Теперь далее используем понятие факториала ,тесно связанного с фигурными числами треугольного типа ,точнее они выражаются через факториал , который видом похож на треугольную операцию , где последовательный ряд натуральных чисел ,начиная с единицы не складываются ,а перемножаются .Обозначается n! .
Для треугольных чисел формула выразится n(n+1)/2 , для пирамидальных выражение n(n+1)(n+2)/2×3 , для n-тетраэдральных чисел общая формула в итоге представляет n(n+1)(n+2)...(n+m)/(m+1)! или также n(n+1)(n+2)...(n+m-1)/m!
Верхнюю часть формулы полученной дроби или числитель можно свести к факториалу ,умножив для этого числитель и знаменатель выражения на (n-1)! ,тогда в числителе образуется факториал ,либо (n+m)! для первого выражения ,либо (n+m-1)! для второго ,или получаются формулы (n+m)!/(n-1)!(m+1)! и (n+m-1)!/(n-1)!m! .Вторая формула в математике предпочтительнее всего .Итак ,все фигурные числа треугольного типа просто свели к математическим отнршениями между факториалами или ,что то же самое ,выразили через факториалы .
Выражение ,которое вначале было в числителе ,именно n(n+1)(n+2)...(n+m) также в приложениях по математике называется факториальной степенью .Также имеется две разновидности факториальной степени :возрастающая и убывающая ,здесь представлена возрастающая .Соответственно убывающая факториальная степень выглядит через замену сложения вычитанием или n(n-1)(n-2)...(n-m) . Здесь можно раскрыть скобки ,но получается довольно сложное выражение ,трудно применяемое на практике .Но если для этого определить определить общую формулу ,тогда можно ,но это в следующий раз .Фактически возрастающая факториальная степень представляет как отношение двух факториалов,большего на меньшее .Здесь получили (n+m-1)!/(n-1)! .Подобно этому и треугольное умножение представляет разность двух треугольных чисел ,от большего числа вычитается меньшее .
Далее,если в треугольных числах и факториалах вместо натуральных чисел в переменной n подставить любое положительное действительное число ,то таким образом получим функцию .Соответственно их можно назвать как треугольные и факториальные функции ,которые образуют графики или непрерывные линии ,вырисовываемые на плоскости в прямоугольной системе координат .
Также факториальное выражение вида n(n+1)(n+2)...(n+m) можно привести к многочлену простым способом по теореме Виета ,в котором формулируются соотношения между корнями данного многочлена и его коэффициентами : выражение вида x(x+x1)(x+x2)...(x+xn),в котором x1,x2,...,xn представляют корни данного многочлена n-й степени : ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...d=o .Здесь коэффициенты уравнения a,b,c,...,d выражаются через корни x1,x2,...,образуя выражения в виде комбинаций данных корней уравнения ,выражения a=x1+x2+...+xn ,b=x1x2+x1x3+x2x3+...,...,d=x1x2x3...xn . Подобные выражения называются симметрическими функциями .Заменим x1,x2,x3...соответственно на натуральные числа из факториального выражения x1=>1, x2=>2,..,xn=>m тогда в итоге получим числьвые данные коэффициентов многочлена ,который получается при раскрывании скобок факториального выражения .То есть такое выражение n^m+(1+2+3...)n^(m-1)+(1×2+1×3+2×3+...)n^(m-2)+...+(1×2×3×...) .Но лучше если данный здесь расклад непонятен,то желательно считаю посмотреть темы соответственно по теореме Виета и симметрическим функциям в Википедии .В завершении если в выражении n(n+2)(n+2)+...+(n+m) представляющую из себя возрастающую факториальную степень заменить n на единицу то получим в итоге факториал из числа m или m! .Также интересно,что таким же образом по теореме Виета можно разложить бином Ньютона (a+b)^n,вернее разновидность,представляющее выражение (a+1)^n, тогда все корни получающегося при раскрытии скобок многочлена равны единице и коэффициенты вычисляются просто ,комбинируя единицы с операцими сложения и умножения ,вида 1+1+1+...,1×1+1×1+...,1×1×1+1×1×1+1×1×1+...,...,1×1×1×... .Но общая формула (a+b)^n включает при разложении на многочлен биномиальные коэффициенты тесно связаннные с фигурными