Исаев Александр Васильевич

Мы живем в... экспоненциальном мире!

У гуманитариев уже стало хорошим тоном публично (скажем, с экрана телевизора!) и кокетливо заявить что-то вроде: "Я с математикой (с цифирью) не в ладах...". А ведь знаменитый английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон (ок. 1214 - 1292) уже давно и справедливо заметил: "Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества." Поэтому я предлагаю читателю побороть жуткую неприязнь к математике и всё-таки прочитать настоящую статью (и вы, наверняка, всё... поймете!).

Разговор об экспоненциальности нашего мира невозможно начать иначе, как с рассказа о так называемом "числе е", о котором нам всем в своё время объясняли ещё в школе на уроках математики. Число е - это основание натуральных логарифмов и важнейшая математическая константа (обозначается строчной латинской буквой "e"), которая в высшей математике встречается буквально на каждом шагу, она играет особенно важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении. Иногда число e называют числом Эйлера. Леонард Эйлер (1707 - 1783 гг.) - это самый плодовитый в мире (на открытия) гениальный математик. Именно Эйлер первым ввел сим­вол е (без чувства ложной скромности, ведь с этой буквы начинается его фамилия - Euler) и сделал так много открытий, связанных с числом е, что, в конце концов, е стали называть числом Эйлера (не путать с постоянной Эйлера: С = 0,577...). Численное значение указанного числа следующее:

e = 2,7 1828 1828 459045235360287471352662497757...,

где 1828 - это... год рождения Л. Н. Толстого (гениального русского писателя и мыслителя), что позволяет даже читателям-гуманитариям легко запомнить 9 цифр после запятой в значении числа е.

Число е - трансцендентное число (доказал Ш. Эрмит в 1873 г.), то есть оно не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами, и не существует закона, по которому чередуются цифры после запятой в значении числа е (ещё в 1961 г. с помощью ЭВМ было получено 100265 десятичных знаков). Предполагается, что e - это нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его (бесконечной!) записи одинакова.

Иногда число е малообоснованно называют неперовым числом, по имени изобретателя логарифмов Джона Непера (1550-1617), который использовал в качестве основания число 0,9999999^10000000 = 0,367... (это меньше 1/е, но отличия начинаются в восьмой цифре после запятой!).

Число e может быть определено несколькими способами.

Число е обозначает предел, к которому стремится выражение е* = (1 + 1/N)^N, когда целочисленный параметр N устремляется к бесконечности: N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... [символ ^ ("крышка") в данной статье будет означать "возведение в степень", то есть выражение в круглой скобке (1+1/N) возводится в степень N]. Короче говоря, выражение е* устрем­ля­ется к числу е = 2,718281828459045... . При этом относительная погреш­ность [по определению: ОП = (е - е*)/е*] убывает, вообще говоря, по закону: ОП < 1/(2×N) - это моя оценка в рамках виртуальной космологии. Смотрите также в Википедии статью "Замечательные пределы" (число е называют вторым замечательным пределом в математике).

Число е  - это сумма бесконечного ряда: е = 1/0! + 1/1! +1/2! +1/3! +1/4! + 1/5! + ... (в знаменателе стоят натуральные числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., идущие до бесконечности).

Число е - это единственное число, для которого выполняется следующее условие: площадь области под графиком y = 1/x на интервале от  х = 1 до x = e равна 1.

Число е можно представить в виде бесконечной цепной дроби (её открыл Эйлер):

е = 2 + 1/(1 +1/(2+2/(3+3/(4+4/...)))).

 

Есть много интересных задач с числом е. Приведем только четыре примера.

1). Лучшими приближениями числа е являются дроби 87/32 и 878/323 (из чисел-палиндромов, их разность - также палиндром: 878 - 323 = 555).

2). Выражение y = x^(1/x) имеет единственный максимум и именно при х = е.

3). Если суммировать случайные числа (от некого "генератора чисел", работающего в диапазоне от 0 до 1) до тех пор, пока их сумма не станет больше 1, то среднее значение (математическое ожидание) слагаемых будет равно... числу е.

4). Любопытна карточная игра "солитер" (моё условное название), которая является также любопытным примером... несовершенства нашей интуиции. Пусть игрок записал N карт в любом порядке (составил свой перечень - как ему захотелось). Тщательно перетасовав эти N карт, ведущий выкладывает их на стол по одной (вверх картинкой), одновременно игрок называет  одну (очередную)  карту  из  своего (записанного, см. выше) перечня.  Какова вероятность совпадения названной и положенной на стол карты?

Так вот, оказывается, что при любом N, большем либо равным 7 ("магия" семёрки!), вероятность указанного совпаде­ния будет равна 1 - 1/е = 0,632 (то есть почти 63%, и почти "золотое сечение")! Например, из 30 партий "солитера" игрок выиграет примерно в 19 партиях, но наша интуиция верит в это с трудом, не правда ли? Объяс­нение такого результата в том, что число "беспорядочных" перестановок из N предметов равно целому числу, ближайшему к дроби N!/e (где N! - это так называемый факториал числа N). Очередная перестановка N предметов считается "беспорядочной", если ни один предмет не занимает своего исходного места (до начала процедуры перестановок).

Карты (описанная выше игра "солитер") - только один из вариантов этой удивительной задачи. Причем в теории вероятностей много задач, в которых наша интуиция заставляет нас делать неверные заключения. Такие провалы интуиции свидетельствуют о том, что мозг человека далек ещё от совершенства. При этом становится очевидным, что интуиция не может служить арбитром истины в математике (впрочем, как и во всех остальных аспектах нашей жизни и деятельности). Роль арбитра ИСТИНЫ исполняет наша логика, и только в математике логика абсолютно безупречна! Возможно именно поэтому математическое образование во всем мире - первый кандидат на уничтожение среди прочих точных наук. Зато в фаворе - религия, "наука" экономика (кризис за кризисом!), юриспруденция и т.п. А ведь, скажем, в российской юриспруденции логики просто... НЕТ; вернее, она сводится, вообще говоря, к простой "формуле": прав тот, у кого больше денег и власти (это не всегда совпадает). Поэтому россияне живут (а точнее - просто маются) далеко не в правовом государстве - это стало аксиомой, не требующей доказательств, и весьма символично, что уже 10 лет как Президент России - юрист по образованию (Ельцин был "технарем")! (Более подробно о ситуации в современной России см.: 

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/index_7.shtml).

После небольшого лирического отступления (в части логики) мы наконец-то переходим к совершенно замечательной функции -  к экспоненциальной функции (или, проще говоря, к экспоненте - это общепринятое в науке и технике название). Простейший вид этой функции следующий: y = e^х, то есть число е = 2,717...  возводится в степень x, например, при х = 2 мы получим: у = е^2 = 7,387... Формулу y = e^х часто записывают в ином обозначении: y = exp(x) - просто так часто удобней (по аналогии с тем, как меня зачастую удобней назвать Сашей, а не Александром).

Таким образом, экспонента - это обычная показательная функция y = a^х, у которой в основании лежит число а, равное е. Из законов (высшей) математики вытекает уникальное свойство экспоненты: она в точности совпадает со своей так называемой производной: (e^х)" = e^х. Понятие "производная" - одно из фундаментальных в математике и её приложениях к естествознанию и технике, именно этим и объясняется причина столь частого появления экспоненты в формулах математического анализа - раздела высшей математики, изучаемого на первых курсах любого технического ВУЗа. Вот почему, даже самый нерадивый студент-"технарь" сотни раз слышал на лекциях про вездесущую экспоненту!

Экспонента очень часто встречается в приложениях матема­ти­ки к естествознанию и технике, когда скорость изменения какой-либо величины y прямо пропорциональна её наличному значению: dy/dx = ky (где k - коэффициент пропорциональности). Решением этого дифференциального уравнения является экспонента, имеющая такой вид

y = C×exp(k×х),                                           

где С - начальная величина экспоненты, k - интенсивность экспоненты (коэффициент).

Очевидно, экспонента есть прямое следствие того, что величина у изменяется независимым образом, случайно (мы живем в мире, где правит Его Величество Случай!), так как скорость ее изменения пропорциональна только самой величине в рассматриваемое мгновение:

Если k больше нуля (k - постоянная роста), то экспонента с увеличением аргумента х довольно быстро (экспоненциально) возрастает и выражает так называемый закон естественного (органического) роста, например, рост колонии бактерий, увеличение денежного вклада при постоянном процентном приращении.

Если k меньше нуля (k - постоянная распада, затухания), то экспонента с увеличением аргумента х стремится к нулю. Так протекает, например, процесс радиоактивного распада, затухающие колебания, распространение волн, и т. п.

Обратной к экспоненциальной функции является так называемая логарифмическая функция, простейший вид которой х = lny. Иначе говоря, число е служит основанием натуральных логарифмов (об этом нам говорит математический символ ln). "Обратной" указанная функция называется потому, что мы с помощью неё ищем значение параметра (х) по известному значению функции (у), то есть здесь мы решаем обратную задачу (в прямой постановке задачи ищут значение функции у по указанному параметру х).

Поскольку геометрическую прогрессию Yn = Y1×a^(n-1) (где Y1 - первый член прогрессии, а - знаменатель прогрессии, n = 1, 2, 3, ... - порядковый номер каждого члена прогрессии) можно рассматривать как показательную функцию, где аргумент х принимает только дискретные значения (х = n - 1), то, очевидно, всякой геометрической прогрессии соответствует экспонента:

Yn = (Y1/а) exp(n lna) .                                  

Верно и обратное утверждение. Если у экспоненты y = C×exp(k×х) аргумент х принимает ряд последовательных целочисленных значений, то величина y изменяется в геометрической прогрессии, у которой: первый член Y1 = С×exp(k), а знаменатель a = exp(k).

Короче говоря, любые (любого вида!): экспоненты, логарифмические функции, геометрические прогрессии - всё это "лакмусовые бумажки" экспоненциальности окружающего нас мироздания. Возьмите и полистайте любой солидный справочник по естествознанию (особенно, разумеется, по физике) и технике - вы убедитесь, что большинство приведенных там формул содержат экспоненту (с числом е), логарифмическую функции или геометрическую прогрессию.

Безусловно, что экспонента - главная функция во всех технических науках и их беско­нечных приложениях. Приведу лишь несколько примеров сказанному.

В технике существует такое понятие как предпочтительные числа - система пара­метрических десятичных рядов чисел, построенных по геометрической прогрессии со знаменателем 10^(1/n) (то есть по экспоненте!), где n = 5, 10, 20, 40, 80 - номера рядов, безграничных как в большую, так и в меньшую сторону. Именно такой подход обеспечивает базу для оптимальной стандартизации в технике (что является очередным доказательством экспоненциальности нашего мира).

Провисание проводов, тросов, цепей, веревок и даже... паутиновой нити (то есть любой гибкой однородной и тяжелой нерастяжимой нити, концы которой закреплены) описывается уравнением "цепной линии" (это тоже экспонета): y = 0,5a[e^(x/a) +e^(-x/a)].

Экспонента незримо присутствует и в нашей повседневной жизни. Например, начиная с 1961г. россияне использовали семь (и снова "магия" семёрки!) видов казначейских билетов: 1, 3, 5, 10, 25, 50, 100 рублей, а их числовые значения были близки к экспоненте вида:

y = 0,5406×exp(0,7518×x),  где х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 - порядковый номер билета.

(Про "магию" семёрки подробно см.

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/number2050.shtml ).

Вездесущий закона Бенфорда Pi = log(1 + 1/i) содержит в своей записи так называемый  десятичный логарифм (log), который всегда можно перевести в натуральный логарифм (ln), поэтому повсеместное проявление закона Бенфорда - одно из главных доказательств экспоненциальности нашего мира! (в части закона Бенфорда подробно см.

 http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/number2060.shtml ).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, у читателя теперь не должно оставаться сомнений, что реальный физический мир - это прежде всего экспонен­циальный мир. Одним из главных ("лежащих на поверхности" и видимых нами "невооруженным взглядом") свойств реального пространства-времени является его экспоненциальный характер. Первопричина этому по самому большому счету кроется в якобы "очевидном" факте - мы живем мире, построенном на вероятности (см. например, теорию вероятности в Википедии); мы живем в мире, где правит "Его Величество Случай". И с этим, в принципе, сейчас соглашаются многие ученые...

Весь мой раздел на "Самиздате" посвящен придуманной мной виртуальной космологии

(см. http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/),

в которой также сплошь и рядом "проявляется" экспонента: почти в каждой формуле - либо число е, либо логарифмическая функция. Поэтому я допускаю следующее утверждение: математическая ("внутренняя") структура натуральных чисел ("потока" дискретных чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...) в какой-то мере (в предельно примитивной форме?) может "отражать" математическую структуру реального пространства-времени (потока его дискретных квантов). И если это, действительно, так (пусть только в принципе, для этого есть основания!), то тогда мы сталкиваемся с парадоксом, поскольку в мире чисел... нет места ни малейшей случайности, там негде спрятаться "Его Величеству Случаю"! Вся "внутренняя" структура натуральных чисел - это буквально "железобетонная" конструкция, детерминированная (определенная) раз и навсегда (см. мою Пирамиду делителей на стр. 93 в книге "Суперструны...":

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/index_5.shtml).

И всякая "случайность" в мире чисел - это не более, чем иллюзия нашего (весьма ещё несовершенного) разума! Короче говоря, вполне может оказаться, что и реальный мир - это строго детерминированный мир, "судьба" которого была изначально "расписана" самой фундаментальной структурой пространства-времени. Просто мы ещё не знаем, как прочитать указанный "текст" (мы ещё не нашли ни вида уравнений, ни их решения в теории струн).