем присвоить центру квадрата какое-то конечное значение координаты r. По большому счету, это значение мы можем выбрать любым, на свой вкус. Можно 10М, можно 1000М и даже 10¹⁶М или 10^-16М. Это не противоречит смыслу рисунка. Просто этим выбором мы как бы устанавливаем своё удаление от горизонта Черной дыры, считая своё положение в центре координат. Можно взять значение r = 2.125M или 4М, допустимо всё. Однако, последнее значение более предпочтительно, поскольку имеет довольно хороший смысл. Рассмотрим подробнее.

Преобразование уравнения геодезической для показательной шкалы

Дело в том, что две половины диаграммы Вселенной (область I) неравноценны в смысле шкалы расстояний. Нам ведь нужно нанести на диаграмму сетку, деления по оси r, гарантировав при этом конформность и горизонты. Угол наклона всех светоподобных геодезических должен быть равен 45 градусам. Равномерная сетка при этих условиях невозможна в принципе. Вправо мы можем легко нанести деления с интервалом, например, в 1М. В этом случае деления, согласно уравнениям конформного преобразования, будут укорачиваться по мере удаления вправо на бесконечность. Но влево это не так наглядно, там всего два целочисленных деления или конечное их количество. При этом мы точно знаем, что последнее деление пройти вообще невозможно, оно является горизонтом. Чем ближе мы будем к горизонту, тем медленнее будем к нему приближаться. Построить такую геодезическую, имея всего одно (или несколько) деление на интервале, не просто проблематично, а невозможно.

Можно поступить следующим образом. Вправо, как мы видели, деления отображают одинаковые интервалы, но изображены разными отрезками. Шкалу влево мы так же можем разметить отрезками разного размера. Только они уже не будут отображать одинаковые интервалы. Для того, чтобы уложить на левой стороне длиной 2 бесконечно большое число интервалов, нужно, чтобы в сумме они давали ровно 2, то есть, шкалу от 2 до 4.

В математике такая последовательность хорошо известна, это степенной ряд 2^-ⁿ. Сумма этого бесконечного ряда равна 2, что нам и нужно. Значения делений, то есть, метки на оси r будут иметь вид:

2М ... 2.03125М, 2.0625М, 2.125М, 2.25М, 2.5М, 3М, 4М

Шкала заканчивается числом 4М в центре области I. Легко заметить, что длины отрезков (интервалы) и есть значения членов ряда 2^-ⁿ

Такая "красивая", целочисленная в степенях двойки шкалы описывается простым уравнением y(n) = 2^-ⁿ. Номера делений шкалы справа налево будут соответствовать номерам n, а значения делений - соответствующим числам 2^-ⁿ:

При этом возможны все промежуточные, нецелые значения параметра n. Алгоритм преобразования текущих значений r в новые r_n простой функциональный r_n = 2^-^r. То есть, чтобы найти деление, соответствующее некоторому значению r, нужно просто возвести в степень r основание 1/2. При бесконечном возрастании текущих координат события, преобразованные координаты r будут, как видим, стремиться к горизонту событий r = 1. Следовательно, граница разделения шкалы r на такой диаграмме Пенроуза - это значение 3M. При больших значениях, до этой точки r_n = r, а после него, меньших, чем 3М - преобразованные по указанному уравнению.

Таким образом, на рассматриваемую диаграмму мы наносим линии сетки r точно так же, как на обычную диаграмму Пенроуза [2], отображающую всё пространство-время, но метки делений указываем иначе. Однако, в этом случае возникает другая проблема - как нам изображать геодезические при пересечении границы раздела r = 3M? Действительно, если мы будем строить светоподобную геодезическую влево, то её любое уравнение будет давать значения, заведомо превышающие r = 2. Например, уравнение r = 3 - t. Уже в момент времени t = 1, координата окажется в точности на горизонте событий. А дальше?

Шкала расстояний получилась вполне корректной, но теперь нам нужно как-то "уложить" в этот интервал геодезические бесконечной длины по их уравнениям. Для того, чтобы разобраться с этим, рассмотрим рисунок. На рисунке изображена сформированная нами диаграмма Пенроуза с нужным горизонтом событий r = 2 и светоподобной геодезической r = 3 - t. На диаграмме она показана красной линией.

Рис.2 Диаграмма Пенроуза для вечной Черной дыры

Справа на рисунке приведена таблица перевода обычных координат геодезической в координаты с горизонтом r = 2 для произвольной функции r = 3 - t. Хорошо видно соответствие исходной шкалы и шкалы, сжатой до горизонта r = 2. Можно считать, что для интервала r < 4 геодезическая построена по данным из первой и третьей колонок, а для интервала r >= 4 из первой и второй колонок. Таблица составлена для эмпирического уравнения преобразования координат r₂ = 2 + 2^-3+(3-^t⁾

На самом деле, геодезическая целиком построена по данным из первых двух колонок, по шкале, влево негласно имеющей прежние обозначения 4, 3, 2, 1, 0, -1 и так далее. В обоих случаях (двух разных шкал) считается, что текущее время, его изменение соответствует неподвижному наблюдателю. Но координата r соответствует его наблюдениям по обозначениям сжатой шкалы 4, 3, 2.5, 2.125 и так далее. Это означает, что никакая геодезическая не сможет достичь горизонта. При возрастании времени до бесконечности, конечная точка всегда будет меньше 2.

Итак, шкала диаграммы в диапазоне от 2 до 3 сжата в соответствии со степенной функцией 2^-ⁿ и координаты на ней хорошо аппроксимируются функцией r₂ = 2 + 2^-³⁺⁽³^-^t⁾, подобранной для конкретной геодезической r = 3 - t. Поэтому на экран можно выводить информацию для радиуса r геодезической из колонки 3. Но время t из колон^-ки 1 мы использовать не можем, так как значения функции, радиусы r будут некорректными, не соответствующими этим моментам времени. Например, в рассмотренном случае r(1) = 2.5 ≠ 3 - (1) = 2. Следовательно, время тоже необходимо пересчитать, то есть: 2,5 = 3 - t, откуда, t = 0,5. Физически такое преобразование можно трактовать как замедление времени. Это значит, что для внешнего наблюдателя по мере приближения события к горизонту сокращается не только расстояние, но и темп хода часов в системе отсчета события.

Преобразования координат должны производиться уже после достижения r <= 4. Очевидно, что на интервале 3 < r < 4, график функции нелинейный по сравнению со шкалой диаграммы с левым бесконечным горизонтом, поэтому на этом интервале тоже необходимы преобразования. Чтобы различать эти два типа диаграмм - с бесконечным горизонтом слева и с горизонтом 2М, будем последние называть 2М-диаграммами Пенроуза.

В конечном счете, формально, в словесной форме алгоритм преобразований можно представить так:

Если r(t) <= 3 то

Преобразовать и вычислить новые r и t по уравнениям:

r_new = 2+2^-3+r(t)

t_new = f(r_new)

где f(r_new) - обратная функция для r(t)

Однако, эти эмпирические уравнения имеют подозрительную константу в показателе степени - минус 3. Она в точности равна свободному члену в рассмотренном уравнении геодезической, что должно насторожить. Поэтому для уточнения рассмотрим ещё одно произвольное уравнение геодезической: r = 2.5 + t. Она изображена на диаграмме зеленой линией. В правой дополнительной таблице зеленым фоном отмечены отброшенные данные. И мы обнаруживаем несоответствие. Что-то в уравнении не учтено.

Рис.3 Отклонения в функции преобразования для диаграммы Пенроуза

В правой таблице на рисунке видно, что нулевому значению времени, согласно используемому преобразованию, соответствует координат 2.707, хотя очевидно, что координата должна быть равна 2.5. Пробуем исправить явно удачное уравнение преобразования эмпирически, наугад, просто подбирая показатель степени, добиваясь, чтобы в точке t = 0 уравнение давало значение свободного члена. После нескольких попыток это удалось, и функция преобразования дала правильный результат:

Рис.4 Таблица подбора функции преобразования для диаграммы Пенроуза

Подбор оказался успешным, значение функции в нулевой точке 2.5 равно свободному члену. При этом исчезло подозрительное равенство константы в показателе степени и свободного члена уравнения. Построив по такому же алгоритму подбора, угадывания еще несколько таблиц, мы обнаруживаем закономерность в уравнениях преобразования. Уточним, что далее через r₂ обозначено значение r, преобразованное для диаграммы с горизонтом событий r = 2.

Итак, создаем несколько разных геодезических с уравнениями r = n - t и подбираем такое значение константы в показателе степени, чтобы значение функции в нуле соответствовало значению свободного члена уравнения r₂ = n - t (t = 0) = n. Рассматривая сформированные при подборе уравнения, обнаруживаем, что отрицательное слагаемое в показателе степени увеличивается по модулю на 1:

r₂ = 2+2^-3+(3+t)

r₂ = 2+2^-3,5+(2,5+t)

r₂ = 2+2^{-4,25+(2,25+t)}

r₂ = 2+2^{-5,125+(2,125+t)}

r₂ = 2+2^{-6,0625+(2,0625+t)}

Замечаем, что это увеличение целочисленное, причём, в конечном счете, в показателе степени свободный член уравнения просто исчезает, а остается только эта отрицательная прибавка:

r₂ = 2+2^-3+(³^+t)= 2+2^-⁰^-³⁺⁽³^+t)= 2+2^-⁰^+t

r₂ = 2+2^-3,5+(2,5+t)= 2+2^{-1-2,5+(2,5+t)}= 2+2^-1+t

r₂ = 2+2^{-4,25+(2,25+t)} = 2+2^{-2-2,25+(2,25+t)} = 2+2^-2+t

r₂ = 2+2^{-5,125+(2,125+t)} = 2+2^{-3 - 2,125+(2,125+t)} = 2+2^-5+t

r₂ = 2+2^{-6,0625+(2,0625+t)} = 2+2^{-4-2,0625+(2,0625+t)} = 2+2^-4+t

Следовательно, для уравнения светоподобной геодезической вида r₂ = a + t можно записать обобщенно в виде r₂ = 2+2ⁿ⁺^t, где n = 0, -1, -2, -3, -4 и так далее означают номер линии r = const влево он нуля (r = 3M).

Замечаем, что прибавка в точности равна показателю степени двойки для дробной части свободного члена. То есть, нужно от свободного члена отнять целую часть, равную 2 для всех уравнений, и записать дробную часть как степень числа 2. Для рассмотренных уравнений показатели степени будут целыми отрицательными порядковыми числами от 0 до -4. Чтобы преобразовать этот показатель в искомую величину, иначе, найти по известному r₂ соответствующий её номер линии на шкале, логарифмируем, в результате чего получаем произведение нашей "прибавки" на логарифм основания - 2. Следовательно, окончательно получаем выражение:

Другими словами, для геодезической вида r = a - t уравнения преобразования имеют вид r₂ = 2 + 2ⁿ⁺^t , где n определяется из полученного уравнения. Убедимся в этом:

r = 2,125 + t

n = ln(2,125 - 2)/ln2 = ln(0,125)/ln2 = ln(2^-3)/ln2 = -3ln2/ln2 = -3

Уравнение в рассмотренном выше формате будет иметь вид:

r₂ = 2+2^-³⁺^t

Как видим, результат в точности совпал с результатом проведенных выше рассуждений. Поэтому уравнения в алгоритме преобразования координат запишем в виде

r_new = 2+2^{ln(a-2)/ln2+t}

t_new = f(r_new)

Считаем очевидным, и это нисколько не противоречит полученным соотношениям, что значение свободного члена может быть любым, а не только с рассмотренной специфической дробной частью, поскольку эти уравнения на интервале a > 2 являются гладкими, непрерывными функциями без экстремумов. Если это предположение неверно, то между "правильными точками" с рассмотренными специфическими дробными частями неизбежно будут изгибы.

Наши выкладки проведены для уравнений геодезических вида r = a + t. Но фактически полученные преобразования относятся к конкретным точкам в пространстве, независимо от времени их возникновения. То есть, свободный член на самом деле является полноправной пространственной координатой, и величина времени для него не важна. Другими словами, мы можем вычислить произвольную координату как значение функции r(t_n), но поместить её, например, в нулевую точку времени:

r_new = 2+2^{ln(r(tn)-2)/ln2+0} = 2+2^{ln(r(tn)-2)/ln2}

t=0

Понятно, что теперь эта координата однозначно определена как r_new = const и ничто не препятствует тому, чтобы поместить её вообще в любую точку времени, в том числе и в точку времени, для которого она изначально и была вычислена r_new(t). Это означает, что уравнения преобразования можно корректно переписать в виде:

r_new = 2+2^ln⁽^r(t)^-2)/^ln²

t_new = f(r_new)

В общем случае уравнение геодезической некоторого события в системе отсчета неподвижного наблюдателя может давать при вычислениях значения координат t и r в пределах бесконечностей. Но в системе координат с горизонтом событий r = 2М вычисленная координата r сжимается таким образом, что её предельное значение снизу, в сторону убывания становится не меньше 2. Каждому преобразованному значению координаты r соответствует время, определяемое из уравнения геодезической. Очевидно, что это время тоже будет стремиться к какому-то пределу сверху. Поскольку время у неподвижного наблюдателя может возрастать до бесконечности, то такое ограничение времени для неподвижного наблюдателя физически выглядит как замедление темпа хода часов вплоть до их остановки в системе отсчета этого события.

Это явление описано в литературе, а на киноэкранах показано в виде сюжета с падающим на Черную дыру астронавтом. Постепенно падение замедляется, астронавт замирает, что и означает замедление и полную остановку его собственных часов, которая происходит на предельно близких расстояниях от горизонта событий Черной дыры r = 2M. В наших выкладках двойка взята именно из этого соотношения. Шкала расстояний и времени на 2M-диаграмме Пенроуза составлена из допущения M = 1 и может иметь такой вид:

Рис.5 Исходная диаграмма Пенроуза с левым горизонтом событий r = 2M

Теперь, используя координатную сетку диаграммы и уравнения преобразования координат, мы можем аналитически строить любые геодезические в пространстве, содержащем Черную дыру. Однако следует отметить, что сетка времени и расстояний должна соответствовать системе отсчета неподвижного наблюдателя. Для правой части после линии r = 3M это верно как для дистанций, так и для времени. Эта сетка условно равномерная, то есть все деления обозначает одинаковые интервалы. Но в левой части диаграммы, до линии r = 3M шкала расстояний имеет обратное сжатие, то есть, значения интервалов при смещении влево уменьшаются по степенному закону. Это вызвало, как отмечено выше, необходимость ввести новое время, время движущегося наблюдателя. Такое дополнение приводит к противоречивым и негативным последствиям. Рассмотрим их на примере динамической 2М-диаграммы Пенроуза для коллапса нейтронной звезды.

Нелинейность времени на диаграмме Пенроуза для Черной дыры

Для примера изобразим на полученной диаграмме коллапс нейтронной звезды с образованием Черной дыры:

Рис.6 Диаграмма Пенроуза для коллапса нейтронной звезды в Черную дыру

На рисунке показана мировая линия нейтронной звезды (красная) и мировая линия (синяя) наблюдателя, вращающегося вокруг коллапсирующей звезды на неизменном расстоянии 6М от её геометрического центра. Мировая линия звезды составлена на основе довольно условной истории. Некая давно образовавшаяся нейтронная звезда имела неизменный радиус 3М. В момент времени t = - 4 звезда начала поглощать внешнее вещество - газ, кометы, космический мусор и так далее. До момента времени t = - 1 масса звезды непрерывно увеличивалась, и, соответственно, увеличивался её радиус до примерно r = 3,5M. В этот момент масса звезды превысила критическую, и звезда начала стремительно сжиматься. При этом скорость падения в центр быстро достигла скорости света, что показывает светоподобный участок геодезической после момента времени t = 0. Дальнейший процесс коллапса показывает, что, сколько бы времени наблюдатель ни смотрел на звезду, он никогда не увидит её радиуса меньше 2. Это заметно из уравнения на диаграмме справа вверху.

Можно сказать, что диаграмма достаточно наглядно демонстрирует процесс коллапса нейтронной звезды. Однако, заметны её некоторые графические отличия от распространенных в литературе изображений этого процесса. Речь даже не о том, что на диаграмме не изображена сингулярность. На некоторых диаграммах нижняя часть показана некорректно. Область пространства, которую она отображает, искажает положение нижней точки i^-.

Рис.7 Две версии диаграммы Картера-Пенроуза для звезды, коллапсирующей в черную дыру a) [4, Рис.3.3], b) [5, fig.3]

Внимательное рассмотрение рисунков 6 и 7 приводит к неожиданному выводу. Для "вечной черной дыры" или коллапсирующей нейтронной звезды невозможно создать диаграмму Пенроуза с равномерной сеткой расстояний и времени. Вероятно, поэтому на подобных диаграммах никогда не указываются точные числовые значения линий t = const и r = const. Они попросту не могут быть константами. При таком константном назначении сетки 2М-диаграммы светоподобные мировые изобразить прямыми линиями будет невозможно. Вновь обратимся к рисунку 4 и рассмотрим светоподобную мировую линию красного цвета

Рис.8 Светоподобные геодезические на 2М-диаграмме Пенроуза, с горизонтом 2М

Эта геодезическая изображена прямой линией с указанием на словах, что время на ней соответствует часам "падающего" на Черную дыру наблюдателя. Но на самой диаграмме это не отображено, и на рисунке линии t = const выглядят как имеющие одно и то же значение на всем своём протяжении. Но, если исходить из этих фактических значений времени, а не из воображаемых показаний часов наблюдателя (словесных указаний), движущегося к Черной дыре, то светоподобные геодезические окажутся искривленными. Нужно просто построить эту геодезическую по точкам, по координатной сетке диаграммы. Рассмотренная красная геодезическая должна изгибаться влево вниз, если строить её по показаниям часов неподвижного наблюдателя:

Рис.9 Светоподобные геодезические на диаграмме Пенроуза с горизонтом 2М

В самом деле, если бы сетка слева r = 3M соответствовала тем же t = const справа от r = 3M, то с их использованием красная светоподобная геодезическая r = 2.5+t должна быть продолжена по зеленому пути. И, наоборот, если бы сетка справа от r = 3M соответствовала тем же t = const слева от r = 3M, то с их использованием красная светоподобная геодезическая r = 2.5+t должна проходить по синей траектории, и только с учетом нелинейности шкалы времени. Понятно, что даже при одновременном использовании разных значения t = const для одной и той же линии времени справа и слева от линии r = 4М эти два пути не могут совпасть, возникнет изгиб, излом, скачок в точке r = 2.5M.

Конечно, можно для светоподобных геодезических схитрить и молча строить их по очевидной синей траектории, поскольку она явным образом проходит через точку r = 2.5+t(=0). Но достаточно взглянуть на смежную, рядом расположенную область вдоль геодезической, как сразу будет видно, что в ней это уравнение светоподобной геодезической нарушается.

Можно предположить, что эта криволинейность присуща лишь рассмотренному варианту "сжатия" шкалы расстояний, на созданной специфической 2М-диаграмме. Однако, рассуждая логически можно прийти к выводу, что это неустранимая особенность, присущая вообще любой возможной переменной координатной сетки, для которой хотя бы одна из осей имеет сетку линий постоянных значений r = const или t = const. Иначе эту особенность можно сформулировать следующим образом. На диаграмме Пенроуза с конечной величиной одного из горизонтов (2М-диаграмме) невозможно изобразить светоподобную геодезическую в виде прямой линии. Изображение на таких диаграммах световых конусов и прямолинейных нулевых геодезических становится недопустимым, некорректным.

Конформность отображения автоматически нарушается. Это становится очевидным, если рассмотреть рядом находящиеся "квадраты" координатной сетки такой диаграммы. Если по одной координате метки интервалов равны, то вторые стороны этих "квадратов" имеют различающиеся значения. Иначе говоря, для каждой точки линии времени мы должны указывать два разных значения - одно справа, другое слева:

Рис.9 Неравномерная шкала расстояний требует неравномерной шкалы времени

Как видим, для обеспечения прямолинейности нулевых геодезических на линии t по всей их длине нужно наносить индивидуальные показания. На рисунке показано, что справа от оси r = 4M линии времени по всей длине имеют значения t = const = 1, 2, 3, 4 так далее. Но слева на этих же линиях значения времени плавно убывают. Например, одна из линий на всём протяжении вправо от t = 4М имеет значение t = const = 2, а влево она имеет убывающие значения t = 1.5, 1.25, 1.125 и так далее. Только с такими значениями времени светоподобная геодезическая будет выглядеть прямой линией с наклоном в 45 градусов.

Каким же может быть выход из этой ситуации в "королевстве кривых лекал"? Существует несколько возможностей, не решающих проблему полностью, поскольку такое решение вообще невозможно. Самый рациональный - это отказаться от полноразмерных прямолинейных светоподобных геодезических. В этом случае, сетка диаграммы будет полностью соответствовать всем построениям. В сущности, это и означает построение всех, в том числе, и нулевых геодезических в этой сетке. В этом случае все линии времени постоянны t = const. Но светоподобные геодезические будут изображаться кривыми линиями. Эта возможность и рассмотрена выше.

Еще более радикальный способ - это устранение границы излома шкалы r в точке r = 3M. То есть, вся шкала от 2М до плюс бесконечности должна описываться без условных операторов, одной монотонной функцией. В данном случае это функция 2ⁿ. При использовании зависимости r_n = (2ⁿ + 2), шкала r будет иметь такую разметку:

Граничные математические значения параметра n - от минус до плюс бесконечности, а r, соответственно, изменяется от 2М до плюс бесконечности. Реальные значения зависят от технических параметров используемой вычислительной системы. В качестве нулевой точки может быть выбрано любое из значений ряда, поскольку наилучшее значение - нулевое - в этом ряду отсутствует. Можно предложить обоснованное и использованное выше значение r = 4M. В этом случае слева будет, по меньшей мере, одно целочисленное значение r = 3M. В теории Черных дыр, кстати, оно рассматривается как специфическое.

При такой разметке оси r и разметке t = const масштабная сетка не позволяет строить светоподобные геодезические в виде прямых линий. Однако, как показано на рисунке 9, позволить прямолинейные светоподобные геодезические может использование нелинейной шкалы времени. Анализ множества диаграмм, подобных изображенной на этом рисунке, позволил эмпирически обнаружить аналитическую зависимость времени от разметки сетки, позволяющую получить прямолинейные геодезические.

Значения времени на каждой линии, ранее обозначаемых как t = const, определяется выражением:

(1)

Где

n - номер линии r; n = 0 для r = 3М

m - номер линии t; m = 0 для оси r

Например, линия r = 10 имеет порядковый номер 3 от точки r = 3M. Если линия времени имеет номер 2, то есть, вторая линия вверх, считая он горизонтальной оси, то этой точке на диаграмме будет соответствовать время:

Сетка диаграммы сильно нелинейная, что можно увидеть из таблицы:

Таблица значений времени в точках m,n

Таблица соответствует движению слева направо, то есть в бесконечное будущее. Если скорость отрицательная, то есть движение из бесконечности к горизонту событий, справа налево, то знак у параметра m нужно изменить на противоположный.

Для демонстрации используем это уравнение при определении координат точек некоторой кривой r = at + b:

Находим значение параметра n (номера линии r на диаграмме) для этого значения функции:

Подставляем в уравнение для t_n:

Преобразуем степень логарифма, совпадающую с основанием логарифма:

Раскрываем скобки (теперь индекс у t можно отбросить):

Переносим все величины с t влево:

Находим значение t:

(2)

Этому значению t соответствует значение r:

(3)

И значение n:

(4)

Итак, для нанесения точки на 2М-диаграмму у нас есть исходные данные m, n и r(m). Значение m является параметром и обозначает текущую линию на диаграмме как некоторое псевдо-время, псевдо-настоящее. Значение реального времени в этой точке, значение самой функции в этой точке и номер линии n на шкале r находим из полученных уравнений (2), (3) и (4).

Проверим уравнения для некоторых значений функции r = t + 4. Это уравнение светоподобной геодезической, идущей в бесконечность через центр (r = 4M) координат диаграммы, в котором а = 1, b = 4. Находим первую точку для m₀ = 0, то есть на оси r:

Значение функции для этой точки:

Получен корректный результат n₀ = 1 (первая точка после 3М, то есть 4М), m₀ = 0, r₀ = 4, t₀ = 0. Найдем следующую точку m₁ = 1. Поскольку это светоподобная геодезическая, мы ожидаем результат n₁ = 2, r₁ = 6M. Подставляем параметры в уравнение и получаем n₁ = 2; r₁ = 6. Полученный результат соответствует ожиданиям. Для большей уверенности найдем ещё одну группу значений - m₂ = 2, n₂ = 3, r₂ = 10M, что соответствует следующей линии сетки расстояний. После подстановки в уравнения получены значения t₂ = 6, r₂ = 10, n₂ = 3. И вновь мы получили ожидаемые значения параметров, соответствующих на диаграмме прямой линии - светоподобной геодезической, проходящей через начало координат. Следовательно, можно считать уравнения корректными для линейных функций. Эту последовательность уравнений можно обобщенно записать:

Эта система уравнений соответствует мировым линиям с положительной скоростью, то есть, a > 0. Несложно убедиться, что для a < 0 эти уравнения дают неверные результаты. Многочисленные вычисления и графические построения привели к выводу, что для отрицательной скорости необходимо изменить знак параметра m:

Для большей определенности опишем алгоритм вычислений на словах. Сначала определяем номер и знак m линии t на диаграмме, на которой будем определять точку n некоторой функции r = at + b. После этого вычисляем значение времени, соответствующее функции, значение функции r и номер линии n, соответствующие этому времени.

Следует отметить, что на такой 2М-диаграмме линии t = const явочным порядком заменены на линии m = const. Эта замена позволила сохранить конформный вид светоподобных геодезических, то есть, угол их наклона в 45 градусов.

Построение мировой линии произвольной функции

Полученные уравнения сформированы для уравнений прямолинейных геодезических вида r = at + b. Вместе с тем, базовое уравнение (1) можно использовать и для уравнений произвольных функций и одиночных точек на диаграмме. Пусть задана функция в общем виде r(t). Тогда для любого её значения мы можем вычислить номер соответствующей метки на шкале r:

где

n - номер координаты для величины r(t);

r(t) - значение произвольной функции;

Для построения уравнения, мы выбираем какую-либо линию m, на которой ищем точку, соответствующую вычисленному значению функции r(t) и номеру n координаты этого значения. Сначала находим время, соответствующее вычисленному значению функции и m:

Значения r(t_m), n и m однозначно связаны, поэтому:

Преобразуем степень логарифма, совпадающую с основанием логарифма:

Мы считаем, что вычислили значение функции r(t) именно в этой точке, в которой время и есть t, которое мы обозначили теперь уже как t_m. Следовательно, последнее уравнение в этом случае справедливо. Выделим из него это время t_m:

(5)

Дальнейшие преобразования в общем виде невозможны. Нужно ввести конкретное значение функции r(t) и только после этого вычислить время. Но, нам нужно определиться со знаком параметра m. Очевидно, что направление движения линии, скорость её движения - это производная:

Следовательно, нужно вычислить производную в данной точке и взять её знак в качестве знака параметра. Рассмотрим частные случаи. Ожидаем, что эти решения дадут уже полученные выше результаты. Пусть r(t) = at + b, тогда:

Как видим, получен ожидаемый результат, совпадающий с выведенным выше выражением (2).

Уравнения преобразования для точки

Сгруппируем компактно полученные результаты для параметрического построения геодезических, описываемых линейными функциями. Напомним, что линии, которые ранее имели обозначение t = const, теперь имеют новое обозначение m = const. Задаем некоторое, текущее значение параметра m. Вычисляем время t, значение функции, соответствующее этому времени r(t) и номер линии n на шкале расстояний. При условии a >= 0. Если a < 0, значение m в уравнения подставляем со знаком минус. Запишем систему уравнений в общем виде:

Несложно догадаться, что из этих уравнений мы можем получить уравнения для построения одиночной точки. Для точки параметр а = 0, поэтому:

Из исходных уравнений для прямой следует, что каждому значению точки будут соответствовать две координаты r на диаграмме, поскольку значение параметра, скорости а не определено. Поэтому не определен и знак параметра m.

Пример использования диаграммы "Вечной черной дыры"

Выведем уравнение для гипотетической ситуации подлета и удаления от Черной дыры. Видимо, возможным уравнением движения такого космолета может быть квадратичная функция вида r = at² + v₀t + r₀. Это простейшее уравнение, описывающее ускоренное движение в некотором направлении с изменением движения в обратную сторону. Для определения конкретных значений параметров уравнения нужно задать три точки: исходную, конечную и точку вблизи горизонта Черной дыры. При этом желательно ограничить скорость движения скоростью света. Это правильный подход. Однако, мы вновь поступим эмпирически, просто взяв почти наугад уравнение. Один параметр в нём нам уже известен - это свободный член уравнения. Выбираем симметричное уравнение, поэтому в нулевой момент времени оно будет иметь минимум и этот минимум - расстояние до горизонта. Два других параметра, хотя и взяты наугад, но очевидно, что первый член, а - это ускорение, оно должно быть положительным, поскольку космолет должен удаляться от Черной дыры, а второй - начальная скорость, видимо, должен быть отрицательным. Итак, выбираем следующее уравнение:

r = 0,5t² - 2t + 2,25

Проверив уравнение на максимальную скорость:

v = r' = t - 2,

обнаруживаем, что лишь на отдельных участках скорость не превышает скорости света v < с = 1. Однако, оставим всё как есть, поскольку для нас сейчас важнее визуализация, чем соответствие физическим ограничениям. Пусть наш космолет умеет двигаться со сверхсветовой скоростью. Описанную ситуацию мы анимируем на разработанных выше динамических 2М-диаграммах Пенроуза. Вот что в результате вышло:

Рис.10 Мировые линии космолетов, движущихся к Черной дыре

На рисунке (анимации) изображены три мировые линии. Красным цветом выделена мировая линия придуманного нами космолета. Из глубин космоса он движется в направлении Черной дыры. Он встречает на своем пути другого путешественника, мировая линия которого изображена синим цветом. Встреча произошла на расстоянии чуть меньше 34 от геометрического центра Черной дыры:

Рис.11 Встреча двух космолетов на пути к Черной дыре - отмечена кружком и красной точкой на оси расстояний на дистанции, чуть меньше 34

Расстояние определено приблизительно, проведением линии r = const от точки встречи до оси расстояний. Далее наш космолет опередил второго участника и со сверхсветовой скоростью продолжил движение к Черной дыре. Скорость по мировой линии определяется её наклоном: он меньше 45 градусов. Почти вблизи от конечной точки путешествия, космолет ловит вспышку света, испущенную с самого горизонта Черной дыры, мировая линия которой изображена желто-оранжевым цветом.

Рис.12 Космолет ловит вспышку света (в синей окружности), испущенную с горизонта Черной дыры. Произошло это на расстоянии, чуть больше 2,25М от центра Черной дыры.

После этого сигнала космолет приближается к конечной точке своего маршрута и затем начинает удаляться от горизонта событий черной дыры. На диаграмме видно, что в момент наибольшего сближения с Черной дырой до расстояния 2,25М, скорость космолета падает до нуля: касательная к его мировой линии - вертикальная линия. В частности, это может означать, что космолет либо движется по орбите вокруг звезды, либо завис над нею под действием своих двигателей. Далее космолет либо крайне медленно начал удаляться от Черной дыры, либо продолжил своё движение по медленно раскручивающейся спиральной орбите. Это видно по тому, что даже через очень большое время, его удаленность от горизонта выросла лишь до 2.27М.

Рис.13 Два космолета вновь встретились на пути к Черной дыре (отмечено синей окружностью). По уравнению можно увидеть, что это произошло дистанции около 2,27

После встречи, что видно на диаграмме, наш космолет завис над горизонтом Черной дыры, а второй звездолет со скоростью света устремился к горизонту, на сингулярность. Ранее, на расстоянии ровно 4М от центра дыры, он поймал ту же вспышку света, которую до него видел наш космолетчик. На этом, можно сказать, история полета завершена.

Можно отметить, что математическая модель динамической диаграммы Пенроуза позволила произвести построения геодезических по аналитическим выражениям, функциям. Рассмотрим несколько контрольных точек, чтобы выяснить, насколько точно построения обеспечивают соответствие функций координатной сетке диаграммы.

Первое, очевидное - нулевая геодезическая построена строго по правилам диаграмм. Однако, внимательный читатель уже, видимо, обратил внимание на загадочные цифры рядом с вертикальной центральной линией диаграммы r = 4M. Эти цифры обозначают время, соответствующее рядом проходящей линии времени сетки:

Рис.14 Анизотропия времени на диаграмме Пенроуза. В одной точке пространства два разных значения времени диаграммы

На центральной оси времени возле точки регистрации вспышки вторым космолетом, отмеченной красной точкой в голубой окружности, стоит метка 1,5М. Уравнения, приведенные рядом с диаграммой, выделенные голубым овалом, отображают время на этой же диаграмме, соответствующее времени "настоящего" - оранжевой линии или параметру m. Видим, что показания времени для второго космолета в этой же точке равны t₁ = 5,81М, а время световой геодезической равно t_L = 1,5М. То есть, получается, что линия "настоящего" (параметра m) имеет два различных значения времени для одной и той же точки? Как это возможно?

Это противоречие, парадокс отражает анизотропию времени на диаграммах Пенроуза рассмотренного вида с горизонтом 2М. Выше, при построении сетки диаграммы, мы исходили из важного условия: мировые линии света должны иметь наклон 45 градусов. Поскольку шкала расстояний неравномерная, то для обеспечения такого наклона неизбежно потребовалось использовать подобную же неравномерную сетку линий времени, как показано на рисунке 9 и таблице следом за ним. Как было обнаружено, изменение знаков в таблице привело и к изменению её областей на диаграмме. Оказалось, что большие значения цифр не случайны. Они в точности соответствовали области вблизи бесконечного горизонта. Но в этой области направление движения было в обратном направлении - справа налево.

А это и означает, что в одну и ту же точку на диаграмме можно попасть от начала движения двумя путями - справа или слева. Поэтому полученные разные значения времени для каждой точки диаграммы одинаково верны, если учитывать направление прихода в эти точки. Как ни удивительно, но для корректного отображения мировых линий света необходимо смириться с этой право-левой анизотропией времени.

На рисунке 14 верхняя строчка отображает значение параметра m. Все построения на 2М-диаграмме параметрические и зависят от m. Оранжевая линии выглядит как линии "настоящего", выглядит как время. И это условное время очень сильно напоминает ньютоново абсолютное время. Все остальные времена - производные. Их отличие друг от друга является, по всей видимости, исключительным свойством именно 2М-диаграмм Пенроуза только этого класса - с горизонтом 2М и неравномерными шкалами расстояний и времени. Отнести их к области релятивистских эффектов, скорее всего, нельзя. Единственной точкой, в которой все значения времени тождественно равны - это ось расстояний, на которой независимо ни от чего любое время равно исходному - параметру m - и равно 0.

Демонстрация: секундомеры на 2М-диаграмме Пенроуза

Как и в случае диаграммы с бесконечными горизонтами, 2М-диаграмма так же является просто координатной системой. Поэтому мы вполне можем рассматривать в качестве координат не время и радиус, а обычные декартовы координаты x-y. И здесь возникает интересный вопрос: а как в этом случае проявится право-левая анизотропия? Ведь каждому значению x должны соответствовать два разных значения y. Для уравнений "прямых" линий всё, вроде бы, по-прежнему - величина зависит от скорости изменения функции. Но как быть с единичной точкой, об истории которой ничего не известно?

Допустим, нам нужно изобразить два отрезка с одинаковыми координатами концов. Очевидно, что точки отрезка будут изображаться последовательно, а это уже движение, имеющее и направление и скорость. Вот его и можно использовать. Однако, это не обязательно. Если использовать оба значения параметра m, то будут изображены два симметричных, зеркальных объекта. Эти объекты зеркальны относительно оси m = 0, а их диаграммные координаты однозначно определены параметрами m и n.

Таким образом, имея функции преобразования, можно построить любую геометрическую фигуру. Давайте построим "секундомер", такой же, какой был построен ранее на диаграммах с бесконечными горизонтами [3].

Построение "секундомера" можно произвести симметрично как с пересечением двух изображений друг с другом, так без пересечения, когда каждое из изображений будет полностью находиться в одной из областей - выше или ниже оси m = 0. Мы построим только одно полноразмерное изображение каждого из объектов для одного из значений знака m:

Рис.15 Секундомеры на координатной 2М-диаграмме Пенроуза

На рисунке изображены три объекта - две окружности, внутри которых вращаются стрелки - указатели, наподобие секундомеров, и группа из концентрических окружностей. Отметим со всей определенностью, что на рисунке изображены только окружности (и пара стрелок - указателей). Левая, каплевидная синяя окружность имеет радиус R = 0.6, а центр её расположен в точке с координатами x = 3, y = 0.1. Длина указателя или радиус окружности, которую описывает его конец, равны 0.53. Параметр преобразования m имеет положительный знак. Обратим внимание, что диаграмма явно "чувствует" знак параметра, поскольку в данном случае указатель секундомера движется в правильном направлении, по часовой стрелке. Однако, если мы принудительно поменяем знак параметра, то картинка просто перевернётся, зеркально отразившись от оси x. В этом случае направление движения указателя также изменится на противоположное.

Это видно на правой стороне диаграммы. Фрагмент отдаленно напоминает картину "Твердость памяти" Сальвадора Дали с "плавящимися часами". У нас на диаграмме опять же изображен круг, в котором вращается стрелка - указатель. Параметры окружности: радиус R = 5.66, а центр имеет координаты x = 10, y = 0. Длина указателя или радиус окружности, которую описывает его конец, равны 5,6. Знак параметра m выбран отрицательным и диаграмма это вновь "почувствовала", направив вращение указателя против часовой стрелки. Если для этой окружности мы выберем знак параметра m положительным, то "секундомер" просто отразится зеркально от оси x, а указатель будет вращаться как положено - по часовой стрелке.

Слева внизу диаграммы для наглядности изображена группа концентрических окружностей с центром в точке x = 3,1 и y = -1,9. Радиус самой большой окружности равен 1,1. Как и в случае с секундомерами, изменение знака параметра m на противоположный, в данном случае на отрицательный, приведёт к тому, что эта группа зеркально отразится от оси x и окажется в верхней левой части диаграммы.

Ещё раз обратим внимание: все криволинейные фигуры являются окружностями, а стрелки, указатели - прямыми линиями, вращающимися по окружности строго равномерно. Все визуальные деформации связаны исключительно с криволинейностью системы координат 2М-диаграммы.

Литература

1. Об истинных размерах черных дыр на пальцах, страница пользователя sly2m на livejournal,
URL: http://sly2m.livejournal.com/660502.html?thread=12401942

2. Путенихин П.В., Динамические диаграммы Пенроуза, 2016,
URL: http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/dp06.shtml

3. Путенихин П.В., Динамические диаграммы Пенроуза - сигнализация в прошлое, 2016,
URL: http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/dsl39.shtml

4. Хокинг С, Пенроуз Р. Природа пространства и времени. -- Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000, 160 стр.
URL: http://sceptic-ratio.narod.ru/po/kn4.htm

5. Hawking S.W., Particle creation by black holes. Commun. math. Phys. 43, 199 - 220 (1975).
URL: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103899181

Автор: Путенихин Петр Васильевич
10.11.2016

Комментарии: 1, последний от 17/10/2019. © Copyright Путенихин Петр Васильевич (pe_put@rambler.ru) Размещен: 10/11/2016, изменен: 15/01/2018. 54k. Статистика. Статья: Естествознание Иллюстрации/приложения: 58 шт. Скачать FB2		Ваша оценка:
Аннотация: Рассмотрены варианты механизма построения масштабной сетки диаграмм Картера-Пенроуза и возможный алгоритм преобразования координат для диаграмм с левым горизонтом событий 2М. Показана противоречивость используемых в литературе обозначений

Путенихин Петр Васильевич Показательная функция для 2м-диаграммы Пенроуза

Путенихин Петр Васильевич
Показательная функция для 2м-диаграммы Пенроуза