Богатырёв Андрей : другие произведения.

Задачка Гугля

"Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:


 Ваша оценка:

Задача Google

В стране, где люди хотят, чтобы у них были дети-мальчики, каждая семья продолжает рожать детей до тех пор, пока не появится мальчик. Если у них девочка, они заводят ещё одного ребёнка. Если у них мальчик, они останавливаются. Каково соотношение мальчиков и девочек в такой стране?

Решение

 []

Нарисуем граф процесса (вообще говоря, это называется "однородная цепь Маркова", но мы обойдёмся без специальных теорий). Обозначим через p (p<1) вероятность рождения девочки (Female). Соответственно, 1-p будет вероятностью рождения мальчика (Male). Отметим, что события рождения мальчика или девочки на каждом шаге независимы, то есть не определяются предыдущими событиями. Это позволяет нам перемножать вероятности p(AB)=p(A)p(B).

Математическое ожидание числа мальчиков равно сумме произведений числа мальчиков (оно у нас всегда 1 и мы будем его опускать) на вероятность события "родился мальчик".
M = (1-p) + p(1-p) + p2(1-p) + p3(1-p) + ... + pn(1-p) + ...
Поясняю: (1-p) - это рождение мальчика на первом шаге; p(1-p) - это рождение девочки на первом шаге и мальчика на втором; p*p*(1-p) - это девочка на первом шаге, девочка на втором, мальчик на третьем. И так далее.

Аналогично, матожидание числа девочек
F = p + p2 + p3 + ... + pn+1 + ...

Обозначим за S ряд S = 1 + p + p2 + p3 + ... + pn + ...
Тогда, вынося множители за скобки, получим
M = (1-p)S
F = pS
Откуда мы немедленно получаем M/F = (1-p)/p, что вобщем-то очевидно из графа процесса: число вершин Male и Female равно, а частота переходов в них соотносится как раз как (1-p) и p.

Далее, S = limn->Inf (pn+1 - 1)/(p-1) = 1/(1-p)
Отсюда вытекает, что M = (1-p)/(1-p) = 1, что соответствует условиям задачи: в семье может быть ровно один мальчик, потому что после его рождения процесс прекращается. Так же F = p/(1-p)
Если p = 1/2, то число мальчиков равно числу девочек.


 Ваша оценка:

Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
Э.Бланк "Пленница чужого мира" О.Копылова "Невеста звездного принца" А.Позин "Меч Тамерлана.Крестьянский сын,дворянская дочь"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"