Введение. Очень часто приходится слышать, что в уравнениях электромагнитного поля Максвелла 'заключена вся электродинамика'. На этом основании из неё часто отбрасывается все то, что не вытекает из этих уравнений, в том числе существование продольных электромагнитных волн, возможность передачи электрической энергии по однопроводной линии, существование излучений неэлектромагнитной природы, возможность создания устройств, дающих за счет потребления их энергии 'избыточную' выходную мощность и т.п. Однако сами эти уравнения до сих пор считаются не выводимыми из каких-либо первичных принципов и лишь выражающих результаты известных на то время экспериментов в строгой математической форме. Поэтому представляет интерес показать, что в действительности уравнения Максвелла являются следствием энергодинамики [1], обобщающей термодинамику необратимых процессов [2] на процессы полезного преобразования энергии, и описывают довольно частный случай процессов взаимного преобразования электрической и магнитной энергии в замкнутых электрическом и магнитном контурах.

1. Специфика энергодинамики. Энергодинамика представляет собой метод исследования, основанный на приложении закона сохранения энергии к внутренним процессам преобразования любых форм энергии в пространственно неоднородных средах, содержащих всю интересующую исследователя совокупность взаимодействующих (взаимно движущихся) тел или их частей (вплоть до изолированных систем типа Вселенной).

С позиции этой теории пространственно неравновесная система отличается от однородной (внутренне равновесной) тем, что положение r_i центра характеризующих её состояние экстенсивных параметров состояния Θ_i (массы, энтропии, чисел молей k-x веществ, свободного и связанного заряда и т.п.) смещается от его равновесного положения r_iо= 0 на величину Δr_i, образуя некоторый 'момент распределения' Z_i = Θ_iΔr_i. Вследствие этого энергия системы Э становится зависящей не только от параметров Θ_i, но и от их положения в пространстве.  Эта часть энергии системы соответствует понятию внешней энергии. В поляризованных и намагниченных средах, где можно выделить положительные Θ_i' и отрицательные Θ_i" заряды (или северные и южные полюса), положение их центров r_i' и r_i" может быть найдено не зависимо друг от друга, так что упомянутые дополнительные параметры Z_i приобретают особенно четкий физический смысл поляризационных моментов

Z_i = Z_i'+ Z_i" = Θ_i'r_i'+ Θ_i"r_i" = Θ_i"Δr_i,                                           (1)

плечо которых определяется в среднем 'вектором смещения' Δr_i = r_i"- r_i'. Примерами таких параметров для системы единичного объема являются векторы электрической D и магнитной B индукции.

Благодаря существованию дополнительных параметров Δr_i  выражение полного дифференциала энергии системы в целом Э = Э(Θ_i, Δr_i)  принимает вид:

dЭ = Σ_iψ_i dΘ_i - Σ_i X_i"dZ_i,                                                            (2)

где ψ_i = (∂Э/∂Θ_i) - обобщенные потенциалы типа абсолютного давления, температуры, энтальпии, химических потенциалов к-х веществ и т.п.; X_i = - (∂Э/∂Z_i) - обобщенные силы в их энергетическом представлении. Первая сумма этого выражения характеризует изменение внутренней U энергии такой системы в результате теплообмена, массообмена, диффузии k-x веществ через границы системы, её электризации и т.п. Вторая сумма (2) характеризует внешнюю полезную работу đW^е, совершаемую такой системой вследствие неравновесности этих процессов. Её можно представить и в более привычном виде đW^е = - Σ_iF_i"dr_i, используя понятие силы F_i = - (∂Э/∂r_i) = Θ_iX_i в её обычном (ньютоновском) понимании.

     Введение недостающих параметров пространственной неоднородности Z_i и X_i  рассматриваемых систем позволяет отказаться от концепции равновесия в условиях протекания реальных (нестатических) процессов, лежащей в основе классической термодинамики (термостатики). Это облегчает введение в термодинамику общефизического понятия потока J_i = dZ_i/dt = Θ_iv_i, где v_i = dr_i/dt - скорость переноса 'энергоносителя' Θ_i [1].

2. Термодинамический вывод уравнений Максвелла. Приложим теперь основное уравнение энергодинамики (2) к анализу неравновесной системы, обладающей в статике электрической и магнитной степенью свободы. Энергия Э_v единицы объема такой системы является, как известно, функцией векторов электрической D и магнитной B индукции, которые в свою очередь зависят от напряженности внешних полей E и H. Если исключить из рассмотрения процессы объемной деформации такой системы, её массообмена с окружающей средой, диффузии в систему каких-либо веществ, ввода в неё электрического заряда и т.д., выражение (1) для неё  принимает вид [3]:

     dЭ_v = ТdS - E"dD - H"dB .                                              (3)

Члены правой части этого выражения характеризуют соответственно элементарную работу поляризации đW_еv = E"dD и намагничивания đW_мv = H"dB данного тела. При этом нетрудно заметить, что параметры D и B в этом выражении имеют смысл алгебраической суммы моментов распределения в системе единичного объема V плотности свободных ρ_е и связанных зарядов ρ_е', ρ_е" , а также так называемых 'магнитных масс полюсов' ρ_м', ρ_м" [4]. Действительно, поскольку в условиях электронейтральности ρ_е" = - ρ_е' и ρ_м"= - ρ_м', то

D = Z_еV + Z'_еV + Z"_еV = ρ_е'r_е'+ ρ_е"r_е" = ρ_е"Δr_е ,                                    (4)

   B = Z'_мV + Z"_мV = ρ_м'r_м'+ ρ_м"r_м" = ρ_м"Δr_м ,                                       (5)

где Δr_е = r_е"- r_е'; Δr_м = r_м"- r_м' - плечо соответственно электрического и магнитного диполя.

Предположим, что в такой системе осуществляются процессы взаимного превращения энергии электрического и магнитного поля, мощность которых

      N_е = E"dD/dt; N_м = H"dB/dt.                                            (6)

Если такие процессы протекают обратимо, энергия системы Э_v и ее энтропия S остаются неизменными. При этом имеет место очевидный баланс мощностей N_е = - N_м. Это непосредственно приводит к соотношению вида:

     E"(dD/dt) = - H"(dB/dt).                                                   (7)

Этим простым соотношениям можно придать вид уравнений Макс­велла для вещества1). Для этого рас­смот­рим систему, состоящую из замкнутого электрического контура произвольной длины ℓ_e и переменного (в общем случае) сечения f_e, который охваты­вает замкнутый же магнитопровод длиной ℓ_м и переменным по длине сечением f_м. Примером такой системы является трансформатор. Учитывая непостоянство f_e и f_м, в соотношении (7) следует перейти к интегральной форме:

N_е = ∫ E"(dD/dt)dV_e; N_м = ∫ H"(dB/dt)dV_м ,                                   (8)

Элементы объема dV_e и dV_м, занятого диэлектриком и магнетиком, можно представить в виде произведения ортогональных векторных элементов соответственно длины и сечения электрического контура и магнитопровода: dV_e = dℓ_e∙df_e и dV_м = dℓ_м∙df_м. Тогда выражения (8) можно переписать в виде:

N_е = ∫∫E"(dD/dt)"dℓ_e"df_e = ∫∫(E"dℓ_e)"(dD/dt)"df_e ;                                          ( 9)

N_м = ∫∫H"(dB/dt)"dℓ_м"df_м = ∫∫(H"dℓ_м)"(dB/dt)"df_м.                                        (10)

Если принять, что E и H остаются неизменными по сечению соответственно проводника и магнитопровода по всей их длине ℓ_e и ℓ_м, т.е. не зависят от f_e и f_м , то выражение (E×dℓ_e) и (H×dℓ_м) можно вынести за знак интеграла по df_e и df_м, переписав выражения (9) и (10) в терминах неравновесной термодинамики [2] следующим образом:

N_е = ∫ E"dℓ_e ∫ (dD/dt)df_e = X_e J_e^с ;                                            (11)

N_м = ∫ H"dℓ_м ∫ (dB/dt)df_м = X_м J_м^с,                                           (12)

где J_e^с = ∫(dD/dt)df_e,    J_м^с = ∫(dB/dt)df_м - скалярные электрический и магнитный потоки смещения, называемые в электродинамике 'потоками сцепления' и традиционно представляемые числом силовых линий, пронизывающих сечение соот­ветственно электричес­кого контура и магнитопровода [4]; X_e = ∫E"dℓ_e, X_м = ∫ H"dℓ_м - модули так называемых электродвижущей и магнитодвижущей силы (ЭДС и МДС), определяемые циркуляцией соответственно векторов E и H вдоль замкнутых электрического и магнитного контуров [4].

Теперь уравнениям электромагнитного поля можно придать форму, принятую в термодинамике необратимых процессов [2]:

     J_e = L_ee X_e + L_eмX_м;                                                           (13)

      J_м = L_мeX_e + L_ммX_м .                                                        (14)

Эти законы, называемые 'феноменологическими' (основанными на опыте), отражают идею взаимосвязи электрических и магнитных явлений, проявляющуюся в том, что каждый из потоков J_e^с и J_м^с зависит от обеих сил, действующих в данной системе. При этом диагональные члены L_ee X_e и L_ммX_м в этом выражении характеризуют явления электропроводности и 'магнитопроводности', которые возникают под действием одноименных сил; перекрестные же члены L_eмX_м и L_мeX_e характеризуют сопротивление потокам, связанное с преодолением 'чужеродных' сил. Эти силы и вызывают превращение электрической энергии в магнитную и наоборот. Таким образом, явления, происходящие в рассматриваемой системе, вполне адекватно описываются в терминах теории необратимых процессов. Это становится окончательно ясным после доказательства справедливости для рассматриваемой системы соотношений взаимности.

Поскольку N_е = - N_м, соотношениям (11) - (12) можно придать более простой вид:

        J_e /X_м = - J_м /X_e .                                                         (15)

Сопоставляя это уравнение с феноменологическими законами (13) и (14), находим, что левая часть (15) определяет коэффициент L_eм, а правая - коэффициент L_мe. Отсюда следуют соотношения взаимности (условия 'антисимметрии' Онсагера-Казимира [2]):

           L_eм = - L_мe .                                                         (16)

Эти соотношения недвусмысленно указывают на то, что электричество и магнетизм - два независимых явления, взаимосвязь между которыми появляется только в динамике (с появлением потоков J_e^с и J_м^с). Что касается величины и размерность этих коэффициентов, то они зависят от выбранной системы единиц. В системе СИ L_em = - L_me = 1, и с учетом этого вместо (12) можно написать:

        X_e = - ∫(dB/dt)df_м ,                                                    (17)

        X_м = ∫(dD/dt)df_e ,                                                      (18)

Первое из этих соотношений представляет собой закон Фарадея, согласно которому ЭДС численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока, пронизывающего электрический контур (правило потока). Перейдем теперь на основании теоремы Стокса в выражениях силы X_e= ∫E"dℓ_e от криволинейного интеграла по замкнутому электрическому контуру длиной ℓ_e к интегралу ∫rot Е"df_м по сечению магнито­провода f_м. Подобным же образом перейдем в выражении силы X_м= ∫ H"dℓ_м от криволинейного интеграла по замкну­тому магнитному контуру длиной ℓ_м к интегралу ∫rot H"df_e по поверхности f_е, натянутой на электрический контур. Тогда вместо (17) и (18) имеем:

   ∫rot Е"df_м = - ∫(dB/dt)df_м ,                                                   (19)

   ∫rot H"df_e = ∫(dD/dt)df_e ;                                                      (20)

или в дифференциальной форме:

      rot H = dD/dt,                                                                (21)

rot E = - dB/dt .                                                               (22)

Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений Максвелла тем, что в них фигурируют полные производные по времени от векторов электрической и магнитной индукции. Последнее не удивительно, поскольку в исходные уравнения энергодинамики (1) также входят полные дифференциалы векторов поляризации и намагничивания D и B. Характерно, что и сам Максвелл первона­чально записывал свои уравнения через полные производные от этих параметров. Однако этим уравнениям можно придать и более привычный вид, рекомендованный Хэвисайдом и Герцем, если в выражении полной производной электрической и магнитной индукции D = D(r,t) и В = В(r,t) по времени

dD/dt = (∂D/∂t)_r + (v_е"grad)D                                                 (23)

dВ/dt = (∂В/∂t)_r + (v_м"grad)В                                                 (24)

принять grad"D = ρ_е и (v_е"grad)D = ρ_еv_е = j_е, где j_е - ток проводимости,  и  dВ/dt = (∂В/∂t) ввиду отсутствия магнитного аналога этого тока.  Тогда уравнения (23), (24) принимает вид

rot E = - (∂B/∂t),                                                         (25)

rot H = j_е + (∂D/∂t) .                                                    (26)

Однако, поступая так, мы исключаем из рассмотрения потоки смещения связанных зарядов ρ_е', ρ_е" и полюсов ρ_м', ρ_м", также входящих в полные производные D и B в соответствии с выражениями (4) и (5). С учетом потоков смещения связанных зарядов и полюсов выражения (23) и (24) принимают вид

dD/dt = (∂D/∂t)_r + j_е + j_е' + j_е" ,                                                (27)

rot H = j_е + (∂D/∂t) .                                                    (26)

dВ/dt = (∂В/∂t)_r + j_м' + j_м" ,                                                (28)

где j_е' = ρ_е'v_е', j_е" = ρ_е"v_е"; j_м'= ρ_м'v_м', j_м"= ρ_м"v_м". Потоки смещения связанных зарядов отнюдь не компенсируются, а, напротив, складываются ввиду того, что в процессе образования электрических диполей противоположны по знаку не только заряды, но и скорости их смещения v_е' = - v_е". Точно так же складываются и потоки разноименных полюсов, поскольку v_м'= - v_м". В результате возникают конвективные потоки смещения связанных зарядов j_е^k  = j_е' + j_е" и полюсов j_м^k = j_м' + j_м", и уравнения (25) и (26) принимают вид []:

rot E = j_м^с - (∂B/∂t),                                                         (29)

rot H = j_е + j_е^с + (∂D/∂t) .                                                    (30)

Видоизменяется и другая пара уравнений Максвелла []:

div D = ρ_е + ρ_е' + ρ_е"                                                                  (31)

div B = ρ_м' + ρ_м" ,                                                                  (32)

если только связанные заряды и магнитные массы полюсов взаимно не компенсируются, т.е. ρ_е' + ρ_е" ≠ 0 и ρ_м' + ρ_м" ≠ 0. Это происходит, например, когда заряды или полюса одного знака выдвигаются за границы системы и возникает так называемый 'поляризационный' заряд или его магнитный аналог.

Явный учет потоков смещения в уравнениях электромагнитного поля снимает ряд трудностей электродинамики, в частности, те из них, что связаны с известными исключениями из правила потока [] (Р. Фейнман и др., 1977). Действительно, согласно  (17) и (18) электро­движущая и магнитодвижущая силы возникают не только вследствие изменения векторов электрической и магнитной индукции D и B, но и наличия потоков энергоносителя (электрического и магнитного зарядов), независимо от того, чем эти потоки вызваны - перераспределением зарядов по системе или движением самой системы. Это объясняет, почему ЭДС возникает там, где 'поток' ∂B/∂t  не меняется, и не возникает там, где этот поток изменяется (см. примеры с потоком сквозь вращающийся диск и при повороте пластинок, приведенные Р.Фейнманом, 1977). Благодаря этому исключается отмеченная им необходимость использования различных законов силы для случая движущегося контура и меняющегося поля.

Учет в уравнениях поля потоков смещения в их общефизическом понимании легко объясняет факт появления электрической поляризации в движу­щемся магнетике в отсутствие внешнего поля H. Отличие от нуля производной dD/dt обусловлено в данном случае наличием конвективной составляющей тока смещения j_е^к, связанной с движением электризованного тела. С этих позиций возникновение магнитного поля при движении поляризован­ного диэлектрика (эффекты Роуланда - Эйхенвальда и Рентгена - Эйхенвальда), а также поляризация диэлектрической пластины при ее движении в магнитном поле (эффект Вильсона - Барнета) также объясняются как следствие j_е^к, не требуя привлечения релятивистских преобразований. В частности, становится ясным, что даже в однородно поляризованных телах при наличии 'конвективной' составляющей j_е^k  разнонаправ­ленные потоки смещения j_е', j_е'' и j_м', j_м'' становятся различными по величине. Это обстоятельство может иметь прямое отношение к явлению 'самодвижения' ферромагнетиков после начального толчка (эффект Сёрла), наблюдаемому многими исследователями.

Предложенный здесь термодинамический вывод уравнений электромаг­нит­ного поля опровергает расхожее мнение о том, что уравнения Максвелла не выводимы из каких-либо первичных принципов. Вместе с тем этот вывод обнажает ряд допущений, заложенных в их основание. Прежде всего, электродвижущая и магнитодвижущая силы определялись в (17) и (18) для замкнутых электрических и магнитных цепей. Следовательно, уравнения Максвелла не применимы к незамкнутым электрическим токам и элементам тока. Это подчеркивалось и самим Максвеллом. Во-вторых, исключались из рассмотрения неизбежные джоулевы потери, имеющие место в процессе не только электропроводности, но и переполяризации диэлектриков, а также перемагничивания магнитопровода. Далее, предполагалось, что потоки электрической и магнитной индукции в выражениях (12) и (13) однородны по сечению проводника и магнитопровода. Наконец, предполагалось, что баланс мощностей N_е = N_м  соблюдается для каждой локальной области рассматриваемой системы, поскольку в противном случае переход к дифференциальной форме (21) и (22) становится некорректным.

Предпринятый вывод уравнений Максвелла показывает, таким образом, что повсеместно применяемые уравнения Максвелла описывают процессы в электромагнитных системах отнюдь не исчерпывающим образом и не являются универсальными для всех их конструктивных разновидностей. Кроме того, они не свободны от внутренних противоречий, поскольку наличие тока проводимости не совместимо с допущением об обратимости рассматриваемого процесса преобразования энергии. Все это говорит о том, что в уравнениях Максвелла заключена отнюдь не вся электродинамика, которая, таким образом, делает целесообразным рассмотрение её с более общих позиций единой теории процессов переноса и преобразования любых форм энергии, каковой является энергодинамика  [1]. 

Литература

1.      Максвелл Дж.К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. - М.: Гостехиздат, 1954, 688 с.

2.      Фейнман Р.П., Лейтон Р. Б., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т.5.,  М.: Мир, 1977.

3.      Де Грот С.. Мазур П. Неравновесная термодинамика, М.: Мир, 1964.

4.      Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т.8 : Электродинамика сплошных сред, М.: Наука, 1982.

5.      Эткин В.А. Энергодинамика (синтез теорий переноса и преобразования энергии). - С-Пб, 'Наука', 2008

6.      Поливанов К.М. Электродинамика движущихся тел. М.: Энергоиздат, 1982.

7.  Эткин В.А. Термодинамический вывод уравнений Максвелла (http: (//sciteclibrary.ru /rus/catalog/pages/7628.html), 07.06. 2004