Время и пространство
Автора статьи с первых уроков дифференциального и интегрального исчисления до сего дня не оставляло чувство недосказанности, а сам метод казался висящим в воздухе. Куча вопросов остаётся без ответа. Создаётся впечатление, что суть этого метода мало кто понимает до сих пор, но религиозная точность придерживания канону позволяет обходиться и без него. Нам же хочется полного и абсолютного осмысления вдоль и поперёк. Это совершенно иное, нежели запоминание и повторение соответствующих разделов учебников математики.
Иоган Кеплер придумал оригинальный способ расчёта площади круга "на коленке". Он разбивал его на сектора, число которых предполагалось как угодно большим, так что площадь каждого стремилась к нулю. Бесконечно малый сектор имеет такое бесконечно малое основание, которое, будучи куском дуги превращается в прямой отрезок. Затем он мысленно составлял из этих секторов прямоугольный треугольник с большим катетом 2
R и высотой R. Каждый бесконечно малый сектор из круга был равен бесконечно малому своему эквиваленту в треугольнике, поскольку площадь треугольника это произведение полувысоты на основание. (Остроугольный треугольник сектора равен площади тупоугольного треугольника своего эквивалента, высота которого далеко выходит за пределы самого треугольника, так как равны их основания и высоты.) Посчитать же площадь большого треугольника не составляет труда. Мысленной заменой криволинейной фигуры, площадь или объём которой мы не можем посчитать в лоб, на простейшую площадь или объём, мы получаем возможность узнать их. Интегральный метод это способ такой трансформации для любой подобной задачи. 
Допустим, что нужно найти объём шара. Мысленно расчертим поверхность шара бесконечно большим количеством меридианов и параллелей. Бесконечно малая ячейка этой сетки станет основанием пирамиды с вершиной в центре шара. Стремление площади основания такой пирамиды к нулю позволяет считать его плоским. Объём любой пирамиды вычисляется как треть произведения его площади основания на высоту. Значит, суммирование объёма всех пирамид получившихся в результате разбиения, даст то же соотношение для полного объёма шара, - треть произведения площади поверхности шара на его радиус V= SшR/3. Теперь представим себе конус с основанием равным площади поверхности шара, и высотой равной радиусу шара. Он будет равен объёму шара. Мы можем вычислить "на коленке" одну величину, имея другую (объём шара или площадь его поверхности). Но какую-либо из них нужно найти иным путём.
Очень важный вопрос исследования - роль пространства и времени в интегрально-дифференциальном исчислении.
Бесконечно-малое и бесконечно-большое
Понятие бесконечно малого в корне отличается от просто очень маленького числа. Важным свойством поля вещественных чисел является выполнимость в нём аксиомы Архимеда: если имеются два отрезка a и b, причем a меньше b, то взяв a некоторое количество раз можно превзойти b. С бесконечно малым этот принцип не работает, - сколько n раз не бери бесконечно малое, оно не превзойдёт никакое сколь угодно малое вещественное число. Но если его взять бесконечное число раз, бесконечно-малое обретает вещественное протяжение.
Бесконечное множество отличается от любого самого большого числа тем, что невозможно назвать "сколько это в цифрах", а это возможно только при одном условии, - численность такого множества меняется, и меняется в сторону увеличения с бесконечно большой скоростью, никогда не прекращая рост. Изгибающаяся на графике функция в каждой точке своей кривой имеет строго определённый наклон к осям координат. Если у точки обозначающей этот наклон есть реальная протяжённость в пространстве, между ней, и точкой находящейся рядом, должна быть строго определенная граница. Но между двумя какими угодно близкими точками мы всегда можем всунуть бесконечное их множество. Значит, границ у бесконечно малых точек нет, поэтому нет и реальной вещественной протяжённости. Хотя у такой точки есть наклон и "центр" обозначающий её место на оси координат. Суммирование всех бесконечно малых, бесконечно возрастающих в числе, не имеющих никакой вещественной протяженности точек, составляющих вещественный отрезок, даёт нам реальную протяжённость. Вот какими рассуждениями мы приходим к понятию бесконечно малого.
1. Все согласны с тем, что на любом отрезке можно разместить бесконечно много бесконечно-малых.
2. Если мы разделим этот отрезок на бесконечно много частей, длина каждой такой части будет равна нулю, так как деление числа на бесконечность даёт ноль.
3. Если мы разобьем на бесконечное число частей два отрезка, один из которых будет длиннее другого вдвое, то у каждого бесконечно малого отрезка в результате разбиения длина будет равна нулю, но длина равная нулю большего отрезка будет в два раза превосходить равное нулю бесконечно-малое меньшего отрезка. (Именно поэтому деление на ноль неопределённость. Ноль это бесконечно-малое, которое может иметь какое угодно значение.)
4. Если мы плавно изогнём отрезок, каждая его точка изогнута не будет, так как она не имеет вещественного протяжения. Но изгиб присутствует физически, а вещественное существование отрезка обеспечивает бесконечное множество бесконечно-малых. Значит, изгиб должен затрагивать все бесконечно-малые, наклоняя их подобно звеньям цепи под действием силы тяжести, и каждое бесконечно-малое будет иметь свой наклон, отличный от соседнего. Таким образом, бесконечно-малое не имея вещественного протяжения, имеет ориентацию в пространстве.
Приведём практический пример пользы от этой "эквилибристики", посчитав площадь круга, составив из секторов на этот раз не треугольник, а параллелограмм или трапецию, соединяя сектора "вершина к основанию", словно всовывая зубья одной пилы в зубья другой. Поступим так со всеми секторами и соединим параллелограммы. У нас получится фигура с двумя параллельными сторонами равными
R и двумя сторонами равными R. Как мы знаем, её площадь должна быть равна R2, а это значит, что параллелограмм прямоугольный, то есть высота равнобедренного треугольника (бесконечно-малого сектора) равна двум его сторонам. У сектора ставшего треугольником вершина и основание оказываются безразмерными, равными нулю точками, но за счёт бесконечного суммирования оснований они обретают протяжённость. под бесконечно малым мы должны понимать некую среднюю, отличную и от нуля и от какого-либо протяжения величину. Мы продифференцировали круг, потом проинтегрировали и получили площадь. Эти приёмы неосуществимы в физическом мире, так как очевидным образом в его логике абсурдны. Математическую же логику они не нарушают.
При интегрировании подсчитывается бесконечная сумма площадей прямоугольников с бесконечно малым основанием и высотой равной ординате функции в этой точке. Верхушкой этого прямоугольника обычно является наклонённое под разными углами бесконечно малое, то есть некоторый треугольник. Если мы прочертим через середину гипотенузы линию, параллельную основанию этого прямоугольного треугольника, она разрежет другой катет тоже ровно пополам. Образуются два равных треугольника, один под чертой, участвуя в подсчёте общей площади, другой над, - не участвующий. Нижний в точности компенсирует верхний. Таким образом, никаких потерь или излишков при подсчёте интегральной площади не происходит. Выражения "пренебрежимая малость", "приближенность" описывающие этот момент в учебниках математики, вводят в заблуждение.
Интегральный метод расчёта процессов
Возьмём функцию y=x и построим на её основе другую функцию по определённой закономерности - ордината Y при той же абсциссе X на втором графике должна быть числено равна площади, отсекаемой на первом графике абсциссой, графиком функции, и перпендикуляром, установленным в точке X. Эта площадь будет половиной квадрата со сторонами X. В общем виде получаем функцию y=x2/2. Назовём первую функцию производной, а вторую первообразной.
Какую бы точку второй функции мы не взяли, ей соответствует площадь на первом графике. Если мы на втором графике берём две соседние точки, то та точка, что расположена правее, имеет эквивалент площади чуть больший, чем точка левее. При этом отображение Yпроизводной - Yпервообразной и обратно происходит с помощью прямого и обратного коэффициента х/2. (Площадь под кривой для степенной функции пропорциональна степени. Для x2 это 1/3 (установлено ещё Архимедом), для x3 1/4, для xn 1/(n+1). Это требует отдельного и пространного доказательства.) Отсчёт нашей производной мы вели от начала координат, но можем задать любой интервал на оси абсцисс и получить результат, в том числе отрицательный, если площадь находится под осью абсцисс производной.
- Возьмём на первом графике две соседние, не имеющие между собой вещественного расстояния точки X0-X=∆X, и опустим из них перпендикуляры на ось абсцисс. Получится столбик с невещественной площадью ∆s, который, по условиям договора будет иметь на втором графике невещественный эквивалент в виде отрезка Y=Y0первообразной-Yпервообразной.
- Разбиваем первообразную кривую на точки, каждую из которых рассматриваем прямой, и поступаем с ней, словно она линейная функция нулевой протяженности, назвав касательной. Тем самым мы перешли от двух соседних точек к одной точке с двумя краями невещественной протяженности по соответствующим осям Yпервообразной и гипотенузой, являющейся прямолинейным куском функции или касательной к графику Y=x2/2 в точке X.
- Так, как площадь прямоугольника на первом графике ∆s=∆Yпервообразной второго графика, основание его равно ∆X, то высота прямоугольника получается ∆s/∆X, или что то же самое, ∆Yпервообразной/∆X, а это тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс первообразной, или значение графика производной функции в этой точке, то есть в данном случае Yпроизводной при нашем X. "Кривизна" первообразной переходит в ординату производной. Отсюда известное определение: значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс первообразной в этой точке. Получив его, мы можем построить из первообразной функции производную, и из производной первообразную, умножением на прямой и обратный коэффициент.
Сказанное выше сформулировано в учебнике математики так: f`(x)=lim∆f(x)/∆x
∆x->0
Производной функции f`(x) равен предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.
Как видно, это тот же самый кеплеровский приём мысленного разбиения на бесконечно-малые с последующим сложением, расширенный для любых фигур до универсального.
При интегрировании и дифференцировании функция обычно меняет свою форму, но есть функция, которая её меняет в свою же собственную. Если исходная сумма $1 и начисляется 100% годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет $2. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то $1 умножается на 1,5 дважды, получая $ 1,00*1,52 = $2,25. Начисления процентов раз в квартал приводит к $1,00*1,254 = $2,44140625, и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел:
lim(1+1/n)n=e=2,718 28...... Функция вида ex и будет той магической функцией, которая
∆x->∞
описывает в природе радиоактивный распад, когда из некоего числа радиоактивных ядер за время T распадается строго половина. А потом из той половины за это же время распадается снова половина. И т.д. N = Nое-λt где Nо начальное количество ядер, а N через время t. Так происходит потому, что у функции ex площадь под ней от начала координат до любой абсциссы в точности соответствует ординате этой абсциссы. Тогда тангенс угла наклона касательной в любой точке равен значению её же ординаты. Когда площадь под какой-либо функцией от начала координат до некоторой абсциссы больше или меньше значения соответствующей ординаты, ордината этой абсциссы на графике первообразной тоже становится больше или меньше.
Разберём работу метода на примере расчёта объёма шара.
Мысленно разбиваем шар на бесконечное количество сечений, и находим функцию, которая описывает изменение площади этих сечений. (Начало координат помещено в центр шара.) Радиус окружности, мысленно движущейся от одного края шара через центр к другому, рассчитывается через теорему Пифагора - корень квадратный из разности квадратов радиуса шара и квадрата х - расстояния центра "движущейся" окружности до центра шара. Искомая функция - изменяющаяся площадь "движущегося" круга. В итоге получаем перевёрнутую параболу S(х)=
(R2-х2), огораживающую над осью Х площадь (площадь площадей сечений шара) - искомый объём шара (2R32/3=4R3/3 Расчёт методом Архимеда). Каждое значение Х это конкретное значение площади соответствующей ему окружности (Y), а все вместе они образуют площадь в точности эквивалентную объёму шара.
 |
 |
(R2-х2) интегральным способом, используя наш договор о двух графиках, находим функцию, которая переводит всю искомую двумерную площадь в одномерный отрезок по ранее условленному принципу. Измерение отрезка даёт нам искомую площадь (в данном случае объём). 
(R2-х2) при любом Х. 2. Чтобы посчитать площадь под параболой, находим функцию, которая переводит всю искомую двумерную площадь в одномерный отрезок по ранее условленному принципу. Измерение отрезка даёт нам искомую площадь, - в данном случае объём.
Мы приравниваем объём шара как целого, целой и нераздельной площади под кривой, потом приравниваем её к единому и неразрывному отрезку, длинной которого становится искомый объём. Без всяких бесконечно малых. То, что в интегральном методе расчёта "захотела природа" выражается кривой, описывающей исследуемый процесс нарастания площади кругов по мере продвижения к центру. Остальное лишь условность.
Остаётся найти дифференциально-интегральную связь разных функций, доказать что, например, производная синуса есть косинус, чтобы расширить интегральный метод на все функции. И ещё кое-какие мелочи. Интегрирование это нахождение функции, связанной договором с имеющейся функцией о равенстве площади под кривой ординате искомой функции. Интегрирование позволяет рассчитывать суммарный итог непостоянного изменения.
Дифференциальный метод расчёта процессов
Бесконечно малое приращение радиуса шара, равное во всех направлениях от некоего центра даёт одно и то же во всех направлениях приращение объёма, который соответствует строго определённой площади. И это очевидное тройное соответствие мы можем взять в качестве доказательства работающей дифференциально-интегральной связки S=∆R/∆V. (Кстати вот зримый пример соотношения двух равных нулю величин, дающего в итоге вещественную величину.)
Найдя объём, мы получаем площадь поверхности шара из нашей формулы, добытой "на коленке" V= SшR/3, приравнивая объёмы шара и пирамиды высотой равной радиусу шара, с основанием равным площади его поверхности. Тот же результат мы можем получить, если сделаем переменной радиус шара и продифференцируем по нему формулу его объёма. V`=(4/3)
х3dx= 4х2=Sш
Нестрогое, но наглядное объяснение было в школьном учебнике под редакцией Колмогорова. Представим себе, что мы покрыли поверхность шара тонким слоем краски равной толщины. Приращение объёма шара - это объём израсходованной краски ∆V. Делим его на толщину слоя краски - на приращение радиуса шара. Получаем, что площадь S поверхности шара - это отношение ∆V/∆R - тангенс угла наклона первообразной, где ∆R мало. Если радиус шара увеличить на ∆R то объем шара увеличится на ∆V, причем приращение объема равно дифференциалу (от лат. differentia "разность, различие") объема ∆V=S∆R. График первообразной показывает нам, какой объём шара будет при заданном R(х), а угол наклона касательной в этой точке покажет, чему будет равна при этом площадь шара. График производной показывает нам, какую площадь приращений под параболой нужно просуммировать, чтобы она равнялась своему объёму на графике первообразной, и как меняется площадь поверхности шара, выраженная ординатой в отношении к отсекаемой площади под кривой, символизирующей изменение его объёма.
Мы можем поставить задачу определения сторон прямоугольного параллелепипеда имеющего при данной площади поверхности S максимальный объём.
(V=a*b*c, S=2ab+2ac+2bc, c=V/ab, откуда S=2ab+2V/b+2V/a. Вычисляем производную и приравниваем к нулю: dS/da=2b-2V/a2; dS/db=2a-2V/ba2; b=V/a2, a=V/b2 откуда V=b3=a3=c3 - получается куб.) Берём формулу площади поверхности и исследуем её при помощи дифференцирования сделав переменной сначала в одном измерении, потом в другом, при стационарном объёме. Тогда третье измерение получается автоматически. Узнав минимум (точку экстремума), в котором функция площади (первообразная) сменяет убывание на возрастание, мы вычисляем все три стороны прямоугольника. Нужно установить в двух измерениях этой функции точки, касательные к которым будут параллельны оси абсцисс, то есть тангенс угла их наклона равен нулю, как и значения производных в этих точках. Приравнивание соответствующих производных к нулю даёт нам искомые точки. Система из трёх уравнений определяет все три переменные.
Графики площади поверхности и объёма шара, куба, правильного икосаэдра показывают нам непрерывный рост. Минимальное значение они имеют при нулевом значении радиуса. Поэтому все эти фигуры имеют минимальную площадь поверхности при максимальном объёме, какое бы значение радиуса вписанной окружности мы не взяли. Полная центральная их симметрия дифференциально увязывает объём с площадью поверхности.
На графике первообразной параболы угол наклона касательной к оси абсцисс, в какой либо точке t равен скорости этого тела в это же время. К дифференцированию прибегают всякий раз, когда встает вопрос о скорости изменения какой-либо функции по мере изменения аргумента, когда эта скорость оказывается непостоянной, а определять ее требуется точно для любого значения аргумента. Возьмём такой случай.
В каждый момент времени движущееся тело имеет строго определённую скорость, говорит нам график зависимости скорости от времени. Но физически за время равное нулю замер скорости сделать невозможно, - такого значения времени не существует. (Ещё древний грек Зенон заметил, что за время равное нулю летящая стрела неподвижно висит в пространстве.) Придётся взять бесконечно-малую долю времени не имеющую физического дления, то есть ∆t, что будет означать на графике уже некоторую невещественную площадь прямоугольника с этим основанием, и высотой V. Соответственно за время ∆t измерения скорости, тело пройдёт не имеющее вещественной длины расстояние ∆s, и на графике зависимости пути от времени это получит своё отражение. (Опять отношение невещественных отрезков даёт вещественную величину.) Отсюда вывод, - функция пути от времени состоит из бесконечно малых участков, каждый из которых имеет свой угол наклона. Отношение ∆s/∆t (тангенс угла наклона в точке t) на этом графике равно скорости V на графике производной (зависимости скорости от времени) в этой же точке t. Таким образом, оси координат первообразной и производной состоят хоть и из безразмерных, но таких же, при бесконечном суммировании обретающих протяжение ∆, как и исследуемые нами точки функций. В этом смысле все сечения шара, чей объём мы считали выше, тоже содержат в себе безразмерную толщину дольки, которые, суммируясь под кривой и дают общую "толщину" всего шара. На самом деле происходит неразрывный перенос всех площадей сечений в площадь под кривой производной.
Бесконечно малое не существует подобно атомному ядру или нейтрону, оно плод нашего воображения, логическая условность, разбивающая на части реальную протяженность. Отождествление площади круга площади прямоугольного треугольника происходит в целом, а обоснование, - через условное разбиение на бесконечно малые сектора с последующим их сложением в изменённом виде.
Сделаем самое широкое обобщение.
Мы представляем состоящую из бесконечно малых декартову систему координат, образы функций изучаемых процессов, а так же наше представление об бесконечно малом, и с бесконечной скоростью множащемся бесконечно большом. Одномерные, то есть бесконечно малые объекты, мы приравниваем к двумерным, двумерные к трехмерным, и наоборот. Мы ставим в точном соответствии бесконечное множество точек бесконечному множеству отрезков, из которых слагается площадь. Мы не можем для проверки своей версии тонко и изящно нарисовать график функции, чтобы при помощи мощного микроскопа увеличив его, увидеть изломы прямых участков, из которых такая кривая состоит. Мы только мыслим себе это. Интегрально-дифференциальное чудо стало возможным благодаря двум перекрещивающимся бесконечностям, - бесконечно мелкому разбиению и бесконечно большому их сложению.
Очевидно, что использование интегрально-дифференциального метода показывает нам ложность разделения математического мира на качество-количество, и единство-множественность. Отказ от противопоставления распахивает бескрайние горизонты возможностей. Для того, чтобы он работал, нам нужно принять мир, в котором количество нулей без границ между ними, без линейных размеров имеет строго определённое направление в пространстве, и мгновенно, непрерывно, вечно перетекает в качество протяжения. Мы обязаны думать, что процесс бесконечно быстрого размножения бесконечно малых не прерывается никогда. Точка не имеет протяжения, имея чёткую ориентацию в пространстве. Вещественный отрезок состоит из бесконечного множества непротяженных точек. "Находясь" на бесконечно-малой точке мы не можем перейти на соседнюю, так как не можем её "увидеть".
Раз качество и количество, единство и множественность не противоположны друг другу, поскольку противопоставление не соответствует реальности, говорит математика, то привычное представление пространства тоже ложная идея. А это значит, что и неразрывно связанная с пространством идея времени, к которой мы привыкли с детства, так же ошибочная концепция. Если бесконечно просуммировать ничто, появится пространство и время. Если его бесконечно не суммировать, то на преодоление в отдельности каждого бесконечно малого не нужно реального времени. Пространство и время берутся из ничего, и в ничего исчезают! Кто-то скажет, что это ведь только свойство математического, а не реального мира, но рассчитываем-то мы при помощи математики для реального мира, и, значит, математический мир составная его часть.
Использование интегрально-дифференциального исчисления позволяет нам сделать вывод теоретической физики глобальной важности.
Согласно механике Ньютона скорость: v=dx/dt, импульс: p=m*dx/dt=mv, сила F=dp/dt=m*d2x/dt2=m*dv/dt, работа/энергия: dA=F*dx=(m*d2x/dt2)vdt=(m*dv/dt)vdt=mvd2x/dt= mvdv
v - абсцисса, A - ордината. Чтобы узнать всю работу/энергию А(Е) при v от нуля до бесконечности, интегрируем выражение mvdv, то есть считаем площадь под этой прямой. Получаем Е=mv2/2 - кинетическую энергию.
Из опыта Майкельсона-Морли и преобразований Лоренца известно, что часы движущейся системы замедляются в сравнении с часами неподвижной системы на произведение фактора Лоренца √(1-v2/c2) При приближении скорости движения к световой, это выражение, становясь всё меньше, убывает до нуля, тяня в ноль сомножители. Если же оно располагается в знаменателе, то оно точно так же до бесконечности увеличивает любое число. Релятивистское переписывание формулы для импульса внесёт фактор Лоренца как раз в знаменатель. Посчитаем релятивистское выражение для полной энергии тела имеющего массу покоя.
19.05.2021г