|
|
||
Предложен термодинамический вывод стационарного уравнения Шрёдингера из первых принципов энергодинамики | ||
Немалое число исследователей испытывает острое чувство неудовлетворенности существующей в современной физике тенденцией "угадывать уравнения, не обращая внимания на физические модели или физическое объяснение" [1]. В полной мере относится это и к основополагающему уравнению квантовой механики, явившемуся плодом гениальной интуиции его автора [2]. В квантовой механике уравнение Шрёдингера рассматривается как один из постулатов, подобно тому, как законы Ньютона являются постулатами механики классической. Однако в энергодинамике [3], являющейся дальнейшим обобщением термодинамики на нетепловые формы энергии и необратимые процессы, эти законы приобретают статус ее следствий в приложении к механике. Поэтому представляет интерес показать, что и стационарное уравнение Шрёдингера может быть получено на основе этой последовательно термодинамической (детерминистской) теории.
Как показано в [3], при протекании в системе какого-либо i-го процесса его обобщенная скорость (поток Ji) определяется всеми действующими в системе термодинамическими силами Xj того же тензорного ранга (i, j = 1,2,...). Применительно к паре "электрон - ядро" это означает, что при торможении электрона в его орбитальном движении по произвольной траектории кинетическая энергия электрона Ek переходит не только в потенциальную энергию атома как целого, но и частично расходуется на преодоление нецентральных сил, исходящих из внешних по отношению к атому электромагнитных полей1. В результате в каждом акте торможения возникает единичное возмущение этого поля, которое распространяется в нем в виде уединенной электромагнитной волны (солитона). При этом электромагнитная волна предстает как последовательность ν солитонов. В результате совместного действия множества атомов совокупное электромагнитное поле любого вещества осциллирует синфазно движению соответствующей группы электронов, в свою очередь предопределяя осцилляцию их траекторий. Поскольку частота осцилляций внешнего поля в диапазоне видимого и более коротковолнового спектра больше числа оборотов электрона вокруг ядра, электрон успевает претерпеть за один оборот (виток) любой (чаще всего незамкнутой) орбиты несколько (nе) актов торможения или ускорения. Соответствующее число раз изменяется и траектория электрона. Так осуществляется синхронизация всего многообразия орбит электронов данной группы со спектром частот колебаний самого поля. Этот колебательный процесс описывается известным уравнением пространственной монохроматической волны [4]:
Ñ2ψ + (4π²/λ²)ψ = 0, (1)
где ψ - "волновая функция", которую Шрёдингер первоначально описывал как волнообразное распространение отрицательного электрического заряда электрона; λ - длина волны2.
Чтобы связать длину волны, излучаемой атомом любого вещества, с параметрами орбиты, учтем, что в изложенном выше порядке идей частота излучения ν кратна произведению числа z оборотов (витков) электрона в единицу времени на число nе актов его торможения или ускорения за один 'оборот' электрона на орбите длиной (от апогея до апогея) L. Число оборотов z определяется отношением средней скорости электрона ve на орбите к ее длине L, так что
ν = nez = neve/L = meveс/meleс = pe с/hо . (2)
где ve, pe = meve - средняя скорость и средний импульс электрона на орбитали с числом актов торможения ne; le=L/ne - средняя длина 'пути торможения' электрона: с - скорость света в вакууме; hо = meleс - некоторая постоянная для данной орбиты величина ('постоянная орбиты').
Согласно (2), частоты излучения ν оказываются пропорциональными импульсу соответствующих электронов pe, что согласуется с идеями де Бройля [5]. При этом каждому виду атомов соответствуют определенные длины волн излучения (поглощения), зависящие от импульса электронов и соотношения Le/nе их орбит, т.е. от свойств самого вещества. Это также подтверждает гипотезу де Бройля о том, что волновые свойства присущи всем веществам. При этом согласно (2), на одной и той же частоте ν излучают энергию все атомы, для которых соотношение pe /le одинаково.
Учитывая, что в соответствии с соотношением (1) λ² = ħ ²/pe² и pe² = 2meEk, где Ek - кинетическая энергия электрона, определяемая разностью между полной энергией атома (его гамильтонианом) Е и потенциальной энергией Uп, после подстановки в (2) и простейших преобразований непосредственно приходим к основополагающему уравнению квантовой механики в виде:
Δψ + (8π²me/hо)(E - Uп)ψ = 0, ( 3 )
Это уравнение отличается от стационарного уравнения Шрёдингера лишь тем, что в нем вместо постоянной Планка h фигурирует постоянная орбиты hо [6]. Эта величина зависит от параметров орбиты, что делает уравнение (3) более информатив-ным3. В частности, появляется возможность по известной длине волны излучения λ (или волновому числу с/λ) находить параметры условной орбиты электронов, излучающих с этой частотой. Так, исходя из равенства на такой орбите центробежной силы F = mv2/r силе взаимодействия заряда e с ядром F = e²/r², после подстановки в выражение (2) несложно найти радиус r = L/2π электронной орбиты, соответствующий опреде-лен-ной частоте излучения:
r = (e² λ² /4π c²me)-3 м . ( 4 )
После этого легко найти среднюю орбитальную скорость ve =2πnr, среднюю кинетическую энергию Ek = meve²/2 и средний импульс электрона pe = meve, на этой орбите, её длину L и число оборотов электрона на ней z. Таким образом, открываются дополнительные возможности нахождения усредненных параметров электронных орбит по данным спектроскопических наблюдений. Так решается вопрос о состоянии электрона на орбите, который в существующей квантовой теории считается имеющим физического смысла ввиду того, что его параметры не могут быть измерены ни одним физическим прибором без их существенного изменения. Одновременно опровергается утверждение о несовместимости движения по определенной траектории с волновыми свойствами, поскольку представление фотона как последовательности ν солитонов легко объясняет интерференцию фотона с самим собой. Это подтверждают и наблюдаемые треки частиц в камере Вильсона, и точный классический расчет траектории электрона в кинескопе.
Наряду с этим проливается новый свет на проблему квантования энергии, условия которого диктует, как принято считать, уравнение (3). В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения этого вида дают дискретные значения энергий лишь при отрицательных ('собственных') значениях полной энергии системы (Е < 0). Поскольку кинетическая энергия Ek всегда положительна, то это означает, что квантование энергетического спектра на основе уравнения (3) возможно только тогда, когда потенциальная энергии электрона Uп отрицательна и по абсолютной величине превышает кинетическую энергию. Существование отрицательной энергии в принципе противоречит энергодинамике и, как показано в [3], является следствием отказа от учета в законах Ньютона и Кулона минимального расстояния Rо, до которого могут сблизиться два взаимно притягивающихся тела или две частицы типа ядра и и электрона. С учетом этого обстоятельства энергия электрона Uп определяется выражением Uп = e2(1/Rо-1/R), т.е. является величиной сугубо положительной и обращающейся при R = Rо в нуль4. В таком случае (т.е. при Е > 0) решение уравнения (3) дают непрерывный спектр. Следовательно, согласно (3) квантуется не полная энергия какой-либо системы как таковая, а лишь та её часть, которая связана с энергетическим уровнем орбиты электрона в поле центральных сил и изменяется дискретно в силу самой специфики процесса. Это снимает кажущееся противоречие между квантовой и классической механикой. Здесь уместен такой пример. Известно, что дождь выпадает на поверхность океана отдельными каплями. Но ведь никому не придет в голову считать на этом основании океан состоящим из капель!
Предложенный вывод соотношения типа стационарного урав-нения Шредингера не опирается на какие-либо гипотезы и постулаты. Это выгодно отличает его от обоснования, данного самим Шредингером, которое всегда представлялось исследователям не вполне убедительным. В особенности это замечание касается физического смысла волновой функции ψ. В её толковании среди наиболее крупных физиков-теоретиков до сих пор отсутствует единодушие. В большинстве своем они трактуют функцию ψ как величину, квадрат которой, будучи умноженным на элемент объема dV, характеризует вероятность ψ²dV нахождения частицы в заданной области пространства. Это понятие предполагает, с одной стороны, индетерминизм даже на уровне элементарных механических процессов, а с другой стороны - применение понятия вероятности к отдельному атому или отдельной молекуле, что также довольно бессмысленно. Так решаются, пожалуй, самые принципиальные из физических вопросов, связанных с квантовой механикой.
Литература
1. Фейнман Р. Нобелевская лекция. Пер. с англ. М.: Наука, 1976.
2. Шрёдингер Э. Ann. Phys., Bd.79, 1926, s.361, 489; Bd. 80, 1926, s.437; Bd. 81, 1926, s.109. Перевод с нем.: 'Четыре лекции по волновой механике'.- Харьков-Киев, 1936.
3. Эткин В.А. Энергодинамика (синтез теорий переноса и преобразования энергии). С-П., 2008, 409 с.
4. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т.1. Механика. М.: Наука, 1973.
5. Де Бройль Л. Ann. De Phys, V.10, 1925, p.22. Перевод с фр.: 'Введение в волновую механику'. - Харьков -Киев,1934.
6. Эткин В.А. Термодинамический вывод уравнения Шредингера. / http://www.n-t.org/tp/ng/kokm.htm, 22.09.2001.
1 В квантовой механике вследствие соотношения неопределенностей понятие кинетической энергии лишено смысла.
2 В нашем случае под ψ понимается амплитуда электромагнитной волны, возникающей в поле межатомных сил при торможении электрона, движущегося с определенной скоростью по определенной траектории (в отличие от квантовой механики, в которой понятие траектории объявляется не имеющими физического смысла).
3 Следует заметить, что в уравнении Шрёдингера постоянная Планка h вводится по аналогии с постулатом Планка Е = hν, а не на основе строгих рассуждений.
4 Так устраняются бесконечные значения энергии для точечных частиц и решается так называемая проблема расходимостей.
|