Анемов Евгений Михайлович : другие произведения.

Эврика! Трисекция отрезка прямой

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:
Оценка: 6.01*8  Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Варианты деления произвольного отрезка прямой на 3 или любое другое целое число частей

Трисекция отрезка прямой
                        Немногие умы гибнут от износа:
                        по большей части они ржавеют
                        от бездействия (К.Н. Боуви)
Давно у меня была мысль кроме уже известных найти еще один способ деления отрезка прямой на 3 равные части (с использованием только циркуля и линейки без делений). Рассматривая различные варианты решения задачи, я нашел 2 варианта решения проблемы.


Вариант 1. Деление отрезка прямой AD на 3 равные части
  []
Случай а):
1. Любым из известных способов тривиально проводим прямую KL, параллельную отрезку AD (на расстоянии больше половины длины этого отрезка)
2. Через точку А проведем вертикальную (или слегка наклонную) прямую ОЕ, пересекающую прямую KL в точке Е
3. На луче EL от точки Е отложим циркулем 3 равные отрезки EF, FG и GH (длина этих отрезков - примерно равна или больше половины длины отрезка AD)
4. Через точки Н и D проводим прямую, пересекающую луч ЕМ в точке О
5. Через точку О и точки F и G проводим прямые OF и OG, которые пересекут отрезок AD в точках B и C соответственно

Случай б):
1. Любым из известных способов тривиально проводим прямую KL, параллельную отрезку AD на расстоянии (в два или более раз) больше длины этого отрезка
2. На прямой KL выберем произвольную точку Е (левее или под точкой А)
3. На луче EL от точки Е отложим циркулем 3 равные отрезки EF, FG и GH (длина этих отрезков - примерно равна или больше половины длины отрезка AD)
4. Соединим прямыми точки А и Н, D и Е (они пересекутся в точке О)
5. Через точки G и О, а также через точки F и O проводим прямые GO и FO до пересечения их с отрезком AD в точках B и C соответственно

Тогда (аналогично теореме Фалеса), раз отрезки EF, FG и GH равны, пропорциональные им отрезки AB, BC и CD также будут равны между собой, что и требовалось.
Примечание. Аналогичным образом можно разделить отрезок прямой на другое (целое) число равных частей (например, на 7).


Вариант 2. {идея - см. Г. Гелернтер, 1971 (Квант, 1970, #5, с. 9)}.
Деление отрезка прямой АС на три равные части
  []
1. К рассматриваемому отрезку прямой АС тривиально строим срединный перпендикуляр EOF
2. Из точки О на прямой ЕF откладываем отрезки ОВ и ОD, равные по длине отрезку АО (или ОС, т.е. половине отрезка АС)
3. Соединяем прямой точки А и В и тривиально делим отрезок АВ на две равные части: АG и GВ
4. Соединяем прямой точки D и G, которая пересекает прямую АС в точке K
Отрезок АK равен 1/3 длины отрезка АС (т.е. AK = KL = LC)
Правильность решения легко подтверждается визуально или средствами аналитической геометрии (если представить прямую АС как ось Х, а прямую EF - как ось Y).
Так, отрезок GD описывается уравнением у = -3х -3, а отрезок АВ - уравнением у = х +3. Решая их совместно, находим, что они пресекаются в точке G с коодинатами х = -1.5, у = 1.5. Прямая GD, проходящая через точку G, пересекает прямую АС в точке К с координатами х = -1, у = 0. Но длина отрезка АК равна 1/3 длины отрезка АС, что и требовалось доказать.

Опубликовано 2014.09.26

   
Оценка: 6.01*8  Ваша оценка:
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"