Аннотация: Те герои, что и в "Игре в Рейтинг" но другой сюжет; в рассказе как никогда много математики
Сергей Гулевич
Задача
Математический триллер
1
По всей видимости, эти документы носят секретный характер. Само их появление окутано завесой тайны. Судите сами. 5 ноября 2005 года Дима Северьянов во время урока литературы поднял руку и попросил разрешения выйти в туалет. Затем он покинул класс и больше туда не возвращался. Не появился юноша и на следующих уроках. Учебников Дима в школу не носил, так как закапывал в глаза атропин и не имел возможности ни писать, ни читать. Однако он оставил в кабинете литературы пакет со сменной обувью. В этом же пакете лежала тетрадь для черновых записей и несколько вложенных в эту тетрадь сложенных пополам листов формата А4 с напечатанным на них текстом. Это и были документы, о которых идет речь в настоящих заметках. Никто не знает, как они попали к Диме Северьянову. Более того, совершенно непонятно предназначение этих бумаг.
Помимо напечатанного текста на бумагах имелись записи, сделанные от руки. Судя по почерку, писали два человека: один пользовался красной шариковой ручкой, другой - синей. Мы назвали записи, сделанные красной ручкой, примечаниями учителя. Похоже, что они действительно принадлежат Сергею Анатольевичу. Насчет обладателя синей ручки никаких предположений у нас не возникло. И еще. Каюсь, но я тоже не удержался и добавил к этим записям кое-что от себя. Зеленой ручкой.
По содержанию найденные бумаги можно разделить на три типа. Два листа (на них примечания отсутствуют) представляют собой инструкцию по проведению контрольной работы (никогда не слышали раньше, что такие инструкции существуют). На нескольких листах содержится краткий анализ решений, представленных учениками. Некоторые решения излагаются почти дословно, о других упоминается вскользь. Еще на двух листах напечатаны другие решения, по-видимому, авторские. Контрольная работа, о которой идет речь, действительно проводилась незадолго до описываемых событий, и состояла она из одной-единственной задачи. В бумагах приводится восемь различных способов решения этой задачи. Кроме того, в них сформулированы еще несколько задач, предназначенных, возможно, для самостоятельного решения. Однако от учителя мы об этих задачах никогда не слышали.
Итак, повторяю, вышеупомянутая контрольная работа имела место за несколько дней до исчезновения Димы Северьянова. Она проходила довольно странно. Учитель продиктовал нам задание, состоявшее, как я уже говорил, из одной задачи. И это притом, что обычная контрольная работа содержит от 6 до 10 заданий. Затем Сергей Анатольевич посоветовал строго придерживаться трех правил:
1) не списывать;
2) излагать свои мысли доступным для понимания языком и почерком;
3) по возможности решить задачу несколькими способами;
Потом он встал и спросил: "Все ясно?"
Постоял с полминуты молча и ушел до конца урока. А мы остались решать вот такую задачу.
Задача 1.
По кругу сидят 15 мальчиков и 15 девочек. Докажите, что число пар рядом сидящих мальчиков равно числу пар рядом сидящих девочек.
2
Обстановка на контрольной была, конечно, не слишком рабочая. Северьянов сразу заявил, что будет решать задачу на доске (тетради-то у него не было). Он долго рисовал большой круглый стол и сидящих за ним детей, не испытывая при этом недостатка в добровольных советчиках. Реплики типа: "Настюху-то не забудь" или "Катьку рядом с Рустамом сажай" некоторое время сопровождали его действия. Затем, однако, всплеск юмора постепенно угас, и мы обратились к задаче. Тогда никто не задумывался о том, какие особые цели преследовал Сергей Анатольевич, предлагая нам такое задание. Может, и не преследовал никаких. Может, ему в столовую захотелось сходить, чайку попить. А может, он пошел очередные листочки с заданиями распечатывать. Мало ли что. Нас эта контрольная особенно не напрягала, ну и ладно. А задачку интересную порешать, в этом ничего плохого нет. Тем более что и выбора особого у нас не было. Хочешь, решай, а не хочешь, сиди и дурью майся. Вот и весь выбор. Тем более, кто знает, может, за правильное решение учитель пару баллов к рейтингу добавит.
Но, думаю, пора вас познакомить с бумагами, найденными в пакете со сменной обувью Димы Северьянова.
Лист 1
Решение Жени Шигина (почему-то это решение зачеркнуто - прим. учителя).
Расставим мальчиков и девочек через одного (ну, если мальчиков через одного, то девочек, очевидно, через одну - примечание, сделанное синей ручкой). Получим одинаковое (равное нулю) количество пар мальчиков и девочек. Переставим двух человек, сидящих рядом. Если это были два мальчика или две девочки, то количество пар не изменится. Если же мы переставляем мальчика с девочкой, то образуется по одной паре девочек и мальчиков.
Примечание учителя. Еще 9 человек привели похожее решение, только несколько более подробное. С максимальной строгостью эта идея была воплощена в жизнь в работе Саши Капустина.
Решение Саши Капустина (при первом чтении можно пропустить - прим. Леши Курнакова).
Назовет стандартным такое распределение мест, при котором между каждыми двумя девочками есть мальчик. Тогда никаких пар нет. Нарушим теперь стандартное распределение, поменяв местами девочку и мальчика. Очевидно, что при этом образуется две пары мальчиков и две пары девочек (предполагается, что мы меняем местами мальчика и девочку, не сидящих по соседству - прим. учителя).
Лемма. При любой перестановке изменение числа пар мальчиков равно изменению числа пар девочек.
Доказательство леммы. Рассмотрим два случая.
1) Мальчик, окруженный мальчиками, меняется с девочкой, окруженной мальчиками (то же самое будет, если мальчик и девочка окружены девочками). В этом случае количество пар не изменится. Схематично этот случай можно изобразить так: ммм мдм (то же будет для дмд ддд).
2) Мальчик, окруженный мальчиком и девочкой, меняется с девочкой, окруженной мальчиком и девочкой (ммд мдд) . Число пар тоже не меняется.
3) ммм ддд - число пар уменьшилось на две
4) ммд мдм или дмд мдд - число пар увеличилось на одну
5) ммд ддд или ммм ддм - число пар уменьшилось на одну
6) мдм дмд - число пар увеличилось на две
Число рассмотренных случаев можно уменьшить, если заметить, что случай 5 задает перестановку, обратную к перестановке из случая четыре, а случай 6 подобным же образом получается из случая 3. Так как перестановки 3 и 4 не меняют соотношения между парами мальчиков и девочек, то обратные перестановки тоже не меняют этого соотношения.
Примечание учителя. Во-первых, не доказано, что любое распределение детей можно получить из стандартного путем перестановок; во-вторых, не рассмотрены перестановки рядом стоящих детей. Нетрудно заметить, что можно ограничиться рассмотрением только таких перестановок, как это сделал Шигин в своем зачеркнутом решении.
На этом первый лист кончается. Что странно, на нем (также как и на других листах) ни слова не сказано про не зачеркнутое решение Шигина. Ведь не сдал же он работу с одним зачеркнутым решением? Невозможно даже представить, чтобы Женин результат не заслуживал в столь подробном отчете хотя бы простого упоминания.
Впрочем, возможно, что отчет не полный. Ведь контрольная имела продолжение, о котором в бумагах нет ни слова, а потому придется вкратце вам об этом рассказать. На следующий день учитель, по своему обыкновению, подвел итог работы. Он сказал, что наивысший балл, равный 0,05, заработал Саша Капустин. Второй результат у Риммы - 0,035; упомянул учитель еще кого-то, но я уже не помню кого. Объяснил он и принципы, по которым выставлялись эти баллы. Так, например, Сашина оценка получилась в результате деления 0,5 (оценка качества решения задачи) на 10 (число человек, решавших задачу тем же методом, что и Саша). Оценка Риммы получилась так: 0,035 = 0,1:10 + 0,1:4 (это потому что она написала два разных решения). После подведения итогов работы Сергей Анатольевич заявил, что готов проверить любое решение задачи, найденное и аккуратно оформленное дома. Поэтому, дескать, своего способа он рассказывать не будет, тем более что знает таких способов ни много ни мало 9 штук. Так вот, по прошествии отведенных на это дело двух дней Леня Леньков и Женя Шигин принесли учителю свои домашние решения, причем Шигин принес их сразу три. Судьба этих решений на сегодняшний день не известна, в отчете о них даже не упоминается. Кстати, именно тогда впервые возник вопрос о причинах столь пристального интереса нашего учителя к задаче о 15 мальчиках и 15 девочках.
3
Лист 2
Примечание учителя. Большинство учеников 11-2 класса занимались перестановками мальчиков и девочек. Дань этой процедуре отдали Сережа Хрусталев, Рустам Кулматов, Влад Степанов, Дима Колесников, Вадим Пашков, Римма Бахаева, Артем Архаров, Леша Курнаков (редкое единодушие - прим., сделанное синей ручкой).
Примечание Леши Курнакова. Верно, я тоже пытался решать задачу этим способом. Что ж поделаешь, идея, как говорится, носилась в воздухе.
Решение Артема Архарова.
Допустим, что у каждого мальчика есть среди этих девочек своя (единственная) "дама сердца", причем у всех мальчиков дамы разные (тем самым между множеством мальчиков и девочек установлено взаимно однозначное соответствие - прим. учителя). Тогда эта "дама" сядет слева от мальчика (или справа, как там положено по этикету?) В этом случае никаких пар мальчиков и девочек не получится. Если одна из девочек поссорится со своим кавалером и уйдет к подруге, а мальчик - к своему другу, то образуется по одной паре мальчиков и девочек...
Примечание учителя. Далее на трех страницах разбираются всевозможные варианты поведения мальчиков и девочек. Дети сначала ссорятся, потом мирятся, потом снова ссорятся. Они ссорятся группами и по одиночке, так что получается классический любовный тридцатиугольник, разобраться в котором скромному учителю математики явно не под силу.
Примечание Леши Курнакова. Ну, мы-то знаем, кто у Артема дама сердца. Только вот захочет ли она рядом с ним сидеть? Или предпочтет "подругу".
Решение Антона Клименкова.
Застрелим 13 мальчиков и 13 девочек. Для оставшихся 4 человек утверждение задачи очевидно. Будем теперь добавлять по одному мальчику и одной девочке (откуда их взять? Ведь мы их застрелили - прим. Леши Курнакова). При этом каждый раз будет получаться одинаковое количество пар мальчиков и девочек (а, собственно, почему? - Прим. учителя).
Не правда ли, это немножко смахивает на попытку доказать утверждение задачи методом математической индукции? И еще: откуда такой мрачный взгляд на жизнь? Может, виной тому несчастная любовь?
Решение Ильи Волкова.
Если мальчики и девочки чередуются, то они не будут образовывать пары. Если же они не чередуются, то мы будем убирать по одной паре мальчиков и девочек (хорошо хоть не убивать, а то два маньяка в одном классе - это уж слишком...- прим. Леши Курнакова), и, в конце концов, этих пар не останется вовсе.
Это тоже похоже на одно из правильных решений. А если решение Ильи Волкова соединить со вторым решением Риммы Бахаевой, то можно состряпать что-нибудь стоящее.
Похоже-то, может, оно и похоже, однако даже одной десятой балла за свое решение Илья не заработал. Хотя видно было, что очень хотелось ему решить эту задачу самостоятельно. Ведь обычно на контрольных работах он или с Женей советуется или ко мне в тетрадку заглядывает. Тут как-то интересный случай произошел. Сергей Анатольевич не засчитал нам с Волковым одну задачу. Мне написал: "списано у Волкова", а ему - "списано у Курнакова". Обидно, потому что на самом деле эту задачку мы оба у Степанова списали. Она, правда, и решена-то была неправильно, так что потеряли мы, прямо скажем, не так уж и много, каких-нибудь 0,2 - 0,3 балла. А сам Степанов свое решение так неаккуратно оформил, что учитель вообще ничего в нем не понял. Так что пострадали мы, можно сказать, безвинно. Ну да ладно, проехали.
Раз уж речь зашла об Илье, то скажу еще вот что. Заметил я, что после контрольной (той, где мальчики и девочки по кругу сидят) он долго успокоиться не мог. Все к Шигину приставал с этой задачей, хотел правильное решение узнать. Я тут на ОБЖ имел счастье при их разговоре присутствовать. Забавный такой разговор. Судите сами.
Ш. Давай мальчиков на цепочки разобьем.
В. Это как?
Ш. Скажем так... Цепочка - это группа мальчиков, ограниченная двумя девочками.
В. А если один мальчик?
Ш. Тоже цепочка.
В. Какая ж это цепочка, если он один?
Ш. Ну, это... маленькая цепочка. В общем, смотри: если в цепочке k мальчиков, то они образуют k-1 пару.
В. Постой, что-то непонятно.
Ш. Ну как же непонятно. Один мальчик - ни одной пары. Два мальчика - одна пара, три мальчика - две пары. И так далее.
В. Теперь понятно.
Ш. Так вот, если в первой цепочке n1 мальчиков, во второй - n2 мальчиков и т.д., то всего пар мальчиков будет (n1 - 1) + (n2 - 1) +... . То есть n - m, где n - число всех мальчиков, а m - число цепочек.
В. Ну это я понял, конечно. А скажи мне вот что: вдруг цепочек нет совсем?
Ш. Как же их нет, если мальчики есть?
В. А вот так. Мальчики есть, а цепочек нет. Может, они по кругу сидят?
Ш. А девочки тогда где сидят?
В. Ну, девочки сидят между мальчиками.
В общем, долго они это решение обсуждали. Но я к тому времени слушать перестал, потому что и так все уже понял. Вся фишка в том, что этих самых цепочек для мальчиков и для девочек получается одинаковое количество, так как они, цепочки то есть, чередуются. А так как девочек и мальчиков у нас поровну (n=15) то, значит, и пар тоже будет поровну.
4
Первым, кто заподозрил неладное, был Дима Колесников. Произошло это в тот момент, когда Сергей Анатольевич стал нас уговаривать над задачкой дома еще часок-другой подумать. Я решил тогда, что говорит он это для очистки совести, поскольку прекрасно понимает - никто дома этим делом заниматься не станет. Ан нет, оказалось, нашлись энтузиасты. И первым в их ряды встал другой Дима - Корнилов (кто бы мог подумать!)
- Сергей Анатольевич, побойтесь бога, - говорит он, - Я и так эту проклятую задачу день и ночь решаю, ничего с собой поделать не могу.
Учитель ему в ответ:
- Ты решение запиши на листочке и сдай мне, может, полегчает.
А Дима:
- Так в том-то все и дело, что с решением у меня ничего не получается. Потому что я никак не могу выбрать 15 девочек, которых надо по кругу рассадить.
А учитель:
- Ты, Дима, выбери 15 своих любимых девушек.
- Так они все у меня любимые. А потом, если выбрать 15, то остальные непременно обидятся. Это как если бы я отмечал день рождения и их не пригласил.
- Ну, тогда вот что, Корнилов, ты решай задачу в общем виде. Обозначь девочек буквами - д1, д2 и так далее.
Но Диме эта идея не понравилась, поскольку, дескать, вся прелесть задачи при таком варварском подходе пропадает. Одно дело, когда по кругу Аня или Настя рассажены, а другое дело, когда эти самые безликие д1 и д2. Никакого удовольствия решать задачу про д1 и д2 нет. Пока Корнилов подобным образом разглагольствовал, Колесников и произнес, ни к кому конкретно не обращаясь: "Что-то здесь не так". И все, больше он ничего не стал говорить. Но как только он это сказал, я сразу понял: да, действительно, что-то здесь не так.
Лист 3
Второе решение Риммы Бахаевой.
Предположим, что это не так (вот видите, Римма еще тогда почувствовала: что-то не так, - прим. Леши Курнакова). Пусть существует одна пара (например, девочек) и нет соответствующей пары мальчиков. Тогда остаются 13 девочек и 15 мальчиков. Их надо ставить поочередно, при этом получится 13 пар девочка-мальчик и одна пара из мальчиков. Противоречие.
Примечания учителя. Ну, а если есть 3 пары из девочек и 2 пары из мальчиков? Или четыре девочки, стоящие рядом? Всех вариантов все равно не разобрать.
Теперь в самый раз было бы убрать, как пишет Волков, по одной паре мальчиков и девочек. Фактически при этом получится доказательство методом математической индукции.
Еще три человека пытались решить задачу похожим способом. Решения Андрея Ледвинова, Лени Ленькова и Максима Левушкина отличаются от второго решения Риммы разве что тем, что Максим безуспешно пытается привлечь к решению задачи формулы из комбинаторики, а Леня старается оживить задачу с помощью примеров из жизни: Юра Трухин оказывается у него рядом с Сашей Капустиным, а потому Римма вынуждена занять место рядом с Аней Крутелевой, так как по другую сторону от Юры уже давно расположился Андрей Ледвинов... (можно подумать, Римма спит и видит, как бы ей место рядом с Трухиным занять - прим. Леши Курнакова).
Леньков, напомню, потом еще одно решение принес. Он этим решением очень гордился. Говорил, что результат задачи получается путем последовательного применения трех теорем, для доказательства которых используется восемь лемм. Учитывая тот факт, что Леня обладает отнюдь не каллиграфическим почерком, думаю, что Сергей Анатольевич испытал при проверке его работы массу положительных эмоций.
Второе решение Влада Степанова.
Ни одна нормальная девочка не встанет в пару с девочкой; аналогично для мальчиков. Значит, количество пар равно 0.
Решение Маши Васильевой.
Постараемся сделать так, чтобы пар рядом сидящих мальчиков было как можно больше. Этого можно добиться, если посадить всех мальчиков друг за другом. Но тогда и девочки будут сидеть друг за другом. В этом случае пар мальчик-мальчик и пар девочка-девочка будет одинаковое количество, а именно, 14. Попробуем теперь рассадить детей так, чтобы пар мальчик-мальчик было как можно меньше. Этого можно добиться, если посадить девочек между мальчиками. Но в этом случае оказывается, что между девочками сидят мальчики, и пар мальчик-мальчик, равно как и пар девочка-девочка, не будет вовсе. В любом случае количество этих пар будет одно и то же.
Примечания учителя. Понятно, что это рассуждение не является решением. С первого взгляда оно напоминает решение Шигина-Капустина-Колесникова-Архарова- ... - Хрусталева (всего 10 фамилий), однако в данном случае даже не сделана попытка поменять детей местами. Фактически Маша ограничилась рассмотрением примеров. Дальше примеров не продвинулись Настя Филатова и Дима Корнилов. Последний, правда, еще и шутить пытался...
Шутить-то все поначалу пытались. Только не у всех это получалось. Особенно популярной была шутка насчет пятнадцати девочек: где, дескать, их взять, если в классе всего пять учится. В основном сходились на мысли, что надо в гуманитарный класс обратиться за подмогой. А Степанов так вообще предложил девочек клонировать. В общем, не урок математики, а какие-то "Звездные войны", эпизод не помню какой, "Атака клонов". Но, как я уже говорил, постепенно юмор иссяк, и суровая проза жизни безраздельно завладела нашим сознанием. А вот идея с клонированием, оказывается, кое-кому запала в душу.
5
Я вот что думаю. Чем-то задача про мальчиков и девочек напоминает мне задачу о раскладывании k одинаковых предметов по n разным ящикам. Имеется в виду та разновидность задачи, в которой ящики могут оставаться пустыми. В общем, это та широко известная в узких кругах задачка, с помощью которой выводится формула для числа сочетаний с повторениями. Девочки у нас вроде как предметы, а мальчики типа перегородок между ящиками. И если две девочки сидят рядом, это означает, что они попали в один ящик. Но в этом случае какой-то из ящиков окажется пустым (принцип Дирихле наоборот: число ящиков - 15, число девочек тоже 15, но в одном ящике находятся две девочки). А если рядом сидят три девочки, то пустыми окажутся два ящика. Но ведь пустой ящик - это сидящие рядом мальчики, а два пустых ящика - это две пары сидящих рядом мальчиков. И так далее. По-моему, неплохая идея. Надо бы ее с Шигиным обсудить.
Кстати, тут я как-то обратил внимание, что не один Корнилов запал на нашу задачку. Олег Некрасов тоже на всех переменах какие-то круги чертит и буковки по краю расставляет: ммдмдд.... Не иначе как задачу решает. А на днях учительница биологии заметила, что он посторонним делом на уроке занимается, и сделала замечание.
- Ты, - спрашивает, - что там делаешь, Некрасов?
- Да вот, решил потренироваться рисовать цепочки ДНК, - отвечает Олег.
- А что это они у тебя такие круглые? Цепочки совсем по-другому выглядят.
И минут десять говорила о дезоксирибонуклеиновой кислоте.
Лист 4
Решение Кати Крючковой.
Чтобы доказать это утверждение для большого количества мальчиков и девочек, сначала докажем его для небольшого количества, например, для трех мальчиков и трех девочек. Их можно рассадить тремя способами: дддммм; ддмдмм; дмдмдм. В любом случае число пар для девочек и для мальчиков будет одинаково.
То же будет верно и для большего числа мальчиков и девочек.
Примечания учителя. Такое же "решение" привела Аня Крутелева, соседка Кати Крючковой, только она разобрала пример с пятью мальчиками и пятью девочками.
Что можно сказать о других решениях? Работа Олега Некрасова не проверялась из-за плохого почерка. Викмар Чекан зачем-то стал искать "вероятность, что все дети разобьются на пары". Найденная им вероятность оказалась равной 4,35; после чего было принято решение воздержаться от дальнейшей проверки его работы.
Далее изложены решения задачи, которые мы назвали "авторскими". Среди них нет, кстати, решения, придуманного нами во время контрольной, того самого, в котором детей сажают сперва определенным образом (либо через одного, либо девочек отдельно, а мальчиков отдельно), а потом начинают пересаживать. И вот что забавно: Сергей Анатольевич говорил, что знает девять решений, а тут их приведено только восемь. Может быть одно, самое интересное, он не захотел рассказывать, чтобы мы могли еще немного голову над задачей поломать? Впрочем, эти листы, похоже, предназначались вовсе не для нас, так что, если учитель и скрыл свое девятое решение, то скрыл он его от кого-то другого. Интересно только, от кого? И вообще, чем больше я над всей этой историей думаю, тем более загадочной она мне кажется. И не одному мне. Илья Волков высказал на днях предположение, что задачка наша закодирована каким-нибудь экстрасенсом типа Кашпировского или Алана Чумака. И теперь любой, кто попытается ее решить, обречен заниматься этим всю оставшуюся жизнь. Заманчивая перспектива, ничего не скажешь. Я-то, впрочем, думаю, что разгадка этой таинственной истории каким-то образом связана с пресловутым девятым решением.
6
Авторские решения. Продолжение листа 4.
Решение 1
Если каждую пару считать 2 раза, то 15 мальчиков участвуют в 30 парах, и 15 девочек тоже. Если имеется х пар, в которых мальчик сидит рядом с девочкой, то будет х пар, в которых девочка сидит рядом с мальчиком. Поэтому количество пар мальчик-мальчик и девочка-девочка равно 30-х.
Решение 2 (похоже, это то самое решение, которое Шигин объяснял Волкову на уроке ОБЖ - прим. Леши Курнакова)
Разобьем детей на группы следующим образом: к одной группе отнесем всех сидящих рядом мальчиков или девочек. Пусть имеется n групп, состоящих из мальчиков. Очевидно, что группы, состоящие из мальчиков, и группы, состоящие из девочек, будут чередоваться. То есть групп, состоящих из девочек, тоже будет n. Если в группу, состоящую из мальчиков, входит m детей, то из них образуется m-1 пара сидящих рядом мальчиков, то есть каждая группа уменьшает количество таких пар по сравнению с количеством всех мальчиков на 1. Откуда следует, что общее количество пар рядом сидящих мальчиков равно 15-n. Аналогично число пар рядом сидящих девочек также равно 15-n.
Я не сразу понял, что это то самое решение. Потому что у Шигина были цепочки, а тут группы. Да и вообще, Женя как-то подробнее объяснял и понятнее. Но не в этом суть. А суть в том, что неожиданную поддержку получила идея Ильи Волкова. Ну, помните, насчет того, что нашу задачку экстрасенс закодировал. Викмар Чекан обеими руками за эту мысль ухватился. У него, оказывается, бабушка какая-то там колдунья. Ну, может, не совсем колдунья, но что-то вроде этого. Викмар обещал с бабушкой насчет этого дела проконсультироваться. Дима Колесников, правда, выразил сомнения по поводу ее компетенции, поскольку, дескать, бабушка Викмара вряд ли настолько сильна в математике, чтобы ее мнение по данному вопросу могло всерьез приниматься во внимание. Но, думаю, это он от зависти. Дима ведь первый высказал свои опасения насчет задачки, но тогда его словам никто не придал особого значения. А теперь получается, что Илья с Викмаром перехватили у Димы инициативу, отодвинув его на второй план. Вот он и пытается их идею принизить. Зря, конечно. По мне так вопрос о приоритете сейчас вообще не стоит, главное разобраться с проблемой по существу.
Лист 5
Решение 3 (методом математической индукции).
Докажем по индукции следующее утверждение: По кругу сидят n мальчиков и n девочек. Докажите, что число пар рядом сидящих мальчиков равно числу пар рядом сидящих девочек. Для n=1 оно очевидно. Пусть оно выполнено для некоторого n. Рассмотрим сидящих по кругу n+1 мальчика и n+1 девочку. Если мальчики и девочки чередуются, то число пар рядом сидящих мальчиков, также как и число пар рядом сидящих девочек, равно 0. Допустим, что имеется два сидящих рядом мальчика. Но тогда найдутся и две сидящих рядом девочки (иначе, по часовой стрелке за каждой девочкой будет сидеть мальчик, а после одной из девочек - два мальчика, то есть мальчиков окажется больше). Заменим в этом случае двух сидящих мальчиков на одного мальчика, а двух сидящих рядом девочек - на одну девочку. После этого окажется, что за столом сидят n мальчиков и n девочек, то есть в этой ситуации можно применить индукционное предположение. А так как число рассматриваемых нами пар при такой замене также уменьшилось на 1 для мальчиков и на 1 для девочек, это означает, что и вначале их имелось одинаковое количество.
Четвертое решение.
Можно считать, что вместо мальчиков и девочек по кругу расставлены числа 1 и -1. Естественно, что положительным числом мы заменили девочку, а отрицательным - мальчика. Каждое из чисел поменяем на сумму этого числа и числа, стоящего следом за ним по часовой стрелке. Таким способом мы получим 30 расставленных по кругу чисел, каждое из которых равно либо 0, либо 2, либо -2. При этом сумма этих чисел будет равна удвоенной сумме исходных чисел, то есть нулю. Это означает, что число два будет встречаться столь же часто, как и число -2. Однако, как нетрудно заметить, число 2 возникает каждый раз, как только по соседству с девочкой сидит еще одна девочка. То есть этих чисел столько же, сколько пар девочка-девочка. Аналогично докажем, что чисел -2 столько же, сколько пар мальчик-мальчик.
Пятое решение.
Будем считать девочек шарами (хи-хи, это же мое решение - прим. Леши Курнакова), а мальчиков перегородками. Если по кругу стоит 15 перегородок, то между ними расположено 15 ящиков. Пустой ящик - это в точности пара мальчик-мальчик. Но количество пустых ящиков должно совпадать с количеством "лишних" девочек-шаров, то есть девочек, попавших в "чужие" ящики. Очевидно, что появление каждой "лишней" девочки приводит к образованию одной пары девочка-девочка, то есть число таких пар равно числу пустых ящиков.
7
Кстати, Викмар с бабушкой уже переговорил. И много чего интересного при этом узнал. Во-первых, бабушка не имеет представления о том, можно ли в принципе закодировать математическую задачу как таковую. Листочек с задачей, это другое дело. Но в нашем случае не было никаких листочков, и это бабушку весьма насторожило. Она попросила взглянуть на тот текст с условием задачи, который мы писали в классе под диктовку, но и его у Викмара не оказалось. Ведь учитель не вернул нам наших работ, а те записи, которые мы восстановили позже по памяти, сохранить первоначальную энергетику текста никак не могли. Затем бабушка внимательно прочитала условие задачи. И хоть в математике она действительно оказалась не слишком сильна, но кое-какую полезную информацию из этого условия извлекла. Дело в том, что круг, оказывается, сам по себе способен многократно усиливать мистическое воздействие на объект. Если, конечно, таковое воздействие имеет место. А когда мы чертили круг за кругом в своей тетради (а мало кто одним-то ограничился), мы всю эту мистику, можно сказать, возводили в степень. И возрастала она у нас в геометрической прогрессии. Число 15, равное произведению двух простых множителей 3 и 5, тоже могло оказать на нас определенное воздействие, тем более что повторялось в тексте задачи два раза. Уже не говоря о том, что сами по себе числа 3 и 5 имеют в оккультных науках весьма богатый послужной список. Нелишне будет заметить при этом, что 3 и 5 - простые числа-близнецы, то есть разница между ними равна двум (это моя догадка; бабушка, конечно, ничего не знала о числах-близнецах). А еще в тексте говорилось о парах мальчиков и парах девочек, которых имелось к тому же одинаковое количество. В общем, заморочила бабушка Викмару голову, а потом захотела его самого проверить на предмет сглаза или какой-нибудь там порчи. Ничего конкретного она при этом не обнаружила, но заявила вполне определенно, что внук ее пребывает под воздействием каких-то мощных энергетических полей непонятного генезиса (во как бабуля завернула!) И что ничего она с этими полями поделать не сможет, поскольку они находятся вне пределов ее компетенции. У Чекана при этих словах случился маленький мандраж, но бабушка его успокоила, сказав, что никаких следов черной магии она не нашла.
Лист 6
Решение шестое (какое-то сомнительное решение - примечание, сделанное синей ручкой).
Зафиксируем какую-нибудь девочку, и будем двигаться от нее по часовой стрелке. Образуем две суммы. К первой будем добавлять 1, если обнаружим по дороге пару девочка-девочка, и вычитать единицу, если встретится пара мальчик-мальчик. Ко второй сумме будем добавлять единицу, если встречаем девочку, и вычитать единицу в противном случае (первая девочка не в счет). Заметим, что эти две суммы не могут отличаться больше чем на 1. Причем вторая сумма рано или поздно станет равной 0. А если первую девочку выбрать так, чтобы перед ней стоял мальчик, то перед последним шагом вторая сумма будет равна -1. Значит, первая сумма не может быть положительной. Так как на последнем шаге первая сумма не изменится, то число пар, состоящих из девочек, не может превышать числа пар, состоящих из мальчиков. Аналогично доказывается противоположное неравенство, откуда следует равенство.
Решение седьмое (вот это совсем другое дело!)
Занумеруем детей по часовой стрелке и разобьем на пары следующим образом: 1-2; 3-4; 5-6 и т.д. Очевидно, что среди них будет одинаковое число пар мальчиков и пар девочек. Разобьем теперь детей на пары по-другому: 2-3; 4-5; 6-7 и т.д. Среди этих пар также будет одинаковое число пар мальчиков и пар девочек. Однако любая пара рядом сидящих детей входит либо в первое разбиение, либо во второе, откуда следует утверждение задачи.
8
За всеми этими разговорами о задаче мы как-то позабыли про Диму Северьянова. А ведь он, как оказалось, действительно исчез. В этом мы окончательно убедились после того, как вчера в школу пришел следователь и стал нас выспрашивать, что и как. Мы, понятное дело, все рассказали без утайки. Только про бабушку Викмара говорить не стали и про всякие наши гипотезы. А листочки из северьяновского пакета пришлось отдать. Хорошо хоть, я их скопировать догадался. Как чувствовал.
Оказывается, Диму никто не видел с тех пор, как он с урока литературы ушел. И даже никто не видел, как он из школы выходил. А ведь у нас на выходе из школы установлена видеокамера. Она все подряд записывает, и записи эти сохраняются в течение двух недель. Так вот, выяснилось, что в тот злополучный день Дима в школу пришел, но из школы уже не вышел. И во все последующие дни он ее не покидал, разве что через окно. Только вот окна на первом этаже с осени не открывались, поскольку были на зиму заделаны клейкой лентой, целостность которой была подтверждена тщательным осмотром. При таком раскладе оставалось только предположить, что Северьянов до сих пор где-то в школе прячется. Но это, конечно, абсурдное предположение.
А следователь, допросив всех учеников нашего класса, долго еще с учителями разговаривал. Не знаю, о чем они там беседовали, но Сергей Анатольевич после этой беседы появился у нас на уроке весь какой-то бледно-зеленый и даже несколько осунувшийся. Да и на уроке он вел себя не вполне адекватно: околесицу, которую мы несли у доски, пропускал мимо ушей, время от времени делал какие-то замечания невпопад и, в конце концов, закончив урок на 10 минут раньше положенного времени, отпустил всех домой.
Решение 8
Расставим сначала по кругу всех мальчиков. Они образуют при этом 15 пар. Затем начнем добавлять к ним по одной девочке. При этом возможны три случая.
1. Девочка встает между двумя мальчиками. Тогда число пар мальчиков уменьшается на 1.
2. Девочка встает между мальчиком и девочкой. Тогда число пар девочек увеличивается на 1, а число пар мальчиков не меняется.
3. Девочка встает между двумя девочками. Также число пар девочек увеличивается на 1, а число пар мальчиков не меняется.
В любом случае разница между числом пар мальчиков и числом пар девочек с каждой новой девочкой уменьшается на 1, пока не станет равной 0.
А Олег Некрасов между тем продолжал задачку решать. Было такое впечатление, что его на всем белом свете ничего, кроме этой задачи, не интересовало. Случись тогда какое-нибудь землетрясение, или там цунами, он и то, наверно, не заметил бы. И вот через пару дней после посещения школы следователем Олег появился на уроке математики в весьма приподнятом настроении, подошел к учительскому столу и положил перед Сергеем Анатольевичем мелко исписанный тетрадный листок в клеточку.
- Вот, решил, - с гордостью произнес он.
- Что решил? - учитель, погруженный в свои не слишком веселые мысли, явно не понимал, о чем речь.
- Задачку решил. Десятым способом.
- Постой, почему десятым? - в голосе Сергея Анатольевича послышалась внезапно возникшая заинтересованность.
- Ну как же, один способ мы на контрольной придумали, восемь способов на ваших листках было напечатано, и вот я десятый способ придумал.
- На моих листках... так они, оказывается, к вам попали. А я их обыскался.
- Ну, сперва они к Северьянову попали, а потом к нам. А теперь мы их следователю отдали.
- Вот оно что. А я-то думаю, что это он так на меня наседает, как будто я Северьянова в своем столе прячу. Оказывается, из-за этих самых листков. Только там было не восемь решений, а девять.
- Да нет, Сергей Анатольевич, восемь. Мы несколько раз пересчитывали.
- На калькуляторе? Ну, в смысле, пересчитывали на калькуляторе?
- Да что мы, в самом деле, без калькулятора до девяти досчитать не можем?
- Ну, это смотря кто считает...Ладно, пусть так. Значит, к вам попало восемь решений. А всего их было девять. Получается, что одно решение вместе с Димой пропало. Быть может, самое главное. А ты, похоже, одиннадцатый способ отыскал. Ну-ка, дай мне на него взглянуть.
Решение Олега Некрасова (десятое или одиннадцатое?)
Клонируем всех сидящих за столом. Обозначим детей а1, а2,...а30, а их клонов b1, b2,...b30. Каждого клона передвинем на одно место по часовой стрелке. Таким образом, на n-ом месте теперь будут находиться двое: человек аn и клон bn-1. Нетрудно понять, что число мест, на которых при этом оказались два мальчика (обыкновенный мальчик и мальчик-клон), будет равно числу пар мальчиков, сидящих рядом в первоначальной рассадке. Такое же равенство будет выполняться и для пар девочек. Но так как после клонирования равенство между числом мальчиков и числом девочек сохранилось, то количество пар мальчиков и девочек должно быть одинаковым.
9
Похоже, что наша история неожиданно подошла к концу. И точку в ней поставил учитель математики. Сегодня он пришел в школу как никогда подтянутый, без тени улыбки на лице поприветствовал нас традиционным "Здравствуйте", затем предложил сесть и произнес следующую речь, которую я привожу почти дословно, настолько каждое слово врезалось мне в память.
Речь Сергея Анатольевича
Должен поставить вас в известность, что на протяжении последних двух недель вы стали участниками и, возможно, жертвами эксперимента, который я легкомысленно и самонадеянно организовал. Суть этого эксперимента заключается в воздействии на ваше сознание специально подобранной для этих целей задачей. Согласно недавно сделанному группой американских ученых открытию, сознание человека имеет определенные полюса, подобные энергетическим центрам на нашем теле. Воздействие на эти полюса напоминает воздействие на определенные точки человеческого тела с помощью метода акупунктуры или точечного массажа. Только осуществляется оно не с помощью механического воздействия, а посредством стимуляции мыслительной активности определенного типа. Мне удалось разработать механизм этой стимуляции, связанный с решением хорошо известной вам задачи. Хочу обратить особое внимание на тот факт, что, решая задачу различными способами, можно многократно усилить общий эффект от применения данного метода.
Видит бог, я ставил перед собой самые благородные цели, но, к сожалению, не учел всех последствий применения подобной технологии. Как выяснилось в ходе эксперимента, количественные изменения в силе воздействия на ваш разум приводят на определенной стадии к качественным изменениям этого воздействия, что ведет на практике к полному перерождению личности. Фактически при этом возникает некая новая сущность, не воспринимаемая нашим примитивным сенсорным аппаратом. Именно это, по моему мнению, и произошло с Димой Северьяновым после того, как к нему в руки попали листки с девятью способами решения задачи. Еще один способ он придумал (или узнал от вас) во время контрольной работы. И, вполне возможно, одиннадцатый способ он нашел сам. Этого оказалось вполне достаточно для перехода Димы Северьянова в новую сущность.
А вот Некрасову немного не повезло или, наоборот, повезло, все зависит от точки зрения. Олег тоже придумал одиннадцатый способ, но зато он не знал девятого, поскольку один из моих листов бесследно исчез вместе с Северьяновым. Если бы Олег знал девятый способ, то, вполне возможно, разделил бы Димину участь. В заключение мне хотелось бы выразить надежду, что участь эта не столь печальна, как это может показаться с первого взгляда. Во всяком случае, не нам об этом судить. И еще одно. Думаю, что услышанное вами сегодня не стоит предавать широкой огласке по одной весьма простой причине. Надеюсь, вы догадались, по какой?
- Все равно никто не поверит, - угрюмо произнес Викмар после некоторой паузы.
- Что ж, Чекан, я думаю, что мой эксперимент все-таки принес кое-какую пользу. Во всяком случае, для тебя.
10
Был среди бумаг еще один листочек, о котором я уже упоминал. Листочек с пятью задачами, которые предназначались, как я теперь понимаю, для будущих контрольных работ. Только мы эти задачи решать не стали. Мало ли что. А вы, если хотите, порешайте. Разными способами.
Задача 2.
По кругу сидят n мальчиков и m девочек. Докажите, что число пар рядом сидящих мальчиков отличается от числа пар рядом сидящих девочек на величину n-m.
Задача 3.
По кругу расставлены 30 детей. Правый сосед каждой девочки - мальчик. У половины мальчиков правый сосед тоже мальчик, а у всех остальных мальчиков справа стоит девочка. Сколько всего стоит мальчиков и сколько девочек?
Задача 4.
25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа - мальчики.
Задача 5.
Числа от 1 до 50 расставлены по кругу в произвольном порядке. Сначала перемножили все пары стоящих рядом чисел. Среди полученных 50 произведений оказалось 5 нечетных чисел. Затем сложили все пары стоящих рядом чисел. Сколько нечетных чисел будет среди полученных 50 сумм?
Задача 6.
По кругу расставлено несколько чисел, каждое из которых равно 1 или -1. Сумма всевозможных произведений двух соседних чисел равна 0. Доказать, что общее количество чисел кратно 4.