|
|
||
Самая знаменитая математическая теорема очень короткая и окончательно сформулирована в виде утверждения: нельзя найти целых положительных чисел x, y и z, которые удовлетворяли бы уравнению xn + yn = zn , если n любое натуральное число большее 2.
Это Великая или Большая теорема Пьера де Ферма, несомненно, самая известная из всех математических проблем и популярная в смысле попыток ее доказательства, как профессиональными математиками, так и любителями. Несмотря на многочисленные попытки на протяжении длительного времени доказать ее пока так и не удалось математическими методами доступными во время жизни Ферма (1601-1665).
В 2005 году в статье: "Великая теорема Ферма не верна, имеются ее решения среди бесконечных целых чисел. Теоретически доказать ее не возможно" (http://stob2.narod.ru/14s.htm) , было показано, что теорему нельзя доказать по причине неверности самой теоремы. Такой вывод следовал из того, что были найдены решения для уравнения, рассматриваемого в теореме, среди, так называемых, бесконечных целых чисел, значения которых можно вычислять по следующим формулам:
![[]](/img/b/below_a_m/ab13-2/39s1.jpg)
где а и b -практически любые действительные положительные числа, П∞10 - бесконечное произведение числа 10.
Сразу, как только эта статья стала доступна для ознакомления, появились утверждения, что якобы при формулировании теоремы по умолчанию в качестве решений имелись в виду только целые конечные числа.
Конечно, если об этом не было прямо, где-либо написано, то сейчас установить, кто и что в далеком прошлом имел в виду, не представляется возможным. С другой стороны в математике действительно очень часто многое не прописывается, а именно имеется в виду по умолчанию. Происходит это из-за не совершенства используемого в математике языка. Дело в том, что не все функции удается задать только при помощи формул. Часто задавать функции приходится словесными высказываниями или пояснять используемые при задании функций математические формулы словесными высказываниями. При этом в словесных высказываниях уточнения, которые представляются очевидными, часто опускаются. В дальнейшем об этом забывают и в случае применения математических выражений так, как они написаны (без учета уточнений по умолчанию), могут возникать определенные проблемы.
Более подробно о проблемах такого рода можно прочитать в статье: "К вопросу детального математического описания уравнениями дискретных объектов и процессов" .
Теорема же Ферма изначально была задана преимущественно в виде словесных высказываний, содержащих сравнительно много уточнений. Однако в настоящее время в формулировке этой теоремы можно использовать уточненные математические формулы, которые исключат необходимость применения большинства словесных высказываний. Например, в качестве такой уточненной математической формулы можно использовать следующее выражение:
![[]](/img/b/below_a_m/ab13-2/39s2.jpg){kind=small}
где [ ] - знак обозначающий целую часть числа или обозначает операцию по отбрасыванию дробной части от результата вычисления выражения, стоящего в прямоугольных скобках.
Тогда формулировка Большой теоремы Ферма сведется к утверждению, что данное уравнение не имеет решений в конечных числах больших или равных нулю. Однако, в любом случае, уточнение, что числа обязательно должны быть конечными необходимо, так как в противном случае в данное уравнение можно будет подставлять бесконечные целые числа и соответственно находить решения, удовлетворяющие этому уравнению. И вообще, утверждение, что в Большой теореме Ферма в качестве решений могут использоваться только конечные числа не является столь уж очевидным.
Кроме этого необходимо отметить, что рассмотренная здесь неточность в существующей формулировке Большой теоремы Ферма не является единственной. Существует еще одна неточность, способная повлиять на нахождение доказательства теоремы методами доступными во время жизни Ферма. Вторая неточность в формулировке Большой теоремы Ферма прямо следует из приведенных выше формул для вычисления решений уравнения, рассматриваемого в Большой теореме Ферма, в бесконечных целых числах, и заключается в том, что это уравнение не имеет решений не только в конечных целых числах, но не имеет решений и в конечных дробях. Так как, если имеются решения в конечных целых числах, то обязательно будут существовать решения и в конечных дробях и наоборот.
Действительно, всегда решения для уравнения из теоремы Ферма можно представить в виде выражений:
![[]](/img/b/below_a_m/ab13-2/39s3.jpg){kind=small}
где k - коэффициент, d, f, g - конечные числа являющиеся решениями уравнения из Большой теоремы Ферма.
Теперь, если имеются целые конечные числа d, f, g, которые являются решениями уравнения из Большой теоремы Ферма, то можно всегда подобрать коэффициент k в виде дроби такой, что при умножении его на числа d, f, g будут получены конечные дроби x,y,z, которые также будут являться решениями уравнения из Большой теоремы Ферма. Эту же процедуру можно выполнить в обратном порядке и перейти от конечных дробей к конечным целым числам, являющимся решениями уравнения из Большой теоремы Ферма.
Поясним эти утверждения на конкретном примере.
Возьмем числа: d=12, f=35, g=37, которые являются решениями уравнения: x2 + y2 = z2 в конечных целых числах, умножим их на коэффициент k=0,1, и получим дроби x=1,2, y=3,5, z=3,7, которые будут являться решениями данного уравнения в конечных дробях.
Теперь возьмем числа: d=1,2, f=3,5, g=3,7, которые являются решениями уравнения: x2 + y2 = z2 в конечных дробях, умножим их на коэффициент k=20, и получим конечные целые числа x=24, y=70, z=74, которые будут являться решениями данного уравнения в конечных целых числах.
Очевидно, что подобным образом можно преобразовать любые конечные числа, являющиеся решениями уравнения из Большой теоремы Ферма в бесконечную последовательность решений уравнения из Большой теоремы Ферма в конечных целых числах или дробях. Но это можно сделать только в том случае, если существуют решения уравнения из Большой теоремы Ферма в конечных целых числах или дробях. Так как подобных решений до сих пор обнаружено не было, то для числового примера было взято уравнение с показателем степени n=2. Для такого уравнения конечные целочисленные решения известны. Тут необходимо отметить, что если бы были известны целочисленные решения для показателя степени n большего 2, то принципиально характер рассмотренных преобразований не изменился бы.
Таким образом, с учетом обнаруженных неточностей, формулировку Большой теоремы Ферма в ее общепринятом виде следует записать в виде следующего утверждения: нельзя найти конечных положительных чисел x, y и z, которые удовлетворяли бы уравнению xn + yn = zn , если n любое натуральное число большее 2.
В этой формулировке теоремы неважно целочисленными или нет, будут решения, важно чтобы они были в конечных числах. Если решения для конечных чисел не будут найдены, то в частном случае и решения в конечных целых числах тоже существовать не будут. Таким образом, уточненная теорема все же имеет значительные отличия от Большой теоремы Ферма, и Большая теорема Ферма может рассматриваться лишь в качестве частного случая более общей теоремы. Причем, в не зависимости от того, кто и, что имел в виду. Столь существенные уточнения все же надо прописывать в явном виде, а не иметь в виду по умолчанию.
Ну, и все же, может ли Большая теорема Ферма быть доказана в качестве частного случая? Конечно, может, если иметь в виду, что искомые решения уравнения обязательно должны быть конечными целыми числами. Более того, требование конечности целых чисел в явном виде даже не всегда нет необходимости учитывать в силу того обстоятельства, что часто используемый при доказательстве математический аппарат просто не может такими числами оперировать и полученное доказательство автоматически становится справедливым только для конечных чисел.
Правда в настоящее время существует всего одно такое доказательство, признанное верным. Это доказательство Большой теоремы Ферма, сделанное 19-го сентября 1994 года профессором Принстонского университета Эндрю Уайлсом. Но необходимо учитывать, что Уайлс в своем доказательстве опирался на относительно слабо используемую на практике теорию арифметической алгебраической геометрии и ряд современных математических инструментов, созданных большим числом математиков за примерно последние сто лет, которые отсутствовали во время жизни Пьера де Ферма. В результате он получил доказательство очень объемное (в журнальном варианте занимает 120 страниц) и сложное для понимания даже профессиональными математиками, выполненное методами недоступными во время жизни Пьера де Ферма.
Как следствие этого реакция на представленное Эндрю Уайлсом доказательство была весьма нейтральной даже среди математического сообщества. Ведь, кроме того, что доказательство было необычайно сложным, а значит и трудно поддающимся надежной проверке, все ждали совсем иного доказательства, во всяком случае, полученного не любой ценой. Все дело в том, что Большая теорема Ферма приобрела столь большую популярность во многом благодаря сделанной Пьером де Ферма на полях перевода "Арифметики" Диофанта записи: "Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы вместить его". И естественно ожидалось доказательство, выполненное элементарными методами доступными во время жизни Пьера де Ферма.
Правда, сторонники доказательства Уайлса пытаются всех убедить в том, что методологическая сложность присуща всем великим доказательствам последнего времени и в дальнейшем будет только нарастать, что Пьер де Ферма ошибался, утверждая, что нашел доказательство своей теоремы, так как доказать ее методами отличными от методов Уайлса якобы невозможно по причине минимальности математических инструментов Уайлса.
Но если учесть, что в силу своей сложности и объемности доказательство Уайлса все еще сохраняет вероятность присутствия в нем ошибок, а также уточнения по формулировке теоремы, сделанные в настоящей статье, то и подобные высказывания, скорее всего, являются очередным заблуждением.
Существующие проблемы в доказательстве Уайлеса подробно были изложены в статье: "Великая теорема Ферма не верна, имеются ее решения среди бесконечных целых чисел. Теоретически доказать ее не возможно" (http://stob2.narod.ru/14s.htm) .
Отмеченные выше неточности в формулировке Большой теоремы Ферма указывают на наличие иных подходов, отличных от подходов, использованных Эндрю Уайлсом, при доказательстве Большой Теоремы Ферма.
Так то, что уравнение, рассматриваемое в Большой теореме Ферма, не имеет решений не только в конечных целых числах, но не имеет решений и в конечных дробях в сочетании с приведенным в настоящей статье методом преобразования любых конечных чисел, являющихся решениями уравнения из Большой теоремы Ферма, в бесконечную последовательность решений этого уравнения указывает на то, что если бы такие решения существовали, то их было бы бесконечно много, и они были бы равномерно распределены, как среди маленьких чисел, так и среди очень больших чисел.
То есть, если бы решения существовали, то они были бы быстро обнаружены уже среди относительно небольших чисел и поиски решений среди больших чисел, организованные после появления ЭВМ, были совершенно излишними.
Очевидно, что все возможные решения в конечных целых числах уравнения, рассматриваемого в Большой теореме Ферма, если, конечно, таковые имеются, принадлежат ряду натуральных чисел. И можно предположить, что наличие или отсутствие среди этих чисел решений этого уравнения определяется свойствами ряда натуральных чисел.
Искать среди широко известных и детально описанных представителями классической математической науки свойств ряда натуральных чисел, свойства, которые могли бы повлиять на доказательство Большой теоремы Ферма в настоящее время, скорее всего, окажется безнадежным занятием. Многие поколения, так называемых, ферматистов уже многие сотни раз все проверили и перепроверили, и, как известно, ничего не нашли. Необходимо обратить внимание на неизвестные, малоизвестные, нетрадиционные свойства ряда натуральных чисел.
В статье "О свойствах нумерологически сокращенных чисел с математических позиций теории чисел, формулах нумерологического сокращения чисел и восстановления чисел после их нумерологического сокращения" http://stob2.narod.ru/38s.htm были показаны некоторые нетрадиционные свойства ряда натуральных чисел, которые проявляются при последовательном, так называемом, нумерологическом сокращении членов ряда натуральных чисел.
В этой же статье рассматривается формула для перевода ряда натуральных чисел в бесконечную последовательность вида 1, 2, ..., m, 1, 2, ..., m, .... нумерологически сокращенных членов ряда натуральных чисел по модулю m:
![[]](/img/b/below_a_m/ab13-2/39s42.jpg)
где x - значение нумерологически сокращаемого натурального числа; m - модуль; [ ] - знак, обозначающий целую часть числа или обозначает операцию по отбрасыванию дробной части от результата вычисления выражения, стоящего в прямоугольных скобках.
И рассматривается формула для перевода бесконечной последовательности 1, 2, ..., m, 1, 2, ..., m, .... нумерологически сокращенных членов ряда натуральных чисел по модулю m обратно в ряд натуральных чисел:
где A - исходное число до нумерологического сокращения; N - порядковый номер периода в числовом ряде: 1, 2, ..., m, 1, 2, ..., m, .... (Данный числовой ряд в пределах каждого своего периода последовательно принимает значения от 1 до m.); F - нумерологическое число из ряда 1, 2, ..., m; m - модуль нумерологического сокращения числа.
Поскольку бесконечный ряд натуральных чисел всегда может быть преобразован в бесконечный периодический числовой ряд 1, 2, ..., m, 1, 2, ..., m, ...., то свойства чисел натурального ряда соответствующие числам ряда 1, 2, ..., m, 1, 2, ..., m, .... тоже периодически будут повторяться. Поэтому свойства чисел натурального ряда, соответствующие числам первого периода числового ряда 1, 2, ..., m, 1, 2, ..., m, .... будут бесконечно воспроизводиться в последующих периодах, а, следовательно, появляется возможность делать оценку свойств сумм чисел определенного вида на протяжении всего бесконечного ряда натуральных чисел. Числовой ряд 1, 2, ..., m, 1, 2, ..., m, .... в пределах каждого своего периода последовательно принимает значения от 1 до m.
Правда для того, чтобы такая оценка являлась корректной необходимо, чтобы количество чисел в периоде 1, 2, ..., m числового ряда 1, 2, ..., m, 1, 2, ..., m, .... была равна числу слагаемых плюс единица. То есть модуль нумерологического сокращения m должен быть равен числу слагаемых плюс единица.
Кроме этого сумма чисел: 1 + 2 + ...+ m - 1 не должна превосходить m.
Тогда для суммы двух слагаемых модуль нумерологического сокращения m должен быть равен трем и сумма 1 + 2 = 3 не будет превосходить m.
Для суммы трех слагаемых модуль нумерологического сокращения m должен быть равен четырем и сумма 1 + 2 + 3 = 6 уже будет превосходить m.
Для суммы четырех слагаемых модуль нумерологического сокращения m должен быть равен пяти и сумма 1 + 2 + 3 + 4 = 10 тоже будет превосходить m.
Очевидно, что и дальше с ростом числа слагаемых сумма чисел: 1 + 2 + ...+ m - 1 всегда будет превосходить m.
Таким образом, получается, что корректная оценка возможна только для диофантовых уравнений, состоящих из двух слагамых. Нетрудно понять, с чем это связано - ведь любое количество слагаемых всегда можно представить в виде двух слагаемых. А вот меньшее число слагаемых существовать не может. Диофантово уравнение xn + yn = zn как раз состоит из двух слагаемых.
Теперь можно перейти к исследованию изменений свойств суммы xn + yn по мере изменений значения показателя степени n. Для этого составим таблицу, в которую последовательно занесем значения чисел A натурального ряда, начиная с единицы, результаты возведения чисел A в степень n, начиная с двух, результаты F нумерологического сокращения по модулю m = 3 чисел An и соответствующие числам An номера периодов N в бесконечной числовой последовательности 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, ....
![[]](/img/b/below_a_m/ab13-2/39s52.jpg)
Возводя в степень последовательно члены A натурального ряда чисел можно получить все возможные значения слагаемых в уравнении xn + yn = zn. Однако в связи с тем, что ряд натуральных чисел бесконечен эти возможные значения слагаемых будут так же представлять собой бесконечный ряд чисел. Поэтому в таблице приведены значения соответствующие только началу натурального ряда чисел в объеме достаточном для оценки свойств чисел соответствующих первому периоду бесконечной числовой последовательности 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, ...., а так же в связи с тем, что свойства чисел первого периода будут бесконечно периодически повторяться.
При помощи таблицы проверим возможность существования решений в конечных целых числах у уравнения xn + yn = zn. Для этого проверим, выполняются ли для чисел 1n, 2n, 3n, соответствующих числам A - 1, 2, 3 отмеченные в статье 'О свойствах нумерологически сокращенных чисел с математических позиций теории чисел, формулах нумерологического сокращения чисел и восстановления чисел после их нумерологического сокращения' http://stob2.narod.ru/38s.htm условия. А именно равенство результата F3 нумерологического сокращения одного из чисел An результату нумерологического сокращения суммы чисел F1 + F2, полученных при нумерологическом сокращении двух оставшихся чисел An при выполнении всех нумерологических сокращений по модулю m = 3 и равенство порядкового номера периода N3, либо N1 + N2, либо N1 + N2- 1.
Так для случая, когда n = 2 (A2), если принять имеющиеся в таблице для первого периода бесконечной числовой последовательности 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, .... значения F следующим образом: F1 = 1, F2 = 3, F3 = 1, то F1 + F2 = 1 + 3 = 4. Число 4, а значит и сумма F1 + F2 нумерологически по модулю m = 3 сокращается до 1, то есть нумерологически сокращенная сумма чисел F1 + F2 равна F3 = 1. Если принять имеющиеся в таблице для первого периода бесконечной числовой последовательности 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, .... значения N следующим образом: N1 = 1, N2 = 2, N3 = 3, то N1 + N2 = 1 + 2 = 3 = N3.
Поскольку для значений A2 нумерологически сокращенные по модулю m = 3 F1 + F2 = F3 и N1 + N2 = N3, то уравнение x2 + y2 = z2 может иметь решения в конечных целых числах.
Необходимо отметить, что рассмотренная процедура оценки свойств уравнения xn + yn = zn позволяет лишь указать на возможность существования решений у данного уравнения, но не может подтвердить их реальное существование и не может указать их количество.
Для случая, когда n = 3 (A3), если принять имеющиеся в таблице для первого периода бесконечной числовой последовательности 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, .... значения F следующим образом: F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, то F1 + F2 = 1 + 2 = 3 = F3. Если принять имеющиеся в таблице для первого периода бесконечной числовой последовательности 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, .... значения N следующим образом: N1 = 1, N2 = 3, N3 = 9, то N3 = 9 значительно будет больше N1 + N2 = 1 + 3 = 4.
Поскольку для значений A3 хоть нумерологически сокращенные по модулю m = 3 F1 + F2 = F3, но при N3 значительно превышающем N1 + N2, уравнение x3 + y3 = z3 все же не будет иметь решений в конечных целых числах.
Для случая, когда n = 4 (A4), если принять имеющиеся в таблице для первого периода бесконечной числовой последовательности 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, .... значения F следующим образом: F1 = 1, F2 = 3, F3 = 1, то F1 + F2 = 1 + 3 = 4. Число 4, а значит и сумма F1 + F2 нумерологически по модулю m = 3 сокращается до 1, то есть нумерологически сокращенная сумма чисел F1 + F2 равна F3 = 1. Если принять имеющиеся в таблице для первого периода бесконечной числовой последовательности 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, .... значения N следующим образом: N1 = 1, N2 = 6, N3 = 27, то N3 = 27 значительно будет больше N1 + N2 = 1 + 6 = 7.
Поскольку для значений A4 хоть нумерологически сокращенные по модулю m = 3 F1 + F2 = F3, но при N3 значительно превышающем N1 + N2, уравнение x4 + y4 = z4 все же тоже не будет иметь решений в конечных целых числах.
И далее с ростом значения показателя степени n разница между N1 + N2 и N3 будет только увеличиваться, так как с ростом показателя степени n 3n растет быстрее, чем 1n + 2n. Таким образом, чем больше показатель степени n, тем больше будет отличаться результат возведения в степень числа 3 от суммы результатов возведения в ту же степень двух предыдущих чисел, а значит, и соответствующие этим числам значения N так же будут отличаться друг от друга во все большей степени. Следовательно, при любых показателях степени n больше двух уравнение xn + yn = zn не будет иметь решений в конечных целых числах.
Описанный здесь метод доказательства Великой теоремы Ферма выгодно отличается от многих предлагавшихся ранее тем, что позволяет объяснить существование решений в конечных целых числах у уравнения x2 + y2 = z2 не прибегая к известным способам доказательства теоремы Пифагора. И кроме этого существует достаточно очевидное объяснение того, почему данный метод не позволяет обнаружить решения уравнения xn + yn = zn в бесконечных целых числах. Все дело в том, что нумерологически сокращать можно только конечные числа, а вот бесконечные числа нельзя. Впрочем, методы арифметики вычетов к бесконечным числам так же применить невозможно.
Таким образом получается, что у Ферма все же имелась возможность доказать свою знаменитую теорему. В связи с этим совсем уже не обоснованными выглядят заявления о том, что Пьер де Ферма ошибался, утверждая, что нашел доказательство своей теоремы, так как доказать ее методами известными в семнадцатом веке якобы невозможно. Ведь нумерологическое сокращение чисел было известно уже несколько тысяч лет до семнадцатого века, и Пьер де Ферма по этой причине вполне мог назвать доказательство, основанное на столь древних методах 'поистине чудесным доказательством'.
декабрь 2014 года
![[]](/img/b/below_a_m/ab13-2/kniga.jpg) |
Теперь вся информация по альтернативной историиВеликой
теоремы Ферма собрана в одной книге: Андрей
Белов "Великая мистификация Ферма" LAP
LAMBERT Academic Publishing (2017-03-14) ISBN-13:
978-3-659-79304-2 ISBN-10:
3659793043 EAN: 9783659793042 Приобрести книгу можно через интернет магазин Люблю Книги (www.ljubljuknigi.ru)
|
|